Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

LÊ THỊ THANH TÂM

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV
CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN
VỚI TỐN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

LÊ THỊ THANH TÂM

TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV
CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN
VỚI TỐN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành :Tốn ứng dụng
Mã số

: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

ii

Mở đầu

1

Chương 1. Phương trình tốn tử đặt không chỉnh

3

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3

1.1.2 Tốn tử đơn điệu trong khơng gian Hilbert . . . . . . .
Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh . . . . . . . . . . . . . .

11
16

1.2.1
1.2.2

Khái niệm và ví dụ về bài tốn đặt khơng chỉnh . . . .
Tốn tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
18

Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc độ hội tụ
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt khơng chỉnh

22

phi tuyến với tốn tử nhiễu đơn điệu . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Mô tả phương pháp và sự hội tụ . . . . . . . . . . . .

22
23

2.1.2 Tốc độ hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . .
Xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
29

2.2.1

Bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.2

Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.2

2.2

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


ii

Bảng ký hiệu
R

tập số thực

H
X

không gian Hilbert thực
không gian Banach

X∗

không gian đối ngẫu của X

C
A

tập con đóng lồi của H
tốn tử đơn điệu trong không gian Hilbert

dom(A)
x, y

miền hữu hiệu của tốn tử A
tích vơ hướng của hai vectơ x và y

xn → x

chuẩn của vectơ x

xn hội tụ mạnh đến x

xn
I

xn hội tụ yếu đến x
ánh xạ đơn vị

x
x


1

Mở đầu
Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình tốn tử dạng:
A(x) = f ,

(1)

ở đây, A là một toán tử đơn điệu từ không gian Hilbert thực X vào không gian
Hilbert thực X, f là phần tử của X. Nếu khơng có các điều kiện đặc biệt đặt
lên tốn tử A, chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì bài tốn (1)
nói chung là một bài tốn đặt khơng chỉnh. Trong bài tốn này, thay cho các dữ
kiện chính xác {A, f } thì ta chỉ biết các xấp xỉ {Ah , fδ } của chúng. Giả sử xδ là
nghiệm của (1) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì
fδ → f nhưng với bài tốn đặt khơng chỉnh thì xδ nói chung khơng hội tụ đến
x0 -nghiệm chính xác của bài tốn. Có rất nhiều phương pháp khác nhau để tìm
lời giải cho bài tốn này, một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi
và hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov.

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
hiệu chỉnh bài tốn đặt khơng chỉnh (1) trong trường hợp tốn tử nhiễu đơn điệu
trong khơng gian Hilbert: trình bày sự hội tụ của phương pháp, nghiên cứu tốc
độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và trình bày ví dụ minh họa.
Nội dung của đề tài được viết trong hai chương. Chương 1 có tiêu đề "Phương
trình tốn tử đặt khơng chỉnh" trình bày khái niệm về khơng gian Hilbert thực
và một số tính chất; giới thiệu về tốn tử đơn điệu trong không gian Hilbert và
khái niệm phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh trong khơng gian Hilbert cùng
một số ví dụ.
Chương 2 có tiêu đề "Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và tốc độ hội tụ"
trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài tốn đặt khơng chỉnh


2

phi tuyến trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu; trình bày tốc độ hội tụ của
phương pháp hiệu chỉnh và ví dụ số minh họa.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa
học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn
và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận
văn.
Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho
cơng tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc
tới các Thầy giáo, Cơ giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K8B (khóa
2014–2016); Nhà trường và các phịng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin,
trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác
giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8B (khóa

2014–2016) đã ln động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học
tập, nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh
đạo đơn vị cơng tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả

Lê Thị Thanh Tâm


3

Chương 1
Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh
Chương này giới thiệu khái niệm và ví dụ về phương trình tốn tử đặt không
chỉnh. Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu về khơng gian Hilbert thực và một số tính chất
của khơng gian Hilbert; trình bày định nghĩa tốn tử đơn điệu trong khơng gian
Hilbert. Mục 1.2 trình bày khái niệm và ví dụ về bài tốn đặt khơng chỉnh; nêu
khái niệm về tốn tử hiệu chỉnh và ví dụ. Các kiến thức của chương này được
viết trên cơ sở tổng hợp các tài liệu [1], [3] và [4].

