Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. PHẦN MỘT : ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: ỨNG. DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA. HÀM SỐ I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Khảo sát hàm số 1. Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2  3ac /  0 /  0 / y cùng dấu với hệ số a y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) KL: hàm số tăng? Giảm? Hàm số không có cực trị  Cực tri cực đại? Cực tiểu? + Giới hạn: .  (a  0) lim (ax3  bx 2  cx  d ) =  ;   (a  0). . x  . a>0 + Bảng biến thiên: x  x  + / y + y/ y + y - -. +. x1 0 CĐ. .  (a  0) lim (ax 3  bx 2  cx  d ) =     ( a  0). x  . x2 0. + + +. CT. a<0 x  y/ y +. x  y/ y +. + . . . x1 0. +. x2 0 CĐ. +  . CT. Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + vẽ đồ thị :  xác đinh Cực trị ?  Điểm uốn I( b ;f( b )) ; điểm đặc biệt 3a. 3a. a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT 2. Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) a,b cùng dấu a, b trái dấu y/ = 0  x = 0 b y/ = 0  2x (2ax2 + b) = 0  x= 0; x1,2=  2a KL: tăng? Giảm KL: tăng? Giảm? Giá trị cực trị : y(0) = c b  Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(  2a ) =  có một cực trị. a<0,không CT. 4a. Có 3 cực trị + Giới hạn :. lim (ax 4  bx 2  c) =. x  . + Bảng biến thiên : x  0 / y  0 + y + CT. + +.  (a  0)    (a  0). a>0 x  y/  y +. x1 0. 0 + 0 CĐ. CT. Lop10.com. . x2 0. + + +. CT. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. a<0 x  y/ + y . x  y/ +. 0 + 0 . x1 0. 0 0. . +. x2 0. + . y. C Đ. CĐ . CĐ. -. CT. -. + vẽ đồ thị :  cực đại , cực tiểu ;  y = 0 > x= ? giải pt trùng phương a> 0 b>0. a< 0 b <0. 3.Hàm phân thức : y =. ax  b cx  d. a< 0 b>0. ( c  0; ad  bc  0 ). TXĐ : D = R\  d  + Đạo hàm :. a> 0 b <0.  c y/ = ad  bc2 (cx  d ). adbc < 0 adbc > 0 y/ < 0  x D y/ > 0  x D Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên D. + Tiệm cận:  x =  d là tiệm cận đứng vì c. +Bảng biến thiên : x  d/c + / y    y a/c +   a/c. lim. ax  b. x   d / c cx  d. x  y/ + y a/c. = ;  y =. a c. là tiệm cận ngang vì. lim. ax  b. x  cx  d. =. a c. d/c +  + +   a/c . x= d/ c. x= d/ c. + vẽ đồ thị :  vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt  Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận . y= a/c. y= a/c. Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến : 1. Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là : Từ x0 tính f(x0) ;  Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là y = f/(x0)(x x0) + f(x0) 2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x) + Gọi M(x0;y0) là tọa độ tiếp điểm, (d) là tiếp tuyến của ( C) tại điểm M, Pt đường thẳng (d) là : y = f/(x0)(x x0) + f(x0) + Điều kiện để đường thẳng (d) đi qua A là :y1 = f/(x0)(x1 x0) + f(x0), giải phương trình ẩn x0 =>f(x0), f’(x0) .Kết luận . 3. Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = . 1 a. + giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0). + Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2 Lop10.com. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị : + Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) . + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m) + y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ? + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) / * y > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ... Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m): a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b) b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b). Bài toán5: Cực trị hàm số  Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b). 2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.. . /. 3) x0 là cực trị của hàm số  y / ( x 0 )  0 y (x) đổi dấu qua x0  Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 ….. . // // + Tính y (x1); y (x2)…….: Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là : y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x). Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ : Cho h/s y =. u v. ,u(x) ; và(x) là các đa thức có MXĐ: D.và y/ =. uv  vu 2 v. =. Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/vàvà/u = 0 => Do đó giá trị cực trị y(x0) =. g(x) 2 v u u  v v. dấu của y/ là dấu của g(x) .. u(x 0 ) v(x 0 ). Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]: + Miền đang xét [a;b] + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có )  x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b] + Tính y(x1) ; y(x2) ………. So sánh  K.Luận y(a) ; y(b) + max y  ? min y  ? [a;b]. [a;b]. 2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ : + Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ + Đạo hàm : y/ = ? .. cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BBT: Lop10.com. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ. min y  y ct [a;b] max y  [a;b]. yCĐ. * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b). Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó : + nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 + nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2 Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong). 1. Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)  pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung  pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung * Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong. f (x)  g(x) 2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt  có nghiệm f (x)  g(x) Bài toán8: Cách xác định tiệm cận :*Tiệm cận đứng : lim f (x)   => x = x0 là tiệm cận đứng x x0. Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định *Tiệm cận ngang : lim f (x)  y 0 => y = y0 là tiệm cận ngang x . Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử  bậc mẫu thì có tiệm cận ngang .. II- BÀI TẬP Dạng 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số 1 3 3x  1 x  3 x 2  8 x  2 ; 4. y  x 4  2 x 2  3 ; 5. y  3 1 x 2x ; 7. y  x  sin x ;8. y  ; 12. y  2 x  1 ; 1  x2. 1. y  2 x 2  3 x  5 ; 2. y  4  3 x  x 2 ; 3. y  x 2  2x 1 y ;7. y  4 x  1  x 1 x 1. 6.. 13. y  2 x  x 2 ; 14. y  4 x 2  1 Bài 2. Tìm m để hàm số 1. y  x 2  mx  1 đồng biến trên khoảng (1;  ) ; 2. y  m x 2  (m  6) x  3 nghịch biến trên khoảng (1;  ) 1 3. y  x 3  2 x 2  mx  2 luôn đồng biến: a) trên R 3 b) trên khoảng (;1) 1 4. y  x 3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 đồng biến trên khoảng (0; 3) 3 Bài 3. Chứng minh rằng hàm số x 1. y  2 đồng biến trên khoảng (1;1) và nghịch biến trên các khoảng (  1) và (1;  ) . x 1 2. y  2 x  x 2 đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2) .. Dạng 2: Cực đại và cực tiểu. Bài 1. Áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm cực trị của hàm số 1. y  2 x 3  2 x 2  2 x  1. ;2. y  x 4  4 x 2  2 ; 3. y  x . 1 x. ;4. y  x 3 (1  x) 2. Bài 2. Áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm cực trị của hàm số 1. y  x 4  4 x 2  1 ;2. y  sin 2 x  x ; 3. y  sin 2 x  cos 2 x Lop10.com. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. Bài 3. Chứng minh rằng hàm số y  5 x 4 không có đạo hàm tại x  0 nhưng vẫn đạt cực đại tại điểm đó. Bài 4. Xác định m để hàm số x 2  mx  1 1. y  đạt cực đại tại x  2 . xm 1 2. y  x 3  mx 2  (m 2  m  1) x  1 đạt cực tiểu tại x  1 . 3 x2  x  m 3. y  : a) Hàm số có cực trị. x 1 b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau. 3 2 4. y  x  6 x  3(m  2) x  m  6 : a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị cùng dấu nhau. 5. y  2 x  m x 2  1 có cực tiểu. Bài 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì hàm số x 2  (m 2  1) 1. y  luôn có cực đại và cực tiểu xm x 2  2x  m 2. y  luôn có cực đại và cực tiểu x2  2. Dạng 3: Tìm các đường tiệm cận Bài 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau 3x  2 1  2x x2 1. y  ;2. y  2 ; 3. y  ; 2x  1 2x  4 x 1 Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau x3  2x 2  x  1 2 x 2  8 x  11 x2 1. y  ; 2. y  2 ; 3. y  2 x2 x  4x  5 x  2x  1. 4. y . 3x  2 1  5x. ;. 4. y . x3  4 ( x  1) 3. Dạng 4: Tìm GTLN – GTNN và chứng minh bất đẳng thức. Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: x2 x3 1. cos x  1  với mọi x thuộc R; 2. sin x  x  với mọi x  0 ; 2 6 3. Cho a  b  2 . Chứng minh rằng a 4  b 4  2 . Bài 2. Tìm GTLN – GTNN. 1. y  x 3  3 x 2  9 x  35 trên đoạn  4;4 2. y  x 2  3 x  2 trên đoạn  10;10 3. y  5  4 x trên đoạn  1;1.    4. y  sin 2 x  x trên đoạn  ;   2 2. 4 5. y  2 sin x  sin 3 x trên đoạn 0;   3. 6. y  x 4  3 x 3  2 x 2  9 x trên đoạn  4;4. 7. y  3 x  10  x 2 trên R. 8. y  ( x  2) 4  x 2 trên R. 9. y  (3  x) x 2  1 trên đoạn 0;2 x 11. y  trên R 9  x2. 10. y  16  x 2 trên đoạn  2;3. 13. y  sin x  3 cos x  2 trên R 2 15. y  x  1  trên đoạn 0;2 x2 4 17. y   x  trên đoạn 2; 5 x 1 19. y  ln( x 2  3 x  4) trên đoạn 5; 6. 14. y  x  6  x 2 trên R x 16. y   cos x trên đoạn 2. 12. y  cos 2 x  cos x trên R.   0; 2 . 18. y   x 2  6 x  8 trên R 20. y  cos 2 x  4 sin x  4 trên R Lop10.com. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. 21. y . x 2  2x  5 trên đoạn 2; 4 1 x. 23. y  3  x 2  2 x  5 trên R 25. y . 22. y . x 1 x2 1. trên đoạn  1; 2. 24. y  sin 4 x  4 sin 2 x  5 trên R. x2  x 1 trên (1;  ) x 1. Dạng 4. Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan. Loại 1. Hàm số bậc ba. Bài 1. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1 (1) 1. Khảo sát hàm số. 2. Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (1). Viết phương trình các tiếp tuyến đó. 3. Dựa vào đồ thị (1), biện luận số nghiệm của phương trình theo m : x 3  3 x 2  m  0 . Bài 2. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 (C) 1. Khảo sát hàm số (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C). 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 3). 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y  3x  1 Bài 3. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(2m  1) x  1 (C m ) . 1. Khảo sát hàm số khi m  1 . 2. Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định. 3. Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tìm toạ độ của điểm cực tiểu. Bài 4. Cho hàm số y  x 3  mx 2  1 (C m ) 1. Khảo sát hàm số khi m  3 2. Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y   x  1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho tiếp tuyến với (C m ) tại B và C vuông góc với nhau. Bài 5. Cho hàm số y  2 x 3  3x 2 (C) 1. Khảo sát hàm số (C) 2. Một đường thẳng d qua gốc tọa độ O có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d với đồ thị (C) của hàm số. 3. Khi đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại điểm A khác gốc tọa độ O, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung OA và tiếp tuyến. 1 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y   x  5 12 1 3 Bài 6. Cho hàm số y  x  2mx 2  3x (C m ) 3 1. Khảo sát hàm số (C) khi m  1 . 2. Tìm giá trị của m để hàm số (C m ) có cực đại, cực tiểu. 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm x  2 Loại 2. Hàm số trùng phương. 1 3 Bài 1. Cho hàm số y  x 4  3 x 2  (C) 2 2 1. Khảo sát hàm số (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn. 3 3. Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; ) . 2 4 2 Bài 2. Cho hàm số y   x  2mx  2m  1 (C m ) 1. Khảo sát hàm số khi m  5 . 2. Biện luận theo m số cực trị của hàm số. 3. Xác định m sao cho (C m ) cắt trục hoành tại bốn điểm có các hoành độ lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng này. Lop10.com. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. Bài 3. Cho hàm số y  mx 2  x 4 1. Khảo sát hàm số (C) khi m  2 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2;  16) 3. Tìm m để hàm số có 3 cực trị. Bài 4. Cho hàm số y  x 4  2(m  2) x 2  m 2  5m  5 (C m ) 1. Khảo sát hàm số (C) khi m  1 2. Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt x4 Bài 5. Cho hàm số y  a  bx  với a, b là tham số 4 1. Khảo sát hàm số (C) khi a  1, b  2 2. 2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: 1  2 x 2 . x4 m 4. 3. Tìm a, b để hàm số đã cho đạt cực trị bằng 4 tại x  2 . Bài 6. Cho hàm số y  ( x 2  3) 2  m (C m ) 1. Khảo sát hàm số (C) khi m  1 2. Viết phương tình tiếp tuyến của đường cong (C) lần lượt tại các điểm A(1; 4) và B(1; 4) \ 3. Tìm m để (C m ) đi qua điểm N(1; 0) Bài 7. Cho hàm số y   x 4  2mx 2  2m  1 (C m ) 1. Khảo sát hàm số (C) khi m  1 2. Chứng minh rằng (C m ) luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi giá trị của m 3. Tìm m để tiếp tuyến tại A, B của (C m ) vuông góc với nhau ax  b (c  0 ; ad  bc  0) Loại 3. Hàm số phân thức y  cx  d 2x  1 Bài 1. Cho hàm số y  (C) x 1 1. Khảo sát hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M(2; 5) 3. Tìm m để đường thẳng d : y  x  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. x Bài 2. Cho hàm số y  (C) 1 x 1. Khảo sát hàm số (C) 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (-1; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và d ax  b Bài 3. Cho hàm số y  (C) 1 x 1. Tìm giá trị của a, b để (C) cắt trục tung tại điểm A(0; -1) và tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng -3. Khảo sát hàm số với giá trị a, b vừa tìm được. 2. Đường thẳng d có hệ số góc m đi qua điểm B(-2; 2). Với giá trị nào của m thì d cắt (C) 3. Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt, hãy tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm. 3x  2 Bài 4. Cho hàm số y  (C) x 1 1. Khảo sát hàm số (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng -2 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 3) (2m  1) x  m 2 Bài 5. Cho hàm số y  (1) x 1 1. Khảo sát hàm số (1) khi m  1 2. Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc với đường thẳng y  x Lop10.com. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. CHƯƠNG II HAØM LUỸ THỪA , HAØM SỐ MŨ VAØ HAØM SỐ LOGARIT A. CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ: 1. Luỹ thừa: an . a 0  1;. m. 1 ; an. a n  n am. * Quy taéc tính: a m .a n  a m  n ;. a m   a mn ;. am  a mn ; an. ab . n. an a ;    bn b. n. n.  a n .b n. * Quy taéc so saùnh: + Với a > 1 thì a m  a n  m  n + Với 0 < a < 1 thì a m  a n  m  n 2. Caên baäc n n. a.b  n a . n b ;. p p  thì n m. n. n. a p  m a q ; Ñaëc bieät. mn. a na  b nb. n. ap .  a n. p. m n. a  mn a. Neáu. am  n a. 3. Loâgarit * log a b    a  b * log a 1  0;. log a a  1;. log a a b  b;. a loga b  b. * Tính chaát so saùnh: + Với a > 0 thì: log a b  log a c  b  c + Với 0 < a <1 thì: log a b  log a c  b  c + log a b  log a c  b  c * Quy taéc tính: b  log a b  log a c c 1 log a b  log a b. log a b.c   log a b  log a c. log a. log a b   log a b. . * Công thức đổi cơ số: log a c log a b 1 log a b  log b a log b c . * Chuù yù:. hay. log a b.log b c  log a c. hay. log a b.log b a  1 ;. log a n b . 1 log a b n. a logb c  c logb a. Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx Loâgarit cô soá e kí hieäu laø: lnx. 4. Bảng đạo hàm cần nhớ: Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường gặp x '   .x 1 Lop10.com. Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x) u '   .u 1.u ' 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt ,. '. 