Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một bài toán hình học

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————————

NGUYỄN CHÍ THANH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch
đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1. Bài tốn chứng minh tính chất hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Bài tốn quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3. Bài tốn dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




2

Lời cảm ơn
Luận văn này được hồn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Văn Minh, Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học
đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, cơng
sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tơi vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt
tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy

giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay như GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khối, ...
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân đã động viên,
ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tơi có thể hồn thành tốt khóa học
của mình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

Mở đầu
Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng
dạy như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép
đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo không được đề cập đến. Hầu như các
bài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển,
các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch
đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết. Đặc biệt
trong nhiều bài tốn, nếu khơng sử dụng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời
giải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép nghịch
đảo sẽ giúp cho bài giải trở nên xúc tích và đẹp đẽ hơn.
Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện
như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình.
Trong mỗi bài tốn có sử dụng phép nghịch đảo để giải thì phép tốn này
là một mắt xích quan trọng, một định hướng thơng suốt trong q trình tư
duy. Ngồi ra, phép nghịch đảo cịn là một cơng cụ tư duy hữu ích để phát
triển các bài tốn và cho ta một cách nhìn mới đối với bài tốn đó. Điều đó
khiến cho người học tốn khơng những phát triển được kiến thức hình học

của mình mà cịn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài tốn. Với
những lý do đó chúng tơi đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu.
Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức
cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tơi sẽ áp dụng vào
một số bài tốn ở chương 2. Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặc
trưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hình
khác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng khơng đi qua cực nghịch

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




4

đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a),
một đường trịn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không
đi qua cực nghịch đảo và vng góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với
tâm đường đường trịn đã cho (tính chất 1.2.7-a), một đường trịn khơng đi
qua cực nghịch đảo biến thành một đường trịn khơng đi qua cực nghịch đảo
(tính chất 1.2.7-b).
Chương 2. Một số bài tốn hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận
dụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng
minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. Qua đó làm nổi bật ưu việt
của phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài tốn đó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

5

Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa
Đôi nét về định nghĩa:
Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài tốn sau: "Cho đường trịn (O)
và một điểm A nằm ngồi đường trịn. Vẽ tiếp tuyến AK đến (O) (K ∈ (O)).
Một cát tuyến bất kỳ từ A đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểm M, N . Khi
đó, ta ln có AK 2 = AM.AN ". Như vậy ta để ý rằng với một điểm M0
bất kỳ nằm trên đường trịn (O) thì ln tồn tại một điểm N0 khác cũng
nằm trên (O) và nằm trên AM0 sao cho AM0 .AN0 = AK2 .
Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho một điểm O cố định và một
số thực k khác không.
Cho tương ứng mỗi điểm M khác O với một điểm M thuộc đường thẳng

OM sao cho OM .OM = k . Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo
cực O, phương tích k (hay tỉ số k ).
Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k được ký hiệu là I(O,k) hay
IOk , ta có IOk (M ) = M hoặc IOk : M → M , hay một số sách đưa ra ký hiệu
f (O, k), trong luận văn này chúng tôi dùng ký hiệu IOk hoặc f (M ) = M sẽ
chỉ M là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k .
−−→ −−→
Ta có OM .OM = OM .OM vì O, M, M thẳng hàng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

6

1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo
Tính chất 1.2.1. Cực nghịch đảo O khơng có điểm tương ứng qua phép
nghịch đảo.
Vì thế phép nghịch đảo khơng phải là một phép biến hình của mặt phẳng
Euclide.
Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide một điểm duy nhất gọi là "điểm vơ
tận" và quy ước xem điểm đó là ảnh đồng thời là tạo ảnh của điểm O qua
phép nghịch đảo f (O, k). Mặt phẳng được bổ sung điểm vô tận được gọi là
mặt phẳng mở rộng. Phép nghịch đảo trên mặt phẳng mở rộng là một song
ánh, tức là một phép biến hình. Khi M càng tiến lại gần O là cực nghịch đảo
thì ảnh của f (M ) sẽ càng tiến ra xa O, tức là nếu M → O thì f (M ) → ∞.
Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận là đường thẳng bổ sung và các đường
tròn trong mặt phẳng được gọi là tập hợp các đường tròn nghĩa rộng.
Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M1 , M2 gọi là đối xứng với nhau
qua d nếu chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục d. (Ta quy ước:
điểm vô tận đối xứng với điểm vơ tận).
Cho đường trịn (O, R), hai điểm M1 , M2 gọi là đối xứng với nhau qua

