Tổng ôn cấp tốc Toán 12 p cơ bản./.

Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum
Chuyên đề 6 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PT CÓ CHỨA LOGARÍT
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0

dn
M
a
log N M a N= ⇔ =


Điều kiện có nghóa :
N
a
log
có nghóa khi





>
≠
>
0
1
0
N

a
a

2. Các tính chất :
•
a
log 1 0=
•
a
log a 1=
•
M
a
log a M=
•
log N
a
a N=
•
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +
•
1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•

a a
log N .log N
α
= α
Đặc biệt :
2
a a
log N 2.log N=
3. Công thức đổi cơ số :
•
a a b
log N log b.log N=
•
a
b
a
log N
log N
log b
=
* Hệ quả:
•
a
b
1
log b
log a
=
và
k a

a
1
log N log N
k
=

* Công thức đặc biệt:
a
b
c
c
b
a
loglog
=

4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+
=D R
• Tập giá trò
=T R
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a

y log x=
đồng biến trên
+
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x=
nghòch biến trên
+
R
1
Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum
• Đồ thò của hàm số lôgarít:

Minh họa:
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Đònh lý 1: Với 0 < a
≠
1 thì : a
M
= a
N

⇔
M = N
2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔
M > N (nghòch biến)
3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N

⇔
M < N (đồng biến )
4. Đònh lý 4: Với 0 < a
≠
1 và M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N
⇔
M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M >N (nghòch biến)
6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N

⇔
M < N (đồng biến)
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N=

1.
( ) ( )
5 5 5
log x log x 6 log x 2= + − +
2.
5 25 0,2
log x log x log 3+ =

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
1/.
3
log log 9 3
x
x + =
2)
2
2
2
log 3.log 2 0x x
− + =
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
2
0<a<1

y=log
a
x
1
x
y
O
f(x) =ln(x) /ln(1 /2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=log
2
x
x
y

x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1
log=
1
O
1
O
a>1
y=log

a
x
1
y
x
O
Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum
Ví dụ : Giải phương trình sau :

2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x+ = +
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do
đó nếu tồn tại x
0

∈

(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình
f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
2
2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + +
Bài 1: Giải các phương trình:
1/.
3
log log 9 3
x
x + =
2/.
( )
( )
2 4
1
log 2 1 .log 2 2 1
x x
+
− − =
3/.
2
2
2
log 3.log 2 0x x

− + =
4/.
( ) ( )
3
3
log 9 log 3 1
x x
x x
+ =
5/.
( )
( )
5 5 5
1
.log 3 log 3 2 log 3 4
x x
x
+
+ − = −
6/.
3 3
log log 2
4 6
x
x
+ =
7/.
( )
( )
2

3 3
log 5 log 2 5x x x
− − = +
8/.
2
3
3
log ( 12)log 11 0x x x x
+ − + − =
9/.
2
3 3
log log
3 6
x x
x
+ =
10/.
( )
2 2
log 4 log 2 4x x+ = + −
11/.
2
2 2 2
2
log 3.log 2 log 2x x x− + = −
12/.
2 3 3 2 3
log .log .log 3 log 3logx x x x x x x+ + = + +
13/.

( ) ( )
3 2
3.log 2 2.log 1x x
+ = +
14/.
3 3 3
log 4 log log 2
2
.2 7.
x
x x x
= −
15/.
( ) ( )
2
2
2
log 4 log 2 5x x
− =
16/.
( ) ( )
3 27 27 3
1
3
log log log logx x
+ =
17/.
3 3
log 2 4 logx x+ = −
18/.

2 3 3 2
log .log 3 3.log logx x x x+ = +
19/.
( )
2
2 2
4
2.log log .log 7 1x x x= − +
20/.
( ) ( )
( )
3 3 3
2
log 2 2 log 2 1 log 2 6
x x x
+
− + + = −
21/.
( )
2
2 2
2
8
2
log log 8 8
x
x+ =
22/.
2
2 2

log log 6
6.9 6. 13.
x
x x
+ =
23/.
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
log log .log 1 2 3.log 2.log 1x x x x x
+ − + = + −
24/.
2 2
log log 3
3 18
x
x
+ =
25/.
2
2 2
.log 2( 1).log 4 0x x x x− + + =
Bài 2 : Giải các bất phương trình:
1/.
( ) ( )
2 4
4 2
log log log log 2x x
+ ≥
2/.

2 2
log 3 log 1x x+ ≥ +
3/.
( )
( )
2
2 2
log 3 2 log 14x x x
− + ≥ +
4/.
( )
2
2 2
3
log 2 log 1x x
− ≤
5/.
( )
2
1
log 4 2
x x
x
+
− ≤
6/.
( )
2 2
2 2
log 2log 3 5 4 0x x x x+ − − + ≥

3
Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum
7/.
2 2
log 1 3 logx x− ≤ −
8/.
2
2
log
1
2
log
2 2. 3
x
x
x
+ ≤
9/.
( )
( )
2
2
2
log 6 5
2
log 2
x x
x
− +
≥

−
10/.
2
2 2
2
log log 2
0
log
2
x x
x
− −
≥
11/.
2 1 1
2
2
log log log 3 1x x
 
 ÷
+ − ≤
 ÷
 
12/.
2
2 3 3 2
log .log 2 log logx x x x+ ≤ +
13/.
2
2 2

log log 1
8
x
x
x
 
+ ≥
 ÷
 
14/.
2
3
3
log log
3 6
x x
x
+ ≤
Bài 3 : Giải các hệ phương trình
1/.
2 2
6
log log 3
x y
x y
+ =


+ =


2/.
( )
2 2
2
3 3
log 6 4
log log 1
x y
x y

+ + =


+ =


3/.
log log 2
6
yx
y x
x y
+ =



+ =


4/.