1.1
1.1.1

Không gian Hilbert
Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là khơng gian tuyến tính trên R nếu với
mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, một phần tử của X, ta gọi là tổng của x và y, ký hiệu là
x + y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần tử của X, gọi là tích của α và x, ký

hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán);
(2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp);
(3) tồn tại phần tử không của X, ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 + x với mọi
x ∈ X;
(4) với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho x+(−x) = 0
với mọi x ∈ X;


4

(5) 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị);
(6) α(β x) = (αβ )x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;
(7) (α + β )x = αx + β x), với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;
(8) α(x + y) = αx + αy), với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.1.2. Cho H là một khơng gian tuyến tính trên trường số thực R.
Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào
R, ký hiệu là ., . , thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
(2) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H;
(3) αx, y = α x, y với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;
(4) x, x > 0 nếu x = 0 và x, x = 0 nếu x = 0.
Nhận xét 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra
(1) x, αy = α y, x với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;
(2) x, y + z = x, y + x, z với mọi x, y, z ∈ H.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vơ hướng trên nó
được gọi là một không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.5. (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với
mọi x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau:
| x, y |2 ≤ x, x y, y .

(1.1)

Chứng minh. Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có
0 ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α 2 y, y .
Từ đây suy ra
∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ 0 với mọi

x, y ∈ H.


5

Hay
| x, y |2 ≤ x, x y, y

x, y ∈ H.

với mọi

Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ
thuộc tuyến tính.
Định lý 1.1.6. Khơng gian tiền Hilbert H là một khơng gian tuyến tính định
chuẩn với chuẩn được xác định bởi
x =

x, x

với mọi x ∈ H.

(1.2)

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng.
Chứng minh. Thật vậy, từ điều kiện (4) của Định nghĩa 1.1.2 ta có x > 0 nếu
x = 0 và x = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (1) và (3) của Định nghĩa
1.1.2, ta suy ra αx = |α|. x với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H. Từ bất đẳng thức
Schwarz và cách định nghĩa chuẩn, ta có
| x, y | ≤ x . y

với mọi

x, y ∈ H.

(1.3)

Từ đó với mọi x, y ∈ H ta có
x + y, x + y = x, x + 2 x, y + y, y
≤ x

2

+2 x . y + y

2

=

x + y

2

.

Suy ra x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ H.
Định nghĩa 1.1.7. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với
chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là khơng gian
Hilbert thực.
Ví dụ 1.1.8. Không gian
2

l = x = {xn }n ∈ R :

∞

∑ |xn|2 < +∞

n=1


6

là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
∞

x, y =

∑ xnyn,

x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l 2

n=1

và chuẩn
∞

∞

x =

x, x =

∑ |xn

|2

1

2 2

∑ |xn|

=

.

n=1

n=1

Ví dụ 1.1.9. Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vơ hướng

b

(x, y) =

x(t)y(t)dt,

∀x, y ∈ L2 [a, b]

a

và chuẩn

1
2

b

|x(t)|2 dt

x =

.

a

Ví dụ 1.1.10. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng
đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b], xét tích vơ hướng
b

x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].

x, y =
a

Không gian C[a, b] với chuẩn
b

2

|x(t)| dt

x =

1
2

a

là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert.
Định lý 1.1.11. Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh đến
x0 , y0 trong khơng gian tiền Hilbert thực H. Khi đó,
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Chứng minh. Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 trong không gian Hilbert H.
n→∞

n→∞

7

Ta sẽ chứng minh
lim xn , yn = x0 , y0

n→∞

trong R.

Thật vậy,
| xn , yn − x0 , y0 | = | xn , yn + xn , y0 − xn , y0 − x0 , y0 |
≤ | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 |
≤ xn . yn − y0 + xn − x0 . y0 .
Vì dãy {xn }n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho xn ≤ M với
mọi n ∈ N. Do đó,
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Nhận xét 1.1.12. Tích vơ hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên
H × H.
Định lý 1.1.13. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H, ta ln có đẳng
thức hình bình hành sau:
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

.

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H ta có
x+y

2

= x + y, x + y = x

2

+ y

2

+ 2 x, y .

x−y

2

= x − y, x − y = x

2

+ y

2

− 2 x, y .

và

Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh.
Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả
sau.
Hệ quả 1.1.14. Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta


8

có đẳng thức Apollonius:
2

x−y

2

+ x−z

2

y+z
= 4 x−
2

2

+ y − z 2.