(O, R) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực O, phương tích
k = R2 .
Qua phép nghịch đảo này điểm O biến thành điểm vô tận và điểm vô tận
biến thành cực O, nên O và điểm vô tận là đối xứng với nhau qua (O, R).
Tính chất 1.2.2. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp:
Qua phép nghịch đảo, nếu điểm M biến thành điểm M thì ngược lại, điểm

M biến thành điểm M (hay nếu IOk (M ) = M thì ta cũng có IOk (M ) = M ,

vì OM .OM = k = OM .OM ).
Như vậy IOk ◦ IOk (M ) = M hay (IOk )2 là một phép đồng nhất.
Tính chất 1.2.3. Đường trịn nghịch đảo:
Xét phép nghịch đảo IOk : M → M .
Nếu tỷ số k > 0 thì M và M nằm cùng một phía đối với O. Khi đó tập

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




7

hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo là đường tròn tâm O, bán

√

k , đường tròn này được gọi là đường trịn nghịch đảo. Khi đó các điểm
M mà thỏa mãn f (M ) = M được gọi là các điểm kép (điểm bất động) của
phép nghịch đảo f (O, k). Nếu điểm M nằm ở bên trong của đường trịn thì
M nằm ở bên ngồi của đường trịn nghịch đảo và ngược lại.
Nếu k < 0 thì hai điểm M và M nằm về hai phía đối với O. Khi đó
kính

khơng có điểm kép, cũng khơng có đường tròn nghịch đảo (trong trường hợp
này đường tròn nghịch đảo của f (O, k) sẽ được gọi là đường trịn bán thực,
trong đó tâm của đường trịn là thực và bán kính của đường trịn là ảo).
Tính chất 1.2.4. a) Nếu phép nghịch đảo f (O, k) có phương tích k > 0
và M, M là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f (O, k), thì mọi đường tròn
qua hai điểm M, M đều trực giao với (O,

√

k) (hai đường tròn (O), (O )
được gọi là trực giao với nhau nếu hai tiếp tuyến tại một giao điểm của (O)
và (O ) cùng vng góc với nhau). Hơn nữa mọi đường tròn (C) qua M, M
đều biến thành chính nó qua f (O, k) với k > 0.
√
b) Nếu (O1 ) và (O2 ) lần lượt trực giao với (O, k), k > 0 và (O1 ), (O2 )
lần lượt cắt nhau tại hai điểm thì hai điểm này sẽ là ảnh của nhau qua phép
nghịch đảo f (O, k).
Chứng minh:
a) Gọi (O ) là đường tròn đi qua hai điểm M, M và I = (O) ∩ (O ).

Hình 1.1:

Giả sử OI cắt đường trịn O tại điểm thứ hai I khác I , ta có OM .OM =

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




8

OI.OI .
2

Mặt khác từ giả thiết: OM .OM = OI.OI = k = OI . Do đó I ≡ I ,
hay OI là tiếp tuyến của đường tròn (O ) ⇔ OI⊥O I , chứng tỏ đường tròn

(O ) trực giao với đường trịn (O). Vậy ta có với mọi đường tròn đi qua hai
√
điểm M, M đều trực giao với đường tròn (O, k).
Hơn nữa với mọi đường tròn (C) đi qua hai điểm M, M , theo chứng minh
trên ta có (C) trực giao với (O). Từ O ta kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt (C)
tại hai điểm N, N , ta có ON .ON = k , suy ra mọi điểm N thuộc đường
tròn (C) qua phép nghịch đảo f (O, k) đều có ảnh là N cũng thuộc đường
tròn (C). Vậy chứng tỏ mọi đường trịn (C) qua M, M đều biến thành chính
nó qua phép nghịch đảo f (O, k).
b) Gọi (O1 ) ∩ (O2 ) = {M, M }. Giả sử OM ∩ (O2 ) = M1 , ta có
OM .OM1 = k và O, M, M1 thẳng hàng. (1)

Hình 1.2:

Mặt khác giả sử OM ∩ (O1 ) = M2 , ta có OM .OM2 = k và O, M, M2
thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M2 ≡ M1 ≡ M , hay chứng tỏ M, M là ảnh của
nhau qua phép nghịch đảo f (O, k).
Tính chất 1.2.5. Phép nghịch đảo f (O, k), k = 0. Thì với hai điểm A, B
không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta ln có A, B, f (A), f (B) là các điểm
đồng viên (tức là cùng thuộc một đường tròn). Hơn nữa nếu đặt A = f (A)
và B = f (B) thì A B = |k| .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

AB
.
OA.OB

9

Chứng minh:
Giả sử O, A, B không thẳng hàng và k > 0, khi đó các điểm A , B tương
ứng nằm trên các tia OA, OB và

OA.OA = OB.OB = k
OA
OB
suy ra
=
⇒ ∆OAB
OB
OA

∆OB A ⇒ A, B, A , B cùng thuộc

một đường trịn,

OA
OA .OA OA.OA
k
|k|
AB
=
=
=

=
=
AB
OB
OB.OA
OA.OB
OA.OB
OA.OB
|k| .AB
(∗)
⇔ AB =
OA.OB
⇒

Hình 1.3:

Biểu thức (∗) đúng với cả O, A, B thẳng hàng và k < 0.
Chú ý: Khẳng định f (O, k) : AB → A B là sai! Tính chất ảnh của một
đường thẳng hay một đường tròn qua một phép nghịch đảo được nhắc đến
ngay sau đây.
Tính chất 1.2.6. Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo:
a) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo
biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Từ cực nghịch đảo O ta hạ OA vuông góc với đường thẳng ∆ đã cho. Gọi

B là ảnh của A qua phép nghịch đảo IOk và A là một điểm của ∆ (hình 1.4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

10

tương ứng với k > 0; k < 0).
Muốn cho điểm N của đường thẳng OM là ảnh của M trong phép nghịch
đảo IOk điểu kiện cần và đủ là:

ON .OM = k = OB.OA
tức là bốn điểm N, M, B, A ở trên cùng một đường tròn, tức là ON B =

OAM = 90o .

Hình 1.4:

Vậy quỹ tích của N là đường trịn đường kính OB .
b) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo biến
thành chính nó.
Chứng minh:
Giả sử d là đường thẳng đi qua cực O của phép nghịch đảo f (O, k). Khi
đó với mọi điểm ∀M ∈ d ta có f (O, k) : M → M , theo định nghĩa phép
nghịch đảo suy ra O, M, M thẳng hàng, chứng tỏ f (O, k) : d → d.
Tính chất 1.2.7. Ảnh của một đường trịn qua phép nghịch đảo:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

11

a) Qua phép nghịch đảo, một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành
một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo và vng góc với đường thẳng
nối cực nghịch đảo với tâm đường đường tròn đã cho.
Chứng minh:
Giả sử O là cực nghịch đảo, A là một điểm của đường tròn đã cho đối
xứng với O qua tâm của đường tròn, B là ảnh của A trong phép nghịch đảo

IOk .
Gọi M là một điểm bất kì của đường tròn. Muốn cho điểm N của đường
thẳng OM là ảnh của M trong phép nghịch đảo IOk điều kiện cần và đủ là:

ON .OM = k = OB.OA, tức là bốn điểm N, M, A, B ở trên cùng một
đường tròn, suy ra OBN = OM A = 90o . Vậy quỹ tích của N là đường
thẳng đi qua B và vng góc với đường kính OBA.

Hình 1.5:

b) Qua một phép nghịch đảo, một đường trịn khơng đi qua cực nghịch đảo
biến thành một đường trịn khơng đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Giả sử O là tâm nghịch đảo, M là một điểm bất kì của đường trịn (C),

p = OM .ON là phương tích của điểm O đối với đường tròn (C): ảnh của
đường tròn (C) trong phép nghịch đảo IOp chính là đường trịn (C).
Nếu M là ảnh của M trong phép nghịch đảo IOk thì ta có: OM .OM = k .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

12

Ta suy ra:

k
OM
=
p
ON

tức là M là ảnh của N trong phép vị tự tâm O, tỉ số
là ảnh của N trong phép vị tự tâm O, tỉ số

k
. Đảo lại, nếu M
p

k
thì ta có:
p

OM
k
=
p
ON

Hình 1.6:

do đó:

OM .OM
k
=
p
ON .OM
Vậy

OM .OM = k
tức là M là ảnh của M trong phép nghịch đảo IOk . Vậy ảnh (C ) của đường
tròn (C) trong phép nghịch đảo IOk là ảnh của đường tròn (C) trong phép vị
tự tâm O, tỉ số

k
, tức là một đường trịn.
p

Lưu ý: Chúng tơi xin nhắc qua về kiến thức phép vị tự:
Cho O là một điểm cố định, k là một số không đổi, nếu M, N thẳng hàng

ON
= k thì N được gọi là điểm ảnh của điểm M trong phép vị
OM
tự tâm O, tỉ số k .
với O và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

13

"Qua phép vị tự:
1) Một đường thẳng đi qua tâm biến thành chính nó.
2) Một đường thẳng khơng đi qua tâm biến thành một đường thẳng song
song với nó.
3) Một đường trịn biến thành một đường trịn."
Tính chất 1.2.8. Tính bảo giác của phép nghịch đảo
Trước hết ta định nghĩa thế nào là góc giữa đường thẳng và đường trịn,
góc giữa đường trịn và đường trịn. Góc giữa đường thẳng d và đường trịn

(C) là góc giữa d và tiếp tuyến tại giao điểm của d với (C). Khi d là tiếp
tuyến của (C) thì góc giữa d và (C) bằng 0. Xét (C1 ) và (C2 ) thì góc giữa
(C1 ), (C2 ) là góc giữa hai tiếp tuyến tại giao điểm của (C1 ) và (C2 ). Nếu
(C1 ), (C2 ) tiếp xúc với nhau thì góc giữa (C1 ) và (C2 ) bằng 0.
Giả sử d1 , d2 là hai tiếp tuyến tương ứng với mỗi đường cong (C1 ) và (C2 )
tại giao điểm A của chúng. Góc định hướng giữa hai đường thẳng d1 và d2
được gọi là góc định hướng giữa hai đường cong (C1 ) và (C2 ).
Ký hiệu: ((C1 ), (C2 )) = (d1 , d2 ).
Tính chất: Qua phép nghịch đảo, góc định hướng giữa hai đường cong
tại mỗi giao điểm của chúng không thay đổi về độ lớn nhưng thay đổi về
hướng.
Chứng minh:
Trước tiên, ta xét bổ đề sau:
Bổ đề: Cho f (O, k) biến đường cong (C) thành đường cong (C ). Nếu

A, A là hai điểm tương ứng trên (C), (C ) và tại đó chúng có các tíếp tuyến
thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực cuả đoạn AA .
Thật vậy, ta gọi M là một điểm nằm trên (C) và M là ảnh của M qua
f (O, k), suy ra M nằm trên (C ). Ta lại có OM .OM = OA.OA = k , suy
ra M, M , A , A nội tiếp. Gọi (C1 ) là đường tròn đi qua M, M , A , A. Cho
M → A, khi ấy M → A . Do đó M A, M A lần lượt biến thành tiếp tuyến
t và t tại A, A của các đường cong (C), (C ) tương ứng và (C1 ) biến thành
đường tròn (C 1 ) tiếp xúc với đường cong (C) và (C ) lần lượt tại A và A .
Rõ ràng lúc này t và t sẽ là tiếp tuyến tại A và A của (C 1 ) tương ứng. Từ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




14

đó suy ra t và t đối xứng nhau qua đường trung trực của AA .
Chứng minh tính chất: Giả sử qua phép nghịch đảo f , hai đường cong

(C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại một điểm A biến thành đường cong (C 1 ) và (C 2 )
cắt nhau tại A = f (A). Biến hai tiếp tuyến d1 , d2 tại A với (C1 ) và (C2 )
tương ứng thành hai tiếp tuyến d1 , d2 tại A . Theo bổ đề các tiếp tuyến d1 , d2
của (C1 ) và (C2 ) tại A và các tiếp tuyến d1 , d2 của (C 1 ) và (C 2 ) tại A
tương ứng đối xứng với nhau qua trung trực cuả AA . Từ đó suy ra:
(d1 , d2 ) = −(d1 , d2 ) + kπ(k ∈ Z),
((C 1 ), (C 2 )) = −((C1 ), (C2 )) + kπ(k ∈ Z).

