phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng giả đơn điệu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (366.56 KB, 62 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
DƯƠNG HỒNG PHÚC
PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2010
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
DƯƠNG HỒNG PHÚC
PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM NGỌC ANH
Thái Nguyên - Năm 2010
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn iii
Một số kí hiệu và chữ viết tắt iv
Lời nói đầu 1
1 Bài toán cân bằng 2
1.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Tập lồi và các phép toán về tập lồi . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Phương pháp hàm phạt điểm trong 15
2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong ([2]) . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Ý tưởng chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Phương pháp hàm phạt điểm trong . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Hàm toàn phương logarit ([3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Mô tả thuật toán và sự hội tụ ([3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Thuật toán bỏ qua điều kiện Lipschitz ([3]) . . . . . . . . . . . . . 30
3 Một số ứng dụng 36
3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân ([3]) . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
3.2 Thuật toán điểm gần kề giải bài toán (MV I) . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Đề xuất thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (MV I) . . . . . 50
Kết luận 54
Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn 54
Tài liệu tham khảo 56
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy TS.
Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông), thầy đã trực tiếp
hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và viết

luận văn vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán-Tin, Phòng
Đào tạo khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán K2
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạo
điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đã
luôn khuyến khích và động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết
luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót và
hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 11 - 2010
Tác giả
Dương Hồng Phúc
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iv
Một số kí hiệu và chữ viết tắt
R
n
không gian Euclide n-chiều
|β| trị tuyệt đối của số thực β
x := y x được định nghĩa bằng y
∀x với mọi x
∃x tồn tại x
 x  chuẩn của véc tơ x
x, y tích vô hướng của hai véc tơ x, y
A ⊂ B tập A là tập con thực sự của tập B
A ⊆ B tập A là tập con của tập B
A ∪ B A hợp với B

A ∩ B A giao với B
A × B tích Đề-các của hai tập A và B
argmin{f(x) | x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A
x
k
→ x dãy {x
k
} hội tụ mạnh tới x
V IP bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị
MV I bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị
EP bài toán cân bằng
t.ư. tương ứng
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Lời nói đầu
Bài toán cân bằng, viết tắt là (EP), là bài toán tổng quát hóa của nhiều bài
toán khác nhau như: Bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài
toán bù phi tuyến, bài toán Nash trong trò chơi hợp tác, · · · . Bài toán này có
rất nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế, viễn thông, vật lý, · · · .
Do vậy, bài toán cân bằng đang được rất nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu về
lý thuyết tồn tại nghiệm cũng như các thuật toán để giải nó.
Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng và trình bày phương
pháp hàm phạt điểm trong để giải bài toán (EP) với giả thiết hàm f giả đơn
điệu trên tập lồi đa diện C và một ứng dụng với bài toán bất đẳng thức biến
phân đa trị. Luận văn gồm mục lục, ba chương, phần kết luận và tài liệu tham
khảo.
Chương 1 có tiêu đề là "Bài toán cân bằng". Chương này sẽ nhắc lại các kiến

thức cơ bản nhất của tập lồi và hàm lồi, mà các kết quả này sẽ được sử dụng ở
các chương sau. Phần cuối của chương sẽ giới thiệu về bài toán cân bằng, một
số ví dụ và sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
Chương 2 gồm hai phần chính: Phần đầu trình bày phương pháp hàm phạt
điểm trong giải bài toán cân bằng bằng cách sử dụng hàm toàn phương logarit
kết hợp với điều kiện Lipschitz đã biết. Để tránh điều kiện Lipschitz, phần hai
trình bày phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng bằng cách
kết hợp hàm toàn phương logarit với kỹ thuật tìm kiếm theo tia.
Chương 3 là phần ứng dụng. Phần này trình bày một kết quả nghiên cứu
mới về bài toán bất đẳng thức biến phân và một số kết quả tính toán.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Chương 1
Bài toán cân bằng
1.1 Các kiến thức cơ bản
Giải tích lồi đóng một vài trò quan trọng trong việc nghiên cứu và xây dựng
các thuật toán giải bài toán cân bằng. Trong phần này, ta sẽ nhắc lại các kiến
thức cơ bản về giải tích lồi, trong đó các định lí, mệnh đề và hệ quả có thể không
được chứng minh.
Cho x = (x
1
, x
2
, · · · , x
n
)
T
và y = (y
1
, y

