Các hàm truyền (xử lý số tín HIỆU DSP)

Xử lý số tín hiệu

Chương 6:

Các hàm
truyền


1. Các dạng mô tả tương đương của
bộ lọc số
Đáp ứng
xung h(n)

Phương trình
sai phân I/O

Phương trình
chập vào/ra

Hàm truyền
H(z)

PP thiết kế
bộ lọc
Các tiêu
chuẩn
thiết kế

Đáp ứng tần
số H(ω)

Thực hiện
sơ đồ khối

Xử lý khối

Sơ đồ
cực/zero

Xử lý mẫu


2. Các hàm truyền
5  2z  1
H ( z) 
1  0.8 z  1

Ví dụ: xét hàm truyền sau:
 Từ H(z) suy ra được:
1. Đáp ứng xung h(n)
2. Phương trình sai phân I/O thỏa bởi h(n)
3. Phương trình chập I/O
4. Thực hiện sơ đồ khối
5. Sơ đồ cực/ zero
6. Đáp ứng tần số H(ω)


2. Các hàm truyền
Các dạng tương đương toán học của hàm truyền có thể dẫn đến
các phương trình sai phân I/O khác nhau và các sơ đồ khối khác
nhau cùng thuật tốn xử lý mẫu tương ứng

Ví dụ: Với hàm truyền
5  2z 1
Có thể viết dưới dạng:
H ( z) 
a. Dạng 1
1  0.8 z  1


b.

Dạng 2

5  2z  1
7.5
H ( z) 
 2.5 
1
1  0.8 z
1  0.8 z  1
5  2z  1
1
H ( z) 

(
5

2
z
)W ( z )
1

1  0.8 z


3. Đáp ứng hình sine
A.

Đáp ứng trạng thái ổn định
- Tín hiệu vào: sine phức, tần số ω0, dài vơ hạn

x(n) e j0 n

Ngõ ra có thể xác định bằng 2 cách:
(1) Chập trong miền thời gian
-



y (n)  h(m) x(n  m) H (0 )e j0 n


(2)

Phương pháp miền tần số
Phổ tín hiệu vào:
X() = 2( - 0) + (các phiên bản)


3. Đáp ứng hình sine
Phổ tín hiệu ra: (phiên bản thứ nhất)
Y() = H()X() = 2H(0)( - 0)

DTFT ngược:
1
y ( n) 
2


j 0 n
j n
Y
(

)
e
d


H
(

)
e
0




Tổng quát: H() là số phức

H 0   H  0  e
e

j 0 n

  H 0  e
H

j arg H  0 

j0 n  j arg H  0 


3. Đáp ứng hình sine


Tín hiệu vào gồm 2 tín hiệu sine tần số 1 và 2 kết hợp
tuyến tính & bộ lọc tuyến tính:

A1e

j1n

 A2 e

j 2 n

H

 

A1 H 1  e

j (1n arg H (1 ))

 A2 H 2  e


j ( 2 n arg H ( 2 ))

Tín hiệu vào tổng quát: phân tích Fourier thành các
thành phần sine rồi tính ngõ ra.


3. Đáp ứng hình sine


Độ trễ pha (Phase Delay):

arg H  
d   
 arg H    .d  



Độ trễ nhóm (Group Delay):

d
d g   
arg H  ω
d

=>

e

jn

  H   e
H

j  n  d    


3. Đáp ứng hình sine


Bộ lọc có pha tuyến tính: d()=D (constant)
 pha arg H   D tuyến tính theo 
 Các thành phần tần số đều có độ trễ D như nhau:

 

e

j n

  H   e
H

j ( n  D )

3. Đáp ứng hình sine
B.


Đáp ứng q độ
Tín hiệu vào: sine, bắt đầu tại t=0

x(n) e

j0 n

1

u (n)   X  z  
1  e j 0 z  1
Z

j 0
z

e
1
với ROC:



Giả sử bộ lọc có hàm truyền H(z):

H  z 

1 

p1 z  1

N  z
1  p2 z  1 ... 1  pM z  1



 




3. Đáp ứng hình sine




Ngõ ra: Y(z) = H(z).X(z)

N  z
Y  z 
1  e j0 z  1 1  p1 z  1 1  p2 z  1 ...1  pM z  1 



Giả sử bậc của N(z) nhỏ hơn M+1, khai triển phân số từng phần:

H  0 
B1
BM
Y  z 

 
j 0  1
1
1  p1 z
1  pM z  1
1 e z

với ROC: |z|>1


3. Đáp ứng hình sine


Biến đổi ngược:

y ( n )  H  0  e


j 0 n

n
1 1

 B p   BM p

Giả sử bộ lọc ổn định:

pi  1 , i 1, M



n
i

n 

p    0 , i 1, M

y (n)    H 0 e
n 

j 0 n

n
M

, n 0


3. Đáp ứng hình sine







pin  n
 0

Bộ lọc ổn định nghiêm ngặt, các hệ số
Cực có biên độ lớn nhất pI thì hệ số tương ứng sẽ tiến về
0 chậm nhất.
pi .
Ký hiệu:  max
i
Hằng số thời gian hiệu quả neff là thời gian tại đó



neff



với  là mức độ nhỏ mong muốn, ví dụ 1%

neff

1
ln 
ln 





ln 
1
ln 



3. Đáp ứng hình sine


Đáp ứng unit step: tín hiệu vào x(n) = u(n).
j 0 n
Trường hợp đặc biệt của e
u (n) với 0 = 0 (z = 1)

y (n) H  0   B p  B2 p  ...  BM p , n 0
n
1 1

n
2

n
M


y  n   n
  H  0

H(0) coi như đáp ứng DC của bộ lọc.
Độ lợi DC:

