Phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ HOÀNG ANH

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA MỘT ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Ngọc Anh

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...................................................................

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
Ngày .... tháng .... năm 2014

Có thể tìm hiểu tại
Thư Viện Đại Học Thái Ngun
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

3

Lời nói đầu

4

Một số kí hiệu - chữ viết tắt

7

Chương 1.

Các kiến thức cơ bản về
ánh xạ không giãn và bất đẳng thức biến phân

9

1.1.

Không gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.

Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.

Bài toán Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1. Phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.3. Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài toán VIFIX

27

2.1.

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.

Phương pháp chiếu mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.

Phương pháp ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Phương pháp chiếu dạng hiện để giải bài toán VIFIX

44

3.1.

Phương pháp chiếu mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.

Phương pháp tối ưu hóa điểm bất động . . . . . . . . . . . . .

49

1.4.
Chương 2.

Chương 3.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

2
3.3.

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.4.

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Kết luận chung

61

Tài liệu tham khảo

62

Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

ĐHTN

/>

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS.
Phạm Ngọc Anh (Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng), người
thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt
thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Khoa Tốn - Tin,
Phịng Đào tạo, các bạn học viên lớp Cao học Toán K6B trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo
điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên
cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người
thân ln khuyến khích, động viên tác giả trong suốt q trình học tập
và làm luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp q
báu của các thầy cơ và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, 2014

Trần Thị Hoàng Anh
Học viên Cao học Toán K6B,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Soá hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60, là
một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bài toán cân bằng.
Theo Harker và Pang, bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu
lần đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampacchia. Những nghiên
cứu đầu tiên về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các
bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài tốn biên có
dạng của phương trình đạo hàm riêng. Bài tốn biến phân trong khơng
gian vơ hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn
sách "An introduction to variational inequalities and their application"
của Kinderlehrer và Stampacchia xuất bản năm 1980 và trong cuốn
sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free
boundry problems" của Baiocchi và Capelo xuất bản năm 1984.
Bài tốn bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với các
bài toán tối ưu khác. Bài toán bù phi tuyến, xuất hiện vào năm 1964
trong luân án tiến sĩ của Cottle, là một trường hợp đặc biệt của bài
toán bất đẳng thức biến phân. Gần đây, bài toán bất đẳng thức biến
phân cũng là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Nhiều
tác giả đã quan tâm và xây dựng các kỹ thuật để giải quyết bất đẳng
thức biến phân và vấn đề tối ưu hóa liên quan. Một ứng dụng quan
trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
của một ánh xạ khơng giãn là mơ hình định tuyến lưu lượng mạng
điện thoại CDMA (Viết tắt của Code - Division mutiple access data

network) được đăng trong bài báo "Fixed point optimization algorithm
and its Application to power control in CDMA data networks", Iiduka,
Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

ĐHTN

/>

5
H. (2010), Mathematical Programming, Series A, doi 10.1007/s10107010-0427-x.[10] Bài toán đặt ra là tìm một phương án tối ưu lưu lượng
trên các đường truyền nhằm đạt được chất lượng dịch vụ tốt nhất cho
tất cả các đường truyền kết nối trên mạng với một mạng dữ liệu cho
trước.
Trong luận văn này, chúng ta xét một số phương pháp giải bài tốn
bất đẳng thức biến phân là tìm điểm x∗ ∈ F ix(T ) sao cho
(A − γf )x∗ , x − x∗ ≥ 0,

∀x ∈ F ix(T ),

với T là ánh xạ khơng giãn của tập con lồi, đóng, khác rỗng C của không
gian Hilbert thực H, A : C → H là tốn tử tuyến tính bị chặn, dương
mạnh, và f : C → H là ánh xạ co với hệ số ρ. Luận văn đề cập đến hai
thuật toán để giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân: Thuật toán
chiếu dạng ẩn
xt = T P rC [I − t(A − γf )]xt ,

∀t ∈ (0, 1),

và thuật toán chiếu dạng hiện
xn+1 = βn xn + (1 − βn )T P rC [I − αn (A − γf )]xn ,

∀n ≥ 0.