2
, · · · , y
n
)
T
là hai véc tơ trong R
n
, tích
vô hướng của x và y được xác định bởi
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
,
và kí hiệu ||x|| là chuẩn Euclide của x, nghĩa là ||x|| =

x, x.
Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong R
n
, khoảng cách từ x tới
tập C ⊆ R
n
, kí hiệu d(x, C), được xác định bởi
d(x, C) := inf{||y − x|| : y ∈ C}.
1.1.1 Tập lồi và các phép toán về tập lồi
Phần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi sẽ được sử dụng

trong các chương tiếp theo.
Định nghĩa 1.1. ([8]) Cho a, b ∈ R
n
.
(i) Tập hợp điểm {x := λa + (1 − λ)b : 0 ≤ λ ≤ 1} được gọi là đoạn nối hai
điểm a và b, kí hiệu là [a, b].
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
(ii) Tập con C ⊆ R
n
được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai
điểm bất kỳ của nó; nghĩa là, nếu λa + (1 − λ)b ∈ C ∀a, b ∈ C, λ ∈ [0, 1].
Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và phép lấy tổ
hợp tuyến tính (xem, [2]). Tức là, nếu A và B là hai tập lồi trong R
n
thì các tập
sau cũng là tập lồi:
(i) A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B},
(ii) αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B}.
Một tập C ⊂ R
n
được gọi là một tập lồi đa diện (xem, [8]) nếu nó là giao
của một họ hữu hạn các nửa không gian đóng. Nói cụ thể hơn, tập lồi đa diện
là tập nghiệm của một họ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính dạng
a
i
, x ≤ b
i
, i = 1, · · · , m (1.1)
hoặc dưới dạng ma trận

Ax ≤ b, (1.2)
trong đó A là ma trận cỡ m × n có các hàng a
i
và b ∈ R
m
.
Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn thành hai bất phương trình
tuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ phương trình
và bất phương trình tuyến tính dạng

a
i
, x = b
i
, i = 1, · · · , m
1
a
j
, x ≤ b
j
, j = m
1
+ 1, · · · , m.
(1.3)
Hạng của hệ bất phương trình tuyến tính (1.2) được định nghĩa là hạng của
ma trận A.
Định nghĩa 1.2. ([3]) Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong R
n
, và cho
f : C × C → R ∪ {+∞}. Song hàm f được gọi là

(i) đơn điệu mạnh trên C với hằng số τ > 0 nếu với mỗi x, y ∈ C, ta có
f(x, y) + f(y, x) ≤ −τ ||x − y||
2
.
(ii) đơn điệu chặt trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, x = y, ta có
f(x, y) + f(y, x) < 0.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
(iii) đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, ta có
f(x, y) + f(y, x) ≤ 0.
(iv) giả đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C, nếu
f(x, y) ≥ 0 kéo theo f(y, x) ≤ 0.
Từ định nghĩa trên ta có mối quan hệ sau: Nếu hàm f đơn điệu mạnh ⇒
f đơn điệu chặt ⇒ f đơn điệu ⇒ f giả đơn điệu. Trong trường hợp tổng quát,
chiều ngược lại có thể không đúng.
Ví dụ 1.1. Trong không gian R
2
xét hàm số
f : R
+
× R
+
−→ R
(x, y) −→ f(x, y) = −x
2
+ xy.
Khi đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số 0 < τ ≤ 1.
Thật vậy, vì f (y, x) = −y
2
+ xy, nên ta có

f(x, y) + f(y, x) = −(x − y)
2
≤ −τ(x − y)
2
,
do đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số 0 < τ ≤ 1.
Tính đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu dễ dàng kiểm tra bằng định nghĩa.
Định nghĩa 1.3. Tập con C ⊆ R
n
gọi là nón, nếu
λx ∈ C ∀x ∈ C, λ ≥ 0.
Tập C ∈ R
n
được gọi là nón lồi nếu nó vừa là nón vừa là tập lồi, tức là
λ
1
x + λ
2
y ∈ C ∀x, y ∈ C, λ
1
, λ
2
≥ 0.
Ví dụ 1.2. R
n
+
là một nón lồi.
Định nghĩa 1.4. ([3]) Cho C ⊆ R
n
là một tập lồi và x ∈ C, nón pháp tuyến

ngoài của C tại x
0
(hay còn gọi là nón lồi đóng), kí hiệu là N
C
(x
0
), được xác
định bởi công thức
N
C
(x
0
) := {p ∈ R
n
: p, x − x
0
 ≤ 0 ∀x ∈ C}.
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
1.1.2 Hàm lồi và dưới vi phân
Định nghĩa 1.5. ([8]) (i) Cho C ⊆ R
n
và f : C → [−∞, +∞]. Khi đó các tập
domf := {x ∈ C : f(x) < +∞}
epif := {(x, α) ∈ C × R : f(x) ≤ α}
được gọi là miền xác định và tập trên đồ thị của f(x).
Hàm f được gọi là chính thường trên C, nếu
domf = ∅ và f(x) > −∞ ∀x ∈ C.
(ii) Một hàm f : C → R ∪ {+∞} được gọi là lồi trên C nếu tập trên đồ thị
của nó là một tập lồi trong R

n
× R. Nghĩa là, ∀x
1
, x
2
∈ C và λ ∈ [0, 1], ta có
f

(1 − λ)x
1
+ λx
2

≤ (1 − λ)f(x
1
) + λf(x
2
)
khi vế phải được xác định. Nói cách khác, bất đẳng thức trên phải luôn được
thỏa mãn trừ trường hợp f(x
1
) = −f(x
2
) = ±∞.
(iii) Hàm f được gọi là lồi chặt trên C, nếu ∀x
1
, x
2
∈ C, x
1

