skkn: Một số pp phân tích đa thức thành nhân tử

Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

PHẦN I:
MỞ ĐẦU
A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :
1/ Lý do chọn đề tài :
Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là
một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương
pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút
gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bài
toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau
này.
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học
sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải
những sai sót khi làm bài tập .
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và đònh hướng được
một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành
nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử” để dạy cho học sinh .
Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết quả,
bài học kinh nghiệm. Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện
và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện. Một số bài tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân
tích đa thức thành nhân tử và một số ví dụ nhận đònh một số sai sót khi làm bài tập và
hướng khắc phục cho học sinh.
2/ Thực trạng vấn đề:
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Thực tế học sinh ở trường THCS Tiến Thành tiếp thu bài còn chậm và vận dụng
kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa thành
thạo sử dụng những phương pháp phân tích thành nhân tử, do thời lượng làm bài tập còn
ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao .
Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như :
• Đặt nhân tử chung .
• Chưa vận dụng thành thạo hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập .
• Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý.
• Chưa biết cách tách hạng tử.
• Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn thì không tìm ra được cách giải.
Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :
+ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian
để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều .
+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu , một số chỉ học máy móc,hiểu một
cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá
trình làm bài tập .
B/ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1/ Công tác chuẩn bò dạy :
- Đòa điểm : Trường THCS Tiến Thành .
- Giáo trình : SGK, sách bài tập, một số tài liệu tham khảo khác như sách phát triển
Toán 8 …
2/ Đối tượng học :
Học sinh lớp 8A
3
học chính khóa, ôn tập cuối chương, ngoài ra dạy phụ đạo theo chủ đề
bám sát.
3/ Lập kế hoạch tổ chức thực hiện :
Ngoài thời gian dạy giờ chính khóa ở trường tôi bố trí lòch học phụ đạo cho học sinh vào
chiều thứ 5 và chiều thứ 7 như sau:
Ngày Thứ Buổi Nội dung dạy học Số tiết Đòa điểm

25/10/07 5 Chiều Phương pháp đặt nhân
tử chung và luyện tập.
4 Trường Tiến Thành
27/10/07
7 Chiều Phương pháp dùng 4
”
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 2
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
hằng đẳng thức và
luyện tập.
1/11/07
5 Chiều Phương pháp nhóm
và luyện tập.
4
”
3/11/07
7 Chiều Phương pháp tách và
luyện tập.
4
”
8/11/07
5 Chiều Phối hợp các phương
pháp trên và luyện
tập.
4
”
10/11/07
7 Chiều Phương pháp dùng hệ

số bất đònh và luyện
tập
4
”
15/11/07
5 Chiều Phương pháp đổi biến
số và luyện tập.
4
”
17/11/07
7 Chiều Sử dụng Máy tính bỏ
túi Casio f(x)- 570MS
để phân tích đa thức
thành nhân tử.
4
”
4). Tổ chức thực hiện:
- Giáo viên dạy theo lòch .
- Học sinh học tập, thực hiện theo nội quy đã quy đònh .
PHẦN II:
NỘI
DUNG
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 3
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số ) là biến đổi đa thức đó thành một tích
của những đa thức.

ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra làm nhân tử chung
theo công thức sau : A.B + A.C = A(B + C).
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x – 6y.
Giải : Ta có : 3x – 6y = 3 .x – 3 .2y
= 3 ( x – 2y) .
•
Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 3 do đó ta có thể đưa ra ngoài làm nhân tử chung
theo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác đònh được
nhân tử chung .
Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(x – y) – 5x(y – x).
Giải :
Ta có : 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x (x – y)
= (x – y)(3 + 5x) .
•
Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(x – y) và – 5x(y – x)
nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung. Ta có thể đổi dấu – 5x(y – x) thành 5x (x – y) để
xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung .
Khi dạy học sinh thông qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn luyện
cho học sinh được thành thạo về các bước phân tích.
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)
2
– 10y(x – 2y).
Giải : Ta có :
5x(x – 2y)
2
– 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)
2
.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung ở đây là 5(x –
2y))
= 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y]
= 5(x – 2y)( x
2
– 2xy – 2y) .
* Nhận xét :
Đối với các ví dụ trên khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú
ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên như sau :
+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử .
+ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số
mũ nhỏ nhất của nó.
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, 5x – 20y.
b, x
2
+ xy – x.
c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ).
d, 14x
2

– 21xy
2
+ 28x
2
y
2
.
Bài 2: Tìm x biết x
3
+ x = 0.
Bài 3: Chứng minh rằng n
2
(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n .
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả như sau:
Bài 1:
a, 5x – 20y = 5(x – 4y ) .
b, x
2
+ xy – x = x(x + y -1 ) .
c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) = 2(x –y ).5x + 2(x – y ).4y
= 2(x –y )(5x + 4y).
d, 14x
2
– 21x y
2
+ 28x
2
y
2

= 7x.2x – 7x.3y
2
+ 7x.4xy
2
= 7x(2x – 3y
2
+ 4xy
2
).
Bài 2:
Ta có : x
3
+ x = 0
⇔
x(x
2
+ 1 ) = 0

⇔
x = 0 hoặc x
2
+ 1 = 0
+ x = 0 .
+ x
2
+ 1 = 0 (vô lý vì x
2

≥
0 với

∀
x).
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 5
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Vậy x = 0 .

