english 6 new ki 2 track 51

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (215.7 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ : VEC – TƠ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1/Định nghóa:

 Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.

 Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.
Ký hiệu độ dài của vec tơ AB là: AB



 Vec tơ – không (Ký hiệu: 0


) là vec tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. 0 0


 Hai vec tơ cùng phương là hai vec tơ có giá là hai đường thẳng song song hoặc trùng
nhau.

 Hai vec tơ bằng nhau là hai vec tơ cùng hướng và cùng độ dài.
Ký hiệu a và b bằng nhau là a b

2/ Tổng của hai vec tơ:

a) Định nghĩa: Cho a và b. Từ điểm A nào đó, vẽ AB=a, rồi từ B vẽ BC b  . 
Khi đó: AC gọi là tổng của a và b. Ký hiệu :AC a b 

  

a

a b
b

a+b

Phép tốn tìm tổng của hai véctơ còn được gọi là phép cộng véctơ .
b) Các tính chất của phép cộng vectơ : Với ba véctơ a b c, ,


 

tuỳ y, ta có :
 Tính chất giao hoán : a b b a  

 




 Tính chất kết hợp ( a+ b¿+c=a+( b+ c)
 Tính chất của vec tơ – không: a+ 0=0+ a=a
3/ Hiệu của hai vec tơ:

a) Véctơ đối của một vec tơ: Véctơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là
véctơ đối của véctơ a. Ký hiệu véctơ đối của véctơ a là: -a

* a b  0 ab

* Véctơ đối của véctơ 0 là véctơ 0
b) Định nghĩa hiệu của hai vec tơ :

Hiệu của a và btheo thứ tự đó là tổng của a và vec tơ đối của b
Kí hiệu : a b a     ( )b



Phép tốn tìm hiệu của hai véctơ còn được gọi là phép trừ véctơ
 4/ Tích của một số với một vec tơ:

a) Định nghóa : Cho số k 0và vectơ a0

Tích của số k với vectơ a là mộât vectơ . Kí hiệu là ka.

+ Vectơ kacùng hướng với a nếu k>0, ngược hướng với a nếu k<0.
B

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ |ka| = |k| |a|

* Quy ước: 0. a =0 , ka =0

b) Tính chất của phép nhân một số với một vec tơ: a,b; k, hR, ta có:
1) k(ab



) = kakb

2) (h k)a



= haka

3) h(ka) = (hk) a

4) 1. a= a ; (-1) a = -a.

5/ Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C tùy ý:
 AB BC AC

  

(qui tắc cộng)
 AB



- AC CB
 

(qui tắc trừ)
 6/ Qui tắc hình bình hành:

Tứ giác ABCD là hình bình hành AB AD AC
  

7/ Các ứng dụng:

a) I là trung điểm đoạn AB : 
 IA IB 0

  

 MA MB 2MI

  

(Với mọi điểm M)
b) G là trọng tâm của tam giác ABC :
 GA GB GC  0

   

 MA MB MC  3MG
   

   
   
   
   
   
   
   

   
   
   
   
   
   

(Với mọi điểm M)
c) a


 và b


 (b


0

) cùng phương  k / a


=kb


d) A, B, C phân biệt thẳng hàng  k≠0 / AB=kAC


</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

B.BÀI TẬP:

1) Phương pháp : AB AB


Ví dụ: Cho hình vng ABCD cạnh a và điểm E sao cho DB CE
 

. Gọi I là trung điểm đoạn CE
a) Tính DE



b) Chứng minh

1
2

BI  BD

 

Giải:

a) Xét tứ giác DBEC: Vì DB CE
 

(gt) nên DBEC là hình bình hành
Gọi O là giao điểm của DE và BC thì O là trung điểm của DE và BC

DE DI

 



Xét tam giác vng DCO, ta có:
DO2=DC2+CI2

2 2 5

4 2

a a

DO a DI

    

Vậy DE=a 5

b) Vì DBEC là hình bình hành nên BE=DC=a
 ∆BCE vuông cân tại B.

BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền CE
Do đó : BI=

2BD

1
2

BI BD

 

 

2) Phương pháp xác định và tính độ dài của a


+b


,a


-b

:
1/ Xác định: a


+b



=AB


, a


-b


=CD

2/Tính độ dài các đoạn AB, CD: Gắn AB, CD vào các đa giác đặc biệt: tam giác vng, 
tam giác đều, hình vng, … để tính cạnh của nó hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp.