H  0  H  z 



z 1

 h(n)
n 0


3. Đáp ứng hình sine


Đáp ứng unit step thay đổi: tín hiệu vào x(n) = (-1)nu(n).
j 0 n
u (n) với 0 =  (z = -1)
Trường hợp đặc biệt của e

y ( n)  H    e

jn

n
1 1

n
2

n

M

 B p  B2 p  ...  BM p , n 0

y  n     H    1
n 

n

Độ lợi AC:

H   H  z 



n

(

1
)
h( n)

z  1
n 0


3. Đáp ứng hình sine
Ví dụ
1. Xác định đáp ứng quá độ đầy đủ của bộ lọc nhân quả

với tín hiệu vào dạng sine phức, tần số 0, cho

5  2z  1
H  z 
1  0.8 z  1

2.

Xác định đáp ứng DC và AC của bộ lọc trên. Tính hằng
số thời gian hiệu quả neff để đạt đến  = 1%


3. Đáp ứng hình sine


-

Bộ lọc ổn định dự trữ (marginally stable): có cực nằm
trên vịng trịn đơn vị.
Xét bộ lọc H(z) có cực trên vịng trịn đơn vị
*
1

Bộ lọc sẽ có cực liên hợp: p e

p1 e j1

.

 j1

-

Giả sử các cực khác nằm trong vòng tròn đơn vị

-

Đáp ứng quá độ

y (n) H 0 e j0 n  B1e j1n  B1*e  j1n  B2 p2n  ...

y (n)  n
  H 0 e j0 n  B1e j1n  B1*e  j1n


3. Đáp ứng hình sine


Nếu

0 1

ổn định. Ví dụ:

thì tạo ra cộng hưởng và ngõ ra không

0 1  e

j1

e

j 0

 p1

N ( z)
Y ( z) 
(1  p1 z  1 ) 2 (1  p2 z  1 )...(1  pM z  1 )
B1
B1'
B2



 ...
1
1 2
1
1  p1 z
(1  p1 z ) 1  p2 z


Biết:

1
Z 1
n




(
n

1
)
a
u ( n)
1 2
(1  az )

 y (n) B1e j1n  B1' (n  1)e j1n  B2 p2n  ...


4. Thiết kế cực – zero
1.

Các bộ lọc bậc nhất
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc bậc 1 có hàm truyền dạng
G (1  bz  1 )
H ( z) 
1  az  1
với 0< a,b <1

|H()|

ej
|H(0)|

-b

a

1

|H()|
0






4. Thiết kế cực – zero
G (1  b)
H  0  H  z 1 
1 a
G (1  b)
H    H  z  1 
1 a
H ( ) (1  b)(1  a)


H (0) (1  a )(1  b)
Cần 2 phương trình thiết kế để xác định a và b.


4. Thiết kế cực – zero
Ví dụ : thiết kế bộ lọc có H()/H(0) = 1/21 và neff = 20 mẫu
để đạt  = 1%

a 

1 / neff

1 / 20

(0.01)

0.8

(1  b)(1  0.8) 1
  b 0.4
(1  b)(1  0.8) 21
1
1

0
.
4
z
H(z) G
1  0.8 z  1


4. Thiết kế cực – zero
2. Các bộ cộng hưởng
Thiết kế một bộ lọc cộng hưởng bậc hai đơn giản, đáp ứng
có một đỉnh đơn hẹp tại tần số 0
|H()|2

1

1/2

0

0

/2






4. Thiết kế cực – zero
- Để tạo 1 đỉnh tại  = 0, đặt 1 cực p R.e j0 , 0 < R < 1
và cực liên hợpp * R.e 

j 0

G
1  R.e j0 z  1 1  R.e  j0 z  1
G

1  a1 z  1  a2 z  2

H ( z) 
p
R

0
- 0

1





p*

a1  2 R cos 0 ,

a2 R 2




4. Thiết kế cực – zero
-

Đáp ứng tần số:

H   

-

G
1  R.e j0 e  j 1  R.e  j0 e  j


Chuẩn hóa bộ lọc:
H  0 





H 0  1

G

1
j 0  j 0
j 0 j 0
1  R.e e
1  R.e e





 G (1  R) 1  2 R cos( 20 )  R 2




4. Thiết kế cực – zero
-

Độ rộng 3-dB fullwidth: độ rộng tại ½ cực đại của đáp ứng biên độ bình phương

H  

2

1
1
2
 H 0  
2
2

-

Tính theo dB:

-

Giải ra 2 nghiệm 1 và 2 =>  = 2 - 1

H  
1
20 log10
10 log10    3dB
H  0 
 2