Bài 3: Ta có n
2
(n + 1) + 2n(n + 1) = n .n .(n + 1) + 2n(n +1)
= n( n + 1)(n + 2).
Khi n
∈
Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên
M
2; 3 mà(2,3) =1 do
đó n( n + 1)(n + 2)
M
6.

DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2

– 2AB + B
2
= (A – B)
2
A
2
– B
2
= (A + B) (A – B)
2
A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
= (A – B)
3
A

3
+ B
3
= (A + B) (A
2
– AB + B
2
)
A
3
– B
3
= (A – B) (A
2
+ AB + B
2
)
Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích, như vậy học sinh
phải học thuộc các hằng đẳng thức .

a/ Các ví dụ :
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
– 6xy + 9y
2
.
Giải :
Ta có : x
2

– 6xy + 9y
2
= x
2
– 2.x .3y + (3y)
2
= ( x – 3y)
2
.
•
Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ nhất và thứ ba của đa thức dưới dạng một
lũy thừa để áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu .
Qua ví dụ này học sinh chú ý khi một đa thức có ba hạng tử, trong đó có hai hạng tử được
viết dưới dạng một lũy thừa thì ta nghó đến hằng đẳng thức bình phương của một hiệu
hoặc bình phương của một tổng.
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
– 7 .
Giải :
Ta có : x
2
– 7 = x
2
– (
7
)
2
= (x –
7

)(x +
7
).
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 6
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
•
Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải được
viết dưới dạng một lũy thừa 7 = (
7
)
2
.Khi đó hằng đẳng thức sử dụng là hiệu hai bình
phương.
Ví dụ3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)
2
– (y – t)
2
.
Giải :
Ta có : (x – y)
2
– (y – t)
2
= [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )]
= (x – y + y – t )(x – y – y + t)
= (x – t )(x – 2y + t).
•

Nhận xét : Từ ví dụ trên ta chú ý khi áp dụng hằng đẳng thức A
2
– B
2
= (A + B)(A – B)
nếu B là một đa thức thì khi viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu.
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, x
2
– 4y
2
.
b, (3x – y)
2
– (x + 2y)
2
.
c, 8x
3
+12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
.

Bài 2: Tính nhanh
a, 105

2
– 25
b, 45
2
+ 40
2
– 15
2
+ 80.45.
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a, ( 3x – 1)
2
+ 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)
2
b, (6x + 1 )
2
+ (6x -1 )
2
– 2(6x + 1 )( 6x - 1 )
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Một số bước giải và kết quả:
Bài 1 : a, x
2
– 4y
2
= x
2
– (2y)
2
= (x + 2y)(x – 2y).

b, (3x – y)
2
– (x + 2y)
2
= [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)]
= (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y)
= (4x + y )(2x – 3y).

c, 8x
3
+12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
= (2x)
3
+ 3 (2x)
2
y + 3.2x.y
2
+ y
3
= (2x + y)
3
.
Bài 2:
a, 105

2
– 25 = 105
2
– 5
2
= (105 + 5)(105 – 5)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 7
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= 110.100
= 11000.

b , 45
2
+ 40
2
– 15
2
+ 80.45 = (45
2
+ 2.40.45 + 40
2
) – 15
2
= (45 + 40)
2
– 15
2
= 85

2
– 15
2
= (85 + 15 ) (85– 15)
= 100 . 70
= 7000 .
Bài 3:
a. ( 3x – 1)
2
+ 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)
2
= [(3x –1) + (2x + 1)]
2
= (3x – 1 + 2x + 1 )
2
= (5x)
2
= 25x
2
.

b. (6x + 1 )
2
+ (6x -1 )
2
– 2(6x + 1 )( 6x - 1 ) = [(6x + 1 ) – ( 6x - 1 )]
2
= (6x + 1 – 6x + 1 )
2

= 4.
NHÓM CÁC HẠNG TỬ
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + 2.
Giải :
Ta có : 5x(x – 2) – x + 2 = 5x(x – 2) – (x – 2 )
= (x – 2) (5x – 1) .
•
Nhận xét : Với ba hạng tử của đa thức trên ta có thể nhóm hai hạng tử thứ hai và thứ ba
với nhau ta được nhân tử chung là x – 2.
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
– x – y
2
– y .
Giải :
Ta có : x
2
– x – y
2
– y = (x
2
– y
2
) – (x + y )
= (x + y ) (x – y) – (x + y )
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 8

Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= (x + y )(x – y – 1) .
•
Nhận xét: Hạng tử thứ nhất và thứ ba là dạng của hằng đẳng thức nên ta nhóm hai
hạng tử đó với nhau,vậy thì hai hạng tử còn lại nhóm thành một nhóm.
Ví dụ3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
– y
2
+ 6x + 9 .
Giải :
Ta có : x
2
– y
2
+ 6x + 9 = (x
2
+ 6x + 9) – y
2
= (x + 3)
2
– y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 – y) .
•
Nhận xét : Nếu ta cứ tiếp tục nhóm hai hạng tử thành một nhóm thì sẽ không phân tích
đa thức trên thành nhân tử được. Như vậy ta có thể nhóm ba hạng tử x
2

, 6x , 9 thành một
nhóm để đưa về một hằng đẳng thức, tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình
phương để ta phân tích.
Sau 3 ví dụ, giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a.
x
2
+ 4x – y
2
+ 4.
b.
3x
2
– 3xy – 5x + 5y.
c.
x
3
– 2x
2
+ x – xy
2
.
d.
x
2
– 4 + (x – 2)
2

