các cách tính tính phân

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1/. PP Tính trực tiếp :p dụng các tính chất, biến đổi f(x) dưới dấu tích phân thành tổng rồi
áp dụng các công thức.
2/. PP Đổi biến số :Mục đích đặt u =
)(x
ϕ
để biến đổi f(x) = f(u) = u’.u
m
vì
∫
+
=
+
1
'.
1
m
u
duuu
m
m
: Phương pháp này thường áp dụng vào hàm số gồm 2 phần mà ta đã đặt 1 phần là u thì phần
còn lại phải chứa u’
Các bước tiến hành :
a) Đặt u =
)(x
ϕ
=> x theo u
b) Lấy vi phân hai vế : du =
dxx)('
ϕ

-> dx theo du
c) Thay x và dx vào f(x)dx để có f(u)du
d) p dụng công thức thích hợp để tính tích phân theo u ( u được xem như biến tích
phân)
e) Thay u =
)(x
ϕ
để có đáp số
Cách chọn u =
)(x
ϕ

a) Hàm số chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa :Đặt u là phần trong dấu ngoặc nào có
lũy thừa cao nhất. Vd:
∫
+−=
dxxxI
7
)3)(42(
đặt u = x + 3
b) Hàm số có chứa mẫu số ( Hữu tỷ ) : Đặt u là mẫu số . Vd :
∫
=
tgxdxI
đặt u = cosx
c) Hàm số có chứa căn (vô tỷ ) : Đặt u là phần trong căn.
d) Hàm số có chứa một phần nào phức tạp : Đặt u là phần phức tạp đó. Vd :
∫
=
x

dxe
I
x3
đặt u =
x3
e) Mẫu số của hàm số có dạng
2222
**
ax
hay
xa
−−
. Đặt u =
u
a
x
hay
a
x
sin
=
f) Mẫu số của hàm số có dạng
22
*
xa
+
. Đặt
dtttgadx
x
tgt )1(

2
2
+=⇒=
g) Hàm số có dạng
3
**
−
. Đặt
3623 6
3
6
uuxuuxux
==⇒==⇒=
h) Hàm số có dạng
xLn
2
1
−
. Đặt u = Lnx
i) Hàm số có dạng
2
1 e
−
. Đặt u = e
x
hoặc u = 1 – e
x
nhưng u =
x
e

−
1
hay hơn cả
3/.PP Tích phân từng phần :Mục đích biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng u.dv từ đó
tính được tích phân của hàm dưới dấu tích phân là :
∫ ∫
−=
vduvuudv ..
Các bước tiến hành : Ta chia f(x) thành hai phần: một phần là u còn phần kia là dv
Có hai cách đặt :
∫
=
dxxfI )(
∫
=
dxuI

∫
=
I
u dx
dv dv
Đặt u = => du = u’dx ( Thường u là phần có tích phân rắc rối hơn)
Và dv = dx => v là nguyên hàm của khi c = 0
Nhưng không phải bài nào cũng có thể giải bằng hai cách, do đó nếu đặt một phần là u mà
thấy không thể nào làm ra thì đổi phần kia là u
Cách chọn : Với P(x) là một đa thức
∫
∫
∫

∫
∫
∫
∫
dxLnmxKg
dxLnxxPf
dxbxee
dxaxed
dxbxxPc
axdxxPb
dxexPa
ax
ax
ax
..)
.)()
.cos.)
.sin)
.cos).()
sin).()
)()
Một số lưu ý về tích phân của hàm hữu tỷ:
a)Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu : Ta lấy tử chia cho mẫu để đưa về dạng bậc của tử
nhỏ hơn bậc của mẫu
b)Nếu tử có chứa đạo hàm của mẫu : dùng PP đổi biến số
b)Hàm số có dạng
( )
cxx
n
−

1
ta phân tích làm cho mẫu thức sụt bậc dần cho đến khi còn bậc 1
(PP đồng nhất thức)
Ví dụ:
( )
2
2
1
233
−
+++=
−
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
hoặc
)3(
)3()3(
1
)3)(1(
412
233
+
+

+
+
+
+
−
=
+−
+
x
B
x
B
x
B
x
A
xx
x
Tích phân các hàm số lượng giác:
Đặt u = P(x), dv là phần còn lại
Đặt u = Lnx, P(x)dx = dv