ĐềThi học sinh giỏi – năm học 2007 - 2008 môn toán 9 – thời gian 150 phút

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PGD KRÔNG BÚK TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG. THI HS GIỎI – Năm học 07-08 Môn Toán 9 – Thời gian 150 phút. ĐỀ BÀI:. Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A  x  2 x  1  x  2 x  1 Bài 2 (3đ) Cho biểu thức  2a  a  1 2a a  a  a  a  a B  1     . 1  a 1  a a   2 a 1 a/ Rút gọn B. 2 b/ Chứng minh rằng B . 3 Bài 3: (3đ). Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1. Chứng minh bất đẳng thức:  a  b  c  d   4  2  a  b  c  d  . Bài 4 (3đ). Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C  2  2  2  2  2  2  ...  2    2  2 2 2 1 2 3 1 3 4 1 2006 2007 1 2007 20082 là số hữu tỷ. 2 2 2  x  y  z  1 Bài 5 (3đ). Cho ba số x, y, z thỏa mãn  3 3 3  x  y  z  1 Hãy tính tổng x  y  z .. Bài 6 (3đ). Cho ABC  AB AC  . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D. a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp BIC . b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC với các cạnh AB, BC. K là hình chiếu vuông góc của C xuống đường thẳng AI. Chứng minh M, N, K thẳng hàng. Bài 7 (3đ). Cho ABC . Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. 1 Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích PDE khônh lớn hơn diện 4 tích ABC . Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn nhất.. Lop6.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 – Năm học: 07 – 08. Bài 1 (2đ). A  x 1 2 x 1   x 1 2 x 1 1. 1,5 đ. . . . . x 1 1 . 2. x 1 1 .  x 1 1. . . x 1 1. 2. . ĐK: x  1. x 1 1 x 1 1. Với 1  x  2  A  x  1  1  x  1  1  2 Với x  2  A  x  1  1  x  1  1  2 x  1 Bài 2 (3đ). a/ Rút gọn biểu thức M ở trong ngoặc (…) 2a  a  1  a  1 2 a  1 .. 0,25đ 0,25đ.    1  a  1  a 1  a  1  a a  1  a 1  a  a   a  1 2 a  1  2a a  a  a M  1  a 1  a  1  a 1  a  a  2 a 1 2a a  a  a   . MTC 1  a 1  1  a 1  a 1  a  a   2 a  11  a  a    2a a  a  a  1  a 1  a  a . Ta có:. 2đ.  . a a. . 2 a  2a  2a a  1  a  a  2a a  a  a. 1  a 1 . 2 a 1. 1  a 1 .  B  1. a a. a a. . 2 a 1. 1  a 1 . a a. . .. . .  a 1 a. . 2 a 1.  a 1 a  a  a 1 a   1 a  a 1 a  a 1 a  a 1 (ĐKXĐ: a  0, a  1, a  ) 4  1. b/ Vì. . . 2. a  1  0  a  0  a 1 2 a 1 3 a  a 1  a   1   a  1 2 2.  a 1  2 a  a . 1đ. Nên. (1). Mặt khác: a  a  1  0 nên chia cả 2 vế của. (1). cho. a 1 2  và vì a  1 nên dấu “=” không xảy ra. a  a 1 3 3 1 Vậy B  với a  0; a  1; a  . 2 4 Lop6.net. . . 3 a  a  1 ta có: 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 3 (3đ) ta có:  a  b  c  d   4  2  a  b  c  d . 1đ.   a  b  c  d   4  2  a  b   2  c  d   0   a  b  c  d  2   2  c  d  2   0. 1đ.   c  d  2  a  b  2   0 . . c d.  2. a b. . 2. 0. 1đ. (luôn đúng với a , b, c, d  0 và ab=cd  1 ) Bài 4 (3đ) Ta có: 1đ. C. 1.  1. 2. . 1.  2 . 2. . 1  32. 1.  1. 2. . 1.  3. Mỗi số hạng của C có dạng: M  1,5đ. 0,5đ. 2. . 1  ...  42. 1.  1. 2. . 1.  2006 . 2. . 1  2007 2. 1.  1. 2. . 1.  2007 . 2. . 1 20082. 1 1 1   Trong đó a  b  c  0 . a 2 b2 c2. 2. 2. abc  1 1 1 1 1 1 Mà M   2  2  2   2.      (Vì a  b  c  0 ) abc a b c  a b c 1 1 1    là một số hữu tỷ  C là số hữu tỷ. a b c Bài 5 (3đ). Theo đề ra ta có x  1; y  1; z  1 0,5đ Nên x3  x 2 ; y 3  y 2 ; z 3  z 2  x3  y 3  z 3  x 2  y 2  z 2. 0,5đ 0,5đ.  x3  x 2  x  x2  x  0 hoặc x  1    Đẳng thức xảy ra   y 3  y 2   y  0 hoặc y  1   y  y 2  z3  z 2 z  0 z  z2 hoặc z  1   . 1đ. Vậy x  y  z  x 2  y 2  z 2  1 0,5đ. Bài 6 (3đ) a/ AD  DC A  BD  DC (1) B A DA A (T/c góc ngoài tam giác) BI A B 1. 1,5đ. 0,5đ. 0,25đ. M I 1. B.  2. 1  2 . b/. 12. 1. Mà A A A1  B 3 A D  DBI A  DBI cân  BI.  DB  DI. A. 2. 3. ;  DB  DI  DC  D là tâm đường tròn ngoại tiếp BIC A B A BI  MN  MNB   900 2 mà AA B A C A    900 2 2 2 AA B A 3   A  MNB   2 2 Chứng minh 4 điểm I, N, K, C cùng nằm trên một đường tròn. Lop6.net. C. N K. D.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 0,5đ. 0,25đ. A A A ) (cùng chắn KC  CNK  CIK A A A  A  B (T/c góc ngoài tam giác) Mà CIK 2 2 AA C A 4   A  CNK   2 2 A A Từ (3), và (4)  MNB  CNK  M, N, K thẳng hàng B, N, C thẳng hàng M, K ở hai nửa mặt phẳng bờ BC. Bài 7 (3đ) Kẻ AH  BC AH cắt DE tại K Đặt AH = h, AK = k 1đ S DE h  k P  PDE  . S ABC BC h . 0,75đ. 1đ. 0,25đ. A k D. k h  k . k2 Áp dụng bất đẳng thức 2 ab  a  b. K. E.  a, b  0 . Dấu “=” xảy ra khi a  b  Tổng không đổi thì tích lớn nhất khi a  b Ta có k + h – k = h không đổi k  0, h  k  0 h  tích k(h – k) lớn nhất khi k  h  k  k  2 A B A B 1 2. B. h2 1 1  p  42   S PDE  S ABC h 4 4 h S PDE lớn nhất khi k  tức DE là đường trung bình ABC . 2. Lop6.net. H. P. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>