Hình 1.7:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




15

Chương 2
Một số bài tốn hình học phẳng sử
dụng phép nghịch đảo
Với định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo đã được giới thiệu
ở chương 1. Chương 2 chúng tôi muốn giới thiệu với các bạn ứng dụng của
phép nghịch đảo qua một số bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong
hình học phẳng.

2.1. Bài tốn chứng minh tính chất hình học
Ta mở đầu bằng một bài toán quen thuộc sau đây. Bài toán này là một
dạng quen thuộc trong nhiều kỳ thi trong nước.
Bài toán 2.1.1. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi B0 , C0 lần
lượt là hình chiếu của B, C trên AC, AB . Chứng minh rằng tiếp tuyến tại

A của đường tròn (O) song song với B0 C0 , từ đó suy ra AO⊥B0 C0 .
Lời giải: (Hình 2.1)
Trước tiên ta dễ thấy B, C0 , B0 , C đồng viên. Do đó AB.AC0 = AC.AB0 =

k . Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k , ta được IAk : B0 → C, C0 → B .
Vì vậy IAk : B0 C0 → (O). Gọi ta là tiếp tuyến tại A của (O) thì ta có
IAk : ta → ta . Mặt khác ta tiếp xúc với (O) do đó ta //B0 C0 (phép nghịch đảo
bảo tồn góc). Khi ấy, ta có ngay AO⊥B0 C0 (vì ta ⊥AO).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




16

Hình 2.1:

Nhận xét: Bài tốn trên là một bài tốn thuộc dạng kinh điển và quen
thuộc. Nhiều bạn, thậm chí là các bạn THCS khơng gặp nhiều khó khăn khi
chứng minh bài toán trên. Bài toán này trên mathlinks đưa ra và có đến
"hàng tá" cách giải. Và một trong các cách chỉ là biến đổi góc thuần nhất.
Riêng ý sau của bài tốn trên vẫn có thể chứng minh được mà không cần
dùng đến ý đầu.
Thật vậy, ta đã biết qua phép nghịch đảo cực A, phương tích k , IAk :

B0 C0 → (O). Do đó O sẽ là ảnh của điểm đối xứng với A qua B0 C0 . Rõ
ràng ta có ngay AO⊥B0 C0 .
Phép nghịch đảo đã gánh vác cho ta phần nào khó khăn của các biến đổi
góc cồng kềnh, có khi rất phức tạp. Ta sẽ thấy vẻ đẹp khác của phép nghịch
đảo qua bài toán tiếp theo sau đây.
Bài toán 2.1.2. (Định lý Ptolemy)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp được là

AC.BD = AB.CD + BC.AD.
Lời giải: (Hình 2.2)
Trường hợp 1: Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp, Gọi (C) là đường tròn
ngoại tiếp của nó, ta sẽ chứng minh: AC.BD = AB.CD + BC.AD.
Thật vậy: Ta xét phép nghịch đảo f (A, 1), khi đó vịng trịn (C) biến thành

đường thẳng d, các điểm B, C, D biến thành các điểm B , C , D thẳng hàng.
Điểm C nằm giữa B và D nên ta có: B C + C D = B D .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




17

|k| .AB
ta có:
OA.OB
⇒ AC.BD = AB.CD + BC.AD.

Áp dụng tính chất phép nghịch đảo: A B =

CD
BD
BC
+
=
AB.AC AC.AD
AB.AD

Hình 2.2:

Trường hợp 2: Giả sử tứ giác ABCD có: AC.BD = AB.CD+BC.AD,
ta sẽ chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
Thật vậy: Ta xét phép nghịch đảo f (A, 1) và giả sử B , C , D là ảnh của

B, C, D qua phép nghịch đảo f (A, 1).
Từ AC.BD = AB.CD + BC.AD ta suy ra

BC
CD
+
=
AB.AC
AC.AD

BD
⇒ AC.BD = AB.CD + BC.AD.
AB.AD
|k| .AB
ta có: B C +C D =
Áp dụng tính chất phép nghịch đảo: A B =
OA.OB
B D điều đó có nghĩa B , C , D nằm trên đường thẳng d, hơn nữa C xen
giữa B và D .
Suy ra B, C, D nằm trên đường tròn qua A hay tứ giác ABCD nội tiếp.
Nhận xét: Ta có thể tham khảo cách chứng minh sau.
Xét tứ giác ABCD và xét phép nghịch đảo cực D, phương tích k bất
kỳ thì IDk : A → A , B → B , C → C . Như vậy ABCD là tứ giác nội
tiếp khi và chỉ khi A , B , C thẳng hàng. Điều này xảy ra khi và chỉ khi

