Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ MỴ

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ MỴ

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TỐN
ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2019


iii

Mục lục
Bảng ký hiệu và danh sách viết tắt

1

Mở đầu

2

Chương 1. Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức
biến phân trong khơng gian Hilbert
5
1.1 Bài tốn điểm bất động tách trong không gian Hilbert . . . . . . 5
1.1.1 Ánh xạ không giãn và phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Bài toán điểm bất động tách . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài
toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chương 2. Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng
phân với ràng buộc điểm bất động tách
2.1 Bài toán và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

thức biến
17
. . . . . . 17
. . . . . . 17
. . . . . . 19
. . . . . . 20
. . . . . . 20
. . . . . . 30
. . . . . . 33


iv

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

1

Bảng ký hiệu và danh sách viết tắt
H
2H
PC
Fix(T )
VIP
SFP
SFPP

không gian Hilbert thực
tập các tập con của H
phép chiếu mêtric lên tập C
tập điểm bất động của ánh xạ T
bài toán bất đẳng thức biến phân
bài toán chấp nhận tách
bài toán điểm bất động tách


2

Mở đầu
Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ., . và chuẩn . ,
C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của H, F là ánh xạ đi từ một tập trong
H chứa C vào H. Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality
Problem) với ánh xạ giá F và tập ràng buộc C , ký hiệu là VIP(F ,C ), được
phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1)

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966
khi Philip Hartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiên
của mình về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biến
phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài tốn trong lý thuyết phương trình
đạo hàm riêng. Đến nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành
nhiều dạng khác nhau, như bài toán bất đẳng thức biến phân tách, bài toán
bất đẳng thức biến phân véc-tơ, bài toán bất đẳng thức biến phân ẩn. . . Bài
toán bất đẳng thức biến phân thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của
các nhà tốn học vì mơ hình của nó chứa nhiều bài tốn quan trọng của những
lĩnh vực khác nhau trong toán ứng dụng như lý thuyết tối ưu, bài toán bù, bài
toán điểm bất động, lý thuyết trị chơi, cân bằng mạng giao thơng. . .
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức
biến phân là xây dựng phương pháp giải. Trong các phương pháp giải bài toán
bất đẳng thức biến phân thì phương pháp chiếu đóng một vai trị quan trọng
vì sự đơn giản và thuận lợi trong q trình tính tốn.
Mục tiêu của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một phương pháp
chiếu giải một lớp bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc là tập nghiệm
của bài toán điểm bất động tách trong bài báo [3] công bố năm 2017. Bài tốn
được trình bày cụ thể như sau: Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng


3

trong các không gian Hilbert H1 và H2 , F : C → H1 là ánh xạ đơn điệu mạnh,
A : H1 → H2 là tốn tử tuyến tính bị chặn, T : C → C , S : Q → Q là các
ánh xạ khơng giãn. Bài tốn bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất

động tách VIP(F, Ω) là bài tốn
Tìm x∗ ∈ Ω sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Ω,

(2)

trong đó Ω là tập nghiệm của bài tốn điểm bất động tách (Split Fixed Point
Problem), ký hiệu là SFPP:
Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S),

(3)

ở đây Fix(T ), Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của ánh xạ T và ánh xạ S .
Nội dung của đề tài luận văn được viết trong hai chương.
Chương 1: Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức
biến phân trong khơng gian Hilbert
Chương này trình bày các khái niệm về ánh xạ không giãn, phép chiếu
mêtric, bài toán điểm bất động tách, bài toán bất đẳng thức biến phân, mối
liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động trong
không gian Hilbert thực H. Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu
[1, 2, 5, 7, 8, 13].
Chương 2. Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân với
ràng buộc điểm bất động tách
Chương này trình bày một phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức
biến phân với tập ràng buộc là tập nghiệm của bài tốn điểm bất động tách
trong khơng gian Hilbert. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo
[3] công bố năm 2017.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học khoa học – Đại học Thái
Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, người
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt q trình nghiên cứu để em

có thể hồn thành luận văn này.
Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô giáo Trường Đại
học khoa học – Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và giúp đỡ em hồn thành
khóa học.


