Biến đổi DFT và FFT (xử lý số tín HIỆU DSP)

Xử lý số tín hiệu
Biến đổi
DFT và FFT

Chương 8:


Các phép biến đổi Fourier
Miền thời gian

Miền tần số

2.5
2
1.5
1

Periodic

0.5
0
0

1

2

3

4

time, t

5

6

7

8

Continuous

2.5
2

(period T)

Aperiodic

1.5
1

FS

Discrete

FT

Continuous

0.5

T
1
c k = ⋅ ∫ s(t) ⋅ e − j k ω t dt
T
0
− j2 π f t
+∞
S(f) = ∫ s(t) ⋅ e
dt
−∞

0
0

2

4

6

8

time, t

10

12

2.5
2

Periodic

1.5
1
0.5

0

1

2

3

4

time, tk

5

6

7

DFS

Discrete

(period T)

0
8

Discrete
2.5

Aperiodic

2
1.5

DTFT

Continuous

DFT

Discrete

1
0.5
0
0

2

4

time, tk
6

8

10

12

2πkn
N
−
1
−
j
1
~
N
ck = ∑ s[n] ⋅ e
N
n=0

+∞
S(f) = ∑ s[n] ⋅ e − j 2 π f n
n= −∞
2πkn
−j
1 N−1
~

N
ck = ∑ s[n] ⋅ e
N
n =0


Chuỗi Fourier (Fourier series-FS)


Tín hiệu x(t) tuần hồn, chu kỳ Tp , tần số F0 = 1/Tp

x (t ) =

+∞

j 2πkF0 t
c
e
∑ k

k = −∞

1
ck =
Tp

− j 2πkF0 t
x
(
t

)
e
dt
∫

Tp

X(f)

x(t)
τ

f
-Tp

0

Tp

t

-F0 F0


Biến đổi Fourier (Fourier transform-FT)


Tín hiệu x(t) khơng tuần hồn

x (t ) =

+∞

∫ X ( F )e

j 2πft

df

−∞

X( f ) =

+∞

− j 2πft
(
)
x
t
e
dt
∫

−∞

X(ω)
x(t)

ω

-τ/2 τ/2

t
-2π/τ

2π/τ


Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản


Biến đổi Fourier thời gian rời rạc
Discrete – Time Fourier Transform (DTFT)


Tín hiệu x(n) rời rạc, khơng tuần hồn

1
x ( n) =
2π
X (ω ) =

jωn
(
)
X
ω
e
dω
∫

2π

+∞

∑ x( n ) e

n = −∞

jωn


Chuỗi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Sequence (DFS)


Tín hiệu x(n) rời rạc, tuần hoàn với chu kỳ N
N −1

x ( n) = ∑ ck e j 2πkn / N
k =0

1
ck =
N

N −1

∑ x( n ) e
n =0

− j 2πkn / N


Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)


Tín hiệu x(n) rời rạc, khơng tuần hồn, chiều dài L hữu
hạn  Biến đổi DTFT cho phổ liên tục X(ω)
|X(ω)|

x(n)

0

L-1

n

-π

π ω


Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)


Lặp lại tín hiệu x(n) với chu kỳ N ≥ L  Tín hiệu xp(n)

tuần hoàn chu kỳ N
xp(n)

0

L-1

N-1 N

n

n


Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)


xp(n) tuần hoàn chu kỳ N  Tính DFS của xp(n)  Xp(k)
xp(n)

0

L-1

N-1

N

n

n

|Xp(k)|

-N

0

N

k


Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
Xp(k) tuần hoàn chu kỳ N  Đặt X(k) = Xp(k), k = 0,..,N-1
x(n)

0

L-1

n

DFT

|X(k)|

0

N-1

k


Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
Công thức biến đổi DFT N-điểm cho chuỗi chiều dài L:
DFT

L −1

X (k ) = ∑ x( n ) e − j 2πkn / N

, k = 0,1,2,..., N − 1

n =0

IDFT

1
x( n ) =
N

N −1

j 2πkn / N
(
)

X
k
e
∑
k =0

, n = 0,1,2,..., N − 1


Giải thuật biến đổi Fourier nhanh
Fast Fourier Transform (FFT)
Tính trực tiếp DFT N – điểm của x(n):
Tổng quát: X(k) và x(n) là số phức:



2πkn
2πkn 

X R ( k ) = ∑  xR ( n ) cos
+ xI ( n ) sin
N
N 
n =0 
N −1

2πkn
2πkn 

X I ( k ) = −∑  xR ( n ) sin

− xI ( n ) cos
N
N 
n =0 
N −1

Tính trực tiếp cần:
•
2N2 phép tính hàm lượng giác
• 4N2 phép nhân thực
• 4N(N-1) phép cộng thực

Chi phí tính
tốn lớn


Giải thuật biến đổi Fourier nhanh
Fast Fourier Transform (FFT)


Đặt

WN = e

− j 2π / N

N −1



X ( k ) = ∑ x(n)WNnk
n =0



Tính đối xứng:



Tính tuần hồn:

k+N /2
M

W

k+N
M

W

= −W

=W

k
N

k
N

Giải thuật biến đổi Fourier nhanh
Fast Fourier Transform (FFT)
Xét chuỗi x(n) = {x(0), x(1)}
 FFT 2 điểm của x(n):


X (0) = x(0)W + x(1)W = x(0) + x(1)
0
2

0
2

X (1) = x(0)W + x(1)W = x(0) − x(1)

(Lưu ý: W2 = 1)

0
2

x(0)

1
2

X(0)
1 Bướm
(Butterfly)

x(1)

-1

X(1)


Giải thuật FFT phân chia theo thời gian
(Decimation in time – DIT)


Xét chuỗi x(n) có chiều dài N = 2K
 Đặt g(n) = x(2n)  g(n) = {x(0), x(2), … }
 Đặt h(n) = x(2n + 1)  h(n) = {x(1), x(3), …}



DFT N điểm của x(n):
X (k ) = G (k ) +W H (k )
k
N

N
X (k ) = G (k − ) −W
2


k−

N
2
N

,

N
k = 0,1,..., − 1
2

N
H (k − )
2

N
, k = ,..., N − 1
2

G(k), H(k) : DFT N/2 điểm của g(n), h(n)


Giải thuật FFT phân chia theo thời gian
g(0)

G(0)

g(1)

W

G(1)

W

FFT N/2
điểm
g(N/2 -1)

1
N

G(N/2 -1)
W

h(0)

H(0)

− WN0

h(1)

H(1)

− WN1

FFT N/2
điểm
h(N/2 -1)

0
N

H(N/2 -1)

− WNN / 2−1

N / 2 −1
N

X(0)
X(1)

k =0

N/2 -1

X(N/2-1)

X(N/2)

X(N/2 + 1) k = N/2

N-1
X(N – 1)


Chi phí tính tốn
So với tính trực tiếp: chi phí tính tốn thấp hơn

Number of Operations



2000
1500

DFT ∝ N2

1000

FFT ∝ N log2N

500
0
0

10

20

30

Number of samples, N

40


Ví dụ


FFT 8 điểm phân chia theo thời gian


Ví dụ


FFT 8 điểm phân chia theo thời gian


Ví dụ


FFT 8 điểm phân chia theo thời gian


Ví dụ


FFT 8 điểm phân chia theo thời gian


Ví dụ


Thứ tự chuỗi x(n) trong pp Decimation – in - time
Số thứ tự

Dạng nhị phân

Đảo bit

n

0

000

000

0

1

001

100

4

2

010

010

2

3

011

110

6

4

100

001

1

5

101

101

5

6

110

011

3

7

111

111

7


Ví dụ


FFT 8 điểm phân chia theo tần số (Decimation in freq)


Ví dụ


FFT 8 điểm phân chia theo tần số