tiểu luận toán Môđun có độ dài hữu hạn

Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

A.Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, ta khó có thể nói hết vai trò của đại số trong các lĩnh vực nghiên
cứu và ứng dụng, đại số hiện đại là chiếc chìa khố để đi sâu vào các ngành của
tốn học.
Trong Đại số thì nội dung lý thuyết mơđun và vành là nội dung vô cùng
quan trọng, được chú trọng trong việc giảng dạy ở các trường Đại học và đây
cũng là nội dung mà nhiều sinh viên khoa Toán quan tâm nghiên cứu. Bởi nó là
nó là bước tiếp theo của lý thuyết nhóm, là nội dung quan trọng để người học có
thể tìm ra cầu nối giữa các lĩnh vực của tốn học và hơn hết là tìm ra quan hệ
giữa toán học và các ngành khoa học khác.
Như ta đã biết thì mơđun Noether và mơđun Artin là hai lớp mơđun quan
trọng mà trong đó mơđun có độ dài hữu hạn là phần kiến thức cốt yếu không thể
thiếu đối với một sinh viên nghiên cứu về toán, bởi nó mang đậm dấu ấn của
hình học và đại số.
Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết và các dạng bài tập mơđun có độ dài
hữu hạn nên em chọn đề tài: “Mơđun có độ dài hữu hạn” làm đề tài nghiên cứu
của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, em muốn trình bày các định nghĩa, tính chất,
định lý quan trọng của mơđun có độ dài hữu hạn và một số bài tập liên quan. Để
từ đó giúp em hiểu rõ hơn về mơn học này đồng thời nắm vững lý thuyết và bài
tập về mơđun có độ dài hữu hạn để giải các bài tốn có liên quan.
3. Đối tượng nghiên cứu
Mơđun có độ dài hữu hạn
4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo tài liệu có sẵn và trên internet.

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 1


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Phân tích và tổng hợp.
Tham khảo ý kiến chuyên gia.
5. Cấu trúc đề tài
Ngồi phần mở đầu cũng như phần kết luận thì bài tiểu luận của em được
trình bày trong 2 chương chính là:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Bài tập vận dụng

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 2


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

B.Nội dung
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
1.1. Môđun và môđun con
1.1.1. Môđun

Giả sử R là vành. Một R-mơđun trái M là một nhóm cộng giao hoán M
cùng với một ánh xạ

(gọi là phép nhân với vô hướng) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

với các phần tử tùy ý và .
Ta cũng nói rằng, R tác động (về bên trái) lên M và M là một môđun trên R.
1.1.2. Môđun con
Định nghĩa
Giả sử M là một R-môđun. Tập con của M được gọi là môđun con của M
nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế
trên A.
Mệnh đề 1
Cho M là một R-môđun. Nếu A là một tập con khác rỗng của M thì các
điều kiện sau là tương đương:
(a) A là mơđun con trong M.
(b) A là nhóm con cộng của M và đối với mọi , mọi , ta có .
(c) Với mọi và mọi , ta có .l

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 3


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Chứng minh
Là hiển nhiên theo định nghĩa của môđun con.

Trước hết, với và , ta có và .
Do A là nhóm cộng aben nên .
Với mọi và , ta có , nên A đóng kín với phép cộng trong M.
Với ta có , với mọi , nghĩa là A là nhóm cộng của M. Các tính chất cịn lại
được thỏa mãn trên A do thỏa mãn trong M.
Mệnh đề 2
Giao của một họ bất kỳ những môđun con của R-môđun M là một môđun
con của M.
1.2. Độ dài chuỗi và thương của chuỗi
Xét chuỗi hữu hạn các mơđun con của AR
(1)
Trong đó Ai-1 là môđun con thực sự của Ai (
Số k được gọi là độ dài của chuỗi (1) và các thương Ai/Ai-1 ( được gọi là
các thương của chuỗi.
1.3. Các định nghĩa
1) Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một mơđun đơn, nếu
M chỉ có đúng hai mơđun con là mơđun con khơng và chính nó.
2)

Chuỗi (1) được gọi là lấp đầy của chuỗi
(2)
Nếu mỗi Bi trùng với một Aj nào đó của chuỗi (1).

