Biến đổi z (xử lý số tín HIỆU DSP)

Xử lý số tín hiệu

Chương 5:

Biến đổi Z


1. Định nghĩa


Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n):

X ( z) =

+∞

−n
x
(
n
)
z
∑

n = −∞

= ... + x(−2) z 2 + x(−1) z + x(0) + x(1) z −1 + x(2) z − 2 + ...



Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n)

H ( z) =

+∞

−n
h
(
n
)
z
∑

n = −∞


2. Các tính chất cơ bản
a.

Tính tuyến tính

A1 x1 (n) + A2 x2 (n) 
→ A1 X 1 ( z ) + A2 X 2 ( z )
Z

b.

Tính trễ

x( n ) 

→ X ( z )
Z

c.

⇒

x( n − D ) 
→ z
Z

−D

X ( z)

Tính chập

y (n) = h(n) ∗ x(n)

⇒

Y (z) = X(z)H(z)


2. Các tính chất cơ bản
Ví dụ 1 Dùng u (n) − u (n − 1) = δ (n)
và tính chất của
biến đổi Z, xác định biến đổi Z của:
a) x(n) = u(n)
b) x(n) = -u(-n-1)

Ví dụ 2 Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín
hiệu ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]


3. Miền hội tụ
Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z):

ROC = { z ∈ C X (z ) ≠ ∞}

Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n)
+∞
+∞
Biến đổi Z:
n
−n
X ( z ) = ∑ (0.5) u (n) z = ∑ (0.5 z −1 ) n
n = −∞

n =0

0.5 z −1 < 1 ⇔ z > 0.5

ROC

}

⇒ ROC = z ∈ C z > 0.5

1
(0.5) u ( n ) 
→
,
−1
1 − 0.5 z
n

Z

z > 0.5

z
5
0.

Tổng hội tụ khi

{

z-plane
|z|


3. Miền hội tụ
Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1)
−1
Biến đổi Z:

X ( z ) = − ∑ (0.5) z

n

n = −∞

{

−n

+∞

= −∑ [(0.5) −1 z ]m
m =1

}

ROC = z ∈ C z < 0.5

z-plane
z
5
0.



Kết quả:

1
− (0.5) u (−n − 1) 
→
,

−1
1 − 0.5 z
n

Z

ROC

|z|

z < 0.5


3. Miền hội tụ


1
Tổng quát:
a u ( n) 
→
, z>a
−1
1 − az
1
Z
n
− a u (− n − 1) 
→
, z−1

1 − az
Z

n

z-plane

a

a

|a|

|z|

|
|z

ROC

z-plane

cực
ROC

|a|

cực

4. Tính nhân quả và ổn định


Tín hiệu nhân quả dạng:

x(n) = A p u (n) + A2 p u (n) + ...
n
1 1

n
2

có biến đổi Z là:
X ( z) =

A1
A2
+
+ ...
−1
−1
1 − p1 z
1 − p2 z

pi
Với ROC: z > max
i

p4
p1

p2
p3

ROC


4. Tính nhân quả và ổn định


Tín hiệu phản nhân quả dạng:

x(n) = − A p u (− n − 1) − A2 p u (−n − 1) − ...
n
1 1

n
2

cũng có biến đổi Z là:
A1
A2
X ( z) =
+
+ ...
−1
−1
1 − p1 z
1 − p2 z

pi
Với ROC: z < min
i

p4
p1

p2
p3

ROC


4. Tính nhân quả và ổn định
Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của
a. x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n)
b. x(n) = (0.8)nu(n) - (1.25)nu(-n-1)
c. x(n) = -(0.8)nu(-n-1) - (1.25)nu(-n-1)
d. x(n) = - (0.8)nu(- n – 1) + (1.25)nu(n)


4. Tính nhân quả và ổn định
x(n) ổn định

⇔

ROC có chứa vòng tròn đơn vị

Các trường hợp:
p4

p1

p4
p1

p2
p3

p3

ROC

ROC
vòng tròn đơn vị

p2

vòng tròn đơn vị


5. Phổ tần số


Biến đổi Z của x(n): X ( z ) =

+∞

n
x
(

n
)
z
∑

n = −∞




Biến đổi DTFT của x(n):X ( f ) =
Đặt ω = 2πfT =



X (ω ) =

+∞

2πf
(Tần số số)
fs

∑ x ( n )e

n = −∞

− jωn

+∞

− j 2πfnT
x
(
n
)
e
∑

n = −∞

= X ( z)

z = e jω

Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị.


5. Phổ tần số


Đáp ứng tần số của hệ thống h(n) với hàm truyền
+∞
H(z):
− j ωn

H (ω ) =

∑ h( n)e

= H ( z)

n = −∞





z = e jω

X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs  X(ω), H(ω) tuần
hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)
fS / 2
π
1
1
DTFT ngược:
j 2πfn / f S
j ωn

x ( n) =

2π

∫π X ( ω )e

−

dω =

fS

∫ X ( f )e

− fS / 2

df


6. Phổ tần số
ejω

Mặt phẳng Z
ω=π

ω=0
0

Vòng tròn
đơn vị

Điều kiện tồn tại X(ω): ROC của X(z) chứa vòng tròn
đơn vị ↔ x(n) ổn định


6. Phổ tần số
−1

1 − z1 z
z − z1

X ( z) =
=
−1
1 − p1 z
z − p1



Xét X(z):



X(z) có 1 cực z = p1 và 1 zero z = z1



Thay z = ejω,
jω

e jω − z1

e − z1
X (ω ) = jω
= > X (ω ) = jω
e − p1
e − z2


6. Phổ tần số
|z-p1|

ejω

|z-z1|

p1

z1

|X(ω)|

ω1

pole
zero

φ1

1

0
0

φ1

ω1

ω


7. Biến đổi Z ngược



Đưa X(z) về dạng

A1
A2
X ( z) =
+
+ ...
−1
−1
1 − p1 z
1 − p2 z

Tùy theo ROC, suy ra x(n)
1
1
Ví dụ: X ( z ) =
+
1 − 0.8 z −1 1 − 1.25 z −1


ROC={z,|z|<0.8}  x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1)



ROC={z, 0.8<|z|<1.25}  x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1)



ROC={z, 1.25 < |z|}  x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)


7. Biến đổi Z ngược


Pp khai triển phân số từng phần:
N ( z)
N ( z)
X ( z) =
=
D( z ) (1 − p1 z −1 )(1 − p2 z −1 )...(1 − pM z −1 )



Khi bậc của N(z) nhỏ hơn M:

A1
A2
AM
X ( z) =
+
+ ... +
−1
−1
1 − p1 z
1 − p2 z
1 − pM z −1


Với

[

Ai = (1 − pi z

−1

) X ( z )]

z = pi