Đồng thời, luận văn đã chứng minh sự hội tụ mạnh của hai thuật toán
này đến nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn (V IF IX) trong khơng
gian Hilbert thực. Nội dung chính của luận văn được viết trong bài báo
"Algorithms Construction for Variational Inequalities", Yonghong Yao,
Yeong - Cheng Liou and Shin Min Kang (2011), Fixed point Theory
Appications, doi: 10.1155/ 2011/794203, ID 794203.[11]
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về ánh xạ không giãn và bất đẳng
thức biến phân. Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản về khơng gian
Hilbert, bài tốn bất đẳng thức biến phân, các ví dụ, các kiến thức về
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

6
ánh xạ không giãn, điểm bất động của ánh xạ không giãn, phép chiếu
và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân.
Chương 2. Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải bài tốn (V IF IX).
Chương này trình bày phương pháp chiếu mở rộng dạng ẩn và phương
pháp ánh xạ co để giải bài toán (V IF IX).
Chương 3. Phương pháp chiếu dạng hiện để giải bài toán (V IF IX).
Chương này trình bày phương pháp chiếu mở rộng, phương pháp tối ưu
hóa điểm bất động và ứng dụng của phương pháp này.

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014

Học viên

Trần Thị Hồng Anh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

MỘT SỐ KÍ HIỆU - CHỮ VIẾT TẮT

Rn

khơng gian Euclide n-chiều

H

không gian Hilbert thực

|β|

trị tuyệt đối của số thực β

x := y

x được gán bằng y

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

x

chuẩn của véc tơ x

x, y

tích vơ hướng của hai véc tơ x, y

A⊂B

tập A là tập con thực sự của tập B

A⊆B

tập A là tập con của B

A∪B

A hợp với B

A∩B

A giao với B

B

tích Đề-các của hai tập A và B

argmin{f (x) | x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C
δC (·)

hàm chỉ trên C

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x

P rC (x)

phép chiếu mêtric, hay còn gọi là phép chiếu
trực giao của điểm x trên tập C

lim := lim sup

giới hạn trên

lim := lim inf

giới hạn dưới

co

bao lồi đóng

VI

bài tốn bất đẳng thức biến phân
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

8
V IF IX

bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập điểm bất động

T HV I

bài toán bất đẳng thức biến phân tam cấp

BV I

bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

V I(F, C)

bài toán bất đẳng thức biến phân với
ánh xạ giá F trên C

DV I(F, C)

bài toán đối ngẫu của bài tốn V I

B(O, R)

hình cầu tâm O bán kính R

CP (F, C)

bài tốn bù tuyến tính

FCnat

ánh xạ giá tự nhiên

Sol(F, C)

tập nghiệm của bài toán V I

Sol(F, C)∗

tập nghiệm của bài toán đối ngẫu DV I

I

ánh xạ đồng nhất

∂f (x)

dưới vi phân của f tại x

NC (x)

nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C

F ix(S)

tập điểm bất động của ánh xạ S

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

1.1.

KHÔNG GIAN HILBERT VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

Trong phần đầu của chương này, ta nhắc lại một số vấn đề cơ bản
thuộc không gian Hilbert như tính trực giao, hình chiếu, tốn tử compact
và tốn tử bị chặn. Chương này ta tham khảo các tài liệu [5], [9], [2]
Ta nói hai vectơ x, y của một khơng gian Hilbert H trực giao với
nhau, và kí hiệu x⊥y, nếu x, y = 0. Từ định nghĩa ấy có thể suy ra
ngay các tính chất đơn giản sau đây:
a) Nếu x⊥y thì y⊥x. Ta có x⊥x khi và chỉ khi x = 0. Vectơ 0 trực
giao với mọi vectơ x.
b) Nếu x⊥ (y1 , y2 , ..., yn ) thì x⊥ (α1 y1 + α2 y2 + ... + αn yn ).
c) Nếu x⊥yn , yn → y (∀n → ∞) thì x⊥y.
d) Nếu tập M trù mật trong H thì M ⊥ gồm một phần tử duy nhất là
0, nghĩa là x⊥M ⇒ x = 0.
e) Nếu x⊥y thì x + y

2

= x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

2

+ y

ĐHTN

2

(định lý Pythagore).

