SỐ học lớp 6 CHUYÊN đề PHÂN số

CHUYÊN ĐỀ: PHÂN SỐ
1. Dạng 1: Tìm n để phân số là số tự nhiên, số nguyên
a) Phương pháp giải: Phân tích phân số ra phần nguyên cộng với phân số có tử là
một số. Để phân số là số TN hoặc số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu.
b) VD minh họa
VD1. Cho biểu thức A = .
a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.
b) Tìm các số nguyên n để A là một số nguyên.
VD2. Tìm tập hợp các số nguyên x để

là số nguyên.

VD3. Tìm tập hợp các số nguyên x để các biểu thức sau là số nguyên.
a)

b)

c)

d)

c) Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho biểu thức B =
a) Tìm các số nguyên x để biểu thức B là phân số.
b) Tìm các số nguyên x để B là một số nguyên.
Bài 2. Cho biểu thức M = .
a) Tìm các số nguyên x để biểu thức M là phân số.
b) Tìm các số nguyên x để M là một số nguyên.
Bài 3.
a) Tìm số tự nhiên n để phân số là số tự nhiên.
b) Tìm số tự nhiên n để phân số là số tự nhiên.

c) Tìm số tự nhiên n để phân số là số nguyên.
Bài 4. Tìm số tự nhiên n để phân số sau có giá trị nguyên.
a)

b)

c)

Bài 5. Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị ngun.
a)

b)

Bài 6. Tìm tập hợp các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
a)

b)

2. Dạng 2. Chứng minh một phân số là tối giản
a) Phương pháp giải: Để chứng minh một phân số là tối giản, ta chứng minh
ƯCLN của tử và mẫu của nó bằng 1.


b) VD minh họa: Chứng minh với mọi n  N, các phân số sau tối giản.
a)

b)

c)

c) Bài tập tự luyện
Bài 1. Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi n  N.
a)

b)

c)

Bài 2. Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi n  N.
a)

b)

c)

3. Dạng 3. Tìm n để phân số tối giản
a) Phương pháp: Tìm n sao cho ƯCLN của tử và mẫu của nó bằng 1.
b) VD minh họa
VD 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số là phân số tối giản.
VD2. Cho các phân số sau: ; ; ; ... ; . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số
trên tối giản.
c) Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho phân số với n  N.
a) Tìm các giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên.
b) Tìm các giá trị của n để phân số là tối giản.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các phân số sau tối giản.

A

n 1

n3

B

2n  3
n 1

6n  99
c) C = 3n  4

a)
Bài 3. Tìm tất cả các số tự nhiên n > 2 để phân số là phân số tối giản.
Bài 4. Cho các phân số sau: ; ; ; ... ; . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số
trên tối giản.

Bài 5. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.
7
8
9
100
;
;
;......;
n  102
a) n  9 n  10 n  11

b)

5
6

7
17
;
;
;.......;
n  8 n  9 n  10
n  20

Bài 6. Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được.
Bài 7. Tìm số tự nhiên n để các phân số sau có thể rút gọn được
a)

b)

c)

8n  193
c) 4n  3

Bài 8. Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

21n  3
6n  4 có

thể rút gọn được


4. Dạng 4. So sánh phân số
a) Phương pháp: Có thể sử dụng một trong các cách sau:
- Đưa về hai phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử.

- Đưa về hai phân số có cùng tử dương rồi so sánh mẫu.
- So sánh qua số thứ 3.
- Áp dụng tính chất  ad < bc (Với a, b , c , d  Z, b, d > 0).
b) VD minh họa
VD1.
a) Cho (Với a, b , c , d  Z, b, d > 0). Chứng tỏ rằng ad > bc.
b) Cho ad > bc (Với a, b , c , d  Z, b, d > 0). Chứng tỏ rằng
VD2. Cho (Với a, b , c , d  N*). Chứng tỏ rằng:
a)

b)

c) Bài tập tự luyện
Bài 1.
a) Cho phân số (a, b  N; b ≠ 0). Chứng tỏ rằng (với n  N*).
b) Cho phân số (a, b  N; b ≠ 0). Chứng tỏ rằng (với n  N*).
Bài 2. Cho và . So sánh A và B.
Bài 3.
a) So sánh và .
b) So sánh và .
c) So sánh và .
d) So sánh và .
e) So sánh và .
f) Cho

A

1011  1
1010  1
;

B

1012  1
1011  1 . So sánh A và B.

g) Không quy đồng so sánh:
C

A

7
15
15
7
 2006 ; B  2005  2006
2005
10
10
10
10

20132012  1
20132013  1
D

20132013  1
20132014  1 và

h)
i) So sánh S với 3, biết

S

2011 2012 2013


2012 2013 2011


Bài 4. Cho So sánh A với .
Bài 5. Cho So sánh A với .

Bài 6. So sánh P và Q, biết:

P

2010  2011  2012
2010 2011 2012
Q


2011  2012  2013
2011 2012 2013 và

Bài 7. Cho ; . Tính .
Bài 8. Cho ; . Tính .
Bài 9. ;
Tính .
5. Dạng 5. Tính tổng
a) Phương pháp: Dùng quy tắc và tính chất để cộng các phân số

Một số dãy phân số có quy luật
1.