4

Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp
trường THPT Ân Thi, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo
điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Mỵ


5

Chương 1

Bài toán điểm bất động tách và bài
toán bất đẳng thức biến phân trong
khơng gian Hilbert
Chương này trình bày một số kiến thức liên quan đến bài toán điểm bất
động, bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert thực. Mục 1.1 giới thiệu về bài toán điểm bất động, bài
toán điểm bất động tách, trình bày một số tính chất của phép chiếu mêtric và
tính chất về tập nghiệm của bài toán điểm bất động. Mục 1.2 giới thiệu về bài
tốn bất đẳng thức biến phân đơn điệu và trình bày mối liên hệ giữa bài toán

bất đẳng thức biến phân và bài tốn điểm bất động trong khơng gian Hilbert
thực. Kiến thức của chương được viết trên cơ sở các tài liệu [1, 2, 4].

1.1

Bài toán điểm bất động tách trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ., . và chuẩn . ,
tương ứng. Cho {xn } là một dãy trong không gian H. Ta ký hiệu xn

x nghĩa

là dãy {xn } hội tụ yếu đến x và xn → x nghĩa là dãy {xn } hội tụ mạnh đến x.


6

1.1.1

Ánh xạ không giãn và phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]). Cho C là một tập con khác rỗng của không gian
Hilbert thực H.

(i) Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ L–liên tục Lipschitz trên C nếu tồn
tại hằng số L ≥ 0 sao cho

T (x) − T (y) ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.

(1.1)

(ii) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T
được gọi là ánh xạ khơng giãn.
Sau đây ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên C .
Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong
khơng gian Hilbert thực H. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần
tử PC (x) ∈ C xác định bởi

x − PC (x) ≤ x − y

với mọi y ∈ C.

(1.2)

được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu mêtric) chiếu H lên C .
Định lý 1.1.3 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không
gian Hilbert thực H. Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC (x) ∈ C sao
cho (1.2) thỏa mãn.
Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x − u . Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao
u∈C

cho x − un −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có

un − um

2

= (x − un ) − (x − um )

= 2 x − un
≤2

2

x − un

2

+ 2 x − um
2

+ x − um

un + um 2
−4 x−
2
2
− 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞.

2

Do đó {un } là một dãy Cauchy trong không gian Hilbert thực H. Suy ra tồn
tại u = lim un ∈ C . Do chuẩn là hàm số liên tục nên x − u = d. Giả sử tồn
n→∞


7

tại v ∈ C sao cho x − v = d. Ta có

u−v

2

= (x − u) − (x − v)
x−u

=2

2

2
2

+ x−v

u+v
−4 x−
2

2

≤ 0.

Suy ra u = v . Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho

x − PC x ≤ x − y

∀y ∈ C.

Ví dụ 1.1.4. Cho C = {x ∈ H : x, a = y}, với a = 0. Khi đó

PC (x) = x +

y − x, a
a.
a 2

Ví dụ 1.1.5. Cho C = {x ∈ H : x − a ≤ r}, trong đó a ∈ H là một phần
tử cho trước và r là một số dương. Khi đó,


x,
PC (x) =
r

(x − a),
a +
x−a

nếu x − a ≤ r,
nếu x − a > r.

Một số tính chất của tốn tử chiếu lên tập lồi đóng khác rỗng C trong khơng
gian Hilbert thực H được trình bày dưới đây.
Bổ đề 1.1.6 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng
gian Hilbert thực H, PC là phép chiếu mêtric chiếu H lên C và x ∈ H. Khi đó

x−y

2

≥ x − PC (x)

2

+ y − PC (x)

2

với x ∈ H và mọi y ∈ C.
Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C
là một phép chiếu mêtric.
Mệnh đề 1.1.7 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian
Hilbert thực H. Điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu
mêtric từ H lên C là

x − PC (x), PC (x) − y ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C.