/>

10
f ) Nếu {xn } là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xn trực giao từng
∞

đơi một) thì chuỗi

∞

(xn ) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi
n=1

xn

2

< ∞.

n=1

Định lí 1.1.1 ([5]). Cho M là khơng gian con đóng của không gian
Hilbert H. Bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách
duy nhất dưới dạng
x = y + z với y ∈ M, z ∈ M ⊥ ,

(1.1)

trong đó y là phần tử của M gần x nhất, tức là x − y ≤ x − u với
mọi u ∈ M .

Toán tử compact là một lớp quan trọng của toán tử bị chặn.
Định nghĩa 1.1.1. Toán tử A : H → H được gọi là toán tử compact
nếu với mọi dãy {xn } bị chặn trong trong H, dãy {Axn } chứa dãy con
hội tụ.
Định lí 1.1.2 ([9]). Mọi tốn tử compact đều bị chặn.
Định lí 1.1.3 ([9]). Cho A là tốn tử compact trong khơng gian Hilbert
H và B là tốn tử bị chặn trên H. Khi đó, AB và BA là toán tử compact.
Định nghĩa 1.1.2. Một toán tử được gọi là hữu hạn chiều nếu miền
giá trị của nó là hữu hạn .
Định lí 1.1.4 ([9]). Tốn tử bị chặn hữu hạn chiều là compact.
Định lí 1.1.5 ([9]). Giới hạn của dãy hội tụ đều các toán tử compact
là compact. Trong trường hợp đặc biệt, nếu T1 , T2 , ..., Tn là các tốn tử
compact trong khơng gian Hilbert H và Tn − T → 0 khi n → ∞ với
mọi tốn tử T trên H thì T là compact.
Hệ quả 1.1.1. Giới hạn của dãy hội tụ các tốn tử hữu hạn chiều là
tốn tử compact.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

11
Định lí 1.1.6 ([9]). Một tốn tử T trên khơng gian Hilbert H là compact
nếu và chỉ nếu nó biến một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh. Tức là
T là compact nếu và chỉ nếu xn

1.2.

x thì T xn → T x với bất kì xn , x ∈ H.

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Trong mục này, ta nêu một số khái niệm về ánh xạ khơng giãn và các
định lí điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert
thực H với tích vơ hướng ·, · và chuẩn

· .

Định nghĩa 1.2.1. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H. Ánh
xạ T : C → C là ánh xạ không giãn nếu
Tx − Ty ≤ x − y ,

∀x, y ∈ C.

Định nghĩa 1.2.2. Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ
T nếu T x = x. Kí hiệu: F ixT là tập các điểm bất động của T . Tức là
F ixT = {x ∈ C : T x = x} .
Định nghĩa 1.2.3. Tập C có cấu trúc chuẩn tắc trong khơng gian định
chuẩn X nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H của nó với diamH > 0
ddeuf chứa một điểm x ∈ H sao cho: sup{ x − z : z ∈ H} < diamH.
Bây giờ, ta nhắc lại một số định lý điểm bất động quan trọng.
Định lí 1.2.1 ([2], Kirk). Cho C là một tập hợp lồi, compact yếu, có
cấu trúc chuẩn tắc trong khơng gian định chuẩn X và T : C → C là
một ánh xạ khơng giãn. Khi đó, T có điểm bất động trong C.
Chứng minh. Đặt
F = L ⊂ C : L lồi, đóng, khơng rỗng, T (L) ⊂ L .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

