DE CUONG HK2 - 11NC

Trường THPT Thạnh Đông GV: Đào Thị Mừng
TRƯỜNG THPT THẠNH ĐÔNG ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010
TỔ TOÁN - TIN MÔN : TOÁN 11_NÂNG CAO
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1. Chứng minh dãy số (u
n
) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |u
n
| ≤ v
n
, ∀n và lim v
n
= 0 thì limu
n
= 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0:
lim 0
1
n
=
,
lim 0
1
n
=
,
3
lim 0

1
n
=
,
lim 0
n
q =
với |q| < 1
2. Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limu
n
= +∞ thì
lim 0
1
n
u
=

- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+) Nếu
( )
0
lim
x x
f x
→
= +∞
thì

( )
0
lim 0
1
x x
f x
→
=
Đề cương Ôn tập Toán 11_Nâng cao
limu
n
limv
n
= L lim(u
n
v
n)
+∞
L >0
+∞
+∞
L < 0
−∞
−∞
L >0
−∞
−∞
L < 0
+∞
limun=L limvn

Dấu của
v
n
lim
n
n
u
v
L >0 0 +
+∞
L > 0 -
−∞
L < 0 +
−∞
L < 0 -
+∞
)(lim
0
xf
xx
→
)(lim
0
xg
xx
→
)().(lim
0
xgxf
xx

→
+ ∞ L > 0 + ∞
- ∞ - ∞
+ ∞ L < 0 - ∞
- ∞ + ∞
)(lim
0
xf
xx
→
)(lim
0
xg
xx
→
Dấu của
g(x)
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx
→
L > 0
0
+ + ∞
- - ∞
L < 0

+ - ∞
- + ∞
1
Trường THPT Thạnh Đông GV: Đào Thị Mừng
- Chú ý khi gặp các dạng vô định:
0
; ; ;0.
0
∞
∞ −∞ ∞
∞
ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử và
mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với
một lượng liên hợp;…
3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho CSN (u
n
) lùi vô hạn (với
1
<
q
), ta có :

1
1 1 1
1
n
u
S u u q u q
q

+
= + + + =
−
L L
4. Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x
0
:
+) Tính f(x
0
)
+) Tìm
( )
0
lim
x x
f x
→
(nếu có)
- Nếu
( )
0
lim
x x
f x
→
không tồn tại
⇒
f(x) gián đoạn tại x
0

.
- Nếu
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x L f x
→
= ≠
⇒
f(x) gián đoạn tại x
0
- Nếu
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x L f x
→
= =
⇒
f(x) liên tục tại x
0.
5. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1. Tìm đạo hàm của hàm số

Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
'
2
'
2
( )' ' '
( . )' '. '.
( . )' . '
'. '.
1 '
u v u v
u v u v v u
k u k u
u u v v u
v v
v
v v
± = ±
= +
=
−
 
=
 ÷
 
 
= −
 ÷
 

( )
( )
( )
1
'
2
' 0 ; ' 1
' .
1 1
1
'
2
n n
c x
x n x
x x
x
x
−
= =
=
 
= −
 ÷
 
=

( )
( )

1
'
2
' . . '
1 '
'
'
2
n n
u n u u
u
u u
u
u
u
−
=
 
= −
 ÷
 
=

+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu
( ) [ ( )]g x f u x
=
thì
' ' '
.
x u x

g f u
=
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
Đề cương Ôn tập Toán 11_Nâng cao
2
Trường THPT Thạnh Đông GV: Đào Thị Mừng
( )
( )
( )
2
2
sin ' cos
cos ' sin
1
tan '
cos
1
(cot )'
sin
x x
x x
x
x
x
x
=
= −
=
= −
( )

( )
( )
2
2
sin ' '.cos
cos ' '.sin
'
tan '
cos
'
(cot )'
sin
u u u
u u u
u
u
u
u
u
u
=
= −
=
= −
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M
0
có hoành độ x
0
có dạng:

y = f’(x
0
) (x – x
0
) + f(x
0
)
3. Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm:
0 0
( ) '( ).df x f x x= ∆
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng:
0 0 0
( ) ( ) '( )f x x f x f x x+ ∆ ≈ + ∆
- Vi phân của hàm số:
( ) '( )df x f x dx=
hay
'dy y dx=
4. Đạo hàm cấp cao
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.
- Đạo hàm cấp n của hàm số: f
(n)
= [f
(n-1)
]’.
II. BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
( )
2

1
)
2 1
n
n
a u
n
−
=
+
sin 2
)
1
n
n
b u
n
=
+
2
cos3
)
n
n n
c u
n n
+
=
+
cos

)
1
n
n
d u
n n
=
+
( )
1
1
)
3
n
n
n
e u
+
−
=
2
)
3 1
n
n
n
f u =
+
( )
1 1

1
1
)
3 5
n
n
n n
g u
+ +
−
= +
) 1
n
h u n n= + −
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
3
3 2
2 3 1
)lim
n n
a
n n
− +
+
3
2
3 2
)lim
2 1
n n

b
n
+ −
+

3
3 2
)lim
2 1
n
c
n n
− +
+ −
5
3 2
1 2 3
)lim
( 2) (5 1)
n n
d
n n
+ −
− −

2
4 1
)lim
1 2
n n

e
n
+ +
−
3 2.5
)lim
3.5 4
n n
n n
f
−
−

3 4 1
)lim
2.4 2
n n
n n
g
− +
+
2 2
4 1 9 2
)lim
2
n n
h
n
+ − +
−

)lim
n
i u
với
( )
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 1
n
u
n n
= + + + +
+
ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
2
)lim(3 1)a n n+ −
4 2
)lim( 2 3)b n n n− + − +
( )
2
)lim 3 sin 2c n n n+
2
)lim 3 1d n n+ −
( )
)lim 2.3 5.4
n n
e −
2

)lim 3 1 2f n n+ −
2
)lim 1g n n+ −
(
)
− +
2
)limh n n n
(
)
2
)lim 3 6 1 7i n n n− + −
( )
)lim 1k n n n− −
(
)
2
)lim 3l n n n− −
(
)
3 3 2
)limm n n n+ −
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) +∞ d) +∞ e) - ∞ f) - ∞ g) 0 h) +∞ i) -∞ k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
Đề cương Ôn tập Toán 11_Nâng cao
3
Trường THPT Thạnh Đông GV: Đào Thị Mừng
Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
1
1 1 1 1

1, , , ,..., ,...
2 4 8 2
n−
 
− − −
 ÷
 
b)
1
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
3 9 27 3
n−
 
 ÷
 
ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
∞
∞
):
a)
3
3 2
5 1
lim
2 3 1
x
x x
x x

→+∞
− + −
+ +
b)
3
3 2
lim
2 1
x
x
x
→−∞
− +
+
c)
3 2
2
5 1
lim
3
x
x x
x x
→−∞
− +
+

d)
5 3
2 3

2 4
lim
1 3 2
x
x x x
x x
→+∞
+ −
− −
2
3 2
5 1
) lim
2 3 1
x
x
e
x x
→+∞
−
+ +
f)
2 2
2 4 1
lim
2 5
x
x x x
x
→−∞

+ − +
−

ĐS: a) -1/2 b) -∞ c) - ∞ d) -∞ e) 0 f) -1/5
Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
a)
3 2
lim ( 2 3 1)
x
x x x
→−∞
− + − +
b)
4 3
lim ( 5 3)
x
x x x
→+∞
− + + −
c)
2
lim 4 2
x
x x
→+∞
+ +
d)
2
lim 3 2
x

x x
→−∞
− +
e)
(
)
2
lim 3 2
x
x x x
→+∞
+ −
f)
(
)
2
lim 2
x
x x x
→−∞
+ +
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) + ∞ d) +∞ e) - ∞ f) + ∞
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a)
3
1
lim
3
x
x

x
−
→
+
−
b)
( )
2
4
1
lim
4
x
x
x
→
−
−
c)
3
2 1
lim
3
x
x
x
+
→
−
−

d)
2
2 1
lim
2
x
x
x
+
→−
− +
+
e)
2
0
2
lim
x
x x
x x
−
→
+
−
f)
1
3 1
lim
1
x

x
x
−
→−
−
+
ĐS: a) - ∞ b) - ∞ c) +
∞
d) +
∞
e) 1 f) +
∞
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
0
0
):
a/
2
3
9
lim
3
x
x
x
→
−
−
b/
2

1
3 2
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
c)
2
3
3
lim
2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
d)
3
2
1
1
lim
1
x

x
x
→
−
−
e)
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
f)
2
2
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ −
g)

2
3
9
lim
1 2
x
x
x
→
−
+ −
h)
4
2 1 3
lim
2
x
x
x
→
+ −
−
i)
1
2 1
lim
5 2
x
x
x

→−
+ −
+ −
k)
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
−
→
− +
−

ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞):
a)
0
1 1
lim 1
1
x
x x
−
→
 

−
 ÷
+
 
b)
( )
2
1
2 3
lim 1
1
x
x
x
x
+
→
+
−
−
c)
2
3
2 1
lim 9.
3
x
x
x
x

+
→
+
−
−
d/
( )
3
2
2
lim 8
2
x
x
x
x
−
→
−
−
ĐS: a) -1 b) 0 c) +∞ d) 0
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a)
(
)
2
lim 1
x
x x
→+∞

+ −
b)
(
)
2 2
lim 2 1
x
x x x
→+∞
+ − +
c)
(
)
2
lim 4 2
x
x x x
→−∞
− +
d)
(
)
2 2
lim 1
x
x x x
→−∞
− − −

ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2

Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
)
a)
0
sin 3
lim
x
x
x
→
b)
2
0
sin sin 2
lim
3
x
x x
x
→
c)
2

0
1 cos
lim
sin
x
x
x x
→
−
d)
0
sin .sin 2 ....sin
lim
n
x
x x nx
x
→
ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!
Đề cương Ôn tập Toán 11_Nâng cao
4
Trường THPT Thạnh Đông GV: Đào Thị Mừng
Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2
4
-2
( )
2
4 -2

x
khi x
f x
x
khi x

−
≠

=
+


− =

tại x
0
= -2 b)
2
4 3
khi x 3
( )
3
5 khi 3
x x
f x
x
x

− +

≠

=
−


=

tại x
0
= 3
c)
2
2 3 5
1
( )
1
7 1
x x
khi x
f x
x
khi x

+ −
≠

=
−



=

tại x
0
= 1 d)
2 1
3
( )
3
3 3
x
khi x
f x
x
khi x

− +
≠

=

−

=

tại x
0
= 3
e/

2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x

−
≠

=
−


=

tại x
0
=
2
f)
2
2
( )
1 1

3 4 2
x
khi x
f x
x
x khi x
−

>

=
− −


− ≤

tại x
0
= 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2
3 2
2
( )
2
1 2
x x
khi x

f x
x
khi x

− +
≠

=
−


=

b)
( )
2
1
2
2
( )
3 2
x
khi x
x
f x
khi x
−

≠


−
=


=

c)
( )
2
2
x 2
2
5 x 2
x x
khi
f x
x
x khi

− −
>

=
−


− ≤

d)
( )

2
2
0
0 1
2 1 1
x khi x
f x x khi x
x x khi x
<


= ≤ <


− − + ≥


ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x
0
.
a)
( )
2
2
1
1
1
x x

khi x
f x
x
a khi x

− −
≠ −

=
+


= −

với x
0
= -1 b)
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x

<
=

− ≥


với x
0
= 1
c)
7 3
2
( )
2
1 2
x
khi x
f x
x
a khi x

+ −
≠

=

−

− =

với x
0
= 2 d)
2
3 1 1
( )

2 1 1
x khi x
f x
a khi x

− <
=

+ ≥

với x
0
= 1
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:
a)
4
5 2 0x x− + =
có ít nhất một nghiệm.
b)
5
3 7 0x x− − =
có ít nhất một nghiệm.
c)
3 2
2 3 5 0x x− + =
có ít nhất một nghiệm
d)
3
2 10 7 0x x− − =

có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g)
3 2
3 1 0x x+ − =
có 3 nghiệm phân biệt.
h)
( )
( )
3
2 2
1 1 3 0m x x x− + + − − =
luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
i)
( )
( )
3
2 4
1 4 3 0m x x x− − + − =
luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Đề cương Ôn tập Toán 11_Nâng cao
5