Bài 2 : Làm tính chia
a. (x
2
– y
2
+ 6x + 9 ) : (x + y + 3)
b. (x
2
– 3x + xy – 3y ) : (x + y).
Bài 3 : Chứng minh x
2
- 2xy + y
2
+ 1 > 0 với mọi số thực x và y.
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực hiện được như sau:
Bài 1 : a. x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = (x
2
+ 4x + 4) – y
2
= (x + 2)
2
– y
2

= (x + 2

+ y ) (x + 2 – y).
b. 3x
2
– 3xy – 5x + 5y = (3x
2
– 3xy) – (5x – 5y)
= 3x (x – y) – 5 (x – y)
= (x – y) (3x – 5) .
c. x
3
– 2x
2
+ x – xy
2
= x(x
2
- 2x + 1 – y
2
)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 9
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= x[(x
2
- 2x + 1) – y
2
]
= x[(x – 1)

2
– y
2
]
= x(x – 1 + y )(x – 1 – y).
d. x
2
– 4 + (x – 2)
2
= (x – 2)(x + 2) + (x + 2)
= (x + 2 ) (x – 2 + 1 )
= (x + 2 ) (x – 1).
Bài 2: a. (x
2
– y
2
+ 6x + 9 ) : (x + y + 3)
Ta có : x
2
– y
2
+ 6x + 9 = (x
2
+ 6x + 9) – y
2

= (x + 3)
2
– y
2

= (x + 3 + y )(x + 3 – y).
Do đó (x + 3 + y )(x + 3 – y) : (x + 3 + y ) = x + 3 – y .
b. Ta có: x
2
– 3x + xy – 3y = (x
2
– 3x) + (xy – 3y)
= x (x – 3) + y(x – 3)
= (x – 3) (x + y) .
Do đó (x
2
– 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – 3 .
Bài 3 : Ta có : x
2
- 2xy + y
2
+ 1 = (x
2
- 2xy + y
2
) + 1
= (x – y)
2
+ 1
Vì (x – y)
2
≥
0 với
∀
x, y

∈
R nên (x – y)
2
+ 1 > 0 với
∀
x, y
∈
R .
* Nhận xét :
Phương pháp nhóm các hạng tử là phương pháp mà học sinh sai sót và nhầm lẫn như
nhầm từ cách nhóm các hạng tử không hợp lý dẫn đến quá trình phân tích tiếp theo không
thực hiện được hoặc khi nhóm các hạng tử với nhau mà có dấu trừ thì hay sai dấu, vì vậy
mà giáo viên cần chú ý rèn luyện kỹ năng vận dụng cách nhóm cho học sinh .
TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU
HẠNG TỬ KHÁC.
Ởû phương pháp này có rất nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c
(a
≠
0) có thể tách hạng tử có bậc cao nhất hoặc tách hạng tử tự do nhưng thông thường
ta tách hạng tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho : b
1
+ b
2
= b

b
1
. b
2
= a. c
Trong thực hành ta có thể làm như sau :
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 10
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3 : Chọn 2 thừa số có tích bằng a.c nói trên mà có tổng bằng b .
a/ Các ví dụ :
Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
-10x +16.
Giải : Ta có x
2
-10x +16 = x
2
– 2x – 8x + 16
= (x
2
– 2x) – (8x – 16)
= x(x – 2 ) – 8(x - 2)
= (x – 2)(x – 8).
•
Nhận xét : Ở đây ta đã tách -10x thành -2x và -8x, sau đó dùng phương pháp nhóm và
đặt nhân tử chung.

Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
- x – 6.
Giải : Ta có x
2
– x – 6 = x
2
– 3x + 2x – 6
= (x
2
– 3x )+ (2x – 6)
= x(x – 3) + 2(x – 3)
= (x – 3)(x + 2).

•
Nhận xét : Ở đây ta đã tách -x thành -3x và 2x, sau đó dùng phương pháp nhóm và đặt
nhân tử chung.

Ví dụ3 : Tìm x biết : x
2
+ 5x + 6 = 0
Để tìm được x trước hết ta đi phân tích đa thức x
2
+ 5x + 6 thành nhân tử .
Giải : Ta có x
2
+ 5x + 6 = x
2
+ 2x + 3x + 6
= (x

2
+ 2x )+ (3x + 6)
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3) .
Nên x
2
+ 5x + 6 = 0
⇔
(x + 2)(x + 3) = 0

⇔
x + 2 = 0 hoặc x + 3 = 0
+ x + 2 = 0
⇔
x = -2 .
+ x + 3 = 0
⇔
x = -3 .
Vậy x = -2; -3.
* Nhận xét:
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 11
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví dụ đều
chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở trên để thực hành
giải bài toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện được kỹ
năng sử dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải chú ý đến bước sử
dụng phương pháp nhóm đó cũng chính là phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức
thành nhân tử.

Sau khi giáo viên dạy học sinh thông qua 3 ví dụ cụ thể của phương pháp tách
hạng tử, tiếp theo cho học sinh làm bài tập tự luyện như sau:
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 16x – 5x
2
– 3.
b. x
2
– 7x + 12 .
c. 2x
2
+ 3x – 5
d. 4x
2
– 3x – 1
Bài 2: Chứng minh rằng
a. x(x – 6) + 10 > 0
b. -x
2
- x - 1 < 0
Bài 3 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x
2
– 6x + 11
B = 2x
2
+ 10x – 1
C = 5x – x
2

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực hiện được:
Bài 1 : a. – 5x
2
+16x

– 3 = -5x
2
+ 15x + x – 3
= (-5x
2
+ 15x) + (x – 3)

= -5x(x – 3) + (x – 3)
= (x – 3) (-5x + 1).
b. x
2
– 7x + 12 = x
2
– 3x – 4x + 12
= (x
2
– 3x) – (4x – 12)
= x(x – 3) – 4(x – 3)
= (x – 3 )(x – 4 ).
c. 2x
2
+ 3x – 5 = 2x
2
+ 5x – 2x – 5

= (2x
2
+ 5x )– (2x + 5)
= x(2x + 5) – (2x + 5)
= (2x + 5) (x – 1).
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 12
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
d. 4x
2
– 3x – 1 = 4x
2
– 4x + x – 1
= (4x
2
– 4x)+( x – 1)
= 4x(x – 1) + (x – 1)
= (x – 1)(4x + 1).
Bài 2: a. Ta có x(x – 6) + 10 = x
2
– 6x + 10
= x
2
– 2. x .3 + 3
2
+ 1
= (x – 3)
2
+ 1 > 0

∀
x.
b. Ta có -x
2
- x - 1 = -[( x
2
+ 2.x.
1
2
+(
1
2
)
2
+
3
4
]
= – [(x +
1
2
)
2
+
3
4
] < 0 .
Bài 3 : a. Ta có : A = x
2
– 6x + 11 = x

2
– 2 .x .3 + 3
2
+ 2
= (x – 3)
2
+ 2
≥
2 .
Vậy A
min
= 2 tại x = 3.
b. B = 2x
2
+ 10x – 1 = 2(x
2
+ 5x ) – 1 = 2(x
2
+ 2.x .
5
2
+
25
4
–
25
4
) –1
= 2(x +
5

2
)
2
–
25
2
–1.
= –
27
2
+ 2(x +
5
2
)
2

≥
–
27
2
.
Vậy B
min
= –
27
2
tại x = -
5
2
.

c. C = 5x – x
2
= - [x
2
– 2.x.
5
2
+ (
5
2
)
2
]+
25
4

=
25
4
– (x –
5
2
)
2
≤
25
4

Vậy C
max

=
25
4
tại x =
5
2
.
* PHỐI HP CÁC PHƯƠNG PHÁP:
MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ THỂ GIẢI ĐƯC NHIỀU CÁCH
HOẶC TRONG MỘT CÁCH CÓ PHỐI HP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 13
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x
2
+ 6xy + 3y
2
– 3z
2
.
Giải :
Ta có 3x
2
+ 6xy + 3y
2
– 3z
2
= 3(x
2

+ 2xy + y
2
– z
2
) (Đặt nhhân tử chung )
= 3 [( x
2
+ 2xy +y
2
) – z
2
] (Nhóm)
= 3[(x + y)
2
– z
2
] ( Dùng hằng đẳng thức )
= 3(x + y + z)(x + y– z).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
-10x +16.
Giải :
Cách1: Ta có x
2
-10x +16 = x
2
– 2x – 8x + 16 (Tách -10x thành -2x và -8x)
= (x
2
– 2x) – (8x – 16)

= x(x – 2 ) – 8(x - 2)
(x – 2)(x – 8).
Cách 2: Ta có x
2
-10x +16 = x
2
– 4 – 10x + 20 (Tách 16 thành -4 và 20 )
= (x
2
– 4) – (10x – 20)
= (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2)
= (x – 2) (x + 2 – 10)
= (x – 2) (x – 8).
Cách 3: Ta có x
2
-10x +16 = x
2
– 4x + 4 – 6x + 12 (Tách -10x thành -4x và -6x ;
= (x
2
– 4x + 4) – (6x – 12) 16 thành 4 và
12)
= (x – 2)
2
– 6(x – 2)
= (x – 2) (x – 2 – 6)
= (x – 2) (x – 8 ).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x
2
– 3x – 1.

Giải :
Cách1: 4x
2
– 3x – 1 = 3x
2
– 3x + x
2
– 1 (Tách 4x
2
thành3x
2
và x
2
)
= 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1)
= (x – 1)(3x + x +1)
= (x – 1)(4x + 1).
Cách 2 : 4x
2
– 3x – 1 = 4x
2
– 4x + x – 1 (Tách -3x thành -4x và x)
= (4x
2
– 4x) + ( x – 1)
= 4x(x – 1) + (x – 1)
= (x – 1)(4x + 1).
Cách 3 : 4x
2
– 3x – 1 = 4x

2
– 4 – 3x + 3 (Tách -1 thành -4 và 3)
= 4(x
2
– 1) – 3( x –1)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 14
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1)
= (x – 1)(4x + 1).
* Nhận xét :
Một bài toán có thể có nhiều lời giải khác nhau nhưng cuối cùng đều có chung
một kết quả. Như vậy trong các tiết luyện tập, giáo viên có thể cho học sinh giải một số
bài tập ở các dạng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau, sau đó nhận xét và so
sánh, lời giải nào hay và ngắn gọn.
Giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
3
– 2x
2
y + xy
2
– 9x
b. 2x – 2y – x
2
+ 2xy – y
2

c. x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y
Bài 2 : Tìm x biết
a. 7x – 6x
2
– 2 = 0
b. 16x – 5x
2
– 3 = 0
c. 2x
2
+ 3x – 5 = 0
HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Mệnh đề : Nếu hai đa thức A và B bằng nhau thì các hạng tử cùng bậc của hai đa thức
đó phải có hệ số bằng nhau .

a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3

Giải : Ta có 2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = 2x
3
– x
2
– 4 x
2
+ 2x + 6x – 3
= (2x
3
– x
2
) –

(4 x
2
– 2x) + (6x – 3)
= x
2
(2x – 1) –

2x(2x – 1) + 3(2x – 1)

= (2x – 1) (x
2
–

2x+ 3).
•
Nhận xét : Đa thức bậc ba ở ví dụ 1 phân tích được thành tích của mộtt nhò thức bậc
nhất và một tam thức bậc hai, do đó ta còn có cách giải tổng quát hơn như sau :
Với đa thức bậc 3 : a
1
x
3
+ b
1
x
2
+ c
1
x + d
1
(a
1
≠
0) ta luôn phân tích được thành tích của nhò
thức bậc nhất và tam thức bậc hai như sau :
a
1
x
3
+ b
1
x
2
+ c

1
x + d
1
= (ax + b ) (cx
2
+ dx + m). (*)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 15
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


a
1
x
3
+ b
1
x
2
+ c
1
x + d
1
= cax
3
+ (ad + bc )x
2
+ (am + bd)x + bm
Đồng nhất các hệ số với nhau ta được:

1
1
1
1
ac a
ad bc b
am bd c
bm d
=


+ =


+ =


=

Giải ra ta tìm được các giá trò a, b, c, d, m, thay vào vế phải của (*) ta có kết quả cần tìm.
p dụng : Bài toán ở ví dụ 1ta có cách giải khác như sau :
Ta có 2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = (ax + b ) (cx
2
+ dx + m)
 2x
3

– 5x
2
+ 8x – 3 = cax
3
+ (ad + bc )x
2
+ (am + bd)x + bm
Đồng nhất thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3.
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 2 hoặc a = 1.
Xét a = 2
⇒
c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = 8 , bm = -3 , b có thể bằng
±
1;
±
3.
Xét b = -1 thì m = 3 , d = -2 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có :
2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = (2x – 1)(x
2
– 2x + 3).
Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x
3
+ 3x
2

+ 3x + 2
Giải:
Đặt x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2 = (ax + b ) (cx
2
+ dx + m)
 x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2 = cax
3
+ (ad + bc )x
2
+ (am + bd)x + bm
Đồng nhất thức ta có:
1
3
3
2
ac
ad bc
am bd
bm
=



+ =


+ =


=

Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1.
Xét a = 1
⇒
c = 1, d + b = 3 , m + bd = 3 , bm = 2 , b có thể bằng
±
1 ;
±
2
Xét b = 2 thì m =1, d = 1 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = 1 ta có :
x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2 = (x + 2)(x
2
+ x + 1).
* Nhận xét:
Khi sử dụng phương pháp hệ số bất đònh dựa vào mối quan hệ của các hệ số để ta đưa
ra các giá trò tương ứng của a,c từ đó ta tìm các giá trò tiếp theo của các hệ số còn lại .
b/ Bài tập tự luyện :
…………………………………………………………………………….

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 16
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất
đònh
a. 2x
3
– 12x
2
+ 17x – 2
b. 3x
2
– 22xy – 4x + 8y + 7y
2
+ 1.
Bài 2 : Tìm số nguyên a sao cho đa thức (x + a)(x – 5) + 2 phân tích được thành
(x + b)(x + c) với b, c là các số nguyên .
Bài 3: Tìm số nguyên m sao cho đa thức (x + m)(x + 5) + 3 phân tích được thành
(x + a)(x + b) với a, b là các số nguyên.
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các lời giải mong đợi học sinh trình bầy được:
Bài 1 :
a. Đồng nhất đa thức này với đa thức cax
3
+ (ad + bc )x
2
+ (am + bd)x + bm
ta được : ac = 2, ad + bc = -12, am + bd = 17, bm = -2 .
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1 hoặc a = 2
Xét a = 1

⇒
c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b có thể bằng
±
1 ;
±
2
Xét b = -2 thì m = 1, d = -8, thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m = 1.
2x
3
– 12x
2
+ 17x – 2 = (x – 2)(2x
2
– 8x + 1).

b. Đa thức 3x
2
– 22xy– 4x + 8y + 7y
2
+ 1 phân tích được thành nhân tử có dạng
(3x + ay + b)(x + cy + d).
Phép nhân này cho ta kết quả 3x
2
+ (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy
2
+ bd.
Đồng nhất đa thức với đa thức 3x
2
–22xy– 4x + 8y + 7y

2
+ 1 ta được :
3c + a = -22; 3d + b = -4 ; ad + cb = 8; ac = 7; bd = 1.
Từ bd = 1 và 3d + b = -4 nên b = d = -1. ac = 7 mà a + c = -8 nên c = -7, a = -1.
Thỏa mãn 3c + a = -22.
Vậy a = b = d = -1; c = -7.
Nên 3x
2
– 22xy – 4x + 8y + 7y
2
+ 1 = (3x - y - 1)(x - 7y - 1).
Bài 2 :
Với mọi x ta có (x + a)(x – 5) + 2 = (x + b)(x + c) (1)
Khi x = 5 thì 2 = (5 + b)(5 + c).
Vì b, c là nguyên nên (5 + b)(5 + c) là tích của hai số nguyên .Số 2 chỉ viết dưới dạng tích
của hai số nguyên bằng hai cách 1.2 hoặc (-1).(-2)

Giả sử b
≤
c ta xét hai trường hợp :
*
5 1 4
5 2 3
b b
c c
+ = = −
 
⇒
 
+ = = −

 

…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 17
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 3)(x – 4) với
x∀
.
Với x = 4 thì a = -2. Vậy đa thức được phân tích thành (x – 2)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3).
*
5 2 7
5 1 6
b b
c c
+ = − = −
 
⇒
 
+ = − = −
 
Thay vào (1) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) với
x∀
.
Với x = 6 thì a = -8. Vậy đa thức được phân tích thành (x – 8)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6).
Bài 3:
Bài này giáo viên yêu cầu học sinh tự giải.
Kết quả: (x + 9)(x + 5) + 3 = (x + 8)(x + 6) với m = 9.
(x +1)(x + 5) + 3 = (x + 2)(x + 4) với m = 1.
ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ

Phân tích đa thức thành nhân tử đôi khi ta phải dùng biến phụ để cho việc phân tích được
đơn giản hơn .
a/ Các ví dụ :
Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128
Giải :
Ta có A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128
= (x
2
+ 10x )(x
2
+ 10x + 24) +128
Đặt x
2
+ 10x + 12 = y. Khi đó đa thức đã cho trở thành :
(y – 12)(y +12) +128 = y
2
-144 +128 = y
2
- 16
= (y - 4)(y + 4)
= (x
2
+ 10x + 8)(x
2
+ 10x + 16).
•
Nhận xét : Ở đây ta đã dùng biến phụ là y = x
2
+ 10x + 12 . Như vậy khi dùng biến

phụ để phân tích đa thức thành nhân tử thì sau khi phân tích xong ta phải đổi về biến cũ.
* Ta có bài toán tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A* = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m .
- Đối với bài toán này thường dùng phương pháp đặt biến số phụ chú ý :
+ Khi a + b = c + d thì ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)]
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 18
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
và đặt y = x
2
+ (a + b)x +
2
ab cd+
.
+ Khi a + c = b + d thì ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)]
và đặt y = x
2
+ (a + c)x +
2
ac bd+
.
+ Khi a + d = b + c thì ta ghép [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)]
Và đặt y = x
2
+ (a + d)x +
2
ad bc+
.
p dụng bài toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau :

Ví dụ 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24
Giải : Ta có A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do 0 + 1 = -1+ 2)
= (x
2
+ x )(x
2
+ x – 2) – 24
Đặt x
2
+ x – 1 = y. Đa thức đã cho có dạng :
(y +1) (y – 1) – 24 = y
2
– 1 – 24 = y
2
– 25
= (y – 5)(y + 5)
= (x
2
+ x + 1 – 5)(x
2
+ x + 1 + 5).
= (x
2
+ x – 4)( x
2
+ x + 6)
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. (x + 2) (x – 2)( x

2
– 10) – 72
b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72
c. (a – b)
3
+ (b – c)
3
+ (c – a)
3
Bài 2 : Giải phương trình
(6x + 7 )
2
(3x + 4) ( x + 1) = 6
Bài 3 : Tìm giá trò nhỏ nhất của
A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả cần hướng dẫn cho học sinh:
Bài 1:
a. Ta có : (x + 2) (x – 2)( x
2
– 10) – 72 = (x
2
– 4)( x
2
– 10) – 72
Đặt x
2
– 7 = y, đa thức trên trở thành :
(y – 3)( y + 3) – 72 = y
2

– 9 – 72
= y
2
– 81
= (y – 9 )(y + 9)
Vậy (x + 2) (x – 2)( x
2
– 10) – 72 = (x
2
– 7 + 9) (x
2
– 7 – 9)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 19
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

= (x
2
+ 2 ) (x
2
– 16)
= (x
2
+ 2) (x + 4) (x – 4) .
b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72
= (x
2
– 9x + 14)( x
2

– 9x + 20) - 72
Đặt x
2
– 9x + 17 = y . Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72
Làm tương tự như câu a ta được kết quả như sau:
(x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x
2
– 9x + 26)( x
2
– 9x + 8).
= (x
2
– 9x + 26)(x – 8) (x – 1).
c. Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy ra x + y + z = 0 hay z = -(x + y).
Từ đó đa thức có dạng :
x
3
+ y
3
+ z
3
= x
3
+ y
3
– (x + y)
3
= (x + y)(x
2
– xy + y

2
) – (x + y)(x
2
+ 2xy + y
2
)
= (x + y)[(x
2
– xy + y
2
) – (x
2
+ 2xy + y
2
)
= (x + y)(x
2
–xy + y
2
– x
2
– 2xy – y
2
)
= -3xy(x + y)
= 3xyz.
Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a).
Qua bài trên ta suy ra : Nếu có X + Y + Z = 0 ta luôn có X
3
+ Y