12
F = ∅ vì C ∈ F. Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F, ⊂) trở thành
tập hợp được sắp thứ tự bộ phận.
Đặt G = {Lα } với Lα ∈ F và lồng nhau. Khi đó ∩ Lα = ∅ vì C
α

compact yếu và T (∩ Lα ) ⊂ ∩ Lα , vậy ∩ Lα là cận dưới của G. Theo bổ
α

α

α

đề Zorn, F chứa một phần tử cực tiểu H.
Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng. Giả sử d =
diamH > 0. Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ H sao cho
r = sup { z − x : x ∈ H} < d.
Đặt D = {z ∈ H : H ⊂ B(z, r)} = ∅, trong đó B(z, r) là hình cầu đóng
tâm z bán kính r. Lấy z bất kì trong D, do T là khơng giãn, ta có
T (H) ⊂ B(T z, r) nên coT (H) ⊂ B(T z, r). Vì coT (H) là tập hợp lồi,
đóng trong C nên cũng là compact yếu, hơn nữa coT (H) ⊂ coH = H nên
T (coT (H)) ⊂ T (H) ⊂ coT (H), vậy coT (H) ∈ F. Mặt khác coT (H) ⊂
H và H là cực tiểu nên coT (H) = H .Từ đây ta có H ⊂ B(T z, r), suy
ra T z ∈ D, vậy T (D) ⊂ D với z bất kì trong D.
Ta sẽ kiểm tra D lồi, đóng. Cho z1 , z2 ∈ D và z = αz1 + (1 − α)z2
với α ∈ [0, 1]. Khi đó x − zi

x−z

r, i = 1, 2 với mọi x ∈ H. Từ đó

r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy D lồi. Nếu zn ∈ D và zn → z

thì x − zn < r suy ra x − z

r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy D

đóng.
Tóm lại D ⊂ C là tập lồi, đóng và bất biến đối với T , vậy D ∈ F. Từ
D ⊂ H và H là cực tiểu, suy ra D = H. Khi đó, với mọi u, v ∈ D = H
ta có u − v

r, từ đây : d = diamH = diamD

r < d, ta gặp mâu

thuẫn. Vậy, H chỉ gồm một điểm, tức là: H = {x∗ }. Do H là bất biến
đối với T nên ta có T x∗ = x∗
Định lí 1.2.2 ([2], Browder-Gohde). Cho C là một tập hợp lồi, đóng,
bị chặn trong khơng gian lồi đều X và T : C → C là một ánh xạ khơng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

13

giãn. Khi đó, tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và khơng
rỗng.
Chứng minh. Theo giả thiết X lồi đều nên X phản xạ, do đó C là
compact yếu và có cấu trúc chuẩn tắc. Vậy theo Định lý Kirk, tập hợp
các điểm bất động T không rỗng, ngồi ra nó đóng vì T liên tục. Ta
chỉ cịn chứng minh tính lồi của tập hợp này. Cho u = T u, v = T v và
m = λu+(1−λ)v với một λ ∈ [0, 1] nào đó. Khi đó u−m = (1−λ)(u−v)
và v − m = λ(v − u). Vì T là ánh xạ khơng giãn nên ta có
u − Tm + Tm − v

u−m + m−v = u−v .

Do u − v = (u − T m) + (T m − v) nên
u−v

u − Tm + Tm − v .

Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được
u − v = u − Tm + Tm − v .
Đặt x = u − T m, y = T m − v, ta có x + y = x + y . Vì X lồi
đều thì X lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại α > 0 để cho
u − T m = α(T m − v). Suy ra
Tm =
với β =

1
α
u+
v = βu + (1 − β)v
1+α

1+α

1
. Ta sẽ chứng minh β = λ bằng phản chứng. Giả sử β > λ,
1+α

ta có
Tv − Tm = v − Tm = β u − v > λ u − v = v − m ,
điều này mâu thuẫn với tính khơng giãn của T . Tương tự, nếu β < λ
thì mâu thuẫn: T u − T m < u − m . Vậy β = λ nên T m = m. Vì
mọi điểm trên đoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên
tập hợp các điểm bất động là tập hợp lồi và định lý đã được chứng
minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

14

1.3.