(1.3)


8

Chứng minh. Giả sử PC là phép chiếu mêtric chiếu H lên C . Khi đó với mọi

x ∈ H, y ∈ C và mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC (x) ∈ C . Do đó, từ định
nghĩa của phép chiếu mêtric, suy ra

x − PC (x)

2

≤ x − ty − (1 − t)PC (x) 2 ,

với mọi t ∈ (0, 1).
Bất đẳng thức trên tương đương với

x − PC (x)

2

≤ x − PC (x)

2

− 2t x − PC (x), y − PC (x) + t2 y − PC (x) 2 ,

với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó, ta có

x − PC (x), PC (x) − y ≥ −

t
2
y − PC (x) ,
2

với mọi t ∈ (0, 1). Cho t → 0+ , ta nhận được

x − PC (x), PC (x) − y ≥ 0.
Ngược lại, giả sử

x − PC (x), PC (x) − y ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C.
Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C , ta có

x − PC (x)

2

= x − PC (x), x − y + y − PC (x)
= x − PC (x), y − PC (x) + x − PC (x), x − y
≤ x−y

2

+ y − PC (x), x − PC (x) + PC (x) − y

= x−y

2

+ y − PC (x), x − PC (x) − y − PC (x)

2

≤ x − y 2.
Suy ra PC là phép chiếu mêtric từ H lên C .
Hệ quả 1.1.8 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert

H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C . Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có
PC (x) − PC (y)

2

≤ x − y, PC (x) − PC (y) .


9

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H , từ Mệnh đề 1.1.7, ta có

x − PC (x), PC (y) − PC (x) ≤ 0,
y − PC (y), PC (x) − PC (y) ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.1.9 (xem [2]). Nếu C là một tập con lồi và đóng của khơng gian
Hilbert H , thì C là tập đóng yếu.
Chứng minh. Giả sử C khơng là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong

C thỏa mãn xn

x, nhưng x ∈
/ C . Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lý

tách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 sao cho

y, z < y, x − ε ∀z ∈ C.
Đặc biệt

y, xn < y, x − ε ∀n.

Cho n → ∞, ta nhận được

y, x ≤ y, x − ε,
điều này là vơ lý. Do đó, C là tập đóng yếu.
Chú ý 1.1.10. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng.
1.1.2

Bài tốn điểm bất động

Định nghĩa 1.1.11 (xem [1]). Cho C là tập con khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C . Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động
của ánh xạ T nếu T (x) = x.
Ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ), nghĩa là
Fix(T ) := x ∈ C :

T (x) = x .

(1.4)

Định nghĩa 1.1.12 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của
khơng gian Hilbert thực H, ánh xạ T : C → C được gọi là


10

(i) Ánh xạ tựa không giãn trên C nếu Fix(T ) = ∅ và
T (x) − x∗ ≤ x − x∗ ,

∀x ∈ C, ∀x∗ ∈ Fix(T );

(ii) Ánh xạ thỏa mãn nguyên lý đóng nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ yếu
đến x và (T (xk ) − xk → 0 thì x ∈ Fix(T ).
Bổ đề 1.1.13 (xem [2]). Giả sử C là tập con lồi đóng và khác rỗng trong khơng
gian Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C là ánh xạ khơng giãn. Nếu T có
điểm bất động thì Fix(T ) là tập lồi đóng.
1.1.3

Bài tốn điểm bất động tách

Định nghĩa 1.1.14 (xem [6]). Bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem), viết tắt là (SFP), được phát biểu như sau:
Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho A(x∗ ) ∈ Q,

(SFP)

trong đó, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các khơng
gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 −→ H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn.
Ký hiệu tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách (SFP) là Ω1 . Bài tốn chấp
nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài tốn xử lý tín hiệu và khôi
phục ảnh, liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ, hay có thể áp dụng cho việc
giải các bài tốn cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trị chơi. Bài tốn chấp nhận
tách trong các khơng gian Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên
bởi Yair Censor và Tommy Elfving (xem [6]). Để giải bài toán chấp nhận tách
trong không gian hữu hạn chiều, Charles Byrne (xem [4]) đã đề xuất phương
pháp CQ bằng cách xét dãy lặp

xn+1 = PC (xn − γAc (I − PQ )Axn ),

n ≥ 0,

(1.5)

trong đó C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong RN và RM ,

A là ma trận thực cỡ M × N , Ac là ma trận chuyển vị của ma trận A, L là
giá trị riêng lớn nhất của ma trận Ac A và γ ∈ 0, L2 . Gần đây Hong-Kun Xu
(xem [13]) đã giải bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực vô