2 2
2
6
log 3
log log 2
x y
x y
+ =



+ =


5/.
( ) ( )
2 2
3 5
3
log log 1
x y
x y x y

− =


+ − − =


6/.

2
2
log 4
2 log 2
x y
x y
+ =


− =

7/.
2
3
log
log 2 3
9
y
y
x
x

+ =


=


8/.
2 2

2 2
log log
16
log log 2
y x
x y
x y


+ =

− =


9/.
( )
( )
log 2 2 2
log 2 2 2
x
y
x y
y x
+ − =


+ − =


10/.

2 2
2
4 2
log log
3. 2. 10
log log 2
y x
x y
x y

+ =


+ =


11/.
32
log 4
y
xy
x
=



=


12/.

( )
2
2
log 4
log 2
xy
x
y
=


 
=
 ÷

 

PH¦¥NG TR×NH Vµ BÊT PH¦¥NG TR×NH LOgrIT
1.
( ) ( )
5 5 5
log x log x 6 log x 2= + − +
2.
5 25 0,2
log x log x log 3+ =
3.
( )
2
x
log 2x 5x 4 2− + =

4.
2
x 3
lg(x 2x 3) lg 0
x 1
+
+ − + =
−

5.
1
.lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18
2
− + + = +
6.
1 2
1
4 lg x 2 lg x
+ =
− +
7.
2 2
log x 10 log x 6 0
+ + =
8.
0,04 0,2
log x 1 log x 3 1
+ + + =
9.

x 16 2
3log 16 4 log x 2 log x
− =
10.
2
2x
x
log 16 log 64 3
+ =

11.
3
lg(lgx) lg(lg x 2) 0
+ − =
32.
3 1
2
log log x 0
 
≥
 ÷
 ÷
 
33.
1
3
4x 6
log 0
x
+

≥
34.
( ) ( )
2 2
log x 3 1 log x 1+ ≥ + −
36.
5 x
log 3x 4.log 5 1
+ >
37.
2
3
2
x 4x 3
log 0
x x 5
− +
≥
+ −
38.
1 3
2
log x log x 1
+ >
39.
( )
2
2x
log x 5x 6 1− + <
40.

( )
2
3x x
log 3 x 1
−
− >
41.
2
2
3x
x 1
5
log x x 1 0
2
+
 
− + ≥
 ÷
 
42.
x 6 2
3
x 1
log log 0
x 2
+
−
 
>
 ÷

+
 
43.
2
2 2
log x log x 0
+ ≤
44.
x x
2
16
1
log 2.log 2
log x 6
>
−
4
Đặng Ngọc Liên- Ngọc Hồi -KonTum
12.
x
3 9
1
log log x 9 2x
2
 
+ + =
 ÷
 
13.
( ) ( )

x x
2 2
log 4.3 6 log 9 6 1− − − =

14.
( ) ( )
x 1 x
2 2 1
2
1
log 4 4 .log 4 1 log
8
+
+ + =
15.
( )
x x
lg 6.5 25.20 x lg25+ = +
16.
( )
( ) ( )
x 1 x
2 lg2 1 lg 5 1 lg 5 5
−
− + + = +
17.
( )
x
x lg 4 5 x lg 2 lg3+ − = +
18.

lg x lg 5
5 50 x= −
18.
2 2
lg x lg x 3
x 1 x 1
−
− = −
19.
2
3 3
log x log x
3 x 162
+ =
20.
( )
( )
2
x lg x x 6 4 lg x 2+ − − = + +
21.
( ) ( )
3 5
log x 1 log 2x 1 2+ + + =
22.
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0
+ + + + + − =
23.

( )
5
log x 3
2 x
+
=
24.
( )
2
8
log x 4x 3 1− + ≤
25.
8 1
8
2
2log (x 2) log (x 3)
3
− + − >
26.
( )
2
1 4
3
log log x 5 0
 
− >
 
27.
( )
( )

2
1 5
5
log x 6x 8 2 log x 4 0
− + + − <
28.
1 x
3
5
log x log 3
2
+ ≥

45.
2
3 3 3
log x 4log x 9 2 log x 3
− + ≥ −
46.
( )
2 4
1 2 16
2
log x 4log x 2 4 log x
+ < −
47.
2
6 6
log x log x
6 x 12

+ ≤
48.
3
2 2
2 log 2x log x
1
x
x
− −
>
49.
( ) ( )
x x 1
2 1
2
log 2 1 .log 2 2 2
+
− − > −
50.
( ) ( )
2 3
2 2
5 11
2
log x 4x 11 log x 4x 11
0
2 5x 3x
− − − − −
≥
− −

51.
+
>
+
2
3
3
1 log x
1
1 log x
52.
+ <
− +
5 5
1 2
1
5 log x 1 log x
53.
− >
x 100
1
log 100 log x 0
2
54.
11252
5
<−
x
logxlog
55.

( ) ( ) ( )
04221
3
3
1
3
1
<−+++−
xlogxlogxlog
56.
( )
xlogxlog
x
2
2
2
2
+
≤ 4 57.
( ) ( )
2 2
5 5
log 4 12 log 1 1x x x
+ − − + <
58.
( ) ( )
12lg
2
1
3lg

22
+−>−
xxx
59.
( )
3
8
2
4
1
−+
xlogxlog
≤ 1
60.
( ) ( )
2431243
2
3
2
9
++>+++
xxlogxxlog
61.
( ) ( )
11
1
1
2
+>+
−

−
xlogxlog
x
x
62.
( )
( )
2
3
23
33
2
3
43282 xlogxxxlogxlogxlogx
+−≥−+−
63.
220001
<+
x
log
64.
0
132
5
5
lg
<
+−
−
+

x
x
x
x

5