hình đẹp phân số bùi văn uý thư viện tư liệu giáo dục

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chän häc sinh giái tØnh

Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - Năm học 2005-2006

<b>Đề thi chính thức</b>

Mơn : TỐN ( Vòng 1)

Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề

... ...

<b> BAØI 1:</b>

<b> Gọi (C) là đồ thị hàm số :y = x</b>

3

_{– 2005x. M}

1

là điểm trên (C) có hồnh độ x

1

=1.

Tiếp tuyến của (C) tại điểm M

1

cắt (C) thêm một điểm M

2

khác M

1

.

Tiếp tuyến của (C) tại điểm M

2

cắt (C) thêm một điểm M

3

khác M

2,

Tiếp tuyến của (C) tại điểm M

n-1

cắt (C) thêm một điểm M

n

khác M

n-1.

(n =3,4,...)

Gọi (x

n

;y

n

) là tọa độ của điểm M

n

. Tìm n để đẳng thức sau đúng :

2005x

n

+ y

n

+ 2

2007

= 0

BAØI 2:

Cho hình vng EFGH .Gọi (T) là đường trịn qua các trung điểm các cạnh của

tam giác EFG. Nhận xét: Điểm H thoả mãn đồng thời hai tính chất sau :

a/ Các hình chiếu vng góc của nó lần lượt lên các đường thẳng : EF ,FG, GE

nằm trên một đường thẳng d.

b/ Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (T) .

Hãy tìm tập hợp tất cả các điểm N của mặt phẳng chứa hình vng EFGH sao

cho N thoả mãn đồng thời hai tính chất a/ và b/ ở trên .

BAØI 3:

Gọi R là bán kính của đường trịn ngọai tiếp của tam giác ABC

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC khơng có cạnh nào ngắn hơn bán kính R

và có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng

<i>R</i>2₂

√

3

thì : sinA + sinB + sinC

3+₂

√

3

<b>.</b>

--- Heát ---

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006

<b>§Ị thi chÝnh thøc</b>

Mơn : TỐN ( Vòng 2)

Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề

... ...

<b> BAØI 1:</b>

Với mỗi số thực a, kí hiệu [a] chỉ số nguyên k lớn nhất mà k



a .

Giải phương trình : [lg

<i>x</i>

_{] +}

<i>x</i>

+ [

<i>x</i>

6

] = [

<i>x</i>

2

] + [

2<i>x</i>

3

]

<b> </b>

<b> BAØI 2:</b>

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,có đáy ABCD là một hình bình hành .

Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. M là một điểm thay đổi trong miền hình

bình hành ABCD .Tia MG cắt mặt bên của hình chóp S.ABCD tại điểm N .

Đặt : Q =

MG_NG +NG

MG

1/ Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho Q đạt giá trị nhỏ nhất .

2/ Tìm giá trị lớn nhất của Q .

BAØI 3:

Với mỗi số nguyên dương n ,hãy tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn đồng thời

hai điều kiện sau :

a/ Các hệ số của P(x) khác nhau đôi một và đều thuộc tập {0;1;...;n}.

b/ P(x) có n nghiệm thực phân biệt .

--- Heát ---

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh

Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006

Đề thi chính thức

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b> </b> <b> </b>ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

<b>Bài</b> Nội dung <b>Điểm</b>

<b>1</b> <i><b>( 6đ)</b></i>

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mk (xk;yk): y - yk = y’(xk)(x- xk)

y = (3x ❑<i>k</i>

2 _{-2005)(x- x}

k)+ x ❑<i>k</i>

3
-2005xk

1,0

+ Xét phương trình :x3_{– 2005x = (3x} _❑

<i>k</i>

2

-2005)(x- xk)+ x ❑3<i>k</i> -2005xk

 _{(x- x}_k_{) (x}2_{+ x}

k.x-2 x ❑<i>_k</i>2 ) = 0  x= xk ; x = - 2xk

+ Vaäy xk+1 = - 2xk

1,0
1,0
+ x1 =1 , x2 = -2 , x3 = 4 ... , xn = (-2) n-1 n= 1,2,...