11

hạn chiều trong đó phương pháp CQ có dạng

xn+1 = PCH1 (I H1 − γA∗ (I H2 − PQH2 )A)xn ,
với γ ∈ 0,

2
A

n ≥ 0,

(1.6)

, I H1 và I H2 lần lượt là các toán tử đơn vị trong H1 và H2 , A∗

là toán tử liên hợp của A, PCH1 và PQH2 lần lượt là các phép chiếu mêtric từ H1
lên C và từ H2 lên Q. Tác giả đã chứng minh được dãy lặp {xn } xác định bởi
(1.6) hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán chấp nhận tách (SFP) nếu bài tốn
chấp nhận tách có nghiệm.
Định nghĩa 1.1.15 (xem [6]). Bài toán điểm bất động tách (Split Fixed Point
Problem), viết tắt là (SFPP), được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S),

(SFPP)

trong đó C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các khơng gian
Hilbert thực H1 , H2 , A : H1 → H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn, các ánh
xạ T : C → C , S : Q → Q là các ánh xạ không giãn.
Ký hiệu tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách (SFPP) là Ω2 .

1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.2.1

Ánh xạ đơn điệu

Định nghĩa 1.2.1 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong
khơng gian Hilbert thực H. Ánh xạ A : C → H được gọi là

(i) đơn điệu trên C nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C;

đơn điệu chặt trên C nếu dấu "=" của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi

x = y;
(ii) đơn điệu mạnh trên C (hay β -đơn điệu mạnh trên C ) nếu tồn tại một hằng
số dương β sao cho

A(x) − A(y), x − y ≥ β x − y 2 ,

∀x, y ∈ C;


12

(iv) đơn điệu mạnh ngược trên C với hệ số η > 0 (hay η -đơn điệu mạnh ngược
trên C) nếu

A(x) − A(y), x − y ≥ η A(x) − A(y) 2 ,

∀x, y ∈ C.

Dễ thấy mọi ánh xạ η -đơn điệu mạnh ngược A đều là ánh xạ đơn điệu, liên
tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = λ1 .
Nhận xét 1.2.2. Nếu T : C −→ H là một ánh xạ khơng giãn thì A = I − T
1
là -đơn điệu mạnh ngược trên C .
2
Thật vậy, với mọi x, y ∈ C , ta có

A(x) − A(y)

2

= (x − y) − (T x − T y)

2

= (x − y) − (T x − T y), (x − y) − (T x − T y)
= A(x) − A(y), x − y − A(x) − A(y)

2

− (x − y) − (T x − T y), x − y .
Vì I − T là tốn tử đơn điệu, nên

(x − y) − (T x − T y), x − y ≥ 0.
Do đó

A(x) − A(y)

2

≤ A(x) − A(y), x − y − A(x) − A(y) 2 .

Suy ra

A(x) − A(y), x − y ≥

1
A(x) − A(y) 2 ,
2

1
-đơn điệu mạnh ngược trên C .
2
Khái niệm ánh xạ đơn điệu được trình bày trong Định nghĩa 1.2.1 cịn được

hay A = I − T là

mô tả dựa trên đồ thị như sau.
Định nghĩa 1.2.3. (xem [2]) Ánh xạ đa trị A : H → 2H được gọi là đơn điệu
nếu

f − g, x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ H, f ∈ A(x), g ∈ A(y).

Đồ thị Gr(A) của ánh xạ A được định nghĩa như sau:
Gr(A) = {(x, y) :

y = A(x) ∀x ∈ H}.