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

1.3.1.

Phép chiếu trực giao

Định nghĩa 1.3.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của một

không gian Hilbert thực H. Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu
trực giao của một điểm x ∈ H trên C dưới chuẩn Euclide

· , ký hiệu

P rC (x), được xác định bởi
P rC (x) = argmin{ x − y : y ∈ C}.

(1.2)

Tính chất 1.3.1.
(i) Với mỗi x ∈ H, P rC (x) tồn tại và duy nhất,
(ii) x − P rC (x), y − P rC (x) ≤ 0, ∀y ∈ C, x ∈ H,
(iii) P rC (x) − P rC (y)

2

≤ P rC (x) − P rC (y), x − y , ∀x, y ∈ H,

(iv) P rC (x) − P rC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H,
(v) P rC (x)−P rC (y)

2

≤ x−y 2 − P rC (x)−x+y−P rC (y) 2 , ∀x, y ∈

H,
(vi) P rC (x) − y

1.3.2.

2

≤ x−y

2

− P rC (x) − x 2 , ∀x ∈ H, y ∈ C.

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.3.2. Cho C = ∅ là một tập lồi, đóng trong H và F :
C → H. Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C),
được phát biểu dưới dạng:
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0,

∀x ∈ C.

(1.3)

Như thường lệ, F được gọi là ánh xạ giá. Một biểu diễn hình học
của bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có dạng: x∗ ∈ C là một
Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

ĐHTN

/>

15
nghiệm của V I(F, C) khi và chỉ khi góc tạo bởi véc tơ F (x∗ ) và véc tơ

y − x∗ là góc nhọn hoặc vng với mọi y ∈ C. Ta có thể định dạng điều
này dưới dạng nón pháp tuyến ngồi tại điểm x∗ của tập C như sau:
NC (x∗ ) = {w ∈ H : w, y − x ≤ 0,

∀y ∈ C}.

Véc tơ w ∈ NC (x∗ ) được gọi là véc tơ pháp tuyến ngồi tại điểm x∗ ∈ C.
Bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) chỉ ra rằng: x∗ ∈ C là
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) khi và chỉ khi
F (x∗ ) là một véc tơ pháp tuyến ngoài tại x∗ của C, hay
0 ∈ F (x∗ ) + NC (x∗ ).
Định nghĩa 1.3.3. Cho C là một tập con lồi, khác rỗng của một không
gian Hilbert thực H và một ánh xạ F : C → H. Ánh xạ F được gọi là
(a) đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y 2 ,

∀x, y ∈ C.

(b) đơn điệu chặt trên C, nếu
F (x) − F (y), x − y > 0,

∀x, y ∈ C, x = y.

(c) đơn điệu trên C, nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C.

(d) giả đơn điệu trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C,
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0.

(e) tựa đơn điệu trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C,
F (y), x − y > 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0.
Soá hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

16
(f ) tựa đơn điệu hiển trên C, với mỗi x, y ∈ C,
F (y), x − y > 0 ⇒ F (z), x − y ,

∀z ∈ (

x+y
, y).
2

Các suy luận dưới đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 1.3.3.
(a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d) =⇒ (e) ⇐= (f ) ⇐= (d).
Mệnh đề 1.3.1. Điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bù CP (F, C) nếu
và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C).
Chứng minh. Nếu x∗ là nghiệm của bài tốn bù CP (F, C), thì x∗ ∈
Rn+ , F (x∗ ) ∈ Rn+ và F (x∗ ), x∗ = 0. Khi đó,
F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x ≥ 0,

∀x ∈ Rn+ .

Mặt khác, giả sử x∗ ∈ Rn+ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(F, C). Đặt

ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), y = x∗ + ei ,
trong đó 1 là vị trí thứ i. Khi đó, y ∈ Rn+ và
0 ≤ F (x∗ ), x∗ + ei − x∗ = F (x∗ ), ei = Fi (x∗ ).
Do vậy,
F (x∗ ) = (F1 (x∗ ), ..., Fn (x∗ )) ∈ Rn+ .