= x
2
ta có
f((1 − λ)x
1
+ λx
2
) < (1 − λ)f(x
1
) + λf(x
2
).
(iv) Hàm f được gọi là lồi mạnh trên C, nếu tồn tại β > 0 sao cho
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − λ(1 − λ)β||x
1
− x
2
||
2
,
∀x
1

, x
2
∈ C, ∀λ ∈ [0, 1]. Số β > 0 được gọi là hằng số lồi mạnh của f.
Như thường lệ hàm λf, f + g và hàm max(f, g) được định nghĩa như sau:
(λf)(x) := λf(x),
(f + g)(x) := f(x) + g(x),
max(f, g)(x) := max{f(x), g(x)}.
Khi đó ta có định lí sau:
Định lí 1.1. ([2]) Cho f là hàm lồi trên tập lồi A và g là hàm lồi trên tập lồi
B. Khi đó, các hàm sau là hàm lồi trên tập lồi A ∩ B:
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
(i) λf + βg ∀λ, β ≥ 0,
(ii) max(f, g).
Kí hiệu f

(x
0
) hoặc ∇f(x
0
) là đạo hàm của f tại x
0
.
Định lí 1.2. ([2]) Cho f : C → R là một hàm khả vi trên một tập lồi, mở C.
Điều kiện cần và đủ để hàm f lồi trên C là
f(y) − f(x) ≥ ∇f(x), y − x,
với mọi x, y ∈ C. Nếu f khả vi hai lần thì điều kiện cần và đủ để f lồi trên C là
với mọi x ∈ C, ma trận Hessian H(x) của f tại x nửa xác định dương. Tức là
H(x)y, y ≥ 0 ∀x ∈ C, y ∈ R
n

.
Dưới vi phân là một khái niệm mở rộng của đạo hàm trong trường hợp hàm
lồi đang xét không khả vi.
Định nghĩa 1.6. ([8]) Cho f là một hàm chính thường trên R
n
. Một véc tơ
p ∈ R
n
được gọi là dưới gradient của f tại x
0
∈ C nếu
p, x − x
0
 + f(x
0
) ≤ f(x) ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x
0
được gọi là dưới vi phân của f tại x
0
và được kí hiệu là ∂f(x
0
), hay
∂f(x
0
) = {p ∈ R
n
: f(x) − f(x
0
) ≥ p, x − x

0
 ∀x ∈ C}.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân trên C nếu ∂f(x) = ∅ với mọi x ∈ C.
Ví dụ 1.3. ([8]) Cho C là một tập lồi khác rỗng của không gian R
n
. Xét hàm
chỉ trên C
δ
C
(x
0
) =

0 nếu x
0
∈ C,
+∞ nếu x
0
∈ C.
(1.4)
Khi đó
∂δ
C
(x
0
) = N
C
(x
0
) ∀x

0
∈ C.
Thật vậy, nếu x
0
∈ C thì δ
C
(x
0
) = 0 và
∂δ
C
(x
0
) = {p ∈ R
n
: δ
C
(x) ≥ p, x − x
0
 ∀x ∈ C}.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Hay
∂δ
C
(x
0
) = {p ∈ R
n
: 0 ≥ p, x − x

0
 ∀x ∈ C} = N
C
(x
0
).
Ví dụ 1.4. ([8]) Trong không gian R
n
cho hàm chuẩn f(x) := ||x||, x ∈ R
n
. Khi
đó,
∂f(x
0
) :=

{p ∈ R
n
: ||p|| = 1, p, x
0
 = ||x
0
||} nếu x
0
= 0,
¯
B(0, 1) nếu x
0
= 0,
trong đó

¯
B(0, 1) là hình cầu đóng, tâm tại 0 và bán kính là 1.
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Với x
0
= 0, ta chứng minh
∂f(x
0
) = {p ∈ R
n
: ||p|| = 1, p, x
0
 = ||x
0
||}.
Nếu p thỏa mãn
||p|| = 1, p, x
0
 = ||x
0
||,
thì
p, x
0
 ≤ ||p||.||x
0
|| = ||x
0
||.
Do đó

p, x
0
− x ≤ ||x
0
|| − ||x||,
hay p ∈ ∂f(x
0
).
Ngược lại, nếu p ∈ ∂f(x
0
), thì
−||x
0
|| = ||0|| − ||x
0
|| ≥ p, 0 − x
0
 = −p, x
0
,
và
||x
0
|| = ||2x
0
|| − ||x
0
|| ≥ p, 2x
0
− x

0
 = p, x
0
.
Từ hai bất đẳng thức trên ta suy ra
||x
0
|| = p, x
0
. (1.5)
Mặt khác
||λy + x
0
|| − ||x
0
|| ≥ p, λy + x
0
− x
0
 = p, λy ∀λ > 0, y ∈ R
n
.
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Suy ra
||y +
x
0
λ
|| −

1
λ
||x
0
|| ≥ p, y.
Cho λ → ∞, ta nhận được
||y|| ≥ p, y ∀y ∈ R
n
.
Do vậy ||p|| ≤ 1.
Hơn nữa, nếu ||p|| < 1 thì với mọi y ∈ R
n
, ||y|| = 1 ta có |p, y| < 1. Khi đó,
thay y =
x
0
||x
0
||
ta có
|p, y| = |p,
x
0
||x
0
||
| < 1.
Do đó
p, x
0

 < ||x
0
||.
Điều này mâu thuẫn với (1.5). Vậy ||p|| = 1.
Trường hợp 2. Với x
0
= 0, ta có
∂f(x
0
) = {p ∈ R
n
: p, x ≤ ||x|| ∀x}
= {p ∈ R
n
: ||p|| ≤ 1} =
¯
B(0, 1).
Nói chung tập ∂f(x
0
) gồm nhiều điểm. Trong trường hợp ∂f(x
0
) chỉ gồm duy
nhất một điểm, ta nói rằng f khả vi tại x
0
.
Mệnh đề 1.1. ([8]) Cho f
i
, i = 1, · · · , m là các hàm lồi chính thường trên R
n
.

Khi đó, với mọi x ∈ R
n
ta có
∂(
m

i=1
f
i
(x)) ⊇
m

i=1
∂f
i
(x).
Nếu tồn tại một điểm a ∈ ∩
n
i=1
domf
i
, tại điểm đó mọi hàm f
i
, có thể trừ ra một
hàm, liên tục, thì bao hàm trên sẽ xảy ra dấu bằng với mọi x ∈ R
n
.
Cho f : R → (∞, +∞) là một hàm bất kỳ (không nhất thiết lồi) và C ⊂ R
n
là một tập khác rỗng tùy ý.

Định nghĩa 1.7. ([8]) Một điểm x
0
∈ C ∩ domf được gọi là cực tiểu địa phương
của f(x) trên C, nếu tồn tại lân cận U(x
0
) của x
0
, sao cho −∞ < f(x
0
) ≤
f(x) ∀x ∈ C ∩ U(x
0
). Điểm x
0
được gọi là cực tiểu toàn cục của f(x) trên C nếu
−∞ < f(x
0
) ≤ f(x) ∀x ∈ C.
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định lí 1.3. ([8]) Cho C là một tập lồi khác rỗng trong R
n
và f : R
n
→ R là
một hàm lồi. Khi đó, mọi cực tiểu địa phương của f trên C cũng là cực tiểu
toàn cục. Tập argmin{f(x) : x ∈ C} là một tập con lồi của C.
Nếu hàm f là hàm lồi chặt thì tập argmin{f(x) : x ∈ C} có duy nhất một giá
trị với điều kiện bài toán min{f(x) : x ∈ C} có nghiệm.
Định lí 1.4. ([8]) Cho C là một tập lồi trên R

n
và f : R
n
→ R là một hàm lồi.
Điều kiện cần và đủ để điểm x
0
∈ C là cực tiểu của f trên C là
0 ∈ ∂f(x
0
) + N
C
(x
0
),
trong đó N
C
(x
0
) là kí hiệu nón pháp tuyến ngoài của C tại x
0
.
Hệ quả 1.4.1. Với các giả thiết được nêu trong định lí trên, điểm x
0
∈ intC là
cực tiểu của f trên C nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂f(x
0
).
Định lí 1.5. ([2]) Cho f là hàm lồi, khả vi trên tập lồi đóng C. Một điểm x
∗
∈ C

là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi:
min
x∈C
f(x)
khi và chỉ khi nó là điểm dừng của f trên C, tức là
∇f(x
∗
), y − x
∗
 ≥ 0 ∀y ∈ C.
Dưới đây chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức liên quan đến tính liên tục
của hàm số.
Kí hiệu
lim
x→x
0
f(x) = inf
ε>0
sup
||x−x
0
||<ε
f(x),
lim
x→x
0
f(x) = sup
ε>0
inf
||x−x

0
||<ε
f(x).
Định nghĩa 1.8. Cho hàm số f xác định trên một tập mở C ⊂ R
n
.
(i) Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x
0
∈ C nếu với mọi ε > 0, tồn tại
δ > 0 sao cho |f(x) − f(x
0
)| < ε với mọi x ∈ C thỏa mãn ||x − x
0
|| < δ. Nói cách
khác, hàm f liên tục tại x
0
∈ C nếu với mọi dãy {x
n
} ⊂ C hội tụ đến x
0
, ta có
f(x
n
) → f(x
0
).
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (t.ư., nửa liên tục trên) tại điểm
x

0
∈ C nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) ≥ f(x
0
) − ε (t.ư.,f(x) ≤ f (x
0
) + ε)
với mọi x ∈ C thỏa mãn ||x − x
0
|| < δ. Nói cách khác, hàm f là nửa liên tục dưới
(t.ư., nửa liên tục trên) tại điểm x
0
∈ C nếu với mọi dãy {x
n
} ⊂ C hội tụ đến x
0
và dãy {f(x
n
)} ⊂ R hội tụ, ta có
lim
n→∞
f(x
n
) ≥ f(x
0
) (t.ư., lim
n→∞
f(x
n
) ≤ f(x

0
)).
Rõ ràng, nếu f là nửa liên tục dưới tại điểm x
0
thì −f là nửa liên tục trên tại
điểm x
0
. Hàm f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới tại x
0
thì liên tục
tại điểm đó.
(iii) Hàm f được gọi là liên tục (t.ư., nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên)
trên C nếu nó liên tục (t.ư., nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểm
của C.
Định lí 1.6. Nếu C là một tập compact và f là hàm nửa liên tục dưới trên C,
thì f đạt cực tiểu trên C.
1.2 Bài toán cân bằng
Trong mục này, ta nhắc lại một số nội dung cơ bản về bài toán cân bằng.
1.2.1 Phát biểu bài toán
Cho C ⊆ R
n
là một tập lồi đóng và một song hàm f : C × C → R thỏa mãn
f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Bài toán cân bằng, viết tắt là (EP ), được phát biểu
như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho f(x
∗
, x) ≥ 0 ∀x ∈ C.
Song hàm f được gọi là hàm cân bằng trên C.

Ví dụ 1.5. Bài toán cân bằng Nash
(i) Cho I = {1, 2, · · · , p} là tập chỉ số hữu hạn (tập p - người chơi).
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
(ii) K
i
là tập lồi khác rỗng của R
n
i
(tập chiến lược của người chơi thứ i).
(iii) Hàm f
i
: K
1
× · · · × K
p
→ R cho trước (hàm tổn thất của người chơi thứ
i khi vi phạm, chiến lược của người chơi ∀i ∈ I).
Cho x = (x
1
, x
2
, · · · , x
p
) ∈ K
1
× K
2
× · · · × K
p

và y = (y
1
, y
2
, · · · , y
p
) ∈ K
1
× K
2
×
· · · × K
p
. Ta định nghĩa véc tơ x[y
i
] ∈ K
1
× K
2
× · · · × K
p
như sau:
x[y
i
]
j
=

x
j

∀j = i,
y
i
∀j = i.
Đặt K = K
1
× K
2
× · · · × K
p
.
Khi đó, bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ K sao cho f
i
(x
∗
) ≤ f
i
(x
∗
[y
i
]) ∀i ∈ I, ∀y ∈ K (1.6)
Điểm thỏa mãn (1.6) gọi là điểm cân bằng Nash. Về ý nghĩa kinh tế, điểm cân
bằng Nash nói nên rằng bất kì đối thủ nào chọn phương án ra khỏi điểm cân
bằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn giữ phương án điểm cân bằng thì đối thủ
ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt.
Nếu ta đặt f : K × K → R là hàm số xác định bởi

f(x, y) :=
p

i=1
(f
i
(x[y
i
]) − f
i
(x))
với mọi x, y ∈ K, thì bài toán cân bằng Nash (1.6) tương đương với bài toán cân
bằng (EP).
Thật vậy, giả sử x
∗
∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng (1.6), khi đó
f
i
(x
∗
) ≤ f
i
(x
∗
[y
i
]) ∀i ∈ I, ∀y
i
∈ K
i

⇔ f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
) ≥ 0 ∀i ∈ I, ∀y
i
∈ K
i
⇔
p

i=1
(f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
)) ≥ 0 ∀y ∈ K
Theo cách đặt đó, ta có

f(x
∗
, y) ≥ 0 ∀y ∈ K.
Vậy x
∗
∈ K là nghiệm của (EP).
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Ngược lại, giả sử x
∗
∈ K là nghiệm của (EP) nhưng lại không là nghiệm của
(1.6). Khi đó, ta có
f(x
∗
, y) ≥ 0 ∀y ∈ K.
Theo cách đặt đó, ta có
n

i=1
(f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
)) ≥ 0 ∀y ∈ K.

Vì x
∗
∈ K không là nghiệm của (1.6), nên tồn tại i
0
∈ I sao cho
f
i
0
(x
∗
) > f
i
0
(x
∗
[y
i
]) ∀y
i
∈ K
i
.
Lấy x
∗
[y
j
] = x
∗
∀j = i
0

, ta có
f
i
0
(x
∗
) = f
i
0
(x
∗
[y
i
]) ∀j = i
0
.
Kết hợp hai điều trên ta suy ra rằng
n

i=1
(f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗

)) < 0 ∀y ∈ K.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy x
∗
∈ K là nghiệm của bài toán (1.6).
Ví dụ 1.6. Bài toán bù phi tuyến
Cho K ⊂ R
n
là một nón lồi đóng, K
∗
= {x ∈ R
n
: x, y ≥ 0 ∀y ∈ R
n
} là nón đối
ngẫu của nón K. Cho T : K → R
n
là một ánh xạ liên tục. Khi đó, bài toán bù
phi tuyến được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ K sao cho T (x
∗
) ∈ K
∗
và T(x
∗
), x
∗
 = 0. (1.7)

Nếu ta đặt f(x, y) := T (x), y − x ∀x, y ∈ K thì bài toán bù phi tuyến (1.7) sẽ
tương đương với bài toán cân bằng (EP ).
Thật vậy, giả sử x
∗
∈ K là nghiệm của bài toán (1.7). Ta có
T (x
∗
) ∈ K
∗
và T(x
∗
), x
∗
 = 0.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Mặt khác, theo cách đặt ta có
f(x
∗
, y) = T (x
∗
), y − x
∗

= T (x
∗
), y − T (x
∗
), x
∗


= T (x
∗
), y ≥ 0 ∀y ∈ K.
Vậy x
∗
∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng (EP).
Bây giờ, ta xét chiều ngược lại. Giả sử rằng x
∗
∈ K là nghiệm của bài toán
(EP), ta có
f(x
∗
, y) ≥ 0 ∀y ∈ K.
Theo cách đặt ta có
f(x
∗
, y) = T (x
∗
), y − x
∗
 ∀y ∈ K.
Do K là nón nên 0 ∈ K và 2x
∗
∈ K. Trong đẳng thức trên, nếu ta lấy y = 0 ∈ K,
thì ta có T (x
∗
), −x
∗
 ≥ 0 hay T (x

∗
), x
∗
 ≤ 0, còn nếu lấy y = 2x
∗
∈ K thì ta có
T (x
∗
), 2x
∗
− x
∗
 ≥ 0 hay T(x
∗
), x
∗
 ≥ 0. Từ đó ta có T (x
∗
), x
∗
 = 0.
Hơn nữa, vì
0 ≤ T (x
∗
), y − x
∗

= T (x
∗
), y − T (x

∗
), x
∗

= T (x
∗
), y ∀y ∈ K,
và do T(x
∗
), y ≥ 0 ∀y ∈ K, nên T(x
∗
) ∈ K
∗
. Do đó, x
∗
∈ K là nghiệm của bài
toán (1.7).
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm
Mệnh đề 1.2. ([7]), mệnh đề 2.1.14) Cho f : C × C → R ∪ {+∞} là một song
hàm sao cho f(·, y) là hàm nửa liên tục trên với mọi y ∈ C và f(x, ·) là hàm tựa
lồi với mọi x ∈ C. Giả sử rằng ít nhất một trong các giả thiết sau được thỏa
mãn:
(i) C bị chặn;
(ii) tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng W của C sao cho, với mọi x ∈
C\W, tồn tại y ∈ W để f (x, y) < 0.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Khi đó, bài toán (EP) sẽ có nghiệm.
Mệnh đề 1.3. ([7], mệnh đề 2.1.16) Cho song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}.
(i) Nếu f đơn điệu chặt thì bài toán (EP ) có không quá một nghiệm.

(ii) Nếu f(·, y) là hàm nửa liên tục trên với mọi y ∈ C, f(x, ·) là hàm lồi và
nửa liên tục dưới với mọi x ∈ C, và f là hàm đơn điệu mạnh, thì bài toán (EP )
có duy nhất nghiệm.
Chứng minh. (i) Giả sử rằng x và y là hai nghiệm của bài toán (EP ) và x = y.
Khi đó f(x, y) ≥ 0 và f(y, x) ≤ 0. Nếu f là hàm đơn điệu chặt thì do f(x, y) ≥ 0
nên f(y, x) < 0, điều này mâu thuẫn. Do đó, bài toán (EP ) có không quá một
nghiệm.
(ii) Từ (i) ta có thể kết luận rằng bài toán (EP) giải được. Lấy tùy ý x ∈ C.
Vì f(x, ·) là hàm nửa liên tục dưới, nên tồn tại một số µ > −∞ sao cho
f(x, z) ≥ µ ∀z ∈ B(x, 1) ∩ C.
Chọn bất kỳ y ∈ C\B(x, 1) và đặt λ = 1/  x − y . Thế thì z = λy + (1 − λ)x ∈
B(x, 1) ∩ C và, theo tính lồi, ta có
µ ≤ f(x, z) ≤ f(x, y)/  x − y  .
Sử dụng tính đơn điệu mạnh của f, ta có
f(y, x) ≤ −µ  x − y  −τ  x − y 
2
= −  x − y  (µ + τ  x − y )
< 0
nếu  x − y > −µ/τ và τ > 0 là hằng số lồi mạnh. Do đó mọi giả thiết của mệnh
đề 1.2 (ii) đều thỏa mãn, trong đó W = C ∩ B(x, µ

) và µ

> max{1, −µ/τ}.
Vậy (ii) được chứng minh. ✷
Kết luận chương
Chương này bao gồm hai phần chính: Phần đầu nhắc lại một số kiến thức cơ
bản sẽ dùng đến trong các chương tiếp theo, phần hai trình bày dạng toán học
của bài toán cân bằng, một số ví dụ và điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
Chương 2
Phương pháp hàm phạt điểm trong
Chương này trình bày một cách cơ bản phương pháp hàm phạt điểm trong
và một cách áp dụng để giải bài toán cân bằng giả đơn điệu trên tập lồi đa diện
bằng cách sử dụng hàm toàn phương logarit.
2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong ([2])
2.1.1 Ý tưởng chính
Xét bài toán
min{f(x) : x ∈ C},
trong đó C là tập compact xác định bởi
C = {x ∈ R
n
: g
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, · · · , m},
f và g
i
: R
n
→ R, i = 1, 2, · · · , m là các hàm liên tục. Các hàm g
i
(x) ≤ 0, i =
1, 2, · · · , m được gọi là các ràng buộc và C được gọi là miền chấp nhận được của
bài toán. Nói chung các bài toán tối ưu không có ràng buộc thường dễ xử lí hơn
các bài toán có ràng buộc. Một ý tưởng nảy sinh là chuyển bài toán có ràng
buộc về các bài toán không có ràng buộc. Kỹ thuật cơ bản để thực hiện ý tưởng
này là hàm phạt. Dùng một lượng phạt "đủ lớn" khi lời giải của bài toán phụ ra
khỏi miền chấp nhận được của bài toán cần giải. Hai vấn đề phải giải quyết là
xây dựng hàm phạt và bài toán phụ sao cho có thể xấp xỉ lời giải của bài toán

ban đầu từ lời giải của các bài toán phụ. Các loại hàm phạt cơ bản là hàm phạt
điểm trong và hàm phạt điểm ngoài.
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Như trên, ta hãy xét bài toán
min f(x), (2.1)
với các ràng buộc
g
j
(x) ≤ 0, j = 1, 2, · · · , m.
trong đó g
j
(j = 1, · · · , m) là các hàm liên tục trong R
n
. Gọi C là miền chấp nhận
được của bài toán.
2.1.2 Phương pháp hàm phạt điểm trong
Hàm phạt điểm trong thường dùng khi biết trước một điểm x
0
∈ intC. Người
ta xây dựng một hàm phạt sao cho nó hữu hạn trong miền intC, nhưng trên
biên của C nó sẽ là +∞ (bị "phạt nặng"). Cụ thể, ta giả thiết hàm p thỏa mãn
các tính chất sau:
(a) p liên tục trên tập
C
0
:= {x ∈ R
n
: g
j

(x) < 0 ∀j = 1, · · · , m},
(b) Với mọi dãy {x
k
} ⊂ C
0
hội tụ tới một điểm x ∈ C
0
ta có lim
k→+∞
p(x
k
) = +∞.
Hai hàm xấp xỉ trong được sử dụng nhiều, do Fiacco và McCormick đưa ra
là
p(x) = −
m

j=1
log(−g
j
(x))
hoặc
p(x) = −
m

j=1
1
g
j
(x)

.
Rõ ràng khi x ∈ C và g
j
(x) → 0 với một j nào đó thì p(x) → +∞.
Cho s(t) là hàm số một biến thỏa mãn các tính chất:
(i) s(t) > 0 ∀t > 0,
(ii) s(t) liên tục trên (0, +∞) và s(t) → 0 khi t → +∞,
(iii) s(t) đơn điệu giảm trên (0, +∞), nghĩa là s(t
1
) > s(t
2
) với mọi t
2
> t
1
> 0.
Ví dụ 2.1. Ta có thể lấy hàm s(t) =
1
t
hoặc s(t) =
1
t
2
.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Đặt
F (x, t) := f(x) + s(t)p(x), (2.2)
với miền xác định là
C

0
= {(x, t) : x ∈ intC, t > 0}.
Xét bài toán phụ không điều kiện:
min
x
{F (x, t) : x ∈ R
n
} (B
t
)
Giả sử bài toán (B
t
) có nghiệm x(t) ∈ Sol(B
t
). Khi đó, x(t) là một hàm số xác
định trên (0, +∞). Tính đơn điệu của hàm số f(x) và hàm p(x) được cho bởi
mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1. Giả sử các điều kiện (a), (b) và (i), (ii), (iii) thỏa mãn, và bài
toán (B
t
) có nghiệm với mọi t > 0. Khi đó, nếu 0 < t
1
< t
2
và x
i
là nghiệm của
(B
t
i

) (i = 1, 2) thì
(1) p(x
1
) ≤ p(x
2
),
(2) f(x
1
) ≥ f(x
2
).
Chứng minh. (1) Gọi x
i
là nghiệm của B
t
i
. Để tiện cho việc chứng minh, ta đặt
s(t
i
) = s
i
, p(x
i
) = p
i
, f (x
i
) = f
i
(i = 1, 2). Khi đó:

f
1
+ s
1
p
1
≤ f
2
+ s
1
p
2
, (2.3)
f
2
+ s
2
p
2
≤ f
1
+ s
2
p
1
. (2.4)
Cộng hai bất đẳng thức (2.3) và (2.4) rồi ước lượng, ta có
s
1
p

1
+ s
2
p
2
≤ s
1
p
2
+ s
2
p
1
.
Chuyển vế và nhóm lại, ta được
(s
1
− s
2
)(p
1
− p
2
) ≤ 0.
Vì t
1
< t
2
nên s
1

> s
2
, do đó p
1
≤ p
2
.
(2) Từ (2.3) ta suy ra rằng
f
2
− f
1
≤ s
1
(p
1
− p
2
).
Vì s(t) > 0 ∀t ∈ (0, +∞), nên f
2
≤ f
1
. ✷
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Định lí 2.1. Cho f là hàm liên tục trên một tập compact C. Nếu dãy {t
k
} đơn
điệu tăng dần đến +∞ và x

k
là nghiệm của (B
t
k
), thì dãy số {f(x
k
)} hội tụ giảm
đến f
∗
(giá trị tối ưu của bài toán). Ngoài ra, mọi điểm tụ của dãy {x
k
} đều là
nghiệm của (2.1).
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.1, dãy {f(x
k
)} đơn điệu giảm. Do đó dãy này hội
tụ. Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Giả sử bài toán có một lời giải x
∗
∈ C
0
. Vì {x
k
} là nghiệm của
bài toán (B
t
k
), nên
f(x
k

) + s(t
k
)p(x
k
) ≤ f(x
∗
) + s(t
k
)p(x
∗
). (2.5)
Do C compact, ta có thể giả sử rằng, nếu cần qua dãy con, dãy {x
k
} hội tụ đến
u
∗
nào đó.
+) Nếu u
∗
∈ C
0
thì qua giới hạn trong (2.5), chú ý rằng s(t
k
) → 0 và
p(x
∗
), p(u
∗
) hữu hạn, ta có ngay f(u
∗

) ≤ f(x
∗
). Vậy u
∗
là nghiệm. Do tính
đơn điệu nên ta suy ra toàn bộ dãy {f (x
k
)} hội tụ tới giá trị tối ưu f
∗
.
+) Nếu u
∗
∈ C
0
thì theo điều kiện (b), tồn tại một chỉ số K
1
sao cho
s(t
k
)p(x
k
) ≥ 0 với mọi k ≥ K
1
. Khi đó, từ (2.5) ta có f(x
k
) ≤ f(x
∗
) + s(t
k
)p(x

∗
)
với mọi k ≥ K
1
. Qua giới hạn ta được
lim
k
f(x
k
) ≤ f(x
∗
).
Thế nhưng, do x
k
∈ C nên f(x
k
) ≥ f(x
∗
). Vậy lim
k
f(x
k
) = f(x
∗
).
Trường hợp 2: Xét trường hợp bài toán không có nghiệm thuộc C
0
. Gọi
β = lim
k

f(x
k
). Giới hạn tồn tại vì dãy này đơn điệu. Ta có f
∗
≤ β, do f(x
k
) ≥ f
∗
với mọi k. Nếu f
∗
< β thì do tính liên tục của f trên C, tồn tại u ∈ C
0
sao cho
f
∗
< f(u) < β. Từ bất đẳng thức
f(x
k
) + s(t
k
)p(x
k
) ≤ f(u) + s(t
k
)p(u)
và lập luận như trên, suy ra tồn tại chỉ số K
1
sao cho f(x
k
) ≤ f(u) + s(t

k
)p(u).
Qua giới hạn ta có f(x
k
) ≤ f(u) với mọi k ≥ K
1
. Mâu thuẫn với f(x
k
) ≥ β > f(u)
với mọi k. Vậy β = f(x
∗
). ✷
Theo định lí này, để giải bài toán có ràng buộc (2.1), ta chọn một dãy số
dương {t
k
} tăng dần đến +∞ và giải một dãy các bài toán không điều kiện (B
t
k
).
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
2.2 Hàm toàn phương logarit ([3])
Như ta đã biết, kỹ thuật chính quy hóa hàm toàn phương là công cụ mạnh
trong giải tích và giải các bài toán tối ưu. Gần đây, kỹ thuật này được sử dụng
để phát triển thuật toán lặp xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
Định nghĩa 2.1. Cho C là một tập lồi trong R
n
, A là một ma trận cỡ p × n
và f : C × C → R ∪ {+∞}. Song hàm f được gọi là A-Lipschitz với hai hằng số
¯c

1
> 0 và ¯c
2
> 0, nếu ta có
f(x, y) + f(y, z) ≥ f(x, z) − ¯c
1
||A(y − x)||
2
(2.6)
− ¯c
2
||A(z − y)||
2
∀x, y, z ∈ C.
Chú ý rằng, khi x = z, f(x, x) = 0, thì từ (2.6) ta kết luận được rằng
f(x, y) + f(y, x) ≥ −(¯c
1
+ ¯c
2
)||A(y − x)||
2
∀x, y ∈ C.
Nhận xét 2.1. Cho A là ma trận cỡ p × n, rankA = n, C := {x ∈ R
n
: Ax ≤ b},
và f : C × C → R. Giả sử rằng song hàm f thỏa mãn
f(x, y) + f(y, z) ≥ f(x, z) − c
0
1
||(y − x)||

2
(2.7)
− c
0
2
||(z − y)||
2
∀x, y, z ∈ C
trong đó c
0
1
, c
0
2
> 0, thì f thường được gọi là Lipschitz với các hằng số c
0
1
, c
0
2
> 0.
Khi đó, f sẽ là A-Lipschitz với các hằng số
¯c
1
:= c
0
1
||
¯
A