Gián án Đề-đáp án HSG Toán 12

TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Tổ: Toán - Tin NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Toán học - LỚP 10

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút


BÀI 1 ( 3 điểm ):
Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

BÀI 2 ( 4 điểm):
Cho phương trình
.
Tìm nghiệm thực của phương trình.
BÀI 3 ( 4 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

BÀI 4 ( 4 điểm ):
Cho các số thực a, b, c > 0 thoả hệ thức a
3
+ b
3
+ c
3
= 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = a
2
+ b
2
+ c
2

BÀI 5 ( 5 điểm ): Cho đường tròn ( C ) với hai dây cung AB, CD cắt nhau tại M. Qua
trung điểm S của đoạn BD, kẻ SM cắt AC tại K.
a/ Đặt . Chứng minh .
b/ Chứng minh

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-


















ĐÁP ÁN Môn: Toán học - LỚP 10

BÀI 1 ( 3 điểm ĐK x

Viết lại phương trình dưới dạng mx =2-m
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất

m


BÀI 2 ( 4 điểm )
a/ Ta có x
4
+ x
2
+1 = (x
2
+1)
2
– x
2
= (x
2
+x +1) (x
2
-x +1)
x
2
-3x +1= 2(x
2
-x +1) – (x
2
+x +1)
x

2
-x +1> 0 với mọi x
x
2
+x +1> 0 với mọi x
P/t x
2
-3x +1 = -

2(x
2
-x +1) – (x
2
+x +1) = -



Đặt t = ĐK (có giải thích vì sao)
P/trình trở thành 2t
2
+ t – 1 = 0

P/trình có 2 nghệm thực t = -

( loại) và t =
t = x =1. P/t (1 ) có1 nghiệm thực x = 1
(Có thể giải bằng phép bình phương 2 vế, đưa về phương trình dạng đặt t= x+

)
BÀI 3 ( 4 điểm )

P/ t y
0 =


có nghiệm đối với x
( y
0
-1 ) x
2
+ 2( y
0
+ 1)x + 2(y
0
– 1) = 0 có nghiệm (vì x
2
+x+2 khác
0 với mọi x)
1/ y
0
= 1 là 1 giá trị vì x = 0 là nghiệm
2/ Xét y
0
1. Để phương trình có nghiệm :
= ( y
0
+ 1)
2
- 2( y
0
- 1)

2

0
- y
0
2
+ 6 y
0
- 1

0
3 - 2

Vậy max y = 3+ 2

khi x

= -
Min y = 3- 2

khi x

=
BÀI 4 ( 4 điểm ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số 1 và 2 số a
3
Ta có
Tương tự = b
2

T= a
2
+ b
2
+ c
2

Dấu bằng xảy ra khi a
2
= b
2
= c
2
= 1
Hay a = b = c = 1


BÀI 5 ( 5 điểm )
a/ Từ giả thiết





.(1 )
b/ cùng phương

= p = (2)
Mà MA.MB= MC. MD = a không đổi (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra điều cần c/m