A C = A B + B C hay nói cách khác là
AC
AB
BC

|k| .
= |k| .
+ |k| .
DA.DC
DA.DB
DB.DC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




18

Nhân cả hai vế của đẳng thức này với

DA.DB.DC
, ta thu được
|k|

AC.BD = AD.BC + AB.CD.
Định lý Ptolemy: là một bài toán quen thuộc đối với các em chuyên sâu về
toán ở THCS và cách giải phổ biến của định lý này là cách gọi thêm điểm

D0 thỏa mãn D0 DC = BAC , D0 CD = BCA để tạo cặp tam giác CD0 D
và CBA đồng dạng với nhau và một cặp đồng dạng khác, xuất hiện một mâu
thuẫn biến đổi góc. Rõ ràng dưới quan điểm của phép nghịch đảo, định lý
Ptolemy trở nên nhẹ tênh không hề có một chút khó khăn biến đổi hay gọi
thêm yếu tố phụ gì! Lưu ý rằng bằng phương pháp dùng phép nghịch đảo,
tương tự ta chứng minh được định lý mở rộng của định lý Ptolemy:

"Điều kiện cần và đủ để một đa giác lồi trên mặt phẳng A1 A2 ....An , n ≥ 4
nội tiếp được trong một đường tròn là
n−1

Ai Ai+1 (
i=2

A1 Ak ) = A2 An .A1 A3 ...A1 An−1 ”.
k=1

Tiếp theo là một ứng dụng khác của phép nghịch đảo trong một bài toán
của Nga (Liên Xô trước đây) đề nghị trong kỳ thi IMO 1985.
Bài tốn 2.1.3. Cho tam giác ABC. Một đường trịn tâm O đi qua hai điểm

A, C và cắt các đoạn AB, BC theo thứ tự tại hai điểm phân biệt K, N . Giả
sử các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng hai
điểm phân biệt B, M . Chứng minh rằng OM B = 90o .
Lời giải: (Hình 2.3)
Gọi R là bán kính của đường trịn tâm O nói trên. Gọi P = KN ∩AC, S =

KC ∩ AN . Theo một kết quả quen thuộc thì B sẽ là đối cực của P S qua
O và ngược lại P sẽ là đối cực của BS qua (O). Do đó S sẽ là đối cực của
BP qua (O). Gọi M = OS ∩ BP , ta có ngay OM ⊥BP . Mặt khác ta lại
có BS⊥OP (do BS là đường đối cực của P qua (O)), tương tự P S⊥OB .
Ta suy ra được S là trực tâm của ∆BOP . Do đó nếu gọi B = BS ∩ OP ,
2
ta có ngay B là ảnh của P qua IOR . Ta lại có IOR : A → A, C → C .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

19

Hình 2.3:

Do vậy AC → (OAC), P ∈ AC , từ đó suy ra B → (OAC) và ta thu
được P O.P B = P A.P C . Mặt khác, dễ thấy B, M , B , O đồng viên, do đó

P M .P B = P O.P B , dẫn đến P M .P B = P A.P C , tức là M ∈ (ABC).
Để ý rằng P A.P C = P K.P N = P M .P B , do đó M ∈ (BKN ). Hay nói
cách khác M ≡ (BKN ) ∩ (ABC) ≡ M . Suy ra OM B = 90o .
Nhận xét: Bài toán trên cũng là một dạng bài kinh điển. Có tới ít nhất
ba cách chứng minh cho bài tốn trên, trong đó có một cách biến đổi góc và
độ dài các cạnh khá cầu kỳ. Có một cách dùng phép vị tự và cách còn lại là
vẽ thêm yếu tố phụ song cũng qua một hay hai bước biến đổi góc. Một lần
nữa, với quan điểm phép nghịch đảo lại cho ta một lời giải đẹp "thuần" tính
lý thuyết, khơng hề một chút tính tốn cho bài tốn cũ mà đẹp bên trên.
Cũng xin nói thêm, điểm M trong bài tốn có tên là điểm Miquel đối với tứ
giác toàn phần BA, BC, P K, P A.
Ta tiếp tục xem xét một ứng dụng khác của phép nghịch đảo qua bài toán
IMO của Bulgaria năm 1995.
Bài toán 2.1.4. Cho A, B, C, D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường
thẳng và được sắp theo thứ tự đó. Các đường trịn đường kính AC, BD cắt
nhau tại các điểm X, Y . Đường thẳng XY cắt BC tại Z . Cho P là một
điểm trên đường thẳng XY khác Z . Đường thẳng CP cắt đường trịn đường
kính AC tại C và M , đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại

B và N . Chứng minh rằng AM, DN, XY đồng quy.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




20

Lời giải: (Hình 2.4)
Gọi (C1 ) là đường trịn đường kính AC , (C2 ) là đường trịn đường kính

BD. P nằm trên XY là trục đẳng phương của (C1 ) và (C2 ), do đó P(P/(C1 )) =
P(P/(C2 )) , nói cách khác ta có P C.P M = P B.P C = k .

Hình 2.4:

Xét phép nghịch đảo cực P , phương tích k , ta có IPk : M → C, A → A ,
suy ra AM → (P A C). Tương tự, ta cũng có được ND → (P BD ), trong đó

D là ảnh của D qua phép nghịch đảo (IPk ), ta có (IPk ) : XY → XY . Do đó
để chứng minh AM, DN, XY đồng quy, ta sẽ chứng minh XY là trục đẳng
phương của (P A C) và (P BD ). Thật vậy, ta có P ZC = P A C = 90o , suy
ra Z ∈ (P A C). Tương tự, ta cũng có được Z ∈ (P BD ). Do đó P Z ≡ XY
là trục đẳng phương của (P A C) và (P BD ). Suy ra (P A C), (P BD ) và
P Z cùng qua Z hay chứng tỏ AM, XY, N D đồng quy.
Nhận xét: Một lần nữa phép nghịch đảo lại cho ta thấy được sự ưu việt
của nó trong việc chứng minh sự đồng quy. Có thể thấy rằng, phép nghịch
đảo đã làm giảm tối thiểu lượng đường tròn xuất hiện trong bài tốn mà thay
vào đó là các đường thẳng, hay các đường trịn "dễ nhìn hơn". Biến cái xa
lại gần, biến cái khó kiểm sốt, khó nắm bắt thành cái dễ kiểm soát, dễ nắm

bắt là một trong những đặc tính vơ cùng ưu việt của phép biến hình đặc biệt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




21

này. Bài tốn trên có thể giải bằng trục đẳng phương bằng cách gọi Q và Q
lần lượt là giao điểm của AM, DN và XY rồi chứng minh Q ≡ Q .
Tiếp theo sẽ lại là một ứng dụng khác của phép nghịch đảo, ta tiếp tục
xét bài toán sau:
Bài tốn 2.1.5. Cho đường trịn (O) đường kính BC . Một điểm A nằm
ngồi đường trịn, gọi B0 , C0 lần lượt là giao điểm của AC, AB với (O). Gọi

H là giao điểm của BB0 , CC0 . Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến
từ A đến (O). Chứng minh rằng H, M, N thẳng hàng.
Lời giải: (Hình 2.5)

Hình 2.5:

Gọi A0 là hình chiếu của A lên BC . Dễ thấy H là trực tâm tam giác

ABC . Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích AB0 .AC = AC0 .AB =
AM 2 = AN 2 = k , ta có IAk : M → M, N → N, H → A0 . Dễ thấy
OM A = ON A = OA0 A = 90o . Như vậy ta được A0 ∈ (AM N ). Từ đó suy
ra được H, M, N thẳng hàng.
Nhận xét: Phép nghịch đảo tỏ ra trong việc chứng minh các bài tốn
thẳng hàng. Bài tốn bên trên có thể được phát biểu một cách tổng quát

hơn:
"Cho đường tròn (O), từ điểm K bất kỳ nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến

KM, KN đến (O) trong đó M, N là các tiếp điểm. Hai đường thẳng bất kỳ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