13

Ánh xạ A : H → 2H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị Gr(A) của A
không bị chứa thực sự trong đồ thị của bất kỳ một ánh xạ đơn điệu nào khác.
Chú ý 1.2.4. Ánh xạ A là đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với (x, f ) ∈ H × H,

f − g, x − y ≥ 0 với (y, g) ∈ Gr(A) suy ra f ∈ A(x).
Ví dụ 1.2.5. Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó A = I − T
là một tốn tử đơn điệu cực đại, ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên H.
Thật vậy, với mọi x, y ∈ H, ta có

A(x) − A(y), x − y ≥ x − y

2

− x−y

2

= 0,

suy ra A là một toán tử đơn điệu.
Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A. Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xét
phương trình

λA(x) + x = y.

(1.7)

Phương trình trên tương đương với

x=

1
(λT x + y).
1+λ

(1.8)

Xét ánh xạ f : H −→ H bởi

f (x) =

1
(λT x + y),
1+λ

λ
∈ (0, 1). Do đó,
1+λ
theo ngun lý ánh xạ co Banach, phương trình (1.8) có duy nhất nghiệm. Suy

với mọi x ∈ H. Dễ thấy, f là ánh xạ co với hệ số co là

ra, phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm. Vậy A là một toán tử đơn điệu cực
đại.
1.2.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H,

F : Ω → H là một ánh xạ đi từ Ω vào H, trong đó Ω là một tập con của H
chứa C . Bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F và tập ràng buộc

C , ký hiệu là VIP(F, C), được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.9)


14

Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) với ánh xạ giá F
và tập ràng buộc C được ký hiệu là ΩF C .
Trong trường hợp ánh xạ giá F có dạng F (x) = x − x+ với mọi x ∈ C ,

x+ ∈ H cho trước, theo Bổ đề 1.1.6
F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C

⇔

⇔ x+ − x∗ , x − x∗ ≤ 0 ∀x ∈ C

x∗ − x+ , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C
⇔

x∗ = PC (x+ ).

Do đó, ΩF C = {PC (x+ )}.
Cho F là ánh xạ β -đơn điệu mạnh, L-liên tục Lipschitz từ C vào H và nón

NC x xác định bởi
NC x = y ∈ H :

y, x − u ≥ 0 ∀u ∈ C .

Ta ký hiệu

F x + NC x,
Ax =
∅,

nếu x ∈ C
nếu x ∈
/ C.

Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại và 0 ∈ Ax nếu và chỉ nếu x ∈ ΩAC .
1.2.3

Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán
điểm bất động

Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H và
ánh xạ T : C → C. Ta xét ánh xạ F : C → H được cho bởi

F (x) = x − T (x) ∀x ∈ C.
Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) trùng với bài tốn tìm
điểm bất động Fix(T ) của ánh xạ T. Thật vậy, nếu x∗ là điểm bất động của
ánh xạ T thì T (x∗ ) = x∗ , khi đó F (x∗ ) = 0 và bất đẳng thức biến phân (1.9)
xảy ra dấu bằng. Do đó x∗ ∈ ΩF C .
Ngược lại, nếu x∗ ∈ ΩF C thì

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
Chọn x = T (x∗ ), ta được

x∗ − T (x∗ ), T (x∗ ) − x∗ ≥ 0 hay − T (x∗ ) − x∗

2

≥ 0.

15

Mặt khác, ta ln có T (x∗ )−x∗

2

≥ 0. Do đó T (x∗ ) = x∗ . Tức là x∗ ∈ Fix(T ).

Bổ đề 1.2.6 (xem [3]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng
gian Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C. Cho x∗ ∈ C và λ > 0. Khi đó,

x∗ ∈ ΩF C khi và chỉ khi x∗ ∈ Fix(T ), ở đây T (x) = PC (x − λF (x)).
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.6, ta có

x∗ ∈ Fix(T )

⇔

x∗ = T (x∗ )

⇔

x∗ = PC (x∗ − λF (x∗ ))

⇔

x∗ − λF (x∗ ) − x∗ , z − x∗ ≤ 0 ∀z ∈ C

⇔

λF (x∗ ), z − x∗ ≥ 0 ∀z ∈ C

⇔

F (x∗ ), z − x∗ ≥ 0 ∀z ∈ C
x∗ ∈ ΩF C .

⇔

Nếu ánh xạ giá F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C thì bài tốn
VIP(F, C) có nghiệm duy nhất.
Định lý 1.2.7 (xem [3]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng
gian Hilbert thực H và ánh xạ F : C → H. Nếu F là ánh xạ β -đơn điệu mạnh
và L-liên tục Lipschitz trên C thì bài tốn VIP(F, C) có nghiệm duy nhất.
2β
Chứng minh. Chọn 0 < µ < 2 và xét ánh xạ T : C → C cho bởi
L
T (x) = PC (x − µF (x)) với mọi x ∈ C.
Khi đó, với mọi x, y ∈ C ta có

T (x) − T (y)

2

= PC (x − µF (x)) − PC (y − µF (y))
≤ x − µF (x) − (y − µF (y))
= x−y

2

2

2

− 2µ F (x) − F (y), x − y + µ2 F (x) − F (y) 2 .

Sử dụng tính β -đơn điệu mạnh trên C và L-liên tục Lipschitz trên C của F ta
nhận được

T (x) − T (y)

2

≤ x−y

2

− 2µβ x − y

2

+ µ2 L2 x − y

= (1 − 2µβ + µ2 L2 ) x − y 2 .

2


16

Do đó

1 − µ(2β − µL2 ) x − y = ρ x − y .

T (x) − T (y) ≤
Trong đó

1 − µ(2β − µL2 ) ∈ [0, 1).

ρ=

Vậy T : C → C là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại
duy nhất phần tử x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ . Do đó theo Bổ đề 1.2.6 ta có

x∗ ∈ ΩF C .

Bổ đề 1.2.8. (xem [3]) Cho ánh xạ F : C → H là η -đơn điệu mạnh ngược trên

C và µ ∈ (0, 2η]. Xét ánh xạ T : C → C được cho bởi
T (x) = PC (x − µF (x)) ∀x ∈ C.
Khi đó ánh xạ T không giãn và Fix(T ) = ΩF C .
Chứng minh. Từ tính chất η -đơn điệu mạnh ngược trên C của ánh xạ giá F
và µ ∈ (0, 2η], với mọi x, y ∈ C ta có

T (x) − T (y)

2

= PC (x − µF (x)) − PC (y − µF (y))
≤ x − µF (x) − (y − µF (y))

= x − y − µ(F (x) − F (y))

2

2

2

= x−y

2

− 2µ F (x) − F (y), x − y + µ2 F (x) − F (y)

≤ x−y

2

− 2µη F (x) − F (y)

≤ x−y

2

+ µ(µ − 2η) F (x) − F (y)

2

+ µ2 F (x) − F (y)
2

≤ x − y 2.
Do đó

T (x) − T (y) ≤ x − y .
Vậy T là ánh xạ không giãn. Từ Bổ đề 1.2.6 ta suy ra Fix(T ) = ΩF C .

2

2


17

Chương 2

Phương pháp chiếu giải bài toán bất
đẳng thức biến phân với ràng buộc
điểm bất động tách
Chương này trình bày một phương pháp lặp giải bài toán bất đẳng thức
biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách trong
không gian Hilbert thực. Mục 2.1 giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân
với ràng buộc điểm bất động tách và trình bày một phương pháp chiếu giải bài
tốn này. Mục 2.2 trình bày định lý hội tụ mạnh của phương pháp nêu trong
Mục 2.1, trình bày một số áp dụng vùng một ví dụ số minh họa. Nội dung của
chương được viết trên cơ sở bài báo [3].