+ yn = x ❑3<i>_n</i> -2005xn , 2005xn + yn + 2 2007 = 0  x ❑3<i>_n</i> = - 2 2007  (-2) 3n-3 = -
2 2007

 3n-3 lẻ và 3n -3 = 2007  n= 670
1,0
2,0

<b>2</b> <i><b>7,0</b></i>

+ Điểm N thoả tính chất a/ khi và chỉ khi N ở trên đường tròn qua E,F,G. 1

+ Chứng minh: Chọn hệ trục Oxy với O là tâm hình vng EFGH và vec tơ đơn vị
trên trục : ⃗<i>_i</i>_=⃗_OG _; ⃗<i>_j</i>_=⃗_OF _{. Ta có E(-1;0) , F(0;1) , G(1;0) .}

Phương trình của EF : x –y + 1 = 0 ; FG : x + y -1 = 0 ,đường tròn(EFG): x2+y2=1
Gọi N(X;Y). Toạ độ các hình chiếu của N lên EG, EF, FG lần lượt là:

N1 (X;0) , N2 ( 1

2 (X+Y-1);

1

2 (X+Y+1)) , N3 (

1

2 (X-Y+1);

1

2 (-X+Y+1))

⃗<i>_N</i>₁<i>_N</i>₂₌₍1

2(<i>− X</i>+<i>Y −</i>1)<i>;</i>
1

2(<i>X</i>+<i>Y</i>+1)) ⃗<i>N</i>2<i>N</i>3=(1<i>−Y ;− X</i>)

N1, N2, N3 thẳng hàng khi và chỉ khi:(-X+Y-1)(-X)-(1-Y)(X+Y+1)=0 X2+Y2=1(1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

+ Tìm thêm điều kiện để N thoả tính chất b/. Chỉ cần xét N(X;Y) khác F(0;1).
Với điều kiện (1) ,dường thẳng d có phương trình : X(x-X) +(1-Y)(y-0)=0
Tâm của (T) là I(0; 1₂ ) . Bán kính của (T) : 1₂

+ d tiếp xúc (T) khi và chỉ khi :

1<i>−Y</i> ¿2
¿

<i>X</i>2+¿
√¿

|

<i>X</i>(0<i>− X</i>)+(1<i>−Y</i>)(1

2)

|

¿

 2<i>X</i>2+<i>Y −</i>1¿2=_¿<i>X</i>2+<i>Y</i>2<i>−</i>2<i>Y</i>+1 (2)

2,0

+ Giải hệ (1) và(2). Rút X2 từ (1) thay vào (2):

(2Y2-Y-1)2=2(1-Y)(Y-1)2(2Y+1) 2 =2(1-Y).Đang xét Y 1 nên :(Y-1)(2Y+1)2=

-2

 _4Y3_{-3Y+1= 0}_ _(Y+1)(4Y2_{-4Y+1) = 0}_ _{Y= -1 ; Y=} 1

2 .

1,0

+ Với Y=-1 ta có điểm N(0;-1), đó là H .

Với Y= 1₂ , ta có thêm hai điểm N : (

√

₂3 ; ₂1 ) và (-

√

₂3 ; 1₂ ) .

Tập hợp phải tìm là ba đỉnh của tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (EFGH) mà
một đỉnh là H

1,0

<b>3</b> <i><b>7,0</b></i>

+ Tam giác có : A = 900_{, B=60}0_{, C=30}0_{thì có dấu đẳng thức .}

+ Có thể giả sử : sinA sinB sinC .

Ta chứng minh : sinA+sinB+sinC u+v+w với u =1 , v =

√

₂3 , w = 1₂ .

1,0
1,0

+ S= abc₄<i>_R</i> =2R2_sinAsinBsinC

+ S <i>R</i>2

√

3

2  sinAsinBsinC

√

3

4 <i>⇒</i> sinAsinBsinC uvw .(1)

1,0
1,0

+ sinC= ₂<i>c_R≥</i>₂<i>R_R</i> = 1₂ vaø sinAsinB

√

₄3 _sin1<i>_C</i> <i>⇒</i> sinAsinB

√

₂3

<i>⇒</i> sinAsinB uv.(2)

sinA 1 <i>⇒</i> sinA u .(3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

+ Ta coù :

u+v+w = sinC( _sin<i>u_A</i> + _sin<i>v_B</i> + _sin<i>w_C</i> )+(sinB-sinC)( _sin<i>u_A</i> + _sin<i>v_B</i> )+

(sinA-sinB) _sin<i>u_A</i>
Suy ra:

u+v+w sinC(3 3

√

uvw

sin<i>A</i>sin<i>B</i>sin<i>C</i> ) +(sinB-sinC)(2

√

uv

sin<i>A</i>sin<i>B</i> ) +
(sinA-sinB) _sin<i>u_A</i>

Do (1) ,(2) ,(3) neân : u+v+w 3sinC +2(sinB-sinC)+ (sinA-sinB) =

sinA+sinB+sinC. Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp tam giác ABC là nửa tam
giác đều .

2,0

Së Gi¸o dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh

Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006

Đề thi chÝnh thøc

Môn : TỐN ( Vịng 2)

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

Bài Nội dung Điểm

<b>1</b> <i><b>6,0</b></i>

+ Biểu thức lgx xác định khi x > 0.

+ Nếu x là nghiệm thì : x = [ <i>x</i>₂ ] + [ 2₃<i>x</i> ]- [ <i>x</i>₆ ]

- [lg <i>x</i> ] nên x là số
nguyên dương.