3
+ X
3
= 3XYZ
Bài 2 :
Giải phương trình
(6x + 7 )
2
(3x + 4) ( x + 1) = 6
 (6x + 7 )
2
(3x + 4) ( x + 1) . 12 = 6 .12
 (6x + 7 )
2
(6x + 8) ( 6x + 6) = 72
Đặt 6x + 7 = y, phương trình trở thành y
2
(y + 1)( y – 1) = 72
 y
4
– y
2
– 72 = 0
 y
4
– 9y
2
+ 8y – 72 = 0
 y
2

(y
2
– 9) + 8(y
2
– 9) = 0
 (y
2
– 9)(y
2
+ 8) = 0  y = -3 hoặc y = 3 .
Với y = -3
⇒
x =
5
3
−
.
Với y = 3
⇒
x =
2
3
−
.
Vậy phương trình có nghiệm là
5
3
−
và
2

3
−
.
Bài 3 : Ta có :
A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 20
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
= [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)]
= (x
2
+ 5x – 6)( x
2
+ 5x + 6)
Đặt x
2
+ 5x = y khi đó A = y
2
– 36
≥
-36
A
min
= -36
⇒
x
2
+ 5x = 0
⇔

x = 0 , x = -5.
ÁP DỤNG THỰC HÀNH :
Sử dụng Máy tính bỏ túi Casio fx-570MS để phân tích đa thức
thành nhân tử
Kiến thức cần nhớ:
Đònh lý 1 (Đònh lý Bơdu) : (Nhà toán học Pháp Bezout 1730-1783)
Đa thức f(x)
M
x – c
⇔
f(c) = 0.
Số c được gọi là nghiệm của đa thức f(x) khi đó f(x) phân tích được f(x) = (x – a ).g(x)
Trong đó g(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 1 đơn vò so với bậc của đa thức f(x) .
Đònh lý 2 : Cho đa thức bậc n , f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+…….+ a
o
có n nghiệm là c
1
, c
2
, c
3
,…c

n
thì f(x) được phân tích thành nhân tử là f(x) = a
n
(x –c
1
)(x –c
2
)….(x –c
n
) .
(Vì lý do sư phạm nên ta công nhận không chứng minh hai đònh lý trên ) .
Do máy tính Casio fx-570MS có chức năng giải phương trình, nên ta có thể dạy học sinh
biết cách sử dụng máy đểø tìm nghiệm của phương trình, từ đó áp dụng vào phân tích đa
thức thành nhân tử .
a/ Các ví dụ :
Ví dụ1 :
Cho đa thức P(x) = 2x
2
+ 4x – 6.

a/ Tìm x để P(x) = 0.
b/ Em hãy phân tích P(x) thành nhân tử.
Giải :
a/ P(x) = 0  2x
2
+ 4x – 6 = 0 .
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:
MODE
3
(EQN) 1

>
(Degree) 2
2

=

4

=
( )−

6

=

=
máy cho kết quả x
1
= 1, ấn
tiếp
=
máy cho kết quả x
2
= -3.
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 21
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Vậy khi x = 1 ; -3 thì P(x) = 0 .
b/ Ta nhận thấy P(x) có hai nghiệm là 1; -3 nên P(x) được phân tích thành nhân tử là :

P(x) = 2(x – 1) (x + 3).

Ví dụ2 :
Cho đa thức f(x) = 5x
3
– 10x
2
– 25x + 30 .
a/ Tìm x để f(x) = 0.
b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử .
Giải :
a/ Để f(x) = 0 thì 5x
3
– 10x
2
– 25x + 30 = 0
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của P(x) bằng dãy phím sau:
MODE
3
(EQN) 1
>
(Degree) 3
5

=

( )−

1
0

=

( )−
2

5

=

3

0

=
máy cho
kết quả x
1
= -2, ấn tiếp
=
máy cho kết quả x
2
=1, ấn tiếp
=
máy cho kết quả x
3
= 3.
Vậy khi x = -2; 1; 3 thì f(x) = 0.
b/ Theo câu a, f(x) có nghiệm là x = -2; 1; 3 nên f(x) được phân tích thành nhân tử như
sau: f(x) = 5(x + 2)(x – 1)(x – 3).
Ví dụ3 :

Cho f(x) = x
3
– 3x
2
– 3x – 4
a/ Tìm x để f(x) = 0.
b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử .
Giải :
a/ f(x) = 0  x
3
– 3x
2
– 3x – 4 = 0.
Quy trình bấm phím giống như các ví dụ trên ta tìm được nghiệm là x = 4.
b/ Theo câu a thì f(x) có nghiệm là 4.
Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương ta có:
Vậy x
3
– 3x
2
– 3x – 4 = (x – 4)(x
2
+ x +1).
Ví dụ4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = 10x
5
– 81x
4
+ 90x
3

– 102x
2
+ 80x - 21.
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 22
x 1 -3 -3 -4
4 1 1 1 0
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Giải : Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của f(x) bằng cách nhập f(x) vào máy
bằng dãy phím sau:

1

0

ALPHA

x

^

5

−

8

1

ALPHA

x

^

4

+

9

0

ALPHA

x

^

3

−

1
0

2

ALPHA

x

^

2

+

8

0

ALPHA

x

−

2

1
ấn tiếp
ALPHA

=

0
sau
đó ấn tiếp

SHIFT

SOLVE

SHIFT

SOLVE
chờ một chút máy cho kết quả x =
1
2
.
Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương , ta có:
x 10 -81 90 -102 80 -21
1
2
10 -76 52 -76 42 0
Vậy f(x) = (x -
1
2
)(10x
4
– 76x
3
+ 52x
2
- 76x + 42).
g(x)
Sau đó nhập đa thức g(x) = 10x
4
–76x

3
+ 52x
2
- 76x + 42 vào máy bằng dãy phím sau :
1

0

ALPHA

x

^

4

−

7

6

ALPHA

x

^

3

+

5

2

ALPHA

x

^

2

−

7
6
ALPHA

x

+

4

2

ALPHA

=

0

SHIFT

SOLVE

SHIFT

SOLVE
máy
hiện x = 7. Dùng sơ đồ Hoocne , ta có :
x 10 –76 52 -76 42
7 10 -6 10 -6 0

Vậy f(x) = (x -
1
2
)(x – 7) (10x
3
– 6x
2
+ 10x – 6 )
= 2(x -
1
2
)(x – 7)(5x
3
– 3x

2
+ 5x - 3)
= 2 (x -
1
2
)(x – 7)[ x
2
( 5x – 3) + (5x - 3)]
= (2x -
1
)(x – 7)( 5x – 3)( x
2
+ 1).
Chú ý:
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 23
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Trong quá trình đi tìm nghiệm trên máy đôi khi thứ tự nghiệm máy cho kết quả không
giống nhau (thì ta cũng dùng sơ đồ Hoocne phân tích ứng với nghiệm mà máy đã tìm ra )
nhưng tập nghiệm của phương trình là như nhau .
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
5
– 4x
4
+ 2x
3
– x

2
+ 21x – 18
b. 4x
4
+ 12x
3
+ 5x
2
– 6x – 15
Bài 2 : Cho đa thức g(x) =
4 3 2
11
24 4 24 4
x x x x
+ + +

Chứng minh rằng g(x)
M
24 .
C/. MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC:
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy một số học sinh tiếp thu khá dễ dàng các nội
dung trên, nhờ cụ thể hóa các phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào giải bài
tập.
Tuy nhiên, cũng còn một số học sinh vẫn còn sai xót, làm bài thiếu chính xác và
cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết đặt nhân tử chung, khi nhóm các số hạng
với nhau còn hay sai dấu …
Sau đây là ví dụ minh họa:

Bài giải của học sinh Những sai sót
và cách khắc phục

Bài giải đúng
Bài toán 1: Phân tích đa thức
3x
2
– 6x thành nhân tử
Học sinh 1 :
Ta có: 3x
2
– 6x = 3(x
2
– x )
Học sinh 2 :
Ta có: 3x
2
– 6x = x(3x – 6 )
Thiếu sót :
Cả hai học sinh đặt được nhân tử
chung tuy nhiên vẫn còn thiếu.
Cụ thể :Ở học sinh 1thiếu nhân
tử x
Ởû học sinh 2 thiếu nhân tử 3.
Khắc phục :
Ta có: 3x
2
– 6x = 3x(x - 2)
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 24
Trường THCS Tiến Thành Người thực hiện : Trònh Thò Lan
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Nhắc laiï cách tìm nhân tử

chung.

Bài toán 2: Phân tích đa thức
x
2
– y
2
+ 4x + 4 thành nhân
tử
Giải:
Học sinh 1 :
Ta có :
x
2
– y
2
+ 4x + 4 = (x
2
– y
2
) +
(4x + 4) = (x + y) (x – y )+
4(x + 1).
Học sinh 2 :
Ta có :
x
2
– y
2
+ 4x + 4 = (x

2
+ 4x) +
(4 – y
2
) = x (x + 4) + (2 – y)
(2 + y) .
Bài toán 2: Phân tích các đa
thức sau thành nhân tử.
a. x
2
– 9y
2
a.
b. (x –
y )
2
– (2y – z)
2
Giải:
Học sinh 1 :
Ta có :
x
2
– 9y
2
= (x + 9y)( x

– 9y).
Học sinh 2 :
Ta có :

(x – y )
2
– (2y – z)
2
= (x – y
+ 2y – z)(x – y – 2y – z )
= (x + y – z)(x – 3y – z ).
Sai sót :
Cả 2 học sinh sử dụng cách
nhóm không hợp lý, nên bước
tiếp theo không thể đi phân tích
được nữa.
Khắc phục :
Gv cần lưu ý cho hs nhóm các
hạng tử thích hợp đó là :
+ Mỗi nhóm đều có thể phân
tích được .
+ Sau khi phân tích đa thức
thành nhân tử ở mỗi nhóm thì
quá trình phân tích phải tiếp tục
được .
Sai sót :
Học sinh 1, 2 có lời giải sai, 2
học sinh đã đònh hướng được
hằng đẳng thức nhưng áp dụng
chưa được .
Khắc phục:
* Chú ý 9y
2
chưa được viết dưới

dạng một lũy thừa, 9y
2
≠
(9y)
2
.
* Khi hạng tử B trong hằng đẳng
Ta có : x
2
– y
2
+ 4x + 4 =
(x
2
+ 4x + 4) – y
2
= (x – 2)
2
– y
2
= (x – 2 + y)(x – 2 – y ).

Ta có : x
2
– 9y
2
= x
2
– (3y)
2

= (x + 3y )(x – 3y ).
Ta có :
(x – y )
2
– (2y – z)
2
= [(x – y)
+( 2y – z)][(x – y) – (2y –
z)] = (x – y + 2y – z)(x – y
– 2y + z )
…………………………………………………………………………….
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 25