MÔT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC

MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO
THCS
1) Định nghĩa bất đẳng thức
+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b
+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a

b,

+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a

b,

2) Một số tính chất của bất đẳng thức:
a) Nếu

và

thì

(tính chất bắc cầu)

b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c
Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì
thì bất đẳng thức khơng đổi chiều.
c) Nếu a>b+c thì a-c>b
Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này
sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.
d) Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d
Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được
một bất đẳng thức cùng chiều.

Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều
e) Nếu a>b và c thì a-c>b-d
Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta
đượcmột bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.


f) Nếu a>b và c>0 thì ac>bc
Nếu a>b và c<0 thì ac
Tức là:
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thfbất đẳng
thức không đổi chiều
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng
thức đổi chiều.
g) Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd
Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế
đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều.
Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều.
h) Nếu

thì

Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy
nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức.
k) Nếu a>b>0 và n nguyên dương thì
Nếu a>b và n nguyên dưong thì
1. Phương pháp sử dụng định nghĩa
Để chứng minh
- Lưu ý : A2

(hoặc

) ta chứng minh (hoặc

)

0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .

- Ví dụ :
Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực khơng âm ( cịn gọi
là bất đẳng thức Ơclit )


Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b
Giải:

Với mọi a,b không âm Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b
2. Phương pháp biến đổi tương đương
- Để chứng minh
ta biến đổi tương đương
trong đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng
hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức
- Một số hằng đẳng thức thường dùng :
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
Ví dụ:
Chứng minh rằng

thì

Giải.
Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:
(nhân hai vế với 4, chuyển vế)


3. Phương pháp quy nạp toán học
- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1
bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)
Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N) Thì ta nên chú
ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học
- Ví dụ :
Chứng minh bất đẳng thức Cơsi trong trường hợp tổng quát.
Với
thì
Giải:
Dùng phương pháp quy nạp:
+ Với n = 2 đúng.
+ Với n = k đúng cần chứng minh

(để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì

4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cơ-sy:

Với 2 số a,b khơng âm ta có:
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Chứng minh:

Dấu "=" xảy ra khi a=b.
Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy):
Cho

n là số tự nhiên thì
Dấu "=" xảy ra khi

Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho 3 số dương ta có:
(1)

(2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta được
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Cách khác:
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
5. Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski


Cho a, b, c là số thực thì
hoặc viết
Dấu "=" xảy ra khi
Tổng quát:

Dấu "=" xảy ra khi
Ví dụ: Cho

. Chứng minh rằng:

Giải:

6. Phương pháp phản chứng.
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng ,
ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến
thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .
Điều vơ lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái
nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .


+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau .
+ Phủ định rồi suy ra kết luận .

Ví dụ: Chứng minh rằng khơng có 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn 3 bất
đẳng thức:

Giải:
Giả sử tồn tại cả 3 số dương thỏa mãn bất đẳng thức

Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

Mà theo bất đẳng thức Cơ-sy thì

Điều này mâu thuẫn với (1) nên không tồn tại 3 số a,b,c dương cùng thỏa
mãn bất đẳng thức trên.

7. Phương pháp làm trội, làm giảm.
Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về
dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
Ví dụ: Với n là số tự nhiên thì:


Giải:
Với số tự nhiên k>1 ta có:
Thay k = 2,3,4 ... n rồi cộng các 2 vế của các bất đẳng thức ta được:

8. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số:
Để chứng minh b < f(x) < a với mọi x ta đặt y = f(x) <=> y - f(x) = 0 có
nghiệm
<=> b < f(x) < a. Từ đó suy ra đpcm.
Ví dụ: Chứng minh rằng:
Giải: Đặt

(*)

(x;y) thỏa mãn (*) khi và chỉ khi phương trình:
có nghiệm
có nghiệm
Với y= 1 thì x = 0
Với y khác 1 thì
9. Phương pháp dùng tính chất tỉ số:

Nội dung: Cho ba số a,b,c >0 ta có:
Nếu

thì


Nếu

thì

Nếu d > 0 và

thì

Ví dụ: Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng:

Giải: Ta có:

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
10. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
a/
b/
c/

hoặc

d/

dấu = khi A.B >0

e/

dấu = khi A>B>0 hoặc A<0

Ví dụ: Chứng minh rằng:

Giải: Ta có:


BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
Bài 1: Cho hai số thực.
Chứng minh rằng :
Bài 2: Cho ba số thực

. Chứng minh rằng :

Bài 3: Cho 5 số thực

.

Cmr :
Bài 4: Cho các số thực dương

Bài 5: Cho
Bài 6: Cho

có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

. Chứng minh rằng :
. Chứng minh rằng :

Bài 7: Cho hai số thực không âm a,b. Chứng minh:
Bài 8: Cho

. Chứng minh:

Bài 9: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh
rằng:
.
Bài 10: Cho
Bài 11: Cho

và

. Chứng minh:

. Chứng minh :

Bài 12: Cho ba số thực dương

. Cmr :


Bài 13: Cho a,b,c > 0 và

. Cmr :

Híng dÉn gi¶i
Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ý khơng dùng bất
đẳng thức Cosi vì bài khơng cho a, b không âm.

Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình
phương ln khơng âm.

Bài 3: Cách làm tương tự bài 3.

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Bài 5 : Biến đổi tương đương tạo thành tích của 2 số khơng âm.
Bài 6 : Biến đổi tương đương

Biến đổi tạo thành biểu thức không âm
Bài 7 : Áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 phát là xong :

Bài 8: Tương tự bài 7
Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức:
Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử:

(đã chứng minh bài 8)


(p là nửa chu vi

)

Bài 10:Biến đổi
lại áp dụng bài 8 là xong.
Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 lần cho 3 số.
Bài 12: Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành

Áp dụng bất đẳng thức của bài 11 là xong !

Bài 13 : BĐT

áp dụng bài 11 xong !