Chuyên đề Đại số 8: Phân tích đa thức thành nhân tử

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức. . Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung). - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. - Nhóm nhiều hạng tử. . Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Thêm bớt cùng một hạng tử. - Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số). - Duøng phöông phaùp heä baát ñònh. - Tìm nghiệm của đa thức. - Quy taét HORNER (Hoùt - Nô). B. MỘT SỐ BAØI TOÁN: I. PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ Bài1. Phân tích đa thức thành nhân tử.. A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) Caùch 1: Khai trieån hai trong ba soá haïng, chaúng haïn khai trieån hai soá haïng đầu rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz). Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) a3 + b3 + c3 -3abc. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lời giải: a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo caâu a ta coù: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 và (y – z) = (y – x) + (x – z) (x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 = = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 Bài 3: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. X3 – 7x – 6 Caùch 1: Taùch soá haïng -7x thaønh – x – 6x, ta coù: X3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Caùch 2: Taùch soá haïng – 6 = 8 – 14 ,ta coù: X3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3) II. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHU. Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b) 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giaûi: a) Ñaët x2 + x + 1 = y ta coù x2 + x + 2 =y +1 Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi = ( y – 3)(y + 4) Do đó: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Ñaët: x2 + xy + xz = m, ta coù 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 * DAÏNG ÑAËC BIEÄT Xeùt Q(x) = ay2 + by + c. Neáu coù caùc soá m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + m.n/a hay ay2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = 1 thì y2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m và n nhỏ hơn b sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b.  Da thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c Caùch giaûi: Ñaët bieán phuï y = x2 vaø aùp duïng HÑT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử. Giaûi: Ñaët y = x2 ,coù Q(y) = 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 neân choïn m = 9, n = 10, ta coù: 6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do doù P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)  Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc 2 y = x2 + (a + b) x Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử. Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Do doù . P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả maõn a1b1 = c1d1 vaø a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì ñaët y =(a1x + a2)(b1x + b2) roài bieán đổi như trên.  Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 Ví duï: Phaân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thaønh nhaân tử. Giaûi: Deã thaáy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 vaø a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) = 24x2 Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).  Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + 2 thành nhân tử. Giaûi: Ñaët y = x2 – 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1 Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 10x2 vaø m + n = 3x choïn m = 5x , n = - 2x Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do doù , P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2).  Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2+ bxy rồi sử dụng HĐT (*). Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử. Giaûi: Deã thaáy b = 1, d = 2, e =4 ñaët y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4 Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 vaø m + n = - x choïn m = 2x, n = -3x. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Ta coù Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2). * Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo caùch treân.  Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng mx4 + nx2 + p. Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x – 2 lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1). BAØI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 1) A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4 2) B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 3) C(x) = 4(x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2 4) D(x) = (7 – x)4 + ( 5 – x)4 – 2 5) E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 6) F(x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1 IV. PHÖÔNG PHAÙP HEÄ SOÁ BAÁT ÑÒNH. Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giaûi: a) Keát quaû tìm phaûi coù daïng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta có: a+b =0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, do đó a, c là ước của - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 khi đó b = - 2 thoả mãn hệ trên. Đó là một bộ số phải tìm tức là x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15). Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi b) Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nến đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd . Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta có x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a+c =6 ac + b + d =7 ad + bc = 6 bd =1 Từ hệ này tìm được: a = b = d = 1 , c = 5 Vaäy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5). V. TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.  Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x). P(x) = (x – a) Q(x) Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhị thức (x – a).  Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân biệt đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x). P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương đúng của phép chia chính là Q(x).  Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao? Theá naøo laø nghieäm soá keùp? Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x). Q(x) laïi coù nghieäm x = a suy ra Q(x) = (x – a) R(x). Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x). Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x). Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 thành nhân tử . Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có số nghiệm là x = 2 Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2 , ta được thương số là Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có 2 nghiệm phân biệt là -1 và 2 Vì P(-1) = 0 vaø P(2) = 0 Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2 , ta được thương đúng của phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2). VI. QUY TAÉT HOÙT – NÔ (HORNER) Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho một nhị thức baäc nhaát. Bài toán: Giả sử chúng ta chia được đa thức. P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ….. + an chia nhị thức x - a Bậc của đa thức thương Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vị. Q(x) = b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + …… + bn - 1 Soá dö r laø moät haèng soá vì baä r < baäc (x – a) Ta coù: a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ….. + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – 2 + …. + bn – 1) + r Caân baèng caùc heä soá, ta coù: b0 = a0 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1. Ta saép xeáp thaønh baûng sau:. a. b3 = a3 + ab2 ………………………….. bn – 1 = an – 1 + abn - 2 r = an + abn -1. a0 a1 a2 ……… an - 1 b0 = a0 b1 = a1 +ab0 b2 = a2 +ab1 bn – 1 = an -1 + abn - 2 Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + 1 thành nhân tử. Giaûi: Ta coù P(1) = 3 – 4 + 1 = 0 Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q1(x) Ta xaùc ñònh Q1(x) baèng quy taét Hoùt – Nô .. Lop8.net. an r = an + abn -1.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 1. 3 3. -4 -1. 0 -1. 0 -1. 1 r = p(1) =0. Do đó Q1(x) = 3x3 – x2 – x – 1 Nhaän xeùt raèng Q1(x) = 0 suy ra Q1(x) = (x – 1)Q2(x) Ta xác định Q2(x) bằng cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ: 3 -1 -1 -1 1 3 2 1 0 Suy ra: Q2(x) = 3x2 + 2x + 1, không phân tích thành nhân tử được nữa. Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + 1 = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1).. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>