22

qua K cắt (O) tại các điểm lần lượt là (A, D), (B, C). Gọi G là giao điểm
của AC , BD. Chứng minh rằng M, N, G thẳng hàng."
Bài toán 2.1.6. Cho ba điểm thẳng hàng O, A, A và (C) là một đường trịn
có đương kính OA, d là đường thẳng vng góc với OA ở A . Một cát tuyến
a thay đổi qua A’ cắt đường tròn ở P , Q các đường thẳng OP và OQ cắt d
lần lượt ở P và Q . Chứng minh rằng A P .A Q khơng đổi.
Lời giải: (Hình 2.6)
Phương tích của A đối với (C) là k = A A.A O.
Gọi IAk là phép nghịch đảo cực A , phương tích k, ta có:

IAk : A → O
IAk :P → Q
IAk :d → d
Đường thẳng OQ không qua cực A nên có ảnh là đường trịn Γ đi qua
cực A . Vì IAk : O → A và IAk : Q → P nên A ∈ Γ, P ∈ Γ. Giả sử Q” là
ảnh của Q qua IAk .

Hình 2.6:

Q ∈ OQ nên Q” ∈ Γ, mặt khác Q ∈ d mà d đi qua cực A nên Q” ∈ d.
Suy ra, giao điểm P của d với Γ là Q , do đó: A P .A Q = k , (khơng đổi vì
k = A A.A O là phương tích của A đối với đường trịn (C)).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




23

Nhận xét: Bài toán trên trở nên hết sức đơn giản và nhẹ nhàng qua phép
nghịch đảo cực A , phương tích k = A A.A O khơng đổi và áp dụng tính
chất 1.2.6-a.
Bài tốn 2.1.7. Cho hai đường trịn bằng nhau (C), (C ) giao nhau ở hai
điểm A, B . Một đường tròn thay đổi Γ tiếp xúc với AB ở A cắt (C) và (C )
lần lượt tại P và P . Chứng minh P P luôn đi qua một điểm cố định và
đường tròn (BP P ) tiếp xúc với AB tại B.
Lời giải: (Hình 2.7)
Gọi O là trung điểm của AB . Một cát tuyến bất kỳ qua O cắt (C) tại L,

−→ −−→

M, ta có phương tích của O đối với (C) là OL.OM .
Gọi K là điểm đối xứng qua O của M , thì K thuộc đường trịn (C ) vì
hai đường tròn (C) và (C ) đối xứng với nhau qua O.

−−→

−−→

Do đó, OK = −OM và gọi f là phép nghịch đảo cực O, phương tích

k = OA2 .
−→ −−→ −−→ −→
Hay k = −OL.OM = OK.OL thì f biến điểm L thuộc đường tròn (C)
thành điểm K thuộc đường trịn (C ). Mặt khác, phương tích của O đối với
đường tròn Γ bằng k = OA2 , nên phép nghịch đảo f biến đường trịn Γ
thành chính nó.

Hình 2.7:

Như vậy, f biến giao điểm P của (C) và Γ thành giao điểm P của (C ) và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




24

Γ, tức là ba điểm O, P, P thẳng hàng. Nói khác đi, đường thẳng P P ln
đi qua điểm cố định O là trung điểm của AB .
−→ −−→
Hơn nữa, vì OA = OB nên OB 2 = OA2 = OP .OP , nên đường tròn
(BP P ) tiếp xúc với AB tại B .
Nhận xét: Bài toán trên đã sử dụng tính chất tâm của phép nghịch
đảo là điểm cố định, chứng minh P P đi qua điểm cố định ta chứng minh
2

IOk : P → P , k 2 = OA2 và OB 2 = OP .OP , suy ra (BP P ) tiếp xúc với
AB tại B . Giúp giải quết bài toán một cách đơn giản, dễ nhìn, một lần nữa
cho ta thấy sự ưu việt của phép nghịch đảo trong tốn chứng minh hình học
phẳng. Tiếp theo ta xét bài tốn áp dụng tính chất bảo giác của phép nghịch
đảo.
Bài toán 2.1.8. Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc cùng một đường trịn
và khơng có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng.Chứng minh góc giữa hai
đường trịn (ACD), (CDB) bằng góc giữa hai đường trịn (ABC), (ABD).
Lời giải: (Hình 2.8)

Hình 2.8:

Phép nghịch đảo bảo tồn độ lớn của góc, nên để giải bài tốn ta xét một
phép nghịch đảo thích hợp. Đặt (C1 ), (C2 ),(C3 ),(C4 ) tương ứng là các đường
trịn (ABC), (ABD), (CBD) và (CAD) (Hình 2.8-h.a).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN