Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch lồi

in = −4✳

❍➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥

❍➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ ❝➡ ❜➯♥✱ ❤÷✉ Ý❝❤ ✈➭ r✃t ❝ã t➳❝ ❞ơ♥❣
tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✳
➜Ĩ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✱ t❛ ❝➬♥ ♥❤í ❧➵✐ ♠ét sè ❦Ý
❤✐Ö✉✳ ❱✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♠ét✱ ❝✃♣ ❤❛✐✱ ❝✃♣ ❜❛ ❝đ❛ ❤➭♠

F : Rn −→ R t➵✐ ♠ét ➤✐Ĩ♠

DF (x), D2 F (x), D3 F (x)✳

❈➳❝ ✈✐ ♣❤➞♥ ♥➭② ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤

x

➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐✿

①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ✈➭ t❛ ❝ã✿

DF (x) : Rn −→ R : h1 −→ DF (x)[h1 ].
D2 F (x) : Rn × Rn −→ R : (h1 , h2 ) −→ D2 F (x)[h1 , h2 ].

✸✾

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

D3 F (x) : Rn × Rn × Rn −→ R : (h1 , h2 , h3 ) −→ D3 F (x)[h1 , h2 , h3 ].
❑❤✐ ♠ét tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣

·, ·

➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ tr♦♥❣

Rn ✱ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♠ét ✈➭ ❝✃♣ ❤❛✐

❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜ë✐ ♠ét ✈❡❝t➡ ✈➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈❡❝t➡ ●r❛❞✐❡♥
✈➭ ♠❛ tr❐♥ ❍❡ss✐❛♥ ❝đ❛
✈➭

F

t➵✐

x✳ ❈❤ó♥❣ sÏ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❜ë✐ g(x)

H(x)✳ ❚❛ ❝ã✿
DF (x)[h] = g(x), h
D2 F (x)[h1 , h2 ] = h1 , H(x)h2 .

❘â r➭♥❣ ✈❡❝t➡ ●r❛❞✐❡♥ ✈➭ ♠❛ tr❐♥ ❍❡ss✐❛♥ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣
sư ❞ơ♥❣ tr➟♥

Rn ✳

❉♦ ➤ã ♠ơ❝ t✐➟✉ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣

◆❡✇t♦♥✱ ♥ã ❝ị♥❣ ❧➭ t❤✉❐♥ t✐Ư♥ ➤Ĩ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ t➵✐
✈➠ ❤➢í♥❣ ♥é✐ t➵✐

·, ·

x✳

n(x) = −H(x)−1 g(x)

✈➭

u, v

❚Ý❝❤ ớ ộ t ợ ị
sử r

H(x)

x ớ ◆❡✇t♦♥ n(x) ✈➭ tÝ❝❤

❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✈ã✐ ♠ä✐

x

= u, H(x)v .

H(x) ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳ ●✐➯
x tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ F ✳

❈❤✉➮♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ột ộ t ợ ị

ở

a

x

=

a, a

x ✳ ◆Õ✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❜ë✐

●r❛❞✐❡♥ ✈➭ ❍❡ss✐❛♥ ❝đ❛
♠ä✐

F

➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ♥é✐ t➵✐

·, ·

gx

✈➭

Hx

❧➭

x ✱ t❛ ❝ã ✈í✐

y

gx (y) = H(x)−1 g(y), Hx (y) = H(x)−1 H(y), n(y) = −Hx (y)−1 gx (y).
(3.16)
❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ư✉ Bx (y, r) ❧➭ ➤➢ê♥❣ trß♥ ♠ë ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r ✱ t➞♠ y tr♦♥❣ ➤ã
❜➳♥ ❦Ý♥❤ ❧➭ ợ ố ớ
ị ĩ



C

.

x

t ồ ủ

Rn

ớ tr rỗ

F : intC R ♠ét ❤➭♠ ❝đ❛ ❧í♣ C 2 ♠➭ ❝ã ❍❡ss✐❛♥ ❧➭ ị
tr intC F ợ ọ ồ t❤✉❐♥ ♥Õ✉ ∀x ∈ intC ✱ t❛ ❝ã Bx (x, 1) ⊆ intC,
❝❤♦

✈➭ ♥Õ✉

y ∈ Bx (x, 1) t❛ ❝ã✿

(1 − y − x x )2 D2 F (x)[h, h] ≤ D2 F (y)[h, h]

✹✵

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1
D2 F (x)[h, h], ∀h.
2
(1 − y − x x )
❍ä ❝➳❝ ❤➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ SC ✳
≤

➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✸✳✶✼✮ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❍❡ss✐❛♥ t➵✐
❍❡ss✐❛♥ t➵✐ ➤✐Ĩ♠

y

❜✃t ❦× ❝đ❛

t❤✉❐♥ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

F

Bx (x, 1)✳

x

❑❤✐

(3.17)

❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ ➤Ĩ ➤➳♥❤ ❣✐➳

F

❧➭ ❝đ❛ ❧í♣

C3

t❤×

F

❧➭ ➤å♥❣

❧➭ ❤➭♠ ♣❤➵t t❤á❛ ♠➲♥✿

D3 F (x)[h, h, h] ≤ 2(D2 F (x)[h, h])3/2 ,

(3.18)

x ∈ intC ✈➭ h ∈ Rn ✳
n
❈❤♦ x ∈ intC ✈➭ h ∈ R ✈➭ ❝❤♦ ❤➭♠ ♠ét ❜✐Õ♥ Fx,h : R −→ R ①➳❝ ➤Þ♥❤
❜ë✐ Fx,h (t) = F (x + th). ❚❛ ❝ã
F ”x,h (t) = D2 F (x + th)[h, h] ✈➭ F ”x,h (t) = D3 F (x + th)[h, h, h].

✈í✐ ♠ä✐

F ”x,h (t) ≤ 2F ”x,h (t)3/2 , ∀x + th ∈
intC ✈➭ h ∈ Rn ✳ ❉♦ ➤ã✱ ❦❤✐ F ❧➭ ❝đ❛ ❧í♣ C 3 ✱ t❤× F ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ tr➟♥ intC
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ F ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❝ï♥❣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ intC ✳

➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✸✳✶✽✮ ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❧➵✐✿

F1 ✈➭ F2 ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ tr➟♥ intC1 ✈➭ intC2 ✱
✈➭ ♥Õ✉ intC1 ∩ intC2 = ∅ t❤× F1 + F2 ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ tr➟♥ intC1 ∩ intC2 ✳
m
m
n
m
◆Õ✉ F ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ tr➟♥ intC ⊆ R , b ∈ R
✈➭ A : R −→ R
❧➭

▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳

◆Õ✉

x −→ F (Ax − b)

t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ t❤×

❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✱ ♥Õ✉ ♥❤➢ ♠✐Ò♥

{x|Ax − b ∈ intC} ❧➭ rỗ

C 3 f1 f2 ồ t
ớ ỗ x tộ ề ị ủ f1 + f2 ✱ t❛ ❝ã f ”1 (x) ≥ 0, f ”2 (x) ≥ 0
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ●✐➯ sö

F

❧➭ t❤✉é❝ ❧í♣

✈➭

|f1 (x) + f2 (x)| ≤ 2(f1 (x)3/2 + f2 (x)3/2 ) ≤ 2(f1 (x) + f2 (x))3/2 .
(u3/2 +v 3/2 )2/3 ≤ u+v ✱ ✈í✐ u, v ≥ 0✳ ➜Ĩ
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❜✃t ❜✐Õ♥ ❛❢❢✐♥❡ ❝đ❛ sù ➤å♥❣ t❤✉❐♥✱ t❛ ①Ðt f˜(y) = f (ay + b)✱
tr♦♥❣ ➤ã a = 0✳ ❑❤✐ ➤ã f˜ ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ f ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳ ❚❛
❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ t❛ sư ❞ơ♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

t❤✃② ➤✐Ò✉ ➤ã ❦❤✐ t❛ tÝ♥❤

f˜ (y) = a2 f (x),

f˜ (y) = a3 f (x),

✹✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




tr♦♥❣ ➤ã

x = ay + b✱ ✈➭ t❛ s✉② r❛ r➺♥❣

˜ (y)3/2 ⇔ |a3 f (x)| ≤ 2(a2 f (x))3/2 ⇔ |f (x)| ≤ 2f (x)3/2 .
|f˜ (y)| ≤ 2f˜
❱Ý ❞ơ ✸✳✸✳

❍➭♠

❍➭♠ ❝❤➽♥ ❧♦❣❛✳

f : R++ −→ R ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ f (x) = − log x ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳ ❚❤❐t

✈❐②✱ sư ❞ơ♥❣

1
2
,
f
”
(x)
=
−
x2
x3

f ”(x) =
t❛ t❤✃② r➺♥❣✿

|f ” (x)|

2/x3
=
=1
2f ”(x)3/2
2(1/x2 )3/2
m
❍➭♠

f (x) =

log(bi − aTi x)✱

✈í✐

intC = {x|aTi x < bi , i = 1, ..., m}



i=1
ồ t ỗ sè ❤➵♥❣
♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❛❢✐♥

−log(bi − aTi x) ❧➭ sù ❤ỵ♣ t❤➭♥❤ ❝đ❛ −logy ✈í✐
y = bi − aTi x✱ ✈➭ ❞♦ ➤ã ♥ã ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳ ❙✉② r❛ tỉ♥❣

❝ị♥❣ ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳
❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳

❈❤♦

F : intC −→ R

s❛♦ ❝❤♦

Bx (x, 1) ⊆ intC, ∀x ∈ intC ✳

❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿

F

✭✐✮
✭✐✐✮

❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳

Hx (y) x , Hx (y)−1

I − Hx (y) x , I −
Bx (x, 1).

✭✐✐✐✮

▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳

n(x)

x

❈❤♦

F

1
(1− y−x
Hx (y)−1 x

x

≤

, ∀x ∈ intC, ∀y ∈ Bx (x, 1)
1
≤ (1− y−x
2 − 1, ∀x ∈ intC, ∀y ∈
x)
2
x)

❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ✈➭ ❝❤♦

x+ = x + n(x). ◆Õ✉

< 1 t❤×
n(x+ )

x+

≤(

n(x) x 2

).
1 − n(x) x

n(x) x < 1✳ ❉♦ ➤ã✱t❤❡♦ ✭✸✳✶✻✮ t❛ ❝ã gx (x+ ) =
H(x)−1 g(x+ ), Hx (x+ ) = H(x)−1 H(x+ ), ✈➭ n(x+ ) = −Hx (x+ )−1 gx (x+ ),
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ●✐➯ sö

t❛ ❝ã

n(x+ )

= Hx (x+ )−1 gx (x+ ) 2
= Hx (x+ )−1 gx (x+ ), H(x+ )Hx (x+ )−1 gx (x+ )
2
x+

✹✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




= Hx (x+ )−1 gx (x+ ), gx (x+ )
≤ Hx (x+ )−1 x gx (x+ ) 2x ✳

x ✭✈×

H(x+ ) = H(x)Hx (x+ )✮

❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✭✸✳✶✮ t❛ ❝ã

Hx (x+ )−1

x

≤

❚❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝

n(x+ )

2
x+

≤

1
,
(1 − n(x) x )2

gx (x+ ) 2x
.
(1 − n(x) x )2

(3.19)

gx (x) = −n(x)✱ t❛ ❝ã
gx (x+ ) x = gx (x+ ) − gx (x) − n(x) x
= [Hx (x + tn(x)) − I]n(x)dt x

≤ n(x) x I − Hx (x + tn(x)) x dt

❉♦ ➤ã

1
n(x) x )2 − 1]dt t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✸✳✶
n(x) x
n(x)) 2x
x [ 1− n(x) x ] = 1− n(x) x .

≤ n(x) x [ (1−t
= n(x)

❑❤✐ ➤ã từ t t ợ

n(x+ )
ị ĩ

ột

t ♥Õ✉

F ∈ SC

x

≤(

n(x) x 2
).

1 − n(x) x

F : intC −→ R
✈➭

vF := sup

gx (x)

x∈intC
❚❤❛♠ sè

vF

➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❝❤➽♥ ồ

ợ ọ trị ứ t ủ

2
x

< +

F SCB

(3.20)
ể tị ọ ữ

số

ó

gx (x)

2
x

= n(x)

2
x

= g(x)T H(x)−1 H(x)H(x)−1 g(x)

= g(x)T H(x)−1 g(x)
▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳

●✐➯ sư

(3.21)

F ∈ SCB ✳ ◆Õ✉ x, y ∈ intC

t❤×

g(x), y − x < vF

✹✸

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

❱Ý ❞ơ ✸✳✹✳

❍➭♠ ❝❤➽♥ ❧♦❣❛

❈❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt r➺♥❣ ❤➭♠

n

F (x) = −

logxi

❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ tr➟♥

i=1
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❝❤➽♥✳ ❚❤❐t sù✱ ●r❛❞✐❡♥
tä❛ ➤é t❤ø ✐ ❧➭

−1/xi

tr➟♥ ➤➢ê♥❣ ❝❤Ð♦ ❧➭

✈➭ ❍❡ss✐❛♥

H(x)

Rn++ ✳ ◆ã

g(x) ❧➭ ♠ét ✈❡❝t➡ ✈í✐

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝❤Ð♦ ✈í✐ ♣❤➬♥ tư t❤ø ✐

1/x2i ✳ ❉♦ ➤ã

gx (x)

2
x

= g(x)T H(x)−1 g(x) = n, ∀x ∈ Rn++

vF = n✳ ◆ã ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ♥Õ✉ F1 , F2 ∈ SCB
intC1 ∩ intC2 = ∅ t❤× F = F1 + F2 ∈ SCB ✈➭ vF ≤ vF1 + vF2 ✳

❱× ✈❐②

✹✹

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



✈➭


❑Õt ❧✉❐♥

▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ị s❛✉✿

✶✳ ●✐í✐ t❤✐Ư✉ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ✈Ị ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✳ ➜ã ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱
t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✱ ❤➭♠ ❧å✐✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐
✈➭ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ♠✐♥❤ ❤ä❛✳

✷✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✳ ➜ã ❧➭ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ tè✐ ➢✉ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tè✐
➢✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✳

✸✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✱ ❝➳❝ ✈Ý
❞ơ ♠✐♥❤ ❤ä❛✱ tÝ♥❤ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ✈➭ t❤✉❐t t♦➳♥ ❣è❝✳

▼➷❝ ❞ï ó ề ố ỗ ự s ❤➻♥ ➤Ị t➭✐ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ
tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ ❤➵♥ ❝❤Õ✱ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❚➳❝ ❣✐➯ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ý ❦✐Õ♥
➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝đ❛ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳
❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ✦

✹✺

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦
❚➭✐ ❧✐Ư✉ t✐Õ♥❣ ❱✐Ưt

[1] ▲➟ ❉ị♥❣ ▼➢✉ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❱➝♥ ❍✐Ị♥✱ ◆❤❐♣ ♠➠♥ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣✱
◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤ä❝ tù ♥❤✐➟♥ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ư ✭ sÏ r❛✮✳

[2] ❍✉ú♥❤ ❚❤Õ P❤ï♥❣✱ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❞ơ❝ ✭ sÏ r❛✮✳
[3] ❚r➬♥ ❱ị ❚❤✐Ư✉ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤✉ ❚❤ñ②✱ ◆❤❐♣ ♠➠♥ tè✐ ➢✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥✱ ◆❳❇
➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐ ✭✷✵✶✶✮✳

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t✐Õ♥❣ ❆♥❤

[4] ❙t❡♣❤♥ ❇♦②❞ ❛♥❞ ▲✐❡✈❡♥ ❱❛♥❞❡♥❜❡r❣❤❡✱ ❈♦♥✈❡① ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ❈❛♠✲
❇r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss ✭✷✵✵✹✮✳

[5] ❏❡❛♥✲ ❏❛❝q✉❡s✳ ❙tr♦❞✐♦t✱ ■♥t❡r✐♦r✲ P♦✐♥t ▼❡t❤♦❞s ✐♥ ❈♦♥✈❡① ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱
◆❛♠✉r ❯♥✐✈❡rs✐t② ✭✷✵✵✹✮✳

✹✻

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên