ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––––––––––––
MẪN THỊ BẮC
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH
VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ
TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN
Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN-2020
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả
Mẫn Thị Bắc
i
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và hoàn thành luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2020
Tác giả
ii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
i
LỜI CẢM ƠN
ii
MỤC LỤC
iii
MỞ ĐẦU
1
1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2
3. Phương pháp nghiên cứu
2
4. Bố cục luận văn
2
3
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric nhân
3
1.2. Mối quan hệ và các tính chất của các ánh xạ tương thích và các
biến thể của nó trong khơng gian metric nhân
9
Chƣơng . ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC
BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NHÂN
20
2.1. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích trong
khơng gian metric nhân
20
2.2. Điểm bất động đối với các ánh xạ tương thích và các biến thể của
nó trong khơng gian metric nhân
24
KẾT LUẬN
38
TÀI LIỆU THAM KHẢO
39
iii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, tập các số thực dương
là không đầy đủ đối với metric
thông thường. Để khắc phục vấn đề này, năm 2008, ashirov [1] và các cộng
sự đã đưa ra khái niệm không gian metric nhân. Năm 2012, Ozavsar [8] và
Cevikel [8] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ co nhân và chứng minh một vài định
lý về điểm bất động của các ánh xạ đó trong khơng gian metric nhân. Năm
2015, Kang [6] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích
trong khơng gian metric nhân đồng thời đạt được một số kết quả về điểm bất
động chung đối với các ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân. Một
hướng nghiên cứu gần như đồng thời với việc nghiên cứu đã nêu ở trên là việc
xét điểm bất động đối với ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh
xạ giao hốn và giao hoán yếu. Năm 1995, . J. Cho [2] và các cộng sự đã đưa
ra khái niệm về ánh xạ nửa tương thích trong các khơng gian tơpơ. Năm 1996,
Jungck [5] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích yếu và đạt được kết
quả về điểm bất động của ánh xạ tương thích yếu trong khơng gian metric.
Năm 2013, Gu [3] và các cộng sự đã đưa ra định nghĩa về các ánh xạ giao hoán
và giao hốn yếu trong một khơng gian metric nhân và chứng minh một vài
định lý về các điểm bất động của những ánh xạ này. Năm 2016, P.Kumar, S.
Kumar, S.M. Kang [7] đã đưa ra khái niệm ánh xạ nửa tương thích trong khơng
gian metric nhân và thiết lập định lí điểm bất động chung đối với các ánh xạ đó.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tơi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối
với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó
trong khơng gian metric nhân ”.
Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà tốn học
trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu.
1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về
không gian metric nhân và một số định lý về sự tồn tại điểm bất động chung
đối với các ánh xạ nửa tương thích và điểm bất động chung đối với các ánh xạ
tương thích với các biến thể của nó trong khơng gian metric nhân.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của giải tích hàm.
4. Bố cục luận văn
Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [6] và [7], gồm 39
trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của khơng
gian metric nhân.
Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về
Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích
với các biến thể của nó trong khơng gian metric nhân.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
2
CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric nhân
Đ nh ngh a 1.1.1. Cho E là một tập khác r ng. Một metric nhân là một ánh xạ
:E
E
thỏa mãn các điều kiện sau:
1 , u, v
E và (u, v)
(i)
(u, v)
(ii)
(u, v)
(v, u) , u, v
(iii)
(u, v)
(u, w)
1
u
v;
E;
(w, v) , u, v, w
E bất đ ng thức tam giác nhân .
Khi đó (E, ) được gọi là một khơng gian metric nhân.
Ví dụ 1.1.2. Cho
:
n
n
n
là tập hợp tất cả các bộ n số thực dương và hàm số
được xác định bởi:
u, v
ở đó u
u1, , un , v
u1
v1
n
v1, , vn
1
Khi đó,
n
,
và a
un
vn
và | . | :
khi
1
khi
1.
xác định bởi
là một khơng gian metric nhân.
Ví dụ 1.1.3. Cho
u, v
u2
v2
:
1 . Khi đó,
thỏa mãn
1,
(u, v)
a
u v
, với mọi
là một metric nhân và ( , ) là một khơng gian
metric nhân. Ta có thể gọi đó là khơng gian metric nhân thơng thường.
Nhận
t 1.1.4. Chú ý rằng ví dụ 1.1.2 đúng với các số thực dương và ví dụ
1.1.3 đúng với mọi số thực.
Ví dụ 1.1.5. Cho (E, ) là một không gian metric. Cho
3
a
là ánh xạ xác định
trên E bởi
(u, v)
a
ở đó u, v
E và a
1 . Khi đó,
1 khi u
a khi u
u ,v
a
v,
v,
là một metric nhân và E ,
a
a
gọi là khơng
gian metric nhân rời rạc.
Ví dụ 1.1.6. Cho E
trên [a,b ]
C [a,b ] là tập tất cả các hàm liên tục nhân giá trị thực
. Khi đó, E ,
(x, y )
Nhận
supt
là một khơng gian metric nhân với
[a ,b ]
x (t )
y(t )
với x, y
E tùy ý.
t 1.1.7. Metric nhân và metric là độc lập với nhau.
Thật vậy, ánh xạ
được định nghĩa trong ví dụ 1.1.2 là một metric nhân mà
khơng là metric vì nó khơng thỏa mãn bất đ ng thức tam giác
1 1
,
3 2
1
,3
2
3
2
6
M t khác, metric thông thường trên
7.5
1
,3 .
3
9
không là metric nhân bởi vì nó khơng
thỏa mãn bất đ ng thức tam giác nhân
2, 3
3,6
3
4
2,6 .
Đ nh ngh a 1.1.8. Cho (E, ) là một khơng gian metric nhân. Khi đó
(1) dãy {un }
B (u)
n
E gọi là hội tụ nhân tới u nếu với m i hình cầu mở nhân
v | (u, v)
N tức là (un , u)
(2) dãy {un }
cho (un , um )
,
1 , tồn tại N
1 khi n
sao cho un
.
E gọi là dãy Cauchy nhân nếu mọi
với mọi n, m
B (u) với mọi
N tức là (un , um )
1 , tồn tại N
1 khi n, m
sao
.
(3) E gọi là không gian metric nhân đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy nhân đều hội
tụ nhân đến một phần tử thuộc E .
4
Chú ý 1.1.9. Tập các số thực dương
thường. Lấy E
và dãy un
là không đầy đủ theo metric thông
{1 / n} . Hiển nhiên, un
là một dãy
Cauchy trong E với metric thông thường và E không là không gian metric
đầy đủ do 0
a 1/n
un
n
. Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy
,
ở đó a
1 . Khi đó, un
là một dãy Cauchy nhân vì với
m,
un
um
un , um
a 1/n
a 1/m
Ta có un
1 khi n
a
1 1
m n
a
1
m
a khi a 1,
1 / a khi a 1.
log a
, trong đó a
log
nếu m
a
1 1
n m
và 1
. Vậy E ,
là một không gian metric
nhân đầy đủ.
Năm 2012, Ozavsar và Cevikel [8] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ co
nhân và đã chứng minh một vài định lý về điểm bất động của các ánh xạ đó
trong một khơng gian metric nhân.
Đ nh ngh a 1.1.10. Cho f là ánh xạ từ một không gian metric nhân (E, )
vào chính nó. Khi đó, f được gọi là một phép co nhân nếu tồn tại một số thực
[0,1) sao cho
(u, v) với mọi u, v
(fu, fv)
E.
Năm 2015, Kang và các cộng sự [6] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ tương thích
trong các khơng gian metric nhân như sau
Đ nh ngh a 1.1.11. Cho f và g là các ánh xạ từ không gian metric nhân (E, )
vào chính nó. Khi đó,
lim
n
fgun , gfun
f
và g
1 , với mọi dãy un
5
được gọi là tương thích nếu
E sao cho
lim fun
n
lim gun
n
t với t
E nào đó.
Đ nh ngh a 1.1.12. Cho f và g là các ánh xạ từ một khơng gian metric nhân
(E, ) vào chính nó. Khi đó, f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng
giao hoán tại những điểm trùng, tức là nếu ft
gt với t
E thì fgt
gft .
Năm 1995, Cho và các cộng sự [2] đã đưa ra khái niệm về nửa tương
thích trong các khơng gian topo như sau
Đ nh ngh a 1.1.13. [2] Cho f và g là các ánh xạ từ một khơng gian topo vào
chính nó. Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếu
(1) fv
gv kéo theo fgv
u và gun
(2) fun
gfv và
u kéo theo fgun
gu khi n
.
ây giờ, ta sẽ định nghĩa tính nửa tương thích theo điều kiện 2 chỉ trong
phạm vi khơng gian metric nhân như sau:
Đ nh ngh a 1.1.14. Cho f và g là các ánh xạ từ một không gian metric nhân
(E, ) vào chính nó. Khi đó, f và g được gọi là nửa tương thích nếu
lim
n
fgun , gu
1 , với mọi dãy {un }
E sao cho lim fun
n
lim gun
u
n
với u nào đó thuộc E .
Điều này suy ra rằng nếu f và g là nửa tương thích và fv
gv thì fgv
gfv .
Chú ý rằng f và g là nửa tương thích khơng nhất thiết f và g là tương thích.
Hơn nữa, tính nửa tương thích của f và g khơng kéo theo tính nửa tương thích
của g và f .
Ví dụ 1.1.15. Cho E
(u, v)
a
u v
[1, 3] và
, trong đó u, v
E và a
metric nhân. Lấy các ánh xạ f , g : E
fu
u khi 1
3 khi 2
u
u
:E
2,
3,
E
[1,
) được xác định bởi
1 . Khi đó, (E, ) là một không gian
E xác định bởi
gu
6
4
3
u khi 1
khi 2
u
u
2,
3,
ét un
1
. Khi đó,
n
2
fun
2
fgun
1
và gun
n
f 2
1
n
2
1
nên fun
n
3 và gfun
g 2
2 và gun
1
n
2
2
u.
1
.
n
Ta có
lim d fgun , gfun
a
n
3 2
a
1.
Điều này kéo theo f và g khơng tương thích. M t khác, ta có
lim d fgun , gu
a
n
3 3
1.
o đó, f và g là nửa tương thích và
lim d gfun , fu
a
n
2 3
a
1.
Vậy g và f khơng là nửa tương thích.
Tiếp theo, ta chỉ ra nửa tương thích là tương thích yếu. Thật vậy, với
u
1,2
fu
gu
tùy ý, điều này hiển nhiên đúng. Với u
3 và fgu
f3
3 , gfu
g3
2, 3 tùy ý, ta có
3 . o vậy, f và g là tương thích
yếu.
Ví dụ 1.1.16. Cho E
bởi
u, v
a
u v
0,1 và
, ở đó u, v
:E
E
E và a
E là các ánh xạ xác định bởi
7
là ánh xạ được xác định
1 . Khi đó, E ,
metric nhân.
Lấy f , g : E
1,
là một không gian
1
fu
1 u , gu
u khi 0
u
2
khi u
3
1
,
3
1
,1
3
2
.
3
1 khi u
1
khi u
3
ét un
1
3
1
,
3
2
,
3
1
. Khi đó
n
fun
2
3
fgun
f
1
n
2
3
2
3
u và gun
1
n
2
3
u.
Ta có
2
3
1
n
1
3
1
và gfun
n
2
3
g
1
n
1.
Suy ra f và g khơng tương thích. Hơn nữa,
lim d fgun , gu
a
1/3 1/3
lim d gfun , fu
a
1 1/3
n
n
1
1.
o đó f và g là nửa tương thích, nhưng g và f khơng là nửa tương thích.
Tính tương thích yếu khơng kéo theo tính nửa tương thích. Ở đây, g và
f là tương thích yếu vì chúng giao hốn tại điểm trùng của chúng
2
, nhưng
3
khơng là nửa tương thích. Tính nửa tương thích khơng nhất thiết kéo theo
tương thích vì lim d fgun , gfun
1 trong các ví dụ 1.1.15 và 1.1.16.
n
Trong ví dụ tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tính tương thích khơng nhất thiết kéo
theo tính nửa tương thích.
Ví dụ 1.1.17. Cho E
(u, v)
[0,1] và
a
u v
:E
E
, trong đó u, v
8
[1,
) xác định bởi
E và a
1.
Khi đó, (E, ) là một khơng gian metric nhân. Lấy f , g : E
E là các ánh xạ
xác định bởi
u khi 0
fu
1
3
ét un
1
khi u
2
1
khi u
2
u , gu
1
3
u
1
,
3
1
.
3
1
. Khi đó
n
fun
1
3
1
n
1
3
fgun
1
3
1
n
1
và
3
1
3
u và gun
1
3
gfun
1
n
1
n
1
3
u.
1
.
3
Hơn nữa,
lim d fgun , gfun
n
1.
o vậy, f và g là tương thích. Nhưng
lim d fgun , gu
a
n
1 1
3 2
1.
Điều này kéo theo f và g không là nửa tương thích.
1.2. Mối quan hệ và các tính chất của các ánh ạ tƣơng thích và các biến
thể của nó trong khơng gian metric nhân
ây giờ, ta sẽ xem xét các định nghĩa về các ánh xạ tương thích và các
biến thể của nó trong các khơng gian metric nhân như sau:
Đ nh ngh a 1.2.1. Cho f và g là hai ánh xạ từ không gian metric nhân (E, )
vào chính nó. Khi đó f và g được gọi là
(1) tương thích nếu lim
n
cho lim fun
n
lim gun
n
1 , trong đó {un }
fgun , gfun
t với t
E.
9
E là một dãy sao
(2) tương thích kiểu (A) nếu
trong đó {un }
1 và lim
fgun , ggun
lim
n
n
gfun , ffun
E là một dãy sao cho lim fun
n
lim gun
n
1,
t với t
E.
(3) tương thích kiểu (B ) nếu
fgun , ggun
lim
n
fgun , ft
lim
n
lim
n
ft, ffun
1
2
và
gfun , ffun
lim
n
trong đó {un }
gfx n , gt
lim
n
E là một dãy sao cho lim fx n
n
lim
n
gt, ggun
lim gx n
n
1
2
,
t với t
E.
(4) tương thích kiểu (C ) nếu
fgun , ggun
lim
n
lim
n
fgun , ft
lim
ft, ffun
lim
gt, ggun
n
lim
n
ft, ggun
lim
gt, ffun
1/3
và
lim
n
lim
n
trong đó {un }
gfun , ffn
gfun , gt
n
E là một dãy sao cho lim fun
n
(5) tương thích kiểu (P ) nếu lim d ffun , ggun
n
một dãy sao cho lim fun
n
lim gun
n
t với t
n
lim gun
n
1/3
,
t với t
E.
1 , trong đó {un }
E là
E.
Tiếp theo là một số kết quả về mối liên hệ và các tính chất của các ánh
xạ tương thích và các biến thể của nó.
Mệnh đề 1.2.2. Cho f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (A)
trong f ho c g à i n t c th f và g à tương thích.
10
ếu một
h ng minh Vì f và g là tương thích kiểu (A) nên lim
fgun , ggun
n
và lim
n
1 , ở đó lim fun
gfun , ffun
n
Giả sử f liên tục. Khi đó lim ffun
n
lim gun
n
lim fgun
n
t với t
1
E nào đó.
ft với t nào đó thuộc E .
M t khác, ta có
(ggun , ft )
1
(ggun , fgun ). (fgun , ft )
1.
Từ đó suy ra
1
Vậy lim
n
fgun , gfun
fgun , ggun . ggun , ffun .
ffun , gfun
1
1 , tức là f và g là các ánh xạ tương thích.
fgun , gfun
Tương tự, nếu g là liên tục, khi đó f và g là các ánh xạ tương thích.
Mệnh đề 1.2.3.
i c p ánh xạ tương thích kiểu (A) à tương thích kiểu (B ) .
h ng minh Giả sử f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (A) . Khi đó, ta có
1
lim
n
fgun , ggun
lim
fgun , ft
lim
gfun , ffun
lim
gfun , gt
n
n
lim
ft, ffun
lim
gt, ggun
1/2
và
1
n
n
n
1/2
.
Vậy f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) .
Mệnh đề 1.2.4. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một khơng gian metric
nhân (E, ) vào chính nó
ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (B ) th f
và g à tương thích kiểu (A) .
h ng minh Cho {un }
E là một dãy sao cho lim fun
n
nào đó thuộc E . Vì f và g là các ánh xạ liên tục, nên ta có
11
lim gun
n
t với t
gfun , ggun
lim
n
fgun , ft
lim
n
lim
n
ft, ffun
1
2
1
và
gfun , ffun
lim
n
gfun , gt
lim
n
lim
n
gt, ggun
1
2
1.
o đó, f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (A) . Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.5. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
ếu f và g à các ánh xạ tương thích kiểu (B ) th f
nhân (E, ) vào chính nó
và g à tương thích.
h ng minh Cho {un }
E là một dãy sao cho lim fun
n
lim gun
n
t với t
nào đó thuộc E . Vì f và g là các ánh xạ liên tục, nên ta có
lim ffun
ft
lim gfun
gt
n
lim fgun
n
và
n
lim ggun .
n
Theo bất đ ng thức tam giác nhân, ta có
fgun , gfun
fgun , ggun
ggun , gfun .
và chú ý đến giả thiết f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) ,
Cho n
ta có
fgun , gfun
lim
n
lim
n
fgun , ft
lim
n
ft, ffun
1
2
lim
n
ggun , gfun
1.
o đó f và g là các ánh xạ tương thích. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.6. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một khơng gian metric
nhân (E, ) vào chính nó
ếu f và g à các ánh xạ tương thích th f và g à
tương thích kiểu (B ) .
12
h ng minh Vì f và g là tương thích nên tồn tại dãy {x n }
lim fun
n
lim gun
n
t với t
E và lim
n
X sao cho
1 . Vì f và g là các
fgun , gfun
ánh xạ liên tục, nên ta có
lim ffun
ft
lim gfun
gt
n
lim fgun
n
và
n
lim ggun ,
n
do đó
lim ffun
n
lim fgun
lim gfun
n
lim ggun .
n
n
Từ đó ta có
lim
n
fgun , ggun
fgun , ft
lim
n
lim
n
ft, ffun
1
2
và
lim
n
gfun , ffun
gfun , gt
lim
n
lim
n
gt, ggun
1
2
.
Vậy f và g là các ánh xạ tương thích kiểu (B ) .
Mệnh đề 1.2.7. Cho f và g à các ánh xạ i n t c t một khơng gian metric
nhân (E, ) vào chính nó
(1) f và g à tương thích
hi đó
f và g tương thích kiểu (B ) .
(2) f và g à tương thích kiểu (A)
f và g à tương thích kiểu (B ) .
h ng minh (1) Chứng minh suy ra từ Mệnh đề 1.2.5 và Mệnh đề 1.2.6.
(2) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4.
Mệnh đề 1.2.8. Cho f và g à các ánh xạ tương thích t một khơng gian
metric nhân (E, ) vào chính nó
fgt
h ng minh Giả sử rằng {un }
ếu ft
fft
ggt
gt với t
E th
gft .
E là một dãy được xác định bởi un
13
t,
n
1,2,... với t
E và ft
gt . Khi đó, fun , gun
. Vì f và
ft khi n
g là tương thích, nên ta có
fgt, gft
Từ đó ta có fgt
fgun , gfun
lim
n
gt nên fgt
ggt . Vì ft
fft
1.
ggt
gft . Ta có điều phải
chứng minh.
Từ Mệnh đề 1.2.8 ta có
Mệnh đề 1.2.9. Cho f và g à các ánh xạ tương thích t một khơng gian
metric nhân (E, ) vào chính nó
i
ử lim fun
n
lim gun
n
t với t
E
hi đó
(a ) lim gfun
ft nếu f i n t c tại t .
(b) lim fgun
gt nếu g i n t c tại t .
n
n
(c) fgt
gft và ft
gt nếu f và g i n t c tại t .
h ng minh a Giả sử rằng f liên tục tại t . Vì lim fun
n
t
E , nên fgun
lim gun
n
t với
. Vì f và g là các ánh xạ tương thích, nên
ft khi n
ta có
lim
n
o đó lim gfun
n
gfun , ft
lim
n
gfun , fgun
lim
n
fgun , ft
ft . Ta được điều phải chứng minh.
b Chứng minh tương tự a ta được lim fgun
gt .
c Giả sử rằng f và g liên tục tại t . Vì gun
t khi n
n
t , nên theo (a), ta có gfun
gfun
gt . Như vậy ft
1.2.8, ta có fgt
1.
ft khi n
và f liên tục tại
. M t khác, g liên tục tại t , nên
gt do tính duy nhất của giới hạn và theo Mệnh đề
gft .
Mệnh đề 1.2.10. Cho f và g à ánh xạ tương thích kiểu (B ) t
14
không gian
ếu ft
metric nhân (E, ) vào chính nó
fgt
fft
ggt
h ng minh Giả sử rằng {un }
n
1,2,... với t
E và ft
gt với t nào đó thuộc E th
gft .
E là một dãy xác định bởi un
gt . Khi đó, ta có fun , gun
t,
.
ft khi n
Vì f và g là tương thích kiểu (B ) , nên ta có
fgt, ggt
fgun , ggun
lim
n
fgun , fft
lim
n
Suy ra fgt
gt , nên fgt
ggt . Vì ft
lim
n
fft
fft, ffun
ggt
1
2
1
gft .
Mệnh đề 1.2.11. Cho f và g à ánh xạ tương thích kiểu (B ) t một khơng gian
metric nhân (E, ) vào chính nó.
i
ử lim fun
n
lim gun
t với t
lim gun
t với t
n
E
hi đó
(a ) lim ggun
ft nếu f i n t c tại t .
(b) lim ffun
gt nếu g i n t c tại t .
n
n
(c) fgt
gft và ft
gt nếu f và g i n t c tại t .
Ch ng minh. (a) Giả sử f liên tục tại t . Vì lim fun
n
nên ffun , fgun
lim (ft, ggun )
lim ( fgun, ggun )
n
lim ( fgun , ft ). lim ( ft, ffun )
n
n
1/2
n
d(ft, ft )
o đó lim ggx n
E
. Vì f và g tương thích kiểu (B ) , nên ta có
ft khi n
n
n
1.
ft .
Chú ý 1.2.12. Trong Mệnh đề 1.2.10, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu
(C ) ho c kiểu (P ) thay cho ánh xạ tương thích kiểu (B ) , thì kết luận của
15
Mệnh đề 2.10 vẫn đúng.
Chú ý 1. .13. Trong Mệnh đề 1.2.11, giả sử f và g là ánh xạ tương thích kiểu
(C ) ho c kiểu (P ) thay cho ánh xạ tương thích kiểu (B ) , thì kết luận của Mệnh
đề 1.2.11 vẫn đúng.
Chú ý 1.2.14. M i ánh xạ giao hốn yếu là tương thích nhưng điều ngược lại
nói chung khơng đúng.
Thật vậy, vì f và g là các ánh xạ giao hoán yếu nên
(fu, gu) với mọi u
(fgu, gfu)
Giả sử lim fun
n
fgun , gfun
1
n
Ví dụ 1.2.15.
ét E
ánh xạ f , g : E
E . Khi đó
(fun , gun )
(fun , t ). (gun , t )
1
1 , do đó f và g là ánh xạ tương thích.
fgun , gfun
suy ra lim
t với t
lim gun
n
E.
[0,
e|u
) với metric nhân (u, v)
u 3 và gu
E xác định bởi fu
v|
trên E .
ét các
2u 3 . Khi đó f và g là các
ánh xạ tương thích nhưng khơng giao hốn yếu.
Chú ý 1.2.16. Khái niệm về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó là
độc lập với nhau.
Ví dụ 1.2.17. Cho E
, tập hợp tất cả số thực với metric nhân thông thường
. ét các ánh xạ f , g : E
fu
1
u4
1
E xác định bởi
khi u
0,
khi u
0
và gu
Khi đó f và g khơng liên tục tại 0 .
n
1,2,... Khi đó fun
lim
n
1
n4
t
1
u2
1
ét dãy un
0 , gun
fgun , gfun
lim
n
16
khi u
0,
khi u
0.
E xác định bởi un
1
n2
t
n8
n8
1.
0 khi n
n,
và
Tuy nhiên:
fgun , ggun
lim
n
lim
n
n8
lim 4
n
n
fgun , f 0 lim
n8
lim
n
1
1/2
f 0, ffun
n
,
n 16
lim
n
1
1/2
và
gfun , ffun
lim
n
lim d gfx n , g 0 lim
n
n 16
lim 8
n
n
g 0, ggun
n
,
n8
n4
lim
lim
n
2 n
2
1/2
1/2
.
Hơn nữa
và lim
fgun , ggun
lim
n
gfun , ffun
n
và ta nhận được
lim
n
fgun , f 0 lim
n
n8
lim
n
1
f 0, ffun
f 0, ggun
lim
n
1/3
1/3
n 16
n4
lim
lim
n
1 n
1
và
lim
n
gfun , g 0
n8
lim
n
2
lim
n
n4
lim
n
2
g 0, ggun
n 16
lim
n
2
g 0, ffun
lim
n
1/3
.
Ta cũng có
lim
n
ffun , ggun
17
n 12
1
.
1/3
o đó f và g là tương thích nhưng khơng tương thích kiểu (A), tương thích
kiểu (B ) , kiểu (C ) và kiểu (P ).
Ví dụ 1.2.18. Cho E
f,g : E
[0, 6] với metric nhân thông thường
, xét các ánh xạ
E xác định bởi
fu
u khi u
0, 3
6 khi u
3, 6
và
Khi đó f và g khơng liên tục tại t
6
gu
u khi u
0, 3
khi u
3, 6
6
3 . Ta sẽ chỉ ra f và g là khơng tương
thích nhưng chúng tương thích kiểu (A) , kiểu (B ) , kiểu (C ) , và kiểu (P ) .
Thật vậy, giả sử {un }
t
t . Theo định nghĩa của f và g ,
[0, 6] và fun , gun
3,6 . Vì f và g bằng nhau trên đoạn 3, 6 , nên ta chỉ cần xét t
vậy, ta giả sử un
phải và fun
3 và un
3 với mọi n . Khi đó, gun
3 từ bên trái. Như vậy, vì un
un
6
3 và 6
un
3.
3 từ bên
3 với mọi
un
n , nên ta có
6
fgun , gfun
lim
n
6
2.
un
Hơn nữa, ta có
lim
n
lim
n
fgun , f 3 lim
n
6
6
fgun , ggun
f 3, ffun
1,
6
6
lim
lim
n
6 n
un
1/2
1/2
2
và
lim
n
lim
n
gfun , g 3 lim
n
g 3, ggun
un
6
gfun , ffun
1,
un
1/2
lim
n
18
6
6
un
6
lim
n
6
o
1/2
2.
Hơn nữa, lim
1 và lim
fgun , ggun
n
n
lim
fgun , f 3 lim
lim
gfun , g 3
n
f 3, ffun
n
gfun , ffun
1 và ta nhận được
lim
f 3, ggun
lim
g 3, ffun
n
1/3
3
2
và
n
khi un
3 và lim fun
lim
n
g 3, ggun
lim gun
n
n
lim
n
n
1/3
3
2
3 . Hơn nữa, ta có
ffun , ggun
6
6
1.
Vậy f và g là tương thích kiểu (A) , kiểu (B ) , kiểu (C ) , kiểu (P ) nhưng
chúng khơng tương thích.
19
CHƢƠNG
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI
CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ TRONG KHƠNG GIAN
METRIC NHÂN
2.1. Điểm bất động chung đối với các ánh ạ nửa tƣơng thích trong khơng
gian metric nhân
Đ nh ý .1.1. Cho f , g, S và T à các ánh xạ t một không gian metric nhân
đ
đủ (E, ) vào chính nó th a m n nh ng đi u ki n au:
i ) f (E )
T (E ) và g(E )
S (E ) ;
3
ii )
3
(fu, gv )
với m i u, v
max
2
(2.1)
Su,Tv , 3 fu, Su , 3 Tv, gv ,
Tv, gv , Su, gv , fu,Tv
E , trong đó
(2.2)
(0,1) ;
iii ) f ho c g i n t c;
(2.3)
iv ) (f , S ) à nửa tương thích (g,T ) à tương thích ếu
hi đó f , g , S , T có
một điểm bất động chung du nhất trong E .
h ng minh. Lấy u0
u1
E sao cho fu0
gu1
E tùy ý. Vì f (E )
(2.4)
T (E ) và g(E )
Tu1 và với điểm u1 này, tồn tại u2
Su2 . ằng quy nạp, ta xác định dãy vn
v2n
với n
1,2,...
Đ tu
u2n , v
3
1
Tu2n
1
gu2n , v2n
u2n 1 trong (2.2), ta có
(v2n 1, v2n 2 )
S (E ) , nên tồn tại
3
fu2n , gu2n
1
20
Su2n
E sao cho
gu2n
1
E sao cho
3
max
2
3
max
2
3
max
max
Nếu max
3
2
3
Su2n ,Tu2n 1 , 3 fu2n , Su2n , 3 Tu2n 1, gu2n 1 ,
Tu2n 1, gu2n 1 , (Su2n , gu2n 1 ), fu2n ,Tu2n 1
v 2n , v 2n 1 , 3 v 2 n , v 2 n 1 ,
v2n 1, v2n 2 , (v2n , v2n 2 ),
3
v 2n , v 2n 1 , 3 v 2 n , v 2 n 1 ,
v2n 1, v2n 2 , (v2n , v2n 2 ),
3
3
(v2n , v2n 1 ),
v2n , v2n
1
3
,
(v2n 2, v2n
v2n 1, v2n
v2n 1, v2n
2
,
1
2
,
1
1
3
v2n 1, v2n
v2n 1, v2n
v2n 1, v2n
v2n 1, v2n
2
2
, điều này là mâu
thuẫn, do đó
3
3
v2n 1, v2n
2
v2n 1, v2n
2
v2n , v2n
,
1
suy ra
v2n , v2n
1
.
Tương tự , ta có
v2n , v2n
v2n 1, v2n ,
1
Từ đó
vn , vn
vn 1, vn
1
2
vn 2, vn
...
Lấy m, n
với m
vn , vm
n
1
v0, v1 .
n , ta có
vn , vn
n
n 1
vn 1, vn
1
m 1
(v0, v1)
n
1
(v0, v1 ) .
21
2
vm 1, vm