2.1
2.1.1

Bài toán và phương pháp
Bài toán

Cho C và Q lần lượt là các tập con lồi đóng khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 , H2 . Giả sử F : C → H1 là ánh xạ đơn điệu mạnh,

A : H1 → H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn, T : C → C, S : Q → Q là các
ánh xạ không giãn. Xét bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm
bất động tách VIP(F, Ω2 )
Tìm x∗ ∈ Ω2 sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ Ω2 ,

(VIP)


18

trong đó Ω2 là tập nghiệm của bài tốn điểm bất động tách (SFPP) (đã được
đề cập ở Chương 1)
Tìm x∗ ∈ Fix(T ) sao cho Ax∗ ∈ Fix(S),

(SFPP)

với Fix(T ), Fix(S) lần lượt là tập điểm bất động của ánh xạ T và S.
Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách VIP(F, Ω2 )
chứa đựng nhiều bài toán quen thuộc đã được xét ở [7, 8, 13, 14]. Trong trường
hợp F là ánh xạ đồng nhất I trên C còn T và S lần lượt là các ánh xạ đồng
nhất trên C và Q thì VIP(F, Ω2 ) trở thành bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ
nhất
Tìm phần tử x∗ ∈ Ω2 sao cho x∗ ≤ x

∀x ∈ Ω2

(2.1)

của bài toán chấp nhận tách (SFP) (xem [7]).
Khi S là ánh xạ đồng nhất trên Q thì VIP(Ω, F ) trở thành bài tốn bất
đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập điểm bất động của ánh xạ không
giãn T (xem [14]). Bài toán điểm bất động tách và bài toán bất đẳng thức biến
phân với ràng buộc điểm bất động tách trong những năm gần đây được quan
tâm và nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học (xem [3, 5, 9, 10]).
Ta cần các bổ đề sau để chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp.
Bổ đề 2.1.1 (xem [12]). Cho {an } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn
điều kiện

an+1 ≤ (1 − αn )an + αn ξn

∀n ≥ 0,

trong đó {αn }, {ξn } là hai dãy số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện
∞

(i) {αn } ⊂ (0, 1) và

αn = ∞.
k=1

(ii) lim sup ξn ≤ 0.
n→∞

Khi đó lim an = 0.

n−→∞

Bổ đề 2.1.2 (xem [14]). Cho F : C → H là ánh xạ β -đơn điệu mạnh trên C
2β
và L-liên tục Lipschitz trên C, λ ∈ (0, 1) và µ ∈ 0, 2 . Khi đó
L
x − λµF (x) − [y − λµF (y)] ≤ (1 − λτ ) x − y
∀x, y ∈ C,


19

trong đó

τ =1−

1 − µ (2β − µL2 ) ∈ (0, 1].

Bổ đề 2.1.3 (xem [11]). Cho {xk }, {y k } là hai dãy bị chặn trong không gian
Hilbert thực H, {αk } là một dãy số nằm trong đoạn [0, 1] thỏa mãn

0 < lim inf αk ≤ lim sup αk < 1
k→∞

k→∞

và

lim sup

y k+1 − y k − xk+1 − xk

≤ 0.

k→∞
k

Khi đó lim y k − x

= 0.

k→∞

Bổ đề 2.1.4 (Opial). Cho dãy {xk } ⊂ H thỏa mãn xk

x, khi đó ta có bất

đẳng thức

lim inf xk − x < lim inf xk − y
k→∞

k→∞

với mọi y ∈ H, y = x.
2.1.2

Phương pháp

Để giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách

(VIP)–(SFPP) ta xây dựng dãy lặp sau đây.
Phương pháp 2.1.5 (xem [3]). Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy {xk }, {uk }, {y k }
và {z k } như sau


uk = PQ Axk



 y k = P xk + δA∗ Suk − Axk
C

z k = PC y k − λk µF y k



 k+1
x
= αk xk + (1 − αk ) T z k
∀k ≥ 0,

(2.2)

trong đó δ và µ thỏa mãn điều kiện
2β
1
,
0
<
µ

<
,
(C1) δ ∈ 0,
A 2+1
L2
các dãy số {λk } và {αk } nằm trong khoảng (0, 1) và thỏa mãn các điều kiện:
(C2) lim λk = 0,
k→∞