(1.4)

Từ bất đẳng thức
F (x∗ ), x − x∗ ,

∀x ∈ Rn+ ,

và x = 0 ∈ Rn+ , suy ra
F (x∗ ), x∗ ≤ 0.
Mặt khác, theo giả sử x∗ ∈ Rn+ và theo (1.4), ta có F (x∗ ), x∗ ≥ 0. Như
vậy,
F (x∗ ), x∗ = 0.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

17
Trong bài toán bất đẳng thức V I(F, C), với mỗi x ∈ C và λ > 0,
xét ánh xạ FCnat : C → C được xác định bởi
FCnat (x) = x − P rC (x − λF (x)).
Ánh xạ FCnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C. Mối

quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C)
và ánh xạ giá tự nhiên FCnat được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 1.3.2. Một điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng
thức V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là khơng điểm của ánh xạ FCnat , hay
0 = FCnat (x∗ ).
Chứng minh. Theo định nghĩa nghiệm x∗ của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I(F, C) và λ > 0, ta có
λF (x∗ ), y − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C.

Hay
x∗ − [x∗ − λF (x∗ )], y − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C.

Theo tính chất (ii), bất đẳng thức này tương đương với
x∗ = P rC (x∗ − λF (x∗ )),
hay x∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên FCnat .
Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(F, C) được chứng minh đều dựa vào định lí điểm
bất động Browder.
Định lí 1.3.1. Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của
không gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H. Khi đó,
bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

18
Chứng minh. Theo tính chất (1.3.1) (i), ánh xạ P rC cịn được gọi là ánh
xạ khơng giãn trên C. Do vậy, với mỗi λ > 0, phép chiếu P rC (I − λF ) :
C → C là một ánh xạ liên tục. Từ C là một tập lồi compact khác rỗng
và P rC (I − λF ) liên tục, theo Mệnh đề 1.3.2 và Tính chất 1.3.1, tồn
tại duy nhất không điểm x∗ ∈ C của ánh xạ giá tự nhiên FCnat sao cho
0 = FCnat (x∗ ). Áp dụng Tính chất 1.3.1 (iii) với x = x∗ − λF (x∗ ),
y − P rC (x∗ − λF (x∗ )), x∗ − λF (x∗ ) − P rC (x∗ − λF (x∗ )) ≤ 0, ∀y ∈ C.
Kết hợp điều này với P rC (I − λF )(x∗ ) = x∗ , suy ra
y − x∗ , x∗ − λF (x∗ ) − x∗ ≤ 0.
Với giả thiết λ > 0, ta có
F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C.

Vậy, x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C).
Định lí 1.3.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không
gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H. Khi đó, bài
tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
R > 0 sao cho bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C ∩ B(0, R)) có
một nghiệm xR thỏa mãn xR < R.
Chứng minh. Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có 1
nghiệm x∗ ∈ C. Chọn R thỏa mãn R > x∗ . Khi đó
F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C.

Do đó, x∗ ∈ C ∩ B(0, R) và
F ∩ (x∗ ), y − x∗ ≥ 0,

∀y ∈ C ∩ B(0, R).

Như vậy, bài tốn V I(F, C ∩ B(0, R)) có nghiệm x∗ .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

19
Ngược lại, giả sử xR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(F, C ∩ B(0, R)) thỏa mãn xR < R. Khi đó, với mỗi y ∈ C,
tồn tại ≥ 0 đủ nhỏ sao cho z = xR + (y −xR ) ∈ C ∩B(0, R). Theo định
nghĩa của nghiệm xR của bài toán V I(F, C ∩ B(0, R)), ta có xR ∈ C và
0 ≤ F (xR ), z − xR =

F (xR ), y − xR ,

∀y ∈ C.

Điều này có nghĩa rằng xR là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(F, C).
Hệ quả 1.3.1. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một
khơng gian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H thỏa mãn
điều kiện bức, hay tồn tại x0 ∈ C sao cho
F (x) − F (x0 ), x − x0
→ +∞ khi x → +∞, x ∈ C.
x − x0
Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.

