Thiết kế bộ lọc số (xử lý số tín HIỆU DSP)

Xử lý số tín hiệu

Chương 7:

Thiết kế bộ
lọc số


Khái niệm


Thiết kế bộ lọc: là xây dựng hàm truyền thỏa đáp
ứng tần số cho trước.


Thiết kế bộ lọc FIR: đầu ra là vector đáp ứng xung h = [h0, h1, h2,
…. ,hN]



Thiết kế bộ lọc IIR: đầu ra là các vector hệ số tử số và mẫu số
của hàm truyền b = [b0, b1, …, bN] và a = [1, a1, a2 ,…, aN]


Bộ lọc FIR




Ưu điểm:


Đặc tuyến pha tuyến tính



Độ ổn định (do khơng có các cực)

Khuyết điểm:


Để có đáp ứng tần số tốt  cần chiều dài bộ lọc N lớn  Gia
tăng chi phí tính tốn


Bộ lọc IIR




Ưu điểm:


Chi phí tính tốn thấp



Thực hiện hiệu quả theo kiểu cascade các mạch bậc 2 (Secondorder sections)

Khuyết điểm:


Có sự bất ổn định do q trình lượng tử hóa các hệ số có thể
đẩy các cực ra ngồi vịng trịn đơn vị



Khơng thể đạt pha tuyến tính trên toàn khoảng Nyquist


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ




Đây là một trong những pp đơn giản nhất để
thiết kế các mạch lọc số FIR
Thích hợp cho thiết kế các mạch lọc có đáp ứng
tần số đơn giản như mạch lọc thông thấp, thông
cao, thông dải, chắn dải lý tưởng, mạch lọc sai
phân và mạch lọc Hilbert.


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ
a. Các mạch lọc lý tưởng
Thông thấp

Thông cao

D(ω)

D(ω)

ω
-π

-ωc

0

ωc

π

ω
-π

-ωc

0

ωc

π


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ
a. Các mạch lọc lý tưởng

Thông dải

-π

-ωb

Chắn dải

D(ω)

0
-ωa ωa

ω

ωb π

-π

-ωb

D(ω)

ω
0
-ωa ωa ωb π


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ

a. Các mạch lọc lý tưởng
Sai phân

-π

Hilbert

D(ω)/j

0

1

π ω

-π

0

-1

D(ω)/j

ω
π


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ


Cho đáp ứng tần số lý tưởng D(ω) (tuần hoàn với chu
kỳ 2π)  Đáp ứng xung tương ứng d(k) là: (DTFT
ngược)
π
jωk dω
d (k ) = ∫ D( ω ) e
2π
−π



Tổng quát, d(k) là hai biên và dài vô hạn
Với nhiều mạch lọc lý tưởng, tích phân trên có dạng
đóng.




A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ
Ví dụ
 Mạch lọc thơng thấp lý tưởng:

-ωC ≤ ω ≤ ωC
1,
D( ω ) = 
0, -π ≤ ω ≤ −ωC , ωC ≤ ω ≤ π


Biến đổi DTFT ngược:
π

d (k ) = ∫ D( ω )e


−π

jωk

d(0) được tính riêng

ωC

dω
sin(ωC k )
jωk dω
= ∫ 1.e
=
2π −ωC
2π
πk

ωC
sin(ωC k )
d ( 0) =
= lim
k →0
π
πk

A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ
Tương tự, đáp ứng xung của:
 Mạch lọc thông cao lý tưởng:

sin(ωC k )
d (k ) = δ ( k ) −
πk



Mạch lọc thông dải lý tưởng:



Mạch lọc chắn dải lý tưởng:

sin(ωb k ) − sin(ωa k )
d (k ) =
πk

sin(ωb k ) − sin(ωa k )
d (k ) = δ ( k ) −
πk


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ

Nhận xét:
 Cùng giá trị tần số cắt, bộ lọc thông thấp và thông
cao là bù của nhau

d LP (k ) + d HP (k ) = δ ( k ) ⇔ DLP ( ω ) + DHP ( ω ) = 1


Cùng giá trị tần số cắt, bộ lọc thông dải và chắn dải là
bù của nhau

d BP (k ) + d BS (k ) = δ ( k ) ⇔ DBP ( ω ) + DBS ( ω ) = 1


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
1. Phương pháp cửa sổ
Tương tự, đáp ứng xung của:
 Mạch lọc sai phân lý tưởng:

cos(πk ) sin(πk )
d (k ) =
−
k
πk 2



Mạch lọc Hilbert lý tưởng:



Nhận xét:

1 − cos(πk )
d (k ) =
πk




d(k) thực, chẵn (đối xứng) theo k ↔ D(ω) thực và chẵn theo ω
d(k) thực, lẻ (phản đối xứng) theo k ↔ D(ω) ảo và lẻ theo ω


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
2. Cửa sổ chữ nhật


Tín hiệu d(k) hai chiều, vơ hạn được xén bớt thành
chiều dài hữu hạn bằng cửa sổ chữ nhật

k
-M


M

Ví dụ: chỉ giữ d(k) với – M ≤ k ≤ M  Tổng số các hệ
số (chiều dài đáp ứng xung) là N = 2M + 1

A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
2. Cửa sổ chữ nhật


Vector hệ số đáp ứng xung xấp xỉ:
d = [d-M, …, d-2, d-1, d0, d1, d2 , … , dM]



Để bộ lọc nhân quả  Dịch vector sang phải M
mẫu
h = [h0, …, hM-2, hM-1, hM, hM+1, hM+2, …, h2M]
= [d-M, …, d-2, d-1, d0, d1, d2 , … , dM]



Vector h và d giống nhau, chỉ khác nhau về gốc
thời gian.
h(n) = d(n – M), n = 0,1, …, N – 1


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
2. Cửa sổ chữ nhật

1.
2.
3.
4.

Các bước của phương pháp cửa sổ chữ nhật:

Chọn chiều dài N = 2M + 1  M = (N – 1)/2
Tính tốn các hệ số d(k)
Làm trễ vector d(k) nhận được M mẫu để có h(k)
Khi đã có h(k), có thể thực hiện bộ lọc từ phương
trình lọc FIR
N −1

yn = ∑ hm xn − m
m =0


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
2. Cửa sổ chữ nhật


Trong miền tần số, đáp ứng tần số xấp xỉ

Dˆ ( ω ) =

M

∑ d ( k )e

k =− M

H (ω ) = e
H ( z) = z

Dˆ ( z ) =

− j ωk

− jωM

−M

Dˆ ( ω ) = e

Dˆ ( z ) = z

−M

− jωM

M

−k
d
(
k
)
z
∑

k =− M

−k
d
(
k

)
z
∑

k =− M

− jωk
d
(
k
)
e
∑

k =− M
M

M


A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
2. Cửa sổ chữ nhật


ˆ ( ω ) là số thực, nên có thể
Nếu d(k) đối xứng D
viết
Dˆ ( ω ) = sign( Dˆ ( ω ) ) Dˆ ( ω )

A. THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR
2. Cửa sổ chữ nhật