3) Các ví dụ:

Bài1: Chứng minh rằng: |a+b|  |a|+|b|

Giaûi:
Giả sử:AB



= a, BC = b.
+ Nếua


và b



khơng cùng phương thì A, B,
C là 3

đỉnh của tam giác nên AC< AB+BC
B

A

C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vì a


+ b


= AB


+BC


=AC


nên |a


+b


| < |
a|+|b|

+ Nếua


và b


khơng cùng hướng, ta có :
|a


+b


| < |a


|+|b


|
+ Nếua


và b



cùng hướng, ta có: |a

+b

| =
|a

|+|b

|
Vậy : |a


+b


|  |a


|+|b



| (đpcm)
Bài 2: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính :

a) |AB AC
 

| b) |AB AC
 

|
 Giaûi:

a) |AB AC
 

| =?
* Xác định AB AC

 
:

Vẽ hình bình hành ABEC, Theo qui tắc
hình bình hành ta có: AB AC

 

=AE


*Tính |AB AC
 

|= AE


=AE=?

Vì ABEC là hình bình hành mà
AB=ACnên ABEC là hình thoi
Gọi I=AE BC, ta có: AE=2AI

Mà AI=
3
2
a

nên AE= a 3
Vaäy: |AB AC

 

| = a 3
b) ĐS: |AB AC

 

| = CB


= a
4) Bài tập tương tự:

1/ Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ BA−BC,CA+CB.

2/ Cho hình vng ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo. Tính :OA CB AB DC CD DA ,  , 

     

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

3/ Cho hình thoi ABCD có BAD600và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính :

, ,

AB AD BA BC OB DC  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

     
     
     

1) Phương pháp:

Dùng các quy tắc ba điểm tìm tổng, hiệu của hai vec tơ, tìm vec tơ đối, … để thực hiện một 
trong các cách sau:

C1: Biến đổi vế này thành vế kia

C2: Biến đổi cả hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau.

C3: Biến đổi đẳng thức cần CM đó tương đương với một đảng thức vec tơ được cơng nhận là 
đúng.

2) Các ví dụ:
VD1:

A

B C

E

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ . Chứng minh rằng: AC DB   AB DC (1)
Giải:

C1: Biến đổi vế trái: AC DB AB BC DB  AB DC
      

C2:Biến đổi vế phải: AB DC AC CB DC  AC DB
      

C3: Ta có : (1) AC AB DC DB    BC BC

     

là đẳng thức đúng.
Vậy (1) được chứng minh

VD2:

Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA.
Chứng minh rằng :AM BN CP  0

   
Giải: Biến đổi vế trái:





1 1 1 1

2 2 2 2

AM BN CP   AB BC CA AB BC CA  

         

         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         

3) Bài tập tương tự:

Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD,
MN.CMR:

a)AB CD AD CB
   

b)IA IB IC ID   0
    

c) OA OB OC OD   4OI
    

Bài 2: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng :AD BE CF  AE BF CD 

     

Bài

3 : Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:

a/ MN+PQ=MQ+PN . b/ MP+NQ+RS=MS+NP+RQ .
Bài

4 : Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và
CA. Chứng minh rằng :

a)AN BP CM   0 b)GM GN GP  0
   

c)Tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh:
a/ AB+2AC+AD=3AC .

b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: 2MN  AC  BD BCAD
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm
của tam giác và I là tâm đường trịn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác. CMR:

a/ GA+GB+GC=0 . b/ MA+MB+MC=3MG với M là một điểm
bất kỳ.

c/ OA+OB+OC=OH=3OG . d/ HA+HB+HC=2HO=3HG .
e/ OH=2OI .

f/ v=3MA−5MB+2MC là không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

1) Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Cho a b,
 

không cùng phương, x,k h,  /x ka hb 
  

R

Hoặc các quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , tính chất trung điểm đoạn thẳng, 
tính chất trọng tâm tam giác.

2) Ví dụ:

Cho AK vàBM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vec tô                             AB BC CA, ,
theo hai vec tô uAK v BM; 

  
Giải:

Vì K, M lần lượt là trung điểm của BC và AC nên ta có:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2AKAB AC  ; 2BM BA BC
2 (1)

2 (2)

AB CA u

AB BC v

  


 

  




  
  

Từ (1) và (2), ta có: CA BC   2u 2v (3)
Mà: AB BC CA  0

   

(4)

Từ (2) và (4), ta có:2BC CA 2v
  

(5)
Từ(3) và (5), ta có:

2 4

3 2 4

3 3

BC u v BC u v

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

(6)
Từ (5) và (6), ta có:

4 2

3 3

CA u v

  

Từ (7) và (1) ta có:

2 2

3 3

AB u v

  

3) Bài tập :
Bài

1 :Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là trung điểm của BI.
Chứng minh: a)

1 1

2 2

AK  AB AI

  

3 1

4 4

AK  AB AC

  

Bài 2 : Tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Phân tích AM


theo BA


và CA
HD:Sử dụng tính chất trung điểm





1
2

AM  AB AC

  

Bài 3 : Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện IA+2IB+3IC=0 .
a/ Chứng minh rằng: I là trọng tâm tam giác BCD, trong đó D là trung điểm cạnh AC.
b/ Biểu thị vectơ AI theo hai vectơ AB và AC .

Bài

4 : Cho t/giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là các t/điểm của AD, BC, DB, AC. CMR:

a/ MN=1

(

AB+DC) ; b/ PQ=
1

(

AB−DC) ; c/ OA+OB+OC+OD=0 . (O là t/điểm của
MN)

d/ MA+MB+MC+MD=4MO . (O là trung điểm của MN)

Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao 
cho: a) OM =OA OB

 

b) ON


=OB OC
 

c) OP =OC OA
 

Hướng dẫn:

Các điểm M, N, P tương ứng là các điểm đối xứng của
C,A,B.

Baøi 6: Cho tam gíac OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm các số m, n sao cho:
a) OM mOA nOB

  

b) AN mOA nOB
  

c) MN mOA nOB
  

d) MB mOA nOB 
  

ÑS:

/ 0.

a OM  OA  OB / 1

b AN  OB OA

   1 1

2 2

c MN  OB OA

   1

d MB OA OB

  
C

B

A

DAÏNG4 : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HAØNG, HAI ĐƯỜNG

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1) Phương pháp: Sử dụng các tính chất:
 Ba điểm A. B. C thẳng hàng AB



vaø AC



cùng phương  ABk AC
 

.

 Nếu ABkCD
 

và hai đường thẳng AB, CD phân biệt thì AB // CD

2) 1Ví dụ : 
AK AC

3


Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K
là điểm trên cạnh AC sao cho . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải: Đặt uBA v, BC
 

ta phân tích BK và BI theo hai vec tô u v, .


1 (

)

3 u

BC

BA

 





1

3 u









AC

BK BA AK

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
=

1 (

)

3 u

v u

 



 



2

1

3 u



3 v



= (1)1

( )

BI  BA BM

  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  

1 (

)

2 u

2 v

2 u

4 v

















(2)

2 

u v



 

 



3 

BK u v



,2



 



4 BI

Từ (1) và (2) 4 

BK  BI
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

Vaäy3BK  4BI hay

Do đó: Ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các biểu thức :

0, 3 0

BC MA  AB NA  AC 

      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      

      

. Chứng minh : MN // AC.
Giải: Ta có: BC MA AB NA      3AC 0

 BC AB MA AN   3AC 0
     

 AC MN  3AC0
   

 MN 2AC
 

Vậy MN cùng phương với AC



.

Theo giả thiết ta có BC AM
 

, mà A, B, C không thẳng hàng nên ABCM là hình bình hành.
 M  AC và MN // AC.

3) Bài tập tương tự

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với A qua B, J là điểm trên cạnh
AC sao cho AJ=

5AC. Chứng minh I, J, G thẳng hàng.

Bài 2: Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC. 
Chứng minh G, O, H thẳng hàng.

HD: Gọi D là trung điểm của cạnh BC; A’ là điểm đối xứng với A qua O.
CM: BHCA’ là hình bình hành

2 ; 3

OB OC        OD AH OH  OG

     
     
     
     
     
     
     
     
     

(OD là đường trung bình của ∆AHA’, tính chất của trọng tâm tam giác)
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi D, I là các điểm xác định bởi các hệ thức:

3DB 2DC0;IA3IB 2IC0

      
a) Tính AD theo AB

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b) Chứng minh ba điểm I, A và D thẳng hàng.

1) Phương pháp:

Để dựng điểm M thỏa mãn một đẳng thức vec tơ, ta biến đổi đẳng thức vec tơ về dạng AM v
 

(Với điểm A cố định; v là một vec tơ đã biết)

2) Ví dụ : Cho tam giác ABC. Hãy dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: IA2IB0
  
Giải:

2 0 2 0

1
3

IA IB IB BA IB

BI BA BI BA

     

   

      
   

Dựng điểm I trên đoạn AB sao cho
1
3

BI  AB

Vậy I là điểm cần dựng
3) Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Dựng điểm M sao cho :4MA3MB2MC MD 0
   

Baøi 2: Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

/ 2 0

a MA MB MC

b NA NB NC

c PA PB PC

  

  

  

   
   
   

Bài 3:Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý. Hãy dựng điểm D sao cho
2 3

CD MA  MB MC

   

HD: Biến đổi MA2MB 3MC MA MC  2



MB MC



CA2CB
        

Bài 4: Cho hai điểm A, B phân biệt . Hãy xác định các điểm P, Q, R biết :

2PA3PB0; 2 QA QB 0; RA 3RB0

        

Bài 5:Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức:

2 2 0

MA MB MD  MC

    

HD: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

BàI TậP Về NHà
Dạng 1

1/ Cho tam giỏc ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ BA−BC,CA+CB.

2/ Cho hình vng ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo. Tính :OA CB AB DC CD DA ,  , 

3/ Cho hình thoi ABCD có BAD600và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính :

, ,

AB AD BA BC OB DC  
     

D¹ng 2

Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD,
MN.CMR:

a)AB CD   AD CB b)IA IB IC ID   0
    

c) OA OB OC OD   4OI
    

Bài 2: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng :AD BE CF  AE BF CD 

     

Bài

3 : Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:

4 : Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và
CA. Chứng minh rằng :

a)AN BP CM  0
   

b)GM GN GP  0
   

c/ OA+OB+OC=OH=3OG . d/ HA+HB+HC=2HO=3HG .

e/ OH=2OI .

f/ v=3MA−5MB+2MC là không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
D¹ng 3

Bài

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chứng minh: a)

1 1

2 2

AK  AB AI

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

3 1

4 4

AK  AB AC

  

Bài 2 : Tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Phân tích AM


theo BA


và CA
HD:Sử dụng tính chất trung điểm





1
2

AM  AB AC

  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  

Bài

4 : Cho t/giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là các t/điểm của AD, BC, DB, AC. CMR:
a/ MN=1

(

AB+DC) ; b/ PQ=
1

(

AB−DC) ; c/ OA+OB+OC+OD=0 . (O là t/điểm của
MN)

d/ MA+MB+MC+MD=4MO . (O là trung điểm của MN)

 

b) ON


=OB OC
 

c) OP =OC OA
 

Hướng dẫn:

Các điểm M, N, P tương ứng là các điểm đối xứng của
C,A,B.

Bài 6: Cho tam gíac OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm caùc số m, n sao cho:
a) OM mOA nOB

  

b) AN mOA nOB
  

c) MN mOA nOB
  

d) MB mOA nOB 

  

ÑS:

/ 0.

a OM  OA  OB / 1

b AN  OB OA

   1 1

2 2

c MN  OB OA

   1

d MB OA OB

  

D¹ng 4

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với A qua B, J là điểm trên cạnh
AC sao cho AJ=

5AC. Chứng minh I, J, G thẳng hàng.

Bài 2: Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC. 
Chứng minh G, O, H thẳng hàng.

HD: Gọi D là trung điểm của cạnh BC; A’ là điểm đối xứng với A qua O.
CM: BHCA’ là hình bình hành

2 ; 3

OB OC  OD AH OH  OG

     

(OD là đường trung bình của ∆AHA’, tính chất của trọng tâm tam giác)
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi D, I là các điểm xác định bởi các hệ thức:

3DB 2DC              0;IA3IB 2IC0
a) Tính AD theo AB và AC

b) Chứng minh ba điểm I, A và D thẳng hàng.
D¹ng 5

C
B

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Dựng điểm M sao cho :4MA3MB2MC MD 0
   

Bài 2: Cho tam giác ABC. Hãy xác định các ñieåm M, N, P sao cho:

/ 2 0

a MA MB MC

b NA NB NC

c PA PB PC

  

  

  

   
   
   

Bài 3:Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý. Hãy dựng điểm D sao cho
2 3

CD MA  MB MC

   

HD: Biến đổi MA2MB 3MC MA MC  2



MB MC



CA2CB
        

Bài 4: Cho hai điểm A, B phân biệt . Hãy xác định các điểm P, Q, R bieát :

2PA3PB0; 2 QA QB 0; RA 3RB0

        

Bài 5:Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức:

2 2 0

MA MB MD  MC

    

</div>

english 6 new ki 2 track 51

<b>CHUYÊN ĐỀ : VEC – TƠ </b>

<b>A</b>

<b>A</b>

<b>E</b>









(

(

<b>A</b>

1

(

)

3

<i>u</i>

<i>BC</i>

<i>BA</i>

 





























































1

3

<i>u</i>









<i>AC</i>

1

(

)

3

<i>u</i>

<i>v u</i>

 



 



2

1

3

<i>u</i>



3

<i>v</i>





1

1

1