Chứng minh. Chọn H và R sao cho H > F (x0 ) , R > x0 và
F (x) − F (x0 ), x − x0 ≥ H x − x0

∀ x ≥ R, x ∈ C.

Khi đó,
F (x), x − x0

≥ H x − x0 + F (x0 ), x − x0
≥ H x − x0 − F (x0 ) x − x0
≥ (H − F (x0 ) )( x − x0 )
> 0,

∀ x ≥ R.

(1.5)

Theo Định lí 1.3.1, tồn tại một nghiệm xR của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I(F, C ∩ B(0, R)). Hay
F (xR ), xR − x0 = − F (xR ), x0 − xR ≤ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

20
Kết hợp điều này với (1.5), ta có xR

= R và do đó xR

< R.

Như vậy, xR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, C ∩ B(0, R)). Theo Định lí 1.3.2, bài tốn V I(F, C) có nghiệm.

1.3.3.

Một vài ứng dụng

Ví dụ 1.3.1. Bài tốn cân bằng mạng giao thơng.
Xét một mạng giao thơng cho bởi một mạng luồng hữu hạn. Gọi
• N : Tập hợp các nút của mạng.
• A : Tập hợp các cạnh mà mỗi cạnh là một đoạn đường.
Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅. Mỗi phần tử của O được
gọi là điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi
điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp
các cạnh (được gọi là một tuyến đường).
• I : Tập hợp các phương tiện giao thơng.
• fai : Mật độ giao thơng của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A.
Đặt f là véc tơ có các thành phần fai với i ∈ I và a ∈ A.
• cia : Chi phí khi sử dụng phương tiện giao thơng i trên đoạn đường
a ∈ A. Đặt c là véc tơ có các thành phần cia với i ∈ I, a ∈ A. Chi
phí giao thơng hồn tồn phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f )
là hàm của biến f .
• diw : Nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên đoạn đường
w = (o, d) với o ∈ O, d ∈ D.
• λiw : Mức độ chi phí giao thơng trên tuyến đường w của phương tiện
giao thơng i.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

21
• xiw : Mật độ giao thơng của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O ×D.
Giả sử trong mạng giao thơng trên, phương trình cân bằng sau được
thỏa mãn:
diw =

xip ,

∀i ∈ I, w ∈ O × D,

(1.6)

p∈Pw

trong đó, Pw là tập hợp các tuyến đường của w = (o, d) nối điểm nguồn
o và điểm đích d. Trên phương trình (1.6), thì nhu cầu sử dụng loại
phương tiện i trên tuyến đường w bằng đúng tổng mật độ giao thơng
của phương tiện đó trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích
của tuyến đường đó. Khi đó, ta có phương trình
fai =

xip δap ,

∀i ∈ I, w ∈ O × D,

(1.7)

p∈Pw

trong đó
δap =


1

nếu a ∈ p,

0

nếu a ∈
/ p.

Với mỗi tuyến đường p nối điểm nguồn o và điểm đích p, đặt
Cpi =

cia δap .

(1.8)

a∈A

Như vậy, Cpi là một chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến đường
p. Đặt d là véc tơ có các thành phần là diw với i ∈ I, w ∈ D × D. Một
cặp (d∗ , f ∗ ) thỏa mãn các điều kiện (1.6) và (1.7) được gọi là một điểm
cân bằng của mạng giao thông, nếu


 = λi (d∗ )
w
i
∗
Cp (f ) =
 > λi (d∗ )
w

nếu xip > 0,
nếu xip = 0,

với mỗi tuyến đường p và với mỗi i ∈ I. Theo định nghĩa này, tại điểm
cân bằng đối với mỗi loại phương tiện giao thơng và mỗi tuyến đường,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

22
chi phí thấp nhất khi có lưu lượng giao thơng trên tuyến đó. Trái lại,
chi phí sẽ khơng phải thấp nhất. Đặt
C = {(f, d) : ∃x ≤ 0 sao cho(1.6) và (1.7) đúng}.
Khi đó, ta có định lí sau:
Định lí 1.3.3. Một cặp véc tơ (f ∗ , d∗ ) ∈ C là một điểm cân bằng của
mạng giao thơng khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức
biến phân: Tìm (f ∗ , d∗ ) ∈ C sao cho
(c(f ∗ ), λ(d∗ )), (f, d) − (f ∗ , d∗ ) ≥ 0,

∀(f, d) ∈ C.

