MÔ HÌNH TOÁN học hệ THỐNG LIÊN tục (PHẦN 4) (cơ sở tự ĐỘNG SLIDE)

CHƯƠNG 2

MƠ HÌNH TỐN HỌC
HỆ THỐNG LIÊN TỤC


Hệ phi tuyến
Ví dụ 1: Bồn nước

(

1
y&( t ) = ku ( t ) − aCD 2gy ( t )
A

)

Hệ phi tuyến
bậc 1


Hệ phi tuyến
Ví dụ 2: Cánh tay máy

&
θ&( t ) = −

ml + Mlc
B &
1
θ t −

g cos ( θ ) +
u t
2 ( )
2
2 ( )
J + ml
J + ml
J + ml
Hệ phi tuyến
bậc 2


Hệ phi tuyến
Ví dụ 3: Hệ thống lái tàu

1 1
 1  3
 k  &
&
&&( t ) − 
ψ&&( t ) = −  + ÷ψ
÷( ψ& ( t ) + ψ&( t ) ) 
÷ τ 3δ ( t ) + δ ( t )
 τ1 τ2 
 τ1τ2 
 τ1τ2 

(

Hệ phi tuyến

bậc 3

)


Mơ tả hệ phi tuyến dùng
PTTT
Hệ phi tuyến có thể được mô tả bởi PTTT
sau:

 x&( t ) = f ( x ( t ) ,u ( t ) )

 y ( t ) = h ( x ( t ) ,u ( t ) )

Trong đó:
y(t) : tín hiệu ra
u(t) : tín hiệu vào
x(t) : các biến trạng thái
f(.), h(.) : các hàm phi
tuyến


Mơ tả hệ phi tuyến dùng
PTTT
Ví dụ 1: Bồn nước

(

1
y&( t ) = ku ( t ) − aCD 2gy ( t )

A

)

Đặt x1(t) = y(t)
⇒


aCD 2gx1 ( t ) k
 x&( t ) = −
+ u( t)
PTTT : 
A
A
 y=x t
1( )



Mơ tả hệ phi tuyến dùng
PTTT
Ví dụ 1: Cánh tay máy

&
θ&( t ) = −
Đặ
t

ml + Mlc
B &

1
θ t −
g cos ( θ ) +
u t
2 ( )
2
2 ( )
J + ml
J + ml
J + ml

x1 ( t ) = θ ( t ) , x 2 ( t ) = θ&( t )


x2 ( t )

 x& t = 

(
)
ml + Mlc

B
1


PTTT : 
−
g
cos

x
t
−
x
t
+
u
t
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
2 2
2


J
+
ml
J
+
ml
J
+

ml



 y = x1 ( t )



Phương pháp tuyến tính
hóa
Xét hệ phi tuyến được mơ tả bởi PTTT
sau:

 x&( t ) = f ( x ( t ) ,u ( t ) )

 y ( t ) = h ( x ( t ) ,u ( t ) )

x
x
Trạng thái
được gọi là dừng nếu hệ đang
u tác động điều khiển cố
ở trạng thái và
định không đổi thì hệ giữ nguyên trạng
thái
: điểm làm việc
( x,u ) đó.
tĩnh

f ( x ( t ) ,u ( t ) )

x = x,u = u

=0


Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
xung quanh điểm làm việc tĩnh
Xét hệ phi tuyến được mô tả bởi PTTT
sau:
 x&( t ) = f x ( t ) ,u ( t )

(
)

 y ( t ) = h ( x ( t ) ,u ( t ) )

Khai triển Taylor f(.) và h(.) xung quanh
điểm làm việc tĩnh ta có thể mơ tả hệ
thống bằng PTTT tuyến tính.

 x&
%( t ) = Ax%( t ) + Bu%( t )

 y%( t ) = Cx%( t ) + Du%( t )

x%( t ) = x ( t ) − x ( t )
u%( t ) = u ( t ) − u ( t )

y%( t ) = y ( t ) − y ( t ) , y ( t ) = h ( x,u )

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
xung quanh điểm làm việc tĩnh
Các ma trận trạng thái:
 ∂f1
 ∂x
 1
 ∂f 2
A =  ∂x1

 M
 ∂f
 n
 ∂x1

∂f1
L
∂x 2

∂f1 
∂x n 

∂f 2
∂f 2 
L
∂x 2
∂x n 

M O M

∂f n
∂f n 

L
∂x 2
∂x n  ( x,u )

 ∂h ∂h
C=
L
 ∂x1 ∂x 2

∂h 

∂x n  ( x,u )

 ∂f1 
 ∂u 
 
 ∂f n 
B =  ∂u 
 M
 
 ∂f n 
 ∂u 
( x,u )
 ∂h 
D= 
 ∂u  ( x,u )

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
xung quanh điểm làm việc tĩnh
Ví dụ 1: Bồn nước

 x&( t ) = −0.3544 x1 ( t ) + 1.5u ( t )
PTTT : 
 y = x1 ( t )
Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc y(t)
= 20cm ?
Điểm tĩnh:

x = 20
f ( x,u ) = −0.3544 20 + 0.9465u = 0 → u = 1.0567


Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
xung quanh điểm làm việc tĩnh
Ví dụ 1: Bồn nước (tt)
Các ma trận trạng thái:
∂f1
∂f1
A=
= −0.0396, B =
= 1.5
∂x1 ( x,u )
∂u ( x,u )
∂h
C=
= 1,

∂x1 ( x,u )

∂h
D=
=0
∂u ( x,u )

Vậy PTTT quanh điểm y = 20cm:

 x&
%( t ) = −0.0396x%( t ) + 1.5u%( t )

 y%( t ) = x%( t )


Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
xung quanh điểm làm việc tĩnh
Ví dụ 2: Cánh tay máy


x2 ( t )

 x&( t ) = 

PTTT : 
 −32.7cos ( x1 ( t ) ) − 0.1111x 2 ( t ) + 22.2222u ( t ) 

 y = x1 ( t )
Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc y(t)
=

π/6 rad
Điểm
tĩnh:?

π 
x =  6  , u = 1.2744
 0 


Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
xung quanh điểm làm việc tĩnh
Ví dụ 2: Cánh tay máy (tt)
Các ma trận trạng thái:
1 
 0
 0 
A=
, B=


16.35
−
0.1111
22.2222




C = [ 1 0] ,
D = [ 0]

Vậy PTTT quanh điểm y = π/6 (rad):

 x&
%( t ) = Ax%( t ) + Bu%( t )

 y%( t ) = Cx%( t )


Mơ tả hệ phi tuyến dùng
PTTT
Ví dụ 3: Cho hệ bồn nước đôi

L&1 ( t ) = −0.2260 L1 ( t ) + 0.2964Vp


L&2 ( t ) = −0.0156 L 2 ( t ) + 0.0051 L1 ( t )
Tuyến tính hóa
quanh điểm làm việc L2 =
15cm?


Mơ tả hệ phi tuyến dùng
PTTT
Ví dụ 4: Cho hệ
bồn nước

L&( t ) =

Fin ( t ) − 4 L ( t )

314 + 36L ( t ) + L2 ( t )

Tuyến tính hóa
quanh điểm làm
15cm?

việc

L

=