1,0
1,0
+ Đặt x = 6q + r ,với q và r là các số tự nhiên , 0 r 5 .

[ <i>x</i>₂ ] + [ 2₃<i>x</i> ] - [ <i>x</i>₆ ] = [ 3q + ₂<i>r</i> ]+ [4q+ 2₃<i>r</i> ] – [q+ ₆<i>r</i> ]= 6q + [ ₂<i>r</i> ]

+ [ 2₃<i>r</i> ]- [ ₆<i>r</i> ]

Phương trình trở thành : 6q + r = 6q +[ ₂<i>r</i> ]+[ 2₃<i>r</i> ]-[ ₆<i>r</i> ] -[lg <i>x</i> ]

 [lg <i>x</i> ]= [ <i>r</i>

2 ]+ [

2<i>r</i>

3 ]- [

<i>r</i>

6 ] - r với r
{0;1;2;3;4;5}

2,0

+ Ta coù : [ ₂<i>r</i> ]+[ 2₃<i>r</i> ]-[ ₆<i>r</i> ]-r =

{

<i>−</i>₀1 khi_khi<i>r_r</i>=1

=0<i>;</i>2<i>;</i>3<i>;</i>4<i>;</i>5

+Do x 1 nên [lgx] 0 .Không xét trường hợp r=1

Với r 1,ta có : [lgx]= 0 ₀ _{lgx < 1} ₁ _{x < 10 .}

Ta chọn các số nguyên x thoả 1 x < 10 và x chia cho 6 có dư số khác 1.

Nghiệm của phương trình : x {2;3;4;5;6;8;9} .

1,0

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>2</b> <i><b>7,0</b></i>
<b>Câu 1/ (Hình v</b><i>ẽở trang cuối)</i>

+ Q = MG_NG +NG

MG 2 .Dấu bằng khi và chỉ khi :

MG

NG =

NG

MG = 1 .

+ SG cắt mp(ABCD) tại tâm O của hình bình hành ABCD. Gọi K là trung điểm của
SG . Từ K dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại
A1 ,B1 ,C1 ,D1 .Từ N dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SG tại N’.

Ta coù: NG_MG = _OG<i>N ' G</i> ; NG_MG =1 _{N’trùng K} _{N thuộc cạnh hình bình hành}

A1B1C1D1

Nối NK cắt cạnh hình bình hành A1B1C1D1 tại P, ta có : PM // SG .

+ Từ đó : Q=2 khi và chỉ khi M thuộc cạnh hình bình hành <i>A</i>1<i>'</i> <i>B</i>1<i>'</i> <i>C</i>1<i>'</i> <i>D</i>1<i>'</i>

<i>A</i>1<i>'</i> <i>B</i>1<i>'</i> <i>C</i>1<i>'</i> <i>D</i>1<i>'</i> là hình chiếu song song củahình bình hành A1B1C1D1 lên mp(ABCD)

theo phương SG .

1,0
1,0

1,0

<b>Câu 2/ </b>

+Miền hình bình hành ABCD hợp bởi các miền tam giác OAB,OBC,OCD,ODA

M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc một trong bốn miền tam giác

này. Chẳng hạn M thuộc miền <i>Δ</i> _{OAB. M} _A <i>⇒</i> _N _{C’; M} _B <i>⇒</i> _N

D’; M O <i>⇒</i> _N _S.

Do đó N thuộc miền <i>Δ</i> _{SC’D’ và N’ thuộc đoạn SH ,với C’,D’ và H lần lượt là}
trung điểm của SC,SD và SO.

Do đó : HG N’G SG. Vì vậy : HG_OG _OG<i>N ' G</i> SG_OG hay 1₂

NG

MG 2.

2,0

+ Đặt <i>x</i> = NG_MG Ta có : Q = 1<i>_x</i> + <i>x</i>

với <i>x</i> [ 1₂ ;2].

Q’= 0 vaø <i>x</i> ( 1₂ _;2) <i>_x</i> _{= 1 . MaxQ = Max{Q(} 1

2 );Q(2);Q(1)}=

5

2 .

+ Giá trị lớn nhất của Q là : 5₂ . Đạt khi M trùng với O hoặc các đỉnh A,B,C,D.

1,0

1,0

<b>3</b> <i><b>7,0</b></i>

+ Điều kiện a/ cho thấy bậc của P(x) n ,điều kiện b/ cho thấy bậc của P(x) n.
Vậy bậc của P(x) là n. P(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0 .

với (a0, a1, ..., an) là một hoán vị của {0,1,...,n} và an 0 .

+ Ta có : x > 0 <i>⇒</i> P(x) > 0 .Do đó mọi nghiệm xi của P(x) đều không dương .

+ Với n=1 ,ta có đa thức duy nhất thoả bài tốn : P(x) = 1.x + 0 .

1,0

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

+ Với n=2 ,nếu P(x) = a2x2 +a1x + a0 thoả bài tốn thì theo định lí Víet :

x1 + x2 =

<i>-a</i>1

<i>a</i>2 ; x1.x2 =

<i>a</i>0

<i>a</i>2 trong đó :{ a0, a1, a2}={0,1,2}, a2
0

Do x1 0 , x2 0 , x1 x2 neân , a1 0 .Suy ra : a0= 0 .

Các đa thức : P(x) = 1.x2

+ 2.x + 0 , P(x) = 2.x2_{+ 1.x + 0 thoả bài toán .}

+ Với n=3 ,nếu P(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0 thoả bài tốn thì theo định lí Víet :

x1 + x2 + x3 =

<i>-a</i>₂

<i>a</i>3 ; x1x2 +x2x3 + x3x1 =
<i>a</i>₁

<i>a</i>3 ; x1x2x2 =
<i>-a</i>₀
<i>a</i>3
trong đó : { a0, a1, a2 ,a3}={0,1,2, 3}, a3 0

Do x1 0 , x2 0 ,x3 0, x1 x2 x1 x3 x2 x3 neân a1 0 vaø a2 0 . Suy

ra: a0= 0 .

Ta coù :P(x)= a3x3 +a2x2 +a1x= x(a3x2 +a2x +a1) ;{ a1, a2 ,a3}={1,2, 3}, 4 3 1 0

2

2  <i>a</i> <i>a</i> 
<i>a</i>

Các đa thức : P(x)=1.x3_+3.x2_{+2.x+0 , P(x)=2x}3_+3x2_{+1.x+0 thoả bài toán .}

1,0

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

+ Với n>3,nếu P(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a1x + a0 thoả bài toán thì theo định lí

Víet :

<i>x</i>₁+<i>x</i>₂+.. .+<i>x_n</i>=<i>−an −</i>1
<i>an</i>

.. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

<i>−</i>1¿<i>n−</i>1<i>a</i>1
<i>a_n</i>
¿
¿
<i>−</i>1¿<i>na</i>0

<i>a_n</i>

<i>x</i>₁<i>x</i>₂. .. . .<i>x_{n −}</i>₁+<i>x</i>₂<i>x</i>₃. . ..<i>x_n</i>+.. .. . .. .+<i>x_nx</i>₁. .. .<i>x_{n −}</i>₂=¿
¿

với (a0, a1, ...,an) là một hoán vị của {0,1,...,n} và an 0

Do các xi không dương và khác nhau đôi một nên phải có a0= 0 .

Vậy P(x) có một nghiệm bằng 0 và n-1 nghiệm còn lại khác nhau đơi một và đều
âm.

Có thể giả sử xn= 0 .Lúc đó x1 , x2 ,...., xn-1 là các nghiệm âm của :

Q(x)= anxn-1+ an-1xn-2 +...+ a2x +a1 với (a1,a2,..., an) là một hốn vị của{1,2,...,n},an 0

Đặt ui = <b>-</b> xi (i=1,2,...,n-1) .Ta coù ui > 0 vaø :

u1+ u2+....+ un-1=

<i>a_{n −}</i>₁

<i>an</i> (1) ; u1u2...un-2+ u2u3... un-1+ ...+ un-1u1... un-3 =

<i>a</i>₂
<i>an</i> (2)

u1u2....un-1 =

<i>a</i>₁

<i>an</i> (3) . Từ (2) và (3) cho :

1

<i>u</i>₁ +

1

<i>u</i>₂ +...+

1

<i>u_{n −}</i>₁ =
<i>a</i>₂
<i>a</i>1
(4)

Theo bất đẳng thức Côsi : (u1+ u2+...+ un-1)( 1

<i>u</i>₁ +

1

<i>u</i>₂ +...+

1

<i>u_{n −}</i>₁ )

(n-1) 2

Dùng (1) và (4) suy ra : <i>an −</i>1

<i>an</i> .

<i>a</i>₂

<i>a</i>1 (n-1)

2_.Nhöng <i>an −</i>1

<i>an</i> .

<i>a</i>₂
<i>a</i>1

<i>n</i>(<i>n −</i>1)

1 . 2 neân :

(n-1) 2 <i>n</i>(<i>n −</i>1)

1 . 2 <i>⇒</i> n 2 , mâu thuẩn với n > 3 .

Các đa thức thoả bài toán :
P(x) = x , P(x) = x2

+ 2x , P(x) = 2x2_{+ x , P(x) = x}3_+3x2_{+2x , P(x) = 2x}3_+3x2_{+x .}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

D'

C' H

G
N'
N

M
O

D

C _B

A
s

</div>

<!--links-->