2.

3.

4.

b) VD minh họa
Bài 1. Tính
a) (với n  N*);
c)

d)

e)

f) .

Bài 2. Tính
a)

b) .

c) .
Bài 3. Tính
a) .

b) .

c).

d) .

e) .
Bài 4. Tính
a)

b)

c)
Bài 5. Tính
Bài 6. Tính
a)

b)

c)

Bài 7. Tính tổng

b) (với n  N*).


a)
c)

b)
d)

e)
Bài 8. Tính các tích sau:
a)

b)

c)
Dạng 6. Chứng minh bất đẳng thức
Bài 1. CMR:
Bài 2. CMR:
Bài 3. CMR:
Bài 4. Cho Chứng minh
Bài 5. Cho . Chưng minh rằng:
a) A < 100

b) A > 50

Bài 6. CMR:
Bài 7. Cho . CMR:
Bài 8. Chứng tỏ rằng:
a)

b)

c)

d)

Bài 9. CMR:

Bài 10. Cho . CMR: 0,2 < C < 0,4
Bài 11. Cho . CMR:
Bài 12. CMR:
Bài 13. Cho . CMR: .
Bài 14.
a) Cho . CMR: 1 < M < 2.
b) Cho a, b, c, d  N* và .
Chứng tỏ rằng: 1< X <2.
Bài 15. Cho với a, b  N. CMR: .
Bài 16. Cho

với a, b  N. CMR: .

Bài 17. Cho . CMR: .
Bài 18. Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + ...+ 3100; B = 3101 - 1
CMR: A < B.


Bài 19. Cho A = 1 + 4 + 42 + ... + 499 và B = 4100. CMR: .
Bài 20. Cho . CMR: .
Bài 21. Cho . CMR: .
Bài 22. Cho . CMR: .
Bài 23. Cho . CMR: .
Bài 24. Cho . CMR: .
Bài 25. CMR: < 1.
Bài 26. CMR: < 1.
Bài 27. Cho . CMR 1 < S < 2.
Bài 28. Cho . CMR: C > .
Bài 29. . CMR: D < .
Bài 30. Chứng tỏ rằng: Không phải là số tự nhiên.

Bài 31. CMR: .
Bài 32. Cho . CMR A > 2.
Bài 33. CMR: .
Bài 34. CMR: .
Bài 35. CMR .
Bài 36. CMR: .
Bài 37. CMR: .
Bài 38. Cho

với n N. CMR: A < .

Bài 39. CMR: .
Bài 40. CMR: .
Bài 41. CMR: .
Bài 42. CMR: .
7. Dạng 7. Tìm giá trị thỏa mãn một đẳng thức
Bài 1. Tìm a, b  Z, biết rằng:
a)

b)

Bài 2. Tìm số tự nhiên x, biết: .
Bài 3. Tìm x, biết:
a) .
b)

.

c) .

8. Dạng 8. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 1. Tìm số nguyên x sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất.
a)

b)

c)

d)

Bài 2. Tìm số nguyên x sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
a)

b)

c)

d)

Bài 3. Tìm số để đạt:
a) Giá trị lớn nhất

b) Giá trị nhỏ nhất.

Bài 4. Cho với a, b  N, 1 ≤ a ≤ b; 0 ≤ b ≤ 9. Tìm GTLN, GTNN của M.

10. Dạng 10. Các bài toán về tỷ số phần trăm
VD1:

Một người gửi tiết kiệm 6.000.000 đồng. Sau 1 tháng cả tiền gửi và tiền lãi được
6.030.000 đồng.
a) Tính lãi suất tiết kiệm một tháng?
b)Với mức lãi suất tiết kiệm như thế, nếu người đó gửi 6.000.000 đồng trong hai
tháng thì rút ra tiền gốc và lãi được tất cả bao nhiêu tiền?
VD2: Một quả dưa hấu nặng 2kg, chứa 92% nước. Sau khi phơi nắng thì lượng nước
trong dưa chỉ cịn 90%. Hỏi khi đó quả dưa hấu cân nặng bao nhiêu kg?
Bài 1. Tính
15% + 75% + 56%34% x 8
23% - 18%25% : 5
Bài 2. Một hộp có 30% số bi là bi đỏ, 25% số bi là bi vàng, còn lại là bi xanh. Hỏi:
a) Tổng số bi đỏ và số bi vàng chiếm bao nhiêu phần trăm số bi cả hộp?
b) Số bi xanh chiếm bao nhiêu phần trăm số bi cả hộp?
Bài 3. Một cửa hàng đặt kế hoạch tháng này bán được 12 tấn gạo, nhưng thực tế cửa
hàng bán được 15 tấn gạo. Hỏi:
a) Cửa hàng thực hiện được bao nhiêu phần trăm kế hoạch?
b) Cửa hàng đã bán vượt mức kế hoạch bao nhiêu phần trăm?