3)

Hai chuỗi (1) và (2) gọi là đẳng cấu nếu và giữa các thương có thể

thiết lập một song ánh sao cho các thương tương ứng đẳng cấu.
4)

Chuỗi (1) gọi là chuỗi hợp thành nếu các thương của chuỗi là

mơđun đơn.
SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 4


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Ví dụ:
(1) Mơđun ZZ khơng có chuỗi hợp thành. Thật vậy do trong Z khơng có
mơđun con đơn nên giữa 0 và mơđun con thực sự B ln có một mơđun con
khác với chúng
(2) Cho là không gian vectơ hữu hạn chiều với cơ sở Khi đó:

Trong đó

là một chuỗi hợp thành trong V.
1.4. Định lý Schreie
Hai chuỗi hữu hạn của môđun đã cho có các chuỗi lấp đầy và đẳng cấu.
Chứng minh
Giả sử mơđun A có 2 chuỗi:
(1)
và

(2)

Ta lồng vào giữa các Ai và Ai+1 các môđun con:

Thực hiện như sau:
 Lồng vào giữa Ao và A1 các môđun:

 Lồng vào giữa A1 và A2 các mơđun:

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 5


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Q trình cứ tiếp tục như vậy
 Lồng vào giữa Ak-1 và Ak các mơđun:

Từ các kết quả trên, ta có:

Mà chuỗi này có độ dài là
Ta lồng vào giữa và các mơđun con

 Lồng vào giữa Bo và B1 các môđun:

 Lồng vào giữa B1 và B2 các mơđun:

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 6


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Q trình cứ tiếp tục như vậy
 Lồng vào giữa Bs-1 và Bs các mơđun:

Từ các kết quả trên ta có

Mà chuỗi này có độ dài là
Vậy mỗi chuỗi lấp đầy chuỗi trước tương ứng với nó, ta có 2 chuỗi có độ
dài bằng nhau và bằng
Ngồi ra, ta có các thương là đẳng cấu

1.5. Định lý Jordan – Holder
Giả sử M là một R-mơđun có chuỗi hợp thành với độ dài n. Khi đó mọi
chuỗi hợp thành khác của M cũng có độ dài n và mọi dãy giảm các môđun con
đều có thể bổ sung thành một chuỗi hợp thành của M.
Chứng minh
Trước hết ta xét bổ đề sau: Gọi là độ dài nhỏ nhất của chuỗi hợp thành
trong M. Nếu N là mơđun con của M thì và nếu N là mơđun con thực sự của M
thì .
Thật vậy, giả sử là độ dài nhỏ nhất của chuỗi hợp thành
SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 7

Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

.
Khi đó

Là dãy giảm các môđun con của N. Với mỗi i, ánh xạ tự nhiên

là đơn ánh.
Vì là đơn nên hoặc hoặc
là đơn. Điều đó cho phép lập một chuỗi hợp thành của N có độ dài nhỏ hơn
hoặc bằng t bằng cách bỏ đi các hạng tử lặp lại.
Do đó số , độ dài nhỏ nhất của chuỗi hợp thành trong N, sẽ nhỏ hơn hoặc
bằng .
Giả sử rằng , khi đó với mỗi ,
và đẳng cấu với .
Vì nên ta có . Điều đó kéo theo ,… và cuối cùng , tức là .
Vậy N là môđun con thực sự của M thì
Bây giờ ta chứng minh định lý. Xét chuỗi hợp thành tuỳ ý:

Từ bổ đề suy ra: và do đó Vì t là độ dài nhỏ nhất của chuỗi hợp thành
trong M nên .
Do đó, mọi chuỗi hợp thành của M đều có độ dài như nhau:
Bây giờ xét dãy giảm (ngặt) bất kỳ trong các môđun con của M:

Nếu thì dãy trên khơng là chuỗi hợp thành của M và do đó với nào đó,
khơng đơn, điều đó nghĩa là tồn tại mơđun con L thỗ mãn bao hàm thức ngặt: .
Đến đây ta xét dãy giảm mới các mơđun con:

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 8


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Nếu ta lại lặp lại quá trình bổ sung trên. Sau một số hữu hạn bước ta thu
được chuỗi hợp thành của M.
Khi đó định lý đã được chứng minh hồn tồn.
1.6. Độ dài mơđun
Định nghĩa
Nếu R- mơđun M có chuỗi hợp thành được gọi là mơđun có độ dài hữu hạn
và độ dài của chuỗi hợp thành được gọi là độ dài của mơđun M.
Ký hiệu
Nếu M khơng có chuỗi hợp thành thì ta coi là
Ví dụ: -mơđun có hai dãy khớp hợp thành đẳng cấu là

1.7. Một số tính chất của độ dài mơđun
1.7.1 Mệnh đề
Một R-mơđun M có chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa là Noether, vừa
là Artin.
Chứng minh
Giả sử M có chuỗi hợp thành độ dài .
Theo định lý Jordan – Holder
Khi đó mọi dãy tăng hoặc giảm (ngặt) các mơđun con của M đều có độ dài
Do đó M vừa là Noether vừa là Artin.

Giả sử M vừa là Noether vừa là Artin, ta cần chứng minh M có chuỗi hợp
thành.
M là Noether nên nó có mơđun con tối đại thực sự là M1
Mà M1 cũng là mơđun Noether nên lại có mơđun con tối đại thực sự là M2
Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy giảm (ngặt) các môđun con của M:

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 9


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Vì M là Artin nên với một k nào đó. Khi đó

là chuỗi hợp thành của M.
1.7.2 Mệnh đề
Cho dãy khớp các R-môđun

Khi đó, độ dài của M bằng tổng độ dài của và :

Chứng minh
Môđun M là Noether (Artin) khi và chi khi cả và đều Noether (Artin).
Do đó, hữu hạn khi và chỉ khi và đều hữu hạn
Nên hệ thức trên là hiển nhiên đúng nếu một trong ba mơđun có độ dài .
Bây giờ ta coi tất cả các đồ dài đều hữu hạn.
Giả sử là chuỗi hợp thành của . với còn là chuỗi hợp thành của , với Xét
chuỗi:

Theo hệ quả về đồng cấu mơđun, ta có đẳng cấu

Mà vế phải là đơn với mỗi i.
Do đó chuỗi trên là chuỗi hợp thành của M có độ dài tức là
1.7.3 Mệnh đề
Giả sử MR là mơđun có độ dài hữu hạn và là một tự đồng cấu của nó. Khi
đó:
1) Tồn tại số tự nhiên sao cho với mọi

2) là tự đẳng cấu toàn cấu đơn cấu
SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 10


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

1.7.4 Định lý
Cho là một tự đồng cấu của môđun MR
1) Nếu M là Artin thì tồn tại số tự nhiên sao cho

Với mọi . Hơn nữa, nếu là một tự đồng cấu thì là đẳng cấu.
2) Nếu M là Noether thì tồn tại số tự nhiên sao cho

Với mọi . Hơn nữa, nếu là một tự đồng cấu thì là đẳng cấu.
Chứng minh
1) Nếu M là mơđun Artin thì dãy sau dừng

Bởi vậy tồn tại sao cho với mọi ta có .
Đặt , với ta có

Bởi vậy . Từ đó .
Suy ra tồn tại sao cho
Vậy và ta có điều cần chứng minh.
Nếu là đơn cấu thì hiển nhiên cũng là đơn cấu.
Bởi vậy do đó do
2) Nếu M là Noether thì dãy sau dừng

Do đó tồn tại sao cho với mọi .
Với ta có
, với
Nếu thì với
Khi đó do đó

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 11


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Từ đó suy ra , nghĩa là
Bây giờ ta xét nếu là toàn cấu thì cũng là tồn cấu.
Bởi vậy và Ker
Từ đó vì

Từ đó ta có thể suy ra các điều cần chứng minh.