20
∞

λk (1 − αk ) = ∞,

(C3)
k=0

(C4) lim αk = α ∈ (0, 1).
k→∞

2.2
2.2.1

Sự hội tụ
Định lý hội tụ

Trong mục này chúng ta phát biểu và chứng minh định lý hội tụ cho bài toán
bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách (VIP)–(SFPP). Kỹ
thuật chính để chứng minh là sự kết hợp giữa phương pháp chiếu để giải bài

toán bất đẳng thức biến phân và kỹ thuật lặp Krasnoselskii–Mann để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn.
Định lý 2.2.1 (xem [3]). Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng
trong các không gian Hilbert thực H1 , H2 , A : H1 → H2 là tốn tử tuyến tính
bị chặn với toán tử liên hợp A∗ . Giả sử ánh xạ F : C → H1 là β -đơn điệu
mạnh và L-liên tục Lipschitz trên C , T : C → C , S : Q → Q là các ánh xạ
không giãn. Với x0 ∈ C bất kỳ, xét các dãy {xk }, {uk }, {y k } và {z k } xác định
bởi (2.2) trong đó δ và µ thỏa mãn điều kiện (C1), {λk } và {αk } là hai dãy
số nằm trong khoảng (0, 1) và thỏa mãn các điều kiện (C2)–(C4). Giả sử tập
nghiệm Ω2 của bài toán điểm bất động tách (SFPP) khác rỗng. Khi đó dãy {xk }
hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán VIP(F, Ω2 ).
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh bài toán bất đẳng thức biến phân
VIP(F, Ω2 ) có nghiệm duy nhất. Thật vậy, vì Ω2 = ∅ nên Fix(T ) = ∅ và

Fix(S) = ∅. Theo Bổ đề 1.1.13 thì Fix(T ), Fix(S) cũng là các tập lồi đóng, do
đó

Ω2 = x∗ ∈ Fix(T ) : Ax∗ ∈ Fix(S) ⊂ C
cũng là tập lồi đóng. Vì F là β -đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên C
nên theo Định lý 1.2.7 bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, Ω2 ) có nghiệm
duy nhất x∗ .


21

Phép chứng minh định lý được chia ra thành các bước sau:
Bước 1: Với mọi k ∈ N, ta có

y k − x∗

2

≤ xk − x∗

2

−δ 1−δ A

− δ uk − Axk

2

2

Suk − Axk

2

.

(2.3)

Vì x∗ ∈ ΩF Ω2 nên x∗ ∈ Ω2 , tức là T (x∗ ) = x∗ và S(Ax∗ ) = Ax∗ . Theo Bổ đề
1.1.6, ta có

uk − Ax∗

2

2

= PQ Axk − PQ (Ax∗ )

≤ PQ Axk − PQ (Ax∗ ) , Axk − Ax∗
= uk − Ax∗ , Axk − Ax∗
1
2
uk − Ax∗ + Axk − Ax∗
=
2

2

− uk − Axk

2

.

Hay

uk − Ax∗

2

2

≤ Axk − Ax∗

− uk − Axk

2

.

(2.4)

Vì S là ánh xạ khơng giãn và S(Ax∗ ) = Ax∗ nên từ (2.4), ta có
2

Suk − Ax∗

= Suk − S (Ax∗ )
≤ uk − Ax∗

2

2

≤ Axk − Ax∗

2

− uk − Axk

2

.

Do đó

Suk − Ax∗

2

− Axk − Ax∗

2

≤ − uk − Axk

2

.

(2.5)

Từ (2.5), ta nhận được đánh giá sau

A xk − x∗ , Suk − Axk
= A xk − x∗ + Suk − Axk − Suk − Axk , Suk − Axk
2

= Suk − Ax∗ , Suk − Axk − Suk − Axk
1
2
2
2
2
− Suk − Axk

Suk − Ax∗ + Suk − Axk − Axk − Ax∗
=
2
1
2
2
2
=
Suk − Ax∗ − Axk − Ax∗
− Suk − Axk
2
1
1
2
2
≤ − uk − Axk −
Suk − Axk .
(2.6)
2
2