Nhận xét 1.1.15. (Ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành)
(1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh
của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo.
(2) Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vơ hướng vào một khơng gian
định chuẩn thì khơng gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành.
Ngược lại, nếu H là một khơng gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình
bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại
một tích vơ hướng ., . sao cho chuẩn được xác định nhờ tích vơ hướng.
Điều này được thể hiện qua định lý sau.
Định lý 1.1.16. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó
đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt
x, y =

1
4

x+y

2

− x−y

2

,

(1.4)

thì ., . là một tích vơ hướng trên H và ta có x, x = x 2 .
Chứng minh. Ta chứng minh ., . xác định như trên thỏa mãn các điều kiện
trong định nghĩa về tích vơ hướng. Thật vậy, các điều kiện (1) và (4) trong Định
nghĩa 1.1.2 hiển nhiên được thỏa mãn.
Đặt
1
p(x, y) =
x+y
4

2

− x−y

2

.

Để ý rằng, ., . : H × H −→ R là một hàm liên tục và
p(x, 0) = 0,

p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H.


9

Với mọi x, y, z ∈ H ta có
4 (p(x, z) + p(y, z)) = x + z

2

− x−z

2

+ y+z

⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p

2

− y−z

x+y
,z .
2

2

(1.5)

Trong đẳng thức (1.5) lấy y = 0 được
p(x, z) = 2p

x
,z .
2

(1.6)

Như vậy ta có
2p

x+y
, z = p(x + y, z).
2

Nghĩa là p(x, z) + p(y, z) = p(x + y, z). Vậy điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.1.2
được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.6) ta được
2p(x, z) = p(2x, z),

∀x, y, z ∈ H.

Bằng quy nạp ta kiểm tra được
p(nx, z) = np(x, z),

∀n ∈ N

và bằng lập luận như trên ta có
p(rx, z) = rp(x, z),

∀r ∈ Q và x, z ∈ H.

Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta có
p(ax, z) = ap(x, z),

∀x, z ∈ H

và

Vậy p(x, y) là một tích vơ hướng trên H và hiển nhiên
x, x = p(x, x) = x

2

.

a ∈ R.


10

Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.1.17. (i) Dãy {xn }∞
n=1 trong không gian Hilbert H được gọi là
hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu
với mọi y ∈ H.

lim xn , y = x, y

n→∞

(ii) Dãy {xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu
lim xn − x = 0.

n→∞

x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy {xn }

Ký hiệu xn

đến phần tử x ∈ H.
Chú ý 1.1.18. (1) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ
yếu, nhưng điều ngược lại khơng đúng.
(2) Mọi khơng gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy {xn }
trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện xn → x và xn x,
thì xn → x khi n → ∞.
Chứng minh. Thật vậy, trong không gian Hilbert nếu xn

x0 và xn → x0

thì xn → x0 . Với mọi x, ta có
xn − x0

2

= xn − x0 , xn − x0
= xn

2

− x0 , xn − xn , x0 + x0

2

.

Từ giả thiết suy ra
lim xn

x→∞

2

= x0 2 ,

lim xn , x0 = x0 2 ,

x→∞

Do đó
lim xn − x0

x→∞

2

= x0 2 .

lim x0 , xn = x0 2 .

x→∞


11

1.1.2

Tốn tử đơn điệu trong khơng gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.19. Cho hai khơng gian tuyến tính X và Y . Một ánh xạ A : X →
Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính nếu:
(i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1 , x2 ∈ X;
(ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R.
Chú ý 1.1.20. (1) Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.1.19 tương đương
với:
A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αk xk ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αk Axk
với mọi xi ∈ X với mọi αi ∈ R, i = 1, . . . , k.
(2) Nếu Y ≡ X thì ta cũng nói A là toán tử trong X.
Ký hiệu R(A) là miền giá trị của toán tử A, tức là tập hợp các phần tử y ∈ Y
sao cho y = Ax với một x ∈ X nào đó. Nếu y1 , y2 ∈ R(A) thì α1 y1 +α2 y2 ∈ R(A)
với mọi α1 , α2 ∈ R nên R(A) là một không gian con của Y .
Định nghĩa 1.1.21. Một toán tử A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị
chặn (giới nội), nghĩa là tồn tại một hằng số dương K sao cho:
Ax ≤ K x

∀x ∈ X.

Định lý 1.1.22. Một toán tử A từ X vào Y được gọi là bị chặn (giới nội) nếu có

một hằng số K > 0 sao cho:
A = sup
x=0

Ax
= sup Ax ≤ K.
x
x =1

Ký hiệu mặt cầu tâm a bán kính r > 0 trong khơng gian X là S(a, r), nghĩa là
S(a, r) = {x ∈ X : x − a = r}.