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 12


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Chương 2: Bài tập
1. Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng một môđun con N của một R-môđun N là cực đại
nếu và chỉ nếu môđun thương là đơn.
Giải
N là môđun cực đại của M nếu và chỉ nếu và khơng có môđun con P của M
sao cho

Tức là môđun thương khác 0 và chỉ có hai mơđun con là 0 và chính nó.
Theo định nghĩa mơđun con thì điều này đồng nghĩa với là môđun đơn.
Bài 2: Chứng minh rằng nếu M là một R-mơđun Noether, thì tồn tại một
dãy các môđun con của M

Sao cho là một R-môđun đơn với mọi .
Giải
Vì M là mơđun Norther nên trong tập các mơđun con thực sự của M có
phần tử cực đại là M1.
Mà ở bài tập 1, thì ta có thể chứng minh được 1 là một mơđun đơn.
Lại vì M1 là môđun Noether nên trong tập các môđun con thực sự của M 1

có phần tử cực đại M2
Mà ở bài tập 1, ta có thể chứng minh được là đơn.
Cứ tiếp tục như vậy, ta xây dựng được dãy các mơđun con M như đã nêu.

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 13


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Bài 3: Cho một dãy khớp các R-mơđun có độ dài hữu hạn

Chứng tỏ rằng

Giải
Nếu thì dãy khớp

Ta suy ra , do đó
Nếu thì dãy khớp

Cho ta vì vậy
Trường hợp ta đã chứng minh ở mệnh đề 1.7.2.
Bây giờ giả sử và điều cần chứng minh đã đúng với . Nhận xét rằng dãy
khớp

có thể cắt thành hai dãy khớp sau

Và

Bởi trường hợp và giả thuyết quy nạp ta có:
SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 14


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

Từ đó ta có thể kết luận

Bài 4: Cho M là một R-mơđun có độ dài hữu hạn và I là một iđêan của R
sao cho . Chứng minh rằng M cũng là một có độ dài hữu hạn và .
Giải
Ta đã biết nếu ideal thì cấu trúc R-mơđun và
của M là như nhau.
Tức là N là -môđun của M nếu và chỉ nếu nó là .
Từ đó suy ra mỗi dãy hợp thành của M cũng là một dãy hợp thành của M.
Vậy .
2. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho M là một mơ đun có độ dài hữu hạn trên một vành Noether R.
Chứng minh rằng

Bài 2: Cho R là vành Noether, P là iđêan tối đại của R, Q là iđêan bất kỳ của R.
Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:
(i)

Q là P - nguyên thủy.

(ii)

.

(iii)

với nào đó.

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 15


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

C.KẾT LUẬN
Qua nghiên cứu, bài tiểu luận của em đã thu được một số kết quả sau:
1. Hệ thống hóa các khái niệm, định nghĩa và một số kiến thức liên quan
đến môđun có độ dài hữu hạn.
2. Tìm ra những ví dụ và chứng minh được một số tính chất, định lý của
mơđun có độ dài hữu hạn.
3. Dùng các kiến thức lý thuyết đã nghiên cứu để giải một số bài tốn có
liên quan.

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 16


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Việt Hải, Đại số giao hoán, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[2]. Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun và nhóm Aben, NXB Đại học Sư
phạm, 2008.
[3]. Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết Môđun và
vành, NXB Giáo dục, 2001.
[4]. Dương Quốc Việt, Bài tập Lý thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm.

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 17


Lý thuyết Mơđun

Mơđun có độ dài hữu hạn

MỤC LỤC
A. Mở đầu............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài.............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.......................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................1

5. Cấu trúc đề tài.................................................................................................2
B. Nội dung..........................................................................................................3
Chương 1: Cơ sở lý thuyết....................................................................................3
1.1. Môđun và môđun con..................................................................................3
1.1.1. Định nghĩa môđun....................................................................................3
1.1.2. Định nghĩa môđun con..............................................................................3
1.2. Độ dài chuỗi và thương của chuỗi...............................................................4
1.3. Một số định nghĩa........................................................................................4
1.4. Định lý Schreie............................................................................................5
1.5. Định lý Jordan – Holder...............................................................................8
1.6. Định nghĩa độ dài mơđun.............................................................................9
1.7. Một số tính chất của độ dài môđun..............................................................9
Chương 2: Bài tập áp dụng..................................................................................13
C. KẾT LUẬN...................................................................................................17
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................18

SVTH: Nguyễn Đình Thành

Trang 18