(1.9)

Chứng minh. Điều kiện cân bằng (1.9) kéo theo rằng
∗

[Cpi (f ∗ ) − λiw (d∗ )].[xip − xip ] ≥ 0,

∀xip ≥ 0.

(1.10)

∗

Thật vậy, nếu xip > 0 thì Cpi (f ∗ ) − λiw (d∗ ) = 0 và do đó (1.10) đúng;
∗

nếu xip = 0 thì Cpi (f ∗ ) − λiw (d∗ ) > 0, như vậy (1.10) đúng.
Bất đẳng thức (1.10) đúng với mọi p ∈ Pw , do đó ta có thể viết
∗

[Cpi (f ∗ ) − λiw (d∗ )].[xip − xip ] ≥ 0.

(1.11)

p∈Pw

Thay thế (1.6) vào (1.11), suy ra
∗

∗

[Cpi (f ∗ )(x∗p − xip ) − λiw (d∗ )(diw − diw )] ≥ 0.

(1.12)

p∈Pw

Nhưng hệ thức (1.12) đúng với mọi phương tiện i và mọi cặp w (nguồnđích), nên
∗

∗

Cpi (f ∗ )(xip − xip ) −
i,w

λiw (d∗ )(diw − diw )] ≥ 0.

(1.13)

i,w

Kết hợp (1.7), (1.8) và (1.13) ta nhận được
∗

∗

Cai (f ∗ )(fai − fai ) −
i,a

λiw (d∗ )(diw − diw )] ≥ 0,
i,w

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>
∀(f, d) ∈ C.


23
Điều này kéo theo (1.9).
Giả sử x∗ = (f ∗ , d∗ ) ∈ C thỏa mãn bất đẳng thức biến phân (1.9)
hay (1.13), ta cần chứng minh cũng thỏa mãn điều kiện cân bằng (1.9).
Với mỗi phương tiện i và một tuyến đường p ứng với một cặp w (nguồnđích). Ta xây dựng một điểm chấp nhận được x sao cho
xjq = xjq
Khi đó djv = djv

∗

∗

∗

(i, q) = (i, p), xip = xip .
∗

∗

(j, v) = (i, w), nhưng diw = diw + xip − xip . Thay thế

các giả thiết này vào (1.13), ta có
∗

∗

Cpi (f ∗ )(xip − xip ) − λiw (d∗ )(diw − diw )] ≥ 0.
∗

(1.14)
∗

Bây giờ, nếu xip > 0, ta có thể lựa chọn xip sao cho xip > xip hoặc
∗

xip < xip và ngược lại. Khi đó, 1.14 đúng nếu Cpi (f ∗ ) − λiw (d∗ ) = 0. Mặt
∗

∗

khác, nếu xip = 0 thì xip ≥ xip . Như vậy, từ bất đẳng thức biến phân
(1.9) suy ra rằng
Cpi (f ∗ ) ≥ λiw (d∗ ).

Ký hiệu Sol(F, C) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(F, C). Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc
giải bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) rất gần với việc giải bài
tốn sau (kí hiệu DV I(F, C)):

Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x), x − x∗ ≥ 0,

∀x ∈ C.

Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất
đẳng thức biến phân V I(F, C). Ta kí hiệu tập nghiệm của bài tốn
DV I(F, C) là Sol(F, C)∗ . Khi đó, tính chất của tập nghiệm Sol(F, C)
và mối quan hệ của nó với tập nghiệm Sol(F, C)∗ như nhau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>