1 1    2 x x ' 1 x  2 x ' 1 n x  n n 1 n. x. u' 1    2 u u ' u' u  2 u ' u' n u  n n 1 n. u.  .  .  .  . sin x   cos x ' cos x    sin x '. sin u   u '.cos u ' cos u   u '.sin u. 1 cos 2 x 1 ' cot x    2 sin x. u' cos 2 u u' ' cot u    2 sin u. '. tan x  . tan u  . '. '. e   e a   a .ln a x '. e   u '.e a   u '.a .ln a u '. x. x '. u. u '. x. 1 x 1 ' log a x   x.ln a. u. u' u u' ' log a u   u.ln a. ln x  . ln u  . '. '. B. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP. LUỸ THỪA Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức Baøi 1: Tính.     a) A = 3 5 : 2  : 16 : (5 .2 .3      3 2. 5 3. 7 4. 1 3. Baøi 2: a) Cho a = (2  3) 1 vaø b = b) cho a =. 1 4. 1 2. 1 2. 1 5  2  4 b) (0, 25) 1 ( ) 2  25 ( ) 2 : ( )3  : ( ) 3 4 4  3  3. (2  3) 1 .. 4  10  2 5 vaø b =. Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1. 4  10  2 5 . Tính A= a + b. Baøi 3: Tính a) A =. 5. 23 2 2. b) B =. 3. 23 3 2 3 2 3. c) C =. 3 3 9 27 3. Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức Bài 4: Giản ước biểu thức sau a) A =. (a  5) 4. 1 1  12 x  y 2 ( x  y) 2  d) E =  1 1 1   ( x  y) 2 x 2  y 2 . e)F= f) G =. 2a x 2  1 x  x2 1. b) B =. 81a 4b 2 với b  0. c) C = (a. 3. 25. ). 3. 5. (a > 0). 2.    x  y với x > 0, y > 0  2 xy   1 a b với x =    2 b a . 2ab ax  ax Với x = 2 b 1 ax  ax. vaø a > 0 , b > 0. vaø a > 0 , b > 0. 2.  4a  9a 1 a  4  3a 1   với 0 < a  1, 3/2 g) J =  1  1 1 1   2  2 2 2 a a  2a  3a  Lop10.com. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. h). 3. a b ab 3 3 a b a3b.  3  j) a .  . . 4. a4b. . 3. a  4 a 14 .a  1 a 1. .. 1. a4  a2.   2. a 1. i). a4b. 4. a  ab. . 2. 5.   .3 a a  . 3. k). 3. . x2  y2. x. 2. 2 3.  xy . 2. x 3 .3 x  y. :. x xy y. Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức Bài 5 chứng minh : x  2 x  1  x  2 x  1  2 với 1 x  2 Bài 6 chứng minh :. a 2  3 a 4b 2  b 2  3 a 2b 4  ( 3 a 2  3 b 2 )3. 3 1 1  32 1  2 2 2 x  a x  a 2  Bài 7: chứng minh:  1  ( ax ) 1    x  a 2 2 x  a   . 2.    1 với 0 < a < x    1.  x 4  x 3 y  xy 3  y 4 3 y( x2  y 2 )  2 1 ( x  y )  Bài 8 chứng minh:   : ( x  y)  1 2 2 1 x  2 xy  y x ( x  y )   Với x > 0 , y > 0, x  y , x  - y. Bài 9: Chứng minh rằng. 3. 9  80  3 9  80  3. LOGARIT Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit. Tính logarit cuûa moät soá. Baøi 10. A = log24. B= log1/44. E = log 4 4 8. F = log 1 3 9. 1 25  34  G = log 1  5  2 2 8 . C = log 5. 3. I = log16 (2 3 2). J=. D = log279. 3 3 H= log 1  3  3  27 . K = log a3 a. log 2 0,5 (4). L = log 1 (a 2 5 a 3 ) a. Bài 11 : Tính luỹ thừa của logarit của một số. A= 4. B = 27. log 2 3. 1. log 2 10. E = 82 log I = (2a ). a. 1. log9 3. C= 9. log. 3. 2. F = 21 log2 70 G = 23 4log8 3 J = 27 log3 23log3 5. 3 D=   2. 2log 3 5 2. H = 9log3 23log3 5. Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức Bài 12: Rút gọn biểu thức A = log 3 8log 4 81. B = log 1 25log 5 9 3. D = log 3 6 log8 9 log 6 2 log 5 3 log 625 3. H=. E = log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log8 7 log 2 24 log 2 192  log 96 2 log12 2. 1 log 25 3 2 5 log 2 30 F= log 4 30. C = log 2. G=. I = log 1 7  2 log 9 49  log 3 27 3. Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit Bai 13: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa) log a b  log a x 1 1 1 n(n  1) a) log ax (bx)  b)   ...   1  log a x log a1 x log a2 x log a. n x 2 log a x c) cho x, y > 0 vaø x2 + 4y2 = 12xy Lop10.com. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2 d) cho 0 < a  1, x > 0 1 Chứng minh: log ax . log a2 x  (log a x) 2 2 Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2 ab 1  (log 2 a  log 2 b) e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh: log 2 3 2. HAØM SOÁ MUÕ HAØM SOÁ LOGARIT Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số Baøi 14: tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau 3 a) y = log 2 b) y = log3(2 – x)2 10  x 2x  3 d) y = log3|x – 2| e)y = log 5 ( x  2) 1 g) y = log 1  x 2  4 x  5 h) y = 2 log 2 x  1. c) y = log 2 f) y =. 1 x 1 x. log 1. 2. x x 1 2. i) y= lg( x2 +3x +2). Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số Bài 15: tính đạo hàm của các hàm số mũ a) y = x.ex b) y = x7.ex e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) i) y = 32x + 5. e-x +. c) y = (x – 3)ex 2 g) y = cos( e x  2 x1 ). 1 j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x x 3. Bài 16 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit x2 2 a) y = x.lnx b) y = x lnx 2 2 e) y = ln (2x – 1) f) y = x.sinx.lnx. d) y = ex.sin3x h) y = 44x – 1. x2 1 4x. k) y =. c) ln( x  1  x 2 ). d) y = log3(x2- 1). g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3). PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Phương trình mũ Daïng 1. Ñöa veà cuøng cô soá Baøi 17 : Giaûi aùc phöông trình sau a) 2 x 4  3 4 d) 2 x. 2.  x 8. b) 2.  413 x. x2 6 x . 5 2. 2. c) 32 x 3  9 x 3 x 5 x 5 x 17 1 f) 32 x 7  128 x 3 4 g) (1,25)1 – x = (0, 64) 2(1.  16 2. e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110. f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 Daïng 2. ñaët aån phuï Baøi 18 : Giaûi caùc phöông trình a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12. b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0 x. c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0. 5 2 d)    2   2 5. e) 5. f) 4  15. g). x.  53. x.  20.  5  2 6    5  2 6   10 x. x). x. . x1. .   4  x. 8 0 5 15.  2 x. h) 32 x 1  9.3x  6  0. (TN – 2008). i) 7 x  2.71 x  9  0 (TN – 2007) j) 22 x  2  9.2 x  2  0. (TN –2006). Lop10.com. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. Daïng 3. Logarit hoùaï Baøi 19 Giaûi caùc phöông trình a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2. c) 3x – 3 = 5 x. x 1 x. 2. d) 2 x  2  5 x 5 x  6 e) 5 x.8  500 Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu Baøi 20: giaûi caùc phöông trình a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x. 2.  7 x 12. f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x. c) 1 + 3x/2 = 2x. Vấn đề 2: Phương trình logarit Daïng 1. Ñöa veà cuøng cô soá Baøi 21: giaûi caùc phöông trình a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 c) log4x + log2x + 2log16x = 5 e) log3x = log9(4x + 5) + ½ g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1). b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0 f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2 h) log 3 x  2   log 3 x  2   log 3 5 (TN L2 2008). Daïng 2. ñaët aån phuï Baøi 22: giaûi phöông trình 1 2  1 a) 4  ln x 2  ln x c) logx + 17 + log9x7 = 0. b) logx2 + log2x = 5/2 d) log2x + 10 log 2 x  6  9. e) log1/3x + 5/2 = logx3 g) log 2 2 x  3log 2 x  log 1 x  2. f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x h) lg x2 16  l o g 2 x 64  3. 2. Daïng 3 muõ hoùa Baøi 23: giaûi caùc phöông trình a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x). b) log3(3x – 8) = 2 – x. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ Baøi 24: Giaûi caùc baát phöông trình a) 16x – 4 ≥ 8 d) 4. x2  x  6. 1. 1 b)   3. 2 x 5. 1 e) 2   2. 6. c) 9 x  3 x 2. 9 4 x 2 15 x  4.  23 x  4. f) 52x + 2 > 3. 5x. Baøi 25: Giaûi caùc baát phöông trình 22x + 6. 2x + 7. 52x – 3. 2.5x -2 ≤. 1 1 x. 1 2 x. a) + > 17 b) – 3 c) 4  2  3 x x x x 4x 2x – 2 d) 5.4 +2.25 ≤ 7.10 e) 2. 16 – 2 – 4 ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x Baøi 26: Giaûi caùc baát phöông trình a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ 3 c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2). Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit Baøi 27: Giaûi caùc baát phöông trình a) log4(x + 7) > log4(1 – x) c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3. b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1. Lop10.com. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. g) log 1 3. 3x  1 1 x2. Baøi 28: Giaûi caùc baát phöông trình a) log22 + log2x ≤ 0. b) log1/3x > logx3 – 5/2 1 1  1 d) 1  log x log x. c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 e) log x 2.log x 16 2 . 1 log 2 x  6. f) log 4 (3x  1).log 1 ( 4. Baøi 29. Giaûi caùc baát phöông trình a) log3(x + 2) ≥ 2 – x c) log2( 5 – x) > x + 1 CHƯƠNG III: NGUYÊN. 3x  1 3 ) 16 4. b) log5(2x + 1) < 5 – 2x d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2. HÀM VÀ TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG. I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).  dx  x  C x. .  x .dx . . dx. 1.  . + C ( -1 ). 1 (ax  b)   C (  (ax  b) dx  a(   1). . = lnx + C ( x 0). x x  e .dx =. x  a .dx. ex a. =.  Cosx.dx  Sinx.dx. dx ax  b. e. +C x. ln a. +C. =. a. ax  b. 1. x . lnax+ b + C. a. .dx . .dx =. -1). 1 ax+b e + a x  b 1 a . ln a. C C. = Sinx + C =  Cos x + C.  Cos(ax  b).dx. =.  Sin(ax  b).dx. =  Cos(ax+ b) + C. . dx 2 Cos x. =  (tg 2 x  1).dx = tgx. . dx 2 Sin x. =. 2  (Cotg x  1).dx. = Cotgx.  . dx. Sin(ax+ b) + C. a. 1 a. 1. = tg(ax+ b) + C. 2. Cos (ax  b) dx 2. 1. a. 1. Sin (ax  b). =  Cotg(ax+ b) + C a. Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Dạng 1: Tính I =  f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x)  dt  u '(x)dx  I =  f [u(x)].u '(x)dx   f (t)dt Dạng 2: Tính I =  f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:. 2 2 a x. ;. 1 2. a x. a2  x2 ;. 1 2 a  x2. 2. thì đặt x = asint. thì đặt x = atant.. Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: Nếu u(x) , và(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I  u(x).v '(x)dx  u(x).v(x)   v(x).u '(x)dx Hay  udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dvà = và’(x)dx) phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv. Lop10.com. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. @ Dạng 1. . sin ax  f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:  ax  e . Sau đó thay vào công thức.  udv  uv   vdu.  f ( x ) ln( ax  b )dx. @ Dạng 2:. Sau đó thay vào công thức.  udv  uv   vdu. u  f ( x ) du  f '( x ) dx   sin ax  sin ax         dv  cos ax  dx v   cosax  dx ax ax   e  e . Đặt. để tính.  u  ln( ax  b ) du  Đặt   dv  f ( x ) dx v   để tính. a.dx ax  b f ( x ) dx. sin ax . ax ax @ Dạng 3:  e .  dx .Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e cosax  Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản). Dạng 1:  sin(ax+b).sin(cx+d)dx ;  sin(ax+b).cos(cx+d)dx ;  cos(ax+b).cos(cx+d)dx .. * Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân. Dạng 2:  sin n ax.cosmaxdx (n,m là các số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax. *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax. *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc). *) n,m  Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax. Dạng 3:  R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).. *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx. *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx. *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx. Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ Yêu cầu tính  f (x) dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x. g(x). Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x)  h(x)  . Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là g(x). h(x). f (x). r(x).  ( g(x) )dx   h(x)dx   h(x) dx .Như vàậy  h(x)dx bằng bảng nguyên hàm vì vàậy ta chỉ còn phải tính  r(x) dx theo trường hợp sau. g(x) một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).Nên. r(x).  g(x) dx với. Trường hợp 2: tính. ta tích được. bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).. *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức. *) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: r(x)  g(x). r(x) a(x  1).(x  x 2 )2. . A B C   (x  x1) (x  x 2 ) (x  x )2 2. (*). ( x1; x2 là nghiệm của g(x). *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng). *) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính. Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức . Phần 4: Tích phân. ( Phần này có các phương pháp như phần nguyên hàm, chỉ cần lưu ý : + Nguyên hàm :  f ( x)dx  F ( x)  C b. + Tích phân. :.  f ( x)dx  F ( x) |  F (b)  F (a) ) b a. a. Lop10.com. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. Bài toán 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối:. Tính. b  f (x) dx a. +) Tìm nghiệm của f(x) = 0. Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một b. nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì : . a. Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c (a;b) thì. b  f (x) dx a. =. f (x) dx. =. b  f (x)dx a. c b  f (x)dx   f (x)dx a c. *Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung công thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta không cần xét dấu f(x)). 2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân. y Phần 5: Diện tích hình phẳng  thể tích vàật thể tròn xoay. Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng b  Hình phẳng giới hạn bởi :hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] a b x Trục hoành y = o và các đường thẳng x = a, x = b Diện tích : S =  | f (x) | .dx a. Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0  Hình phẳng giới hạn bởi : hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], hàm số y = g(x) liên tục trên [a;b] và các đường thẳng x = a, x = b. Diện tích : S =. b  | f (x)  g(x) | .dx a. y. a. y=f(x ) y=g( x) x b. Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt: f(x) = g(x) 2) Nếu bài toán qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thông qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình. Dạng 2:Tính thể tích vàật thể tròn xoay : * Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường : hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] Trục hoành y = o và các đường thẳng x = a, x = b.Quay quanh trục Ox và f(x)  0 trên [a;b] thì và= b 2   f (x) .dx a. vàí dụ1 : a)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  x  3 và đường thẳng d: y = 2x+1. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y2 = 4x và x2 = 4y. vàí dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 e x , y = 0 và x = 0, x=1 quanh trục Ox.. II- BÀI TẬP x2  x 1 , biết đồ thị của nguyên hàm đó đi qua M(2 ; -2ln2). x2  x  2 1 x 3  3x 2  3x  5 2) Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)  biết rằng :F(0) = - . 2 2 ( x  1). Bài I:1) Tìm một nguyên hàm của y = f(x) =.   3) Cho P(x) = a.sin2x – b.cos2x. Tìm a, b biết: P '    2 ;  adx  1 . 2 b Bài II: 1) Tính các tích phân sau: 1 1 1 x dx 2x a) I   ; b) K   dx dx ; c) J   0 x 2  3x  2 01  1  x 0 x  13 2b. 2) Tính các tích phân sau:  /4 a) I   sin x.sin 3xdx ; 0  4 c) K   cos5 xdx ; 0.  /4 b) J   sin x.sin 3x.cos 5xdx , 0  2 d) H   sin 4 xdx . 0 Lop10.com. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt.  4 1 e) I   dx 0 cos x.  3 2 f) I   tan x  cot x  dx .  4  3 1 dx . h) I   2  sin x.cos2 x 4. ;.  4 g) I   tan2 xdx ; 0. 3) Tính các tích phân sau: 3 x2 1 dx a) I   ; 0 x 1 1 x 1 c) J   5 dx , 0 2x  1. 1 d) I   0. 1. 2. b) K =. (. x 4  2 x 2  1  x  1 )dx. 2. (HD: Đặt t = 2x+1 hoặc t =. 5. 2 x  1 ).. HD: Đặt t  x  1  x  2. dx. x  1x  2 .  dt  .  1  x  1  x  2  dx   dx 2  ( x  1)( x  2)  x2. 1 1   2  x  1. 2 dt  t. 1. 1 ( x  1)( x  2). dx. 4) Tính các tích phân sau:  3 4 a) I   x.sin 2 xdx ; b) J   x 2 .ln x  1dx 0 0 3  c) K   (ecosx  x).sin xdx ; d) L   x 3 x 2  1dx 0 0  e3 2 x ln x( 1  ln x  x 2 ) dx e) M   ; f) N =  dx  sin 2 x x 1 6 (HD: tách ra làm hai tích phân , một TP dùng PP đổi biến, một TP dùng PPTPTP) 5) Tính các tích phân sau: 2 a) P   sin xdx 0 1 2 c) R   x 3.e x dx 0. 2 e) T   (2x  1) ln xdx 1 1. . e2. ;. b) Q =. . ln x. 1. x. dx. e d) S   (1  x 2 ).ln xdx 1  2 f) U   (x  1) cos 3xdx . 0. ; ;. . 2. . g) V =  (2 x  1) e  x  sin 2 x dx. h) W =. 0.  . x(1  cos x) dx sin 2 x. 6. HD: Câu g) tách ra làm 2 tích phân từng phần. . . 2. Câu h) W =. 2 x cos x dx   sin 2 x  x. sin 2 x dx sau đó tính mỗi tích phân bằng PP tích phân từng phần 6. 6. Bài III: 1) Tính diện tích của các hình phẳng (H): Lop10.com. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. . . . 4. a) H  :  x  0, x . , y  0, y . . . 2 sin x.  x/2 x  1, y  2  ; b) H  : x  0, y  3 sin x  cos x  . . . . . 2 x c) H  : y  3 , y  4x  1 ; d) H  : y  4x, và 2 tt ke tu M(-2;1) cua (P). . . 2 e) H  : y  x  2x, và 2 tt tai O và A(4;8) .. 2/ Tính thể tích của các vật thể tròn xoay do hình (H): 1 quay quanh truc 0x . a) H  : x  0, x  1, y  0, y  2 x 4. . CHƯƠNG III: SỐ. . PHỨC. I – LÍ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Số i : i 2  1 , i gọi là đơn vị ảo . 2. Biểu thức có dạng : z = a + bi với a,b  R , i 2  1 gọi là số phức . a : gọi là phần thực , b : gọi là phần ảo.Tập số phức kí hiệu C.Mỗi số thực a là số phức dạng : a = a + 0.i ; số thuần ảo là số phức dạng : bi = 0 + bi . Z = 0 là số phức duy nhất vừa là số ảo.  3.Biểu diễn hình học : Mỗi số phức z = a + bi được xác định cặp số (a;b) , điểm M(a;b) hoặc u  (a; b) (   u  OM )trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là điểm hoặc véc tơ biểu diễn số phức z. Mặt phẳng biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức , trục Ox là trục thực , trục Oy là trục ảo. 4.Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di  a = c và b = d Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z = a – bi . Kết quả : 1) z  z; 2) z là số thực  z  z ; 3) z  z ; 4) trên mặt phẳng phức các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox.   3.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| = a2 + b2( z  OM  u ).  z  0, z  Cvà z  0  z  0 . 4.Các phép toán với số phức (a + bi)  (c + di) = (a  c) + (b  d)i (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ;. z1  z 2  z1  z 2 z 1 .z 2 = z 1 . z 2. ; z. z = |z|2.  z1  z1    . Kết quả : i3=i2.i = -i ; i4= i2. i2=i3.i=1; i5= i4.i = i ; i6 = i5.i = -1… z |z|2  z2  z2 5.Căn bậc hai của một số thực âm: Kết quả : 1) căn bậc 2 của -1 là i vì (i ) 2  1 ; 2) hai căn bậc 2 của số thực a > 0 là  a , hai căn bậc 2 của 1. =. ;. z1 1 = z1. z2 z2. số thực a < 0 là i a . 6. Phương trình bậc 2 : ax2 +bz + c = 0 , với a,b,c là số thực cho trước , a  0, biệt thức   b 2  4ac   0 : phương trình có 2 nghiệm (thực) phân biệt x1, 2    0 : phương trình có 2 nghiệm (phức) phân biệt x1, 2    0 : phương trình có nghiệm kép. b   , 2a. b  i . b . 2a. 2a. ,. II- BÀI TẬP Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính module của các số phức sau : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i). ; b) (1 + i)2 – (1 – i)2. ; c) (2 + i)3 – (3 – i)3. ;d). 3 i 2 i  . 1 i i. Bài 2: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức: 2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i Tìm các số phức liên hợp với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức. Bài 3: Cho 2 số phức : z = a+bi ; z’ = a’+b’i Với điều kiện nào giữa a, b, a’, b’ thì Lop10.com. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. a/ Tổng, hiệu của z và z’ là số thực; là số thuần ảo. b/ Tích, thương của z và z’ là số thực ; là số thuần ảo c/ z2 , z3 là số thực ; là số thuần ảo. Bài4: Cho số phức z = a+bi . Hỏi a,b phải thoả mãn điều kiện gì để a/Điểm biểu diễn cùng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = -2 và x = 2 b/Điểm biểu diễn cùng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = -3i và y = 3i c/Điểm biểu diễn cùng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2. Bài5:Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thoả mãn mỗi điều kiện sau: a/ z  1  1 b/ 1  z  i  2 c/ 2i  2 z  2 z  1 d/ 2iz  1  2 z  3 1  a .Tìm số phức có module lớn nhất , module nhỏ nhất z i i Đáp số : Các số phức cần tìm là : z  (a  a 2  4) và z  (a  a 2  4) 2 2 Bài 7: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức : a) z2 – 2z + 4i ĐS: x2 – y2 – 2x và 2(xy – y + 2)  2 xy zi y 2  x 21 b) ĐS: 2 và 2 iz  1 x  ( y  1) 2 x  ( y  1) 2. Bài6*:Cho biết z . 4.  zi Bài 8: Tìm số phức z thỏa mãn :   1  z i Bài 9: Phân tích ra thứa số : a) a2 + 1 ĐS: (a – i)(a + i) c) 4a4 + 9b2. ĐS: 0, 1 , -1. ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi). Bài10: Phân tích ra thừa số phức a/ a2 + 1 b/ 2a2 + 3. c/ 4a2 + 9b2. b) 2a2 + 3. ĐS: (a 2  i 3 )(a 2  i 3). d) 3a2 + 5b2. ĐS: (a 3  ib 5 )(a 3  ib 3). d/ 3a2 + 5b2. Bài 11:Thực hiện các phép tính sau: a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i) d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i) 2 + i 4 – 3i 1 + 2i 1 – 2i (2 + i)(1 – 2i) (2 – i)(1 + 2i) f) g) h) g) + + 5 – 3i –i 1 – 2i 1 + 2i 2–i 2 + i (2 + i) + (1 + i)(4 – 3i) (3 – i)(1 + 2i) h) g) + 4 – 3i 3 + 2i 1 – 2i. Bài12 : Cho A,B,C,D là 4 điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức tương ứng là : -1+i ; -1i; 2i;.     2-2i. Tìm các số phức z1, z2, z3 và z4 theo thứ tự biểu diễn bởi các véc tơ : AC , AD, BC , BD . Bài 13:.Tính các biểu thức sau: a) i15,i30 ,i37 ,i28. Từ đó suy ra cách tính i n với n  N (1 + i)3 b) (1 + i)2 ,(1 + i)3 ,(1 + i)4 ,(1 + i)5 , (1 + i)2006 , (1 – i)2006 , (1 – i)4 1 + i 33 1 5 + i c) ( ) + (1 – i)10 + (2 + 3i)(2 – 3i) + ; d) 1–i i (1 + i)(2 – 3i) Bài 14: .Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:   a) (1 – i)6.( 3 + i)8 b) (cos – i.sin ).i5.(1 + 3i)6 3 3 (1 + i)10 (\r(3 ) – i)6.(3i)7 1 1 c) d) e) z2006 + biết z + = 1 (\r(3 ) + i)9 (1 + i)10 z2006 z Bài 15: Thực hiện phép tính :. Lop10.com. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt. a) c) e) g). 3 1  2i m. ĐS:. 3 6  i 5 5. b). ĐS: -i m. i m 3i (1  2i )(1  i ). b i a a. ĐS:. i a. ĐS: i. a i a (1  2i ) 2  (1  i ) 2 f) (3  2i ) 2  (2  i ) 2. 4 3  i 5 5. ĐS:. ai b. d). 1 i 1 i ai a. a 1 2 a  i a 1 a 1. ĐS:. h) (2 – i)6. ĐS:. 21 9  i 34 17. ĐS: -117 – 44i. Bài16: Tìm các căn bậc 5 của 1.CMR: Tổng các giá trị căn này bằng 0 Bài 18: Giải các phương trình sau trong C. 3 1  i 2 2 6 (1  i ) ĐS: 6 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i. a) x 2  3.x  1  0. ĐS:. b) 3 2 .x 2  2 3.x  2  0 c) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 d) 3i.x2 – 2x – 4 + I = 0. ĐS: . 1 2 10  2  1 1 2 10  2  1 ; 2 10  2  i. 2 10  2  i. 3 3 3 3. Bài19: Cho z và z' là hai số phức bất kì . Chứng minh rằng : ( z  z ')  z  z ',. z  z '  z  z ',. z.z '  z.z ',.  z z    ( z '  0)  z' z'. Bài20: Thực hiện các phép tính (m,a,b >0) m ai a ai b b/ c/ i m a i a i a Bài 21: Tìm số nguyên n để các số phức sau là số thực hoặc số ảo:. a/. n. n  3  3i  7i    b)  a)     4  3i   3  3i  Bài 22: a)Tìm các số thực a, b sao cho: z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b) ,  z C b) Giải phương trình : z4 – 4z2 – 16z – 16 = 0.  3  3.i   Bài 23: Tìm số nguyên dương n sao cho    3  3i  a) là một số thực b) là một số ảo.. n. Bài24: Hãy giải các phương trình sau trong tập C a/ 3x 2  x  2  0 x 2  3x  1  0 b/ ix 2  2ix  4  0 x 2  (3  i ) x  4  3i  0 c/ 3x 3  24  0 2 x 4  16  0 Bài25: Giải các phương trình sau với ẩn là z a/. 2i 1  3i z 1 i 2i. d/ ((2  i ) z  3  i )(iz  2. g/ z 2  z  0. 1 )0 2i. 3 2 x 2  2 3x  2  0 3ix 2  2 x  4  i  0 ( x  2)5  1  0. b/ z  2 z  1  8i. c/ 2 z  3z  1  12i. e/ z 2  z  0. f/ z 2  z  0. h/ z  2 z  2  4i. k/ . 4. zi  1  z i . Bài26:Giải các hệ phương trình sau Lop10.com. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tµi LiÖu «n thi tèt NghiÖp_thpt.    a/   . z  12 5  z  8i 3.    b/   . z4 1 z 8.  z1. z2  5  5i d/  2 2  z1  z2  5  2i. z 1 1 z i z  3i 1 zi.  z1  z2  4  i e/  2 2  z1  z2  5  2i.  z1  z2  z3  1  c/  z1  z2  z3  1  z .z .z  1  1 2 3.  z13  z25  0 g/  2 4  z1 .( z2 )  1. Bài27:Trong các số z thoả mãn : 2 z  2  2i  1 hãy tìm số z có moidule nhỏ nhất Bài29: Giải các phương trình sau : a/ z  z n 1 (n  N ) b/ ( z  a )n  z n (n  N , a  R, a  0) . 1 2. Bài 38 : Cho số phức : z   . 3 i . Hãy tính : 1 + z + z2. 2. PHẦN HAI : HÌNH HỌC. A- KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY KHỐI ĐA DIỆN. I/ Các công thức về khối đa diện Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước) Thể tích khối lập phương : V = a3 (a là cạnh khối lập phương) Thể tích khôi chóp:. V=. 1 Bh ( B diện tích đáy, h chiều cao) 3. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao) Chú ý: - Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k3. II/ Bài tập: 1/ KHỐI CHÓP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA=a 2 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b/ Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a . c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC , AB=a và góc AABC  450 . Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 3 :Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6 .Điểm M,N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN Bài 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a c / Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 kchóp đó Bài 5:Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60o. Tính thể tích hình chóp SABCD theo a Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính đường cao và thể tích khối chóp theo a. 2/ KHỐI LĂNG TRỤ, HỘP Bài 1 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . a/ Tính thể tích khối LP theo a b/ Tính thể tích của khối chóp A. A’B’C’D’ theo a . Lop10.com. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>