chuong_5_-_tinh_gan_dung_dao_ham_tich_phan.pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (97.86 KB, 21 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>Chương 5</b>
<b>TÍNH GẦN ĐÚNG</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>I. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :</b>
Cho hàm y = f(x) và bảng số
x x<sub>o</sub> x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> . . . x<sub>n</sub>
y y<sub>o</sub> y<sub>1</sub> y<sub>2</sub> . . . y<sub>n</sub>
Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm
bằng đa thức nội suy Lagrange L<sub>n</sub>(x)
Ta coù / /
/ / / /
( ) ( )
( ) ( )
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>f</i> <i>x</i> <i>L x</i>
<i>f</i> <i>x</i> <i>L</i> <i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<b>1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút :</b>
x x<sub>0</sub> x<sub>1</sub>
y y<sub>0</sub> y<sub>1</sub>
h = x<sub>1</sub>- x<sub>0</sub>
y<sub>0</sub> = f(x<sub>0</sub>)
y<sub>1</sub> = f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>0</sub>+h)
Đa thức nội suy Lagrange
0
1
0 1
0 1 1 0
0 1
1 0
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
<i>n</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>L x</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i>
<i>h</i> <i>h</i>
Do đó với mọi x [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>] ta có
1 0 ( 0 ) ( )0
'( ) <i>y</i> <i>y</i> <i>f x</i> <i>h</i> <i>f x</i>
<i>f x</i>
<i>h</i> <i>h</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<b>Công thức sai phân tiến : </b>
0 0
0
( ) ( )
'( ) <i>f x</i> <i>h</i> <i>f x</i>
<i>f x</i>
<i>h</i>
<b>Công thức sai phân lùi : </b>
1 0
1
'( ) <i>y</i> <i>y</i>
<i>f x</i>
<i>h</i>
Thay x<sub>1</sub> baèng x<sub>0</sub>
0 0
0
( ) ( )
'( ) <i>f x</i> <i>f x</i> <i>h</i>
<i>f x</i>
<i>h</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
<b>Công thức sai số : </b>
0 1
2
2 max | "( ) |<sub>[</sub> <sub>, ]</sub>
2 <i>x</i> <i>x x</i>
<i>M h</i>
<i>với M</i> <i>f</i> <i>x</i>
<b>Ví dụ :</b>
Cho hàm f(x) = ln x. Tính Xấp xỉf’(1.8) và sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001
Ta coù <i>f</i> '(1.8) <i>f</i> (1.8 <i>h</i>) <i>f</i> (1.8)
<i>h</i>
Sai soá
2
1
"( )
<i>f</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub>2</sub> max | "( ) | 1<sub>2</sub>
1.8
<i>M</i> <i>f</i> <i>x</i>
2
2(1.8)
<i>h</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
h f’(1.8)
0.1 0.540672212 0.016
0.01 0.554018037 0.16x10-2
0.001 0.555401292 0.16x10-3
<b>2. TH bảng có 3 điểm nút cách đều :</b>
x x<sub>0</sub> x<sub>1</sub> x<sub>2 </sub>
y y<sub>0</sub> y<sub>1</sub> y<sub>2 </sub>
h = x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> = x<sub>1 </sub>- x<sub>0</sub>
y<sub>0</sub> = f(x<sub>0</sub>)
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
Đa thức nội suy Lagrange
0 2 0 1
1 2
0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
0 1 0 2 1 2
2 1 0
2 2 2
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
<i>n</i>
<i>x x</i> <i>x x</i> <i>x x</i> <i>x x</i>
<i>x x x x</i>
<i>L x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x x</i> <i>x x</i> <i>x x</i> <i>x x</i> <i>x x x x</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
Do đó với mọi x [x<sub>0</sub>, x<sub>2</sub>] ta có
0 1 2
2 1 2 0 0 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
'( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )
2 2 2
<i>x x</i> <i>x x</i> <i>x x</i>
<i>f x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
2 1 0
2
( 2 )
"( ) <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
Suy ra đạo hàm cấp 1
0 1 2
0
2 0
1
0 1 2
2
( 3 4 )
'( )
2
( )
'( )
2
( 4 3 )
'( )
2
<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
<i>y</i> <i>y</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến
0 0 0
0
3 ( ) 4 ( ) ( 2 )
'( )
2
<i>f x</i> <i>f x</i> <i>h</i> <i>f x</i> <i>h</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng
tâm thường viết dưới dạng (thay x<sub>1</sub> = x<sub>0</sub>)
0 0
0
( ) ( )
'( )
2
<i>f x</i> <i>h</i> <i>f x</i> <i>h</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi
thường viết dưới dạng (thay x<sub>2</sub> = x<sub>0</sub>)
0 0 0
0
( 2 ) 4 ( ) 3 ( )
'( )
2
<i>f x</i> <i>h</i> <i>f x</i> <i>h</i> <i>f x</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
<b>Công thức sai số : </b>
0 2
2
3
3 max | "'( ) |<sub>[</sub> <sub>,</sub> <sub>]</sub>
6 <i>x</i> <i>x x</i>
<i>M h</i>
<i>với M</i> <i>f</i> <i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
đạo hàm cấp 2
2 1 0
1 2
( 2 )
''( ) <i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
Thay x<sub>1</sub> = x<sub>0 </sub>ta được
0 0 0
0 2
( ) 2 ( ) ( )
''( ) <i>f x</i> <i>h</i> <i>f x</i> <i>f x</i> <i>h</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>h</i>
<b>Công thức sai số : </b>
0 2
2
(4)
4
4 max |<sub>[</sub> <sub>,</sub> <sub>]</sub> ( ) |
12 <i>x</i> <i>x x</i>
<i>M h</i>
<i>với M</i> <i>f</i> <i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>
<b>Ví dụ :</b>
Cho haøm f(x) = ln x – 2/x3<sub>. </sub>a. Dùng cơng thức sai phân hướng tâm, tính xấp
xỉ f’(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001
b. Tính xấp xỉ f”(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001
giaûi
(3 ) (3 )
'(3)
2
<i>f</i> <i>h</i> <i>f</i> <i>h</i>
<i>f</i>
<i>h</i>
h f’(3)
</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
2
(3 ) 2 (3) (3 )
''(3) <i>f</i> <i>h</i> <i>f</i> <i>f</i> <i>h</i>
<i>f</i>
<i>h</i>
h f’’(3)
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
<b>II. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :</b>
Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b].
Ta cần tính gần đúng tích phân :
( )
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>I</i>
<sub></sub>
<i>f x dx</i>Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng
nhau với bước h = (b-a)/n
x<sub>o</sub>= a, x<sub>1</sub> = x<sub>0</sub> +h, ... , x<sub>k</sub> = x<sub>0</sub> + kh, ... , x<sub>n</sub> = b
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
Đa thức Lagrange trong TH các điểm cách đều
0
( 1)
( ) ( 1)...( )
!( )!( )
<i>n k</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>k</i>
<i>k</i>
<i>L x</i> <i>q q</i> <i>q</i> <i>n</i> <i>y</i>
<i>k n</i> <i>k</i> <i>q</i> <i>k</i>
<i>x</i> <i>a</i>
<i>với q</i>
<i>h</i>
0
0 0
( 1) ( 1)...( )
( )
!( )!( )
( 1) ( 1)...( ) ( )
!( )!( )
<i>b</i> <i><sub>n</sub></i> <i>b</i> <i>n k</i>
<i>n</i> <i>k</i>
<i>k</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>n</i> <i><sub>n k</sub></i>
<i>n</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>q q</i> <i>q n</i>
<i>I</i> <i>L x dx</i> <i>y dx</i>
<i>k n k</i> <i>q k</i>
<i>q q</i> <i>q n b a</i>
<i>dq y</i>
<i>k n k</i> <i>q k</i> <i>n</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
Công thức trên gọi là công thức Newton-cotes,
các hệ số H<sub>k</sub> gọi là các hệ số cotes.
Heä số cotes có các tính chất sau :
0
1
0,
<i>n</i>
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>n k</i> <i>k</i>
<i>H</i>
<i>H</i> <i>H</i> <i>k</i> <i>n</i>
0
* ( )
<i>n</i>
<i>k k</i>
<i>k</i>
<i>I</i> <i>I</i> <i>b a</i> <i>H y</i>
0
( 1) ( 1)...( )
!( )! ( )
<i>n</i>
<i>n k</i>
<i>k</i>
<i>q q</i> <i>q n</i>
<i>với H</i> <i>dq</i>
<i>n k n k</i> <i>q k</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
<b>Công thức sai số : </b>
2
1
0
3
2
2
0
( 1) ( 2)
1 <sub>[ , ]</sub> 2 <sub>[ , ]</sub>
| ( 1)...( ) |
( 1)!
| *|
| ( 1)...( ) |
( 2)!
max | ( ) | max | ( ) |
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i><sub>x a b</sub></i> <i>n</i> <i><sub>x a b</sub></i>
<i>M h</i>
<i>q q</i> <i>q n dq với n lẻ</i>
<i>n</i>
<i>I I</i>
<i>M h</i>
<i>q q</i> <i>q n dq với n chẵn</i>
<i>n</i>
<i>M</i> <i>f</i> <i>x vaø M</i> <i>f</i> <i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
<b>1. Cơng thức hình thang :</b>
Xét n = 1, ta coù h= b-a
I (b-a)(H<sub>o</sub>y<sub>o</sub> + H<sub>1</sub>y<sub>1</sub>)
1
0
0
1
( 1)
2
<i>H</i>
<sub></sub>
<i>q</i> <i>dq</i> <sub>1</sub> <sub>0</sub> 12
<i>H</i> <i>H</i>
Vaäy ( ) <sub>(</sub> <sub>0</sub> <sub>1</sub><sub>)</sub> ( ) <sub>( ( )</sub> <sub>( ))</sub>
2 2
<i>b a</i> <i>b a</i>
<i>I</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>f a</i> <i>f b</i>
<b>Công thức sai số : </b>
3 1 3
2 2
0
| ( 1) |
2! 12
<i>M h</i> <i>M h</i>
<i>q q</i> <i>dq</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
<b>Cơng thức hình thang mở rộng :</b>
Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng
nhau [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>], [x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>], ... , [x<sub>n-1</sub>, x<sub>n</sub>].
Ta coù
1 2
0 1 1
( ) ( ) ... ( )
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>I</i> <i>f x dx</i> <i>f x dx</i> <i>f x dx</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
1 0 2 1 1
0 1 1 2 1
0 1 1 2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ... ( )
2 2 2
( ) ( ) ... ( )
2 2 2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>y y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>y y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<b>Công thức hình thang mở rộng :</b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
Vậy
0 1 1
(
2
... 2
)
2
<i>n</i> <i>n</i><i>h</i>
<i>I</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<sub></sub>
<i>y</i>
<b>Công thức sai số : </b>
3 2
2 <sub>(</sub> <sub>)</sub> 2
12 12
<i>M h</i> <i>M h</i>
<i>n</i> <i>b a</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>
<b>2. Cơng thức Simpson :</b>
Xét n = 2, ta coù h = (b-a)/2
I (b-a)(H<sub>o</sub>y<sub>o</sub> + H<sub>1</sub>y<sub>1</sub>+H<sub>2</sub>y<sub>2</sub>)
1
0
0
1 1
( 1)( 2)
4 6
<i>H</i>
<sub></sub>
<i>q</i> <i>q</i> <i>dq</i> 2 0
1
6
<i>H</i> <i>H</i>
0 1 2 1
2
1
3
<i>H</i> <i>H</i> <i>H</i> <i>H</i>
Vaäy ( ) ( <sub>0</sub> 4 <sub>1</sub> <sub>2</sub>)
6
<i>b a</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>
<b>Công thức sai số : </b>
4 1 5
2
4 4
0
| ( 1)( 2) |
4! 90
<i>M h</i> <i>M h</i>
<i>q q</i> <i>q</i> <i>dq</i>
<sub></sub>
<b>Công thức Simpson mở rộng :</b>
Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng
nhau [x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>], [x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>], ... , [x<sub>n-1</sub>, x<sub>n</sub>].
</div>
<!--links-->
