CÁC PHƯƠNG TRÌNH cơ bản ĐỘNG lực học lưu CHẤT (cơ lưu CHẤT SLIDE TIẾNG PHÁP)

Chương 4:

CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT
A. Dạng tích phân trên 1 thể tích kiểm sốt
4.1 Phương trình liên tục
dM 
0

dt  system
dN 

 


  d   u.dA
dt system t CV
CS

N M 

 1 

dM 

 


  d   u.dA 0

dt system

t CV
CS


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.1 Équation de continuité
dM 
0

dt  system
dN 

 


  d   u.dA
dt system t CV
CS

N M 

 1 

dM 

 



  d   u.dA 0

dt system
t CV
CS


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV

 

  d   u.dA 0
4.1 Équation de continuité
t CV
CS
 

Éc. stationnaire:
0  Q m   u.dA 0
t
CS
 
Q  u.dA 0
Fluide incompressible  = const :

V1

CS

CV

V2

1
V1
1

V3
Q1 Q 2  Q3
V1A1 V2 A 2  V3A 3

2

V2

2

3
V3
3

Q1 Q2 Q3
V1A1 V2 A 2 V3A3

Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.2 Équation de quantité de mouvement



 dK 
K  (system) ud

F 
dt system

dN 

 


  d   u.dA
dt system t CV
CS


N K 
  
 u 

    

  
F  FB  FS   u d  u  u.dA
t CV
CS


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.2 Équation de quantité de mouvement (cont.)
    
  

F  FB  FS   u d  u  u.dA
t CV
CS
 Éc. stationnaire d’un fluide incompressible:
  
  
F FB  FS  u. u.dA
CS





 Éc. stationnaire d’un fluide incompressible, 1D :
  



F FB  FS  Q ra  0ra Vra  Q vao 0 vao Vvao





2
0: coefficient de correction de quantité de mouvement
1 u
 0    dA
dans les conduites circulaire, éc. laminaire  = 4/3
A A V 
éc. turbulent 


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.2 Équation de quantité de mouvement (cont.)
 Éc. stationnaire d’un fluide incompressible, 1D:

  
  
F FB  FS  u. u.dA
CS
  



F FB  FS  Q ra  0ra Vra  Q vao 0 vao Vvao









V1
1
V1

2

1

2

CV

V2




F Q  02 V2   01V1



V2



V


 3


F  Q 2  02 V2  Q 3 03V3  Q1 01V1



Attention: les sections mouillées 1-1, 2-2 ... doivent être planes.




Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.3 Équation de l’énergie
1er principe de la thermodynamique:
E system  ed



u2
e U 
 gz
2




dE 
  W

Q

dt  system



É.
É.
É.
inter ciné- poten
par uniteù de la masse
-ne tique -tiel

  0 quand le systốme reỗoit de chaleur.
Q
0 quand le travail est effectué par le système.
W


 


Eùq. de Reynolds  Q  W   ed  eu.dA
t CV
CS


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LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.3 Équation de l’énergie (cont.)

Travail
1)



1) Travail effectué par les pompes ou ventilateur
ou travail fourni à la turbine...
2) Travail des forces normales et tangentielles.
3) Les autres travails.

 tuabin QH t
W
 bôm  QH b
W

    

m
W

2)



Ht est le travail nette fournie à la turbine par
unité de poids du fluide
Hb est le travail utile par l’unité de poids
fournie par la pompe au fluide

 
 
 
F.d s


W  lim
ou W F . u  pu . ndA 
t  0 t
CS

 
 . u dA

CS

Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.3 Équation de l’énergie (cont.)
Éc. stationnaire des fluides incompressibles (2 sections
mouillées sont planes: la pression est hydrostatique).
2
1

V1

V2

M

2

1
2






u
Q  W

  pu.dA  eu.dA   U  gz  u.dA
m

2 
CS
CS
CS 
2




p
u
Q  W
  eu.dA   U  gz   u.dA
m

 2 
CS
CS 


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.3 Équation de l’énergie (cont.)
Éc. stationnaire des fluides incompressibles (2 sections

mouillées sont planes: la pression est hydrostatique).
2
1

V1
1

V2

M

2


Q  W
  Uu.dA 
m
CS


p u2   
 gz   u.dA
 2 
CS 




p u2   
p u2   

p u2   
 gz   u.dA   gz   u.dA    gz   u.dA
 2 
 2 
 2 
CS 
A1
A2 



p1 u12 
p 2 u 22 
  gz1   u1dA1    gz 2   u 2 dA 2
 2 

2
A1
A2 


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.3 Équation de l’énergie (cont.)

p u2   
 gz   u.dA 

V2
 2 
CS 
M
2
2




p
u
p
u
1
1
2
2
2
  gz1   u1dA1    gz 2   u 2 dA 2
 2 

2 
A1
A2 



p
p

p





 Si la section est plane
gz


udA

gz


Q


Q
z









A



2
2
u
V

udA

VA é. cinétique calculée de la vitesse moyenne

2
A 2
3
2
2
2
1
u


u
V
V
    dA

udA


VA


Q

A A V 
2
2g
A 2
: coefficient de correction de l’énergie cinétique
dans les conduites circulaire, éc. laminaire  =
2
2

1

V1
1


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
A. Forme intégrale pour un CV
4.3 Équation de l’énergie (cont.)
Éc. stationnaire des fluides incompressibles (2 sections
mouillées sont planes: la pression est hydrostatique).

Q  W
  Uu.dA 
m

CS


W
tuabin QH t

W
 QH
bôm

b

2


p u

gz



 2
CS 

  
u.dA


1

V1

2
V2

M

2

1



p 2  2 V22 
p1 1V12 
  Q1  z1  
 Q Q1 Q 2
Q 2  z 2  

2
g

2
g





  

Uu.dA  Q Qh f

CS

 Ht 
p1 1V12
p 2  2 V22
z 2  
 h f 1 2
  z1  
Hb 

2g

2g

N h / i QH b
N

N LT QH t

QH b


N QH t


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES

DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.4 Équation de continuité
z

u y x z

 u z  

z  x y
 u z 
z



z
 u y


 u y 
y  x z
o

y


x
y
u zx y

 

y
x


 
  d   u.dA 0
t CV
CS


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.4 Équation de continuité

 

 d   u.dA 0

CS
tCV  
  

d



t
CV


t


 div( u) d

CV


 .u 0

 (u x ) (u y ) (u z )



0
t
x
y
z


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle

4.4 Équation de continuité


 .u 0
t

0 ;   x , y, z 
 Éc. stationnaire:
t

(u x ) (u y ) (u z )



0 ou .u 0
x
y
z
 Fluide incompressible :  const


u x u y u z


0
x
y
z



ou .u 0

C’est à dire la déformation volumique = 0


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
Ex. 1: Soit les trois composantes de la vitesse d’un écoulement
stationnaire du fluide incompressible:
u x x 2  y 2  z 2

uz ?

u y xy  yz  z


u x u y u z


0 
u z

  3x  z 
x
y
z


z


2



z
u z  3xz 
 f  x, y 
2


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.5 Équation de quantité de mouvement
1) Équation d’Euler: équation de quantité de mouvement
pour un fluide idéal

 Fx 



1
du 
F


p 
 Fy 
dt 

    
Force de
Force de surface 
 Fz 
volume par
 force de

unité de
masse

pression par
unité de masse

1 p du x
. 
 x dt
1 p du y
. 
 y dt
1 p du z
. 
 z dt


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.5 Équation de quantité de mouvement (cont.)
1) Équation d’Euler :
Forme de Lamb – Gromekô:


 1
 
u
u2
F  p     2 u

t
2


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.5 Équation de quantité de mouvement (cont.)
2) Équation de Navier-Stokes: équation de quantité de
mouvement pour un fluide réel incompressible.

du  1
2
F  p   u

dt


 u x
 2 u x 2 u x 2 u x 
u x
u x
u x
1 p
 ux
 uy
 uz
Fx 
   2  2  2 

x
y
z
 x
y
z 
 x
 t
 u
 2 u y 2 u y 2 u y 
u y
u y
u y
1 p
 y

 ux
 uy
 uz
Fy 
 2  2  2 

 x
x
y
z
 y
y
z 
 t


2
2
2


u

u

u

u
1


p

u

u

uz 
z
z
z
z
z
 z u



u

u

F





x
y
z
z

2
2
2 

 t
x
y
z
 z
y
z 
 x


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.5 Équation de quantité de mouvement (cont.)
3) Intégrales de l’équation d’Euler
Écoulement irrotaionnel, stationnaire et incompressible
d’un fluide idéal, dans le champ
de gravité :
0
0

 1
 
u

u2
F  p     2 u

t 2 2
u 

p
p u2 
  gz        gz    0

 2 
 2 




p u2
gz  
const ou
 2

p A u 2A
p B u 2B
zA 

z B 

 2g
 2g

p u2
z 
const
 2g

A et B sont les 2 points
arbitraires dans tout le
domaine de l’écoulement


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.5 Équation de quantité de mouvement (cont.)
3) Intégrales de l’équation d’Euler (cont.)
Écoulement rotaionnel, stationnaire et incompressible
d’un fluide idéal, dans le champ de gravité :

n

u
R



p  du
  gz   
  dt 0


Ligne de courant 
 u2 

u

u


trajectoire

u  n
s 
R
 t

Équation de Bernoulli (projection
 de l’équation d’Euler sur l’axe
orienté dans le même sens que u )

p u2 
p u2
 gz    0  gz  
const
s 
 2 
 2

p A u 2A
p B u 2B

zA 

z B 

 2g
 2g

2 points A et B se trouvent
sur une ligne de courant


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.5 Équation de quantité de mouvement (cont.)
3) Intégrales de l’équation d’Euler (cont.)
Écoulement rotaionnel, stationnaire et incompressible
d’un fluide idéal, dans le champ de gravité :

n

u
R



p  du
  gz   

  dt 0

Ligne de courant 
 u2 

u

u


trajectoire

u  n
s 
R
 t

 Projection de l’équation d’Euler sur l’axe n dirigé contre le centre

C de la courbure

 
p  u2
 gz   
n 
 R

 
p  u2
 z   

hay
n

gR
      
La hauteur piézométrique augmente quand
on s’éloigne du centre de courbure


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
B. Forme différentielle
4.5 Équation de quantité de mouvement (cont.)
3) Intégrales de l’équation d’Euler (cont.)
Écoulement rotaionnel, stationnaire et incompressible
d’un fluide idéal, dans le champ de gravité :
 Projection de l’équation d’Euler sur l’axe n dirigé contre le centre

C de la courbure
n

u
R


 
p  u2
 

p  u2
 gz   
 z   
hay
n 
 R
n

gR
      
Ligne de courant 
La hauteur piézométrique augmente quand
trajectoire
on s’éloigne du centre de courbure

Écoulements graduellement variés: les lignes de courante sont presque
droites et paralèlles (R) (la section mouillée est plane: la répartition
p
des pressions est hydrostatique):
z  const



Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
4.6 Applications
1) Tube de Pitot (appareil permet de mesurer les vitesses
d’écoulement en un point)

Air compressé
M

(1)

uA

AB

h

N

h

M

N

u 2A
h (2) uA
A B
2g

 2

u 2A

h 
 1

2g
 1


(3) uA

A B
M

1
h

N

2 > 1


Chapitre 4:

LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES
DE L’ ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE
4.6 Applications
2) Tube de Venturi (appareil permet de déterminer le débit)
1
Q
1

air
M

h

2
2
N

Q M 2g h  h f  CM 2gh

C 1