bất đẳng thức mũ và logarit (p1)

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT
1. Sử dụng tính đồng biến , nghịch biến của hàm số mũ và logarit
Ví dụ 1 : So sánh :
3 2
2 ,3
Giải :
Ta có
6 4 3 3 3
3 3 9 8 2 (2 )> = > = =
=>
2 3
3 2>
Ví dụ 2 : So sánh : log
3
4

, log
10
11
Giải :
Ta có log
3
4

= log
9
16> log
9
11=
11
1

log 9
Mà log
11
10>log
11
9>0=>
10
11 11
1 1
log 11
log 9 log 10
> =
Nên log
3
4> log
10
11
Ví dụ 3: So sánh : log
3
16, log
16
729
Giải : Ta có log
3
16.log
16
729=log
3
729=6
Mặt khác

5
6 6.25
2
3 3 3 243 256 16< = = < =
=>Suy ra
6
3 3
log 3 log 16<
Khi đó :
3
log 16 6>
,
16
log 729 6<
=> log
3
16> log
16
729
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : 3(a.2
a
+b.2
b
+c.2
c
)
≥
(a+b+c)( 2
a
+2

b
+2
c
),
∀
a,b,c
Giải :
Ta có hàm số y=2
x
đồng biến trên R
Khi đó : (2
a
-2
b
)(a-b)
≥
0=> a.2
a
+b.2
b
≥
a.2
b
+b.2
a
,
∀
a,b
(2
b

-2
c
)(b-c)
≥
0=> b.2
b
+c.2
c
≥
b.2
c
+c.2
b
,
∀
b,c
(2
c
-2
a
)(c-a)
≥
0=> c.2
c
+a.2
a
≥
c.2
a
+a.2

c
,
∀
c,a
 2(a.2
a
+b.2
b
+c.2
c
)
≥
(a.2
b
+b.2
a
)+ (b.2
c
+c.2
b
)+ (c.2
a
+a.2
c
)
 3(a.2
a
+b.2
b
+c.2

c
)
≥
(a.2
b
+b.2
a
)+ (b.2
c
+c.2
b
)+ (c.2
a
+a.2
c
)+ (a.2
a
+b.2
b
+c.2
c
)
 3(a.2
a
+b.2
b
+c.2
c
)
≥

(a+b+c)(2
a
+2
b
+2
c
) (đpcm)
Ví dụ 5 : Chứng ming rằng :
3

a b c
a b c
a b c abc
+ +
>
,
∀
a,b,c>0
Giải : Hàm số y=lnx đồng biến trên (0,+oo)
Ta có (lna-lnb)(a-b)
≥
0=> a.lna+b.lnb
≥
a.lnb+b.lna ,
∀
a,b>0
(lnb-lnc)(b-c)
≥
0=> b.lnb+c.lnc
≥

b.lnc+c.lnb ,
∀
b,c>0
(lnc-lna)(c-a)
≥
0=> c.lnc+a.lna
≥
c.lna+a.lnc ,
∀
c,a>0
 2(a.lna+b.lnb+c.lnc )
≥
(a.lnb+b.lna)+ (b.lnc+c.lnb)+ (c.lna+a.lnc)
 3(a.lna+b.lnb+c.lnc )
≥
(a+b+c)(lna+lnb+lnc)
 3lna
a
b
b
c
c
≥
lnabc
a+b+c

3

a b c
a b c

a b c abc
+ +
>
(đpcm)
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng :
4 9
log (1 4 ) log (2 9 )
a a a
+ > +
, với mọi a>0
Giải :
Ta có :
4 4
1 4
1
log (1 4 ) log (1 4 )
log 4
a
a a
a a
−
−
+
+ = + + = +
,
9
1 4 1 4
1 1
log (1 4 )
log 4 log 9

a a
a
− −
−
+ +
> = +
Nên
4 9 9 9
9
log (1 4 ) log (1 4 ) log 9 (1 4 ) log (9 )
4
a
a a a a a
a
− −
 
+ > + + = + = +
 ÷
 
4 9
log (1 4 ) log (9 2 )
a a a
=> + > +
(đpcm)
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng :
log log ( ), , , ;1 , 0
a a c
b b c a b c a b c
+
> + ∀ < < >

Giải :
, , ;1 , 0a b c a b c∀ < < >
Đặt : A=log
a
b => b=A
a
>A>1
Ta có
1 1
A
A
A A
a c a c c c a c
a a a a a
+ + +
 
> = + > + =
 ÷
 
=>
( )
A
A
a c a c b c+ > + = +
=> A>
log ( )
a c
b c
+
+

=>
log log ( ), , , ;1 , 0
a a c
b b c a b c a b c
+
> + ∀ < < >
(đpcm)
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng :
( )
3
log log log , , , 2, 2
4
b c c a a b
a b c a b c
+ + +
+ + > ∀ ∈
Giải :
Đặt A= log
b+c
a

=> (b+c)
A
= a>
1
2
2 2=

Mà 1<b+c<4 nên (b+c)
A

<4
A
=2
2A
=> 2
2A
>
1
2
2
=> 2A>
1
2
=> A>
1
4
 log
b+c
a
>
1
4
Tương tự : log
c+a
b
>
1
4
, log
b+a

c
>
1
4
Suy ra :
( )
3
log log log , , , 2, 2
4
b c c a a b
a b c a b c
+ + +
+ + > ∀ ∈
( đpcm)
Ví dụ 9 : Chứng minh rằng :
1 1 1 1
log ( ) log ( ) log ( ) 6 , , , ,1
4 4 4 4
a b c
b c a a b c
 
− + − + − ≥ ∀ ∈
 ÷
 
Giải :
Ta có :
2 2
1 1 1
( ) 0
2 4 4

x x x x x
 
− = − + ≥ => ≥ −
 ÷
 
=>
2
1 1 1
log log ( ) 2log log ( ), , ,1
4 4 4
y y y y
x x x x x y
 
≤ − => ≤ − ∀ ∈
 ÷
 
Khi đó :
1 1 1 1
2(log log log ) log ( ) log ( ) log ( ), , , ,1
4 4 4 4
a b c a b c
b c a b c a a b c
 
+ + ≤ − + − + − ∀ ∈
 ÷
 
Mặt khác : log
a
b,log
b

c,log
c
a>0 =>
3
log log log 3 log .log .log 3
a b c a b c
b c a b c a+ + > =
=>
1 1 1 1
log ( ) log ( ) log ( ) 6 , , , ,1
4 4 4 4
a b c
b c a a b c
 
− + − + − ≥ ∀ ∈
 ÷
 
(đpcm)
Dầu bằng xảy ra  a=b=c=1/2