Gián án de thi hoc sinh gioi mon toan nam

Phòng GD hoằng hóa
đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán (đề 1)
Thời gian: 150 phút
Bài 1(2.0 điểm): Cho biểu thức :
P =
1
2
1
1
2
2
393

+
+



+
+
mm
m
mm
mm
a. Rút gọn P
b. Tìm m để
P
= 2
c. Tìm giá trị m tự nhiên sao cho P là số tự nhiên
Bài 2(2.0 điểm): Giả sử các số hữu tỉ x, y. Thoả mãn phơng trình
x

5
+ y
5
= 2x
2
y
2
Chứng minh 1 xy là bình phơng của một số hữu tỉ.
Bài 3(2.0 điểm):
a. (1.0 điểm): Giải PT : x- 2005
2005


+ x- 2006
2006
= 1
b. (1.0 điểm): Gọi x
1,
, x
2
là nghiệm của phơng trình : (k 1) x
2
2kx+ k 4
=0
không giải phơng trình hãy tìm 1 hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào k.
Bài 4(2.0 điểm): Cho hệ phơng trình :

=++
+=+
2)1(
12
ymx
mmymx
a. (1.25 điểm): chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x, y ) thì điểm
M(x,y) luôn luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi M thay đổi.
b. (0.75 điểm): Xác định m để điểm M thuộc góc vuông phần t thứ nhất
Bài 5(2.0 điểm): Giải phơng trình :
a. (1.0 điểm): x
2
+ 3x + 1 = ( x + 3 )
1
2
+
x
b. (1.0 điểm): 6x
5
- 29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
- 29x + 6 = 0
Bài 6(2.0 điểm): Cho đờng thẳng y = (m-2) x+2 (d)

a. (0.75 điểm): Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với
mọi giá trị của m
b.(0.75 điểm): Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d)
bằng 1
c. (0.5 điểm): Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) có
giá trị lớn nhất
Bài 7(2.0 điểm): Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a
2
+ b
2
= 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = a
6
+ b
6
Bài 8(2.0 điểm): Cho 2 đờng tròn ( O ; R) và đờng tròn ( O ;
2
R
) tiếp xúc ngoài tại A.
Trên đờng tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia AM cắt
đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N. Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng
MB ở Q và cắt đờng tròn (O) ở P
a.(0.75 điểm): Chứng minh

OAM đồng dạng với

OAN
b.(0.75 điểm): Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
c.(0.5 điểm): Xác định vị trí điểm M để S
ABQN

đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó theo R
Bài 9(2.0 điểm): Cho 1 hình thang cân có 2 đờng tròn tiếp xúc ngoài nhau, mỗi đờng tròn
tiếp xúc với 2 cạnh bên và tiếp xúc với một cạnh đáy của hình thang. Biết bán kính của
các đờng tròn đó bằng 2cm và 8 cm. Tính diện tích hình thang.
Bài 10(2.0 điểm): Cho đờng tròn (0, R ) và 1 điểm A cố định ở trên đó AB và AC là 2 dây
cung quay quanh A. Sao cho tích AB.AC không đổi. Vẽ đờng cao AH của tam giác ABC
và đờng kính AD của (o; R)
a. (1.0 điểm): Chứng minh rằng: AB.AC=AD.AH suy ra đờng thẳng BC luôn tiếp
xúc với 1 đờng tròn cố định .
b. (1.0 điểm): Trờng hợp AH > R tìm vị trí của dây cung BC sao cho diện tích tam
giác ABC lớn nhất .
---------------------------------------------
Đáp án đề số 1
Bài 1 (2.0 điểm)
a. (0.75 điểm): P =
1
2m
1
1m
2m
2)m1)(m(
39m3m

+
+



+
+

=
2)m1)(m(
2mm1m4m3m33m
+
++++
=
1m
1m
2)m1)(m(
2m3m

+
=
+
++
Điều kiện m
0

; m
1

b. (0.5 điểm):
1m21m2P
=+=





=

=

9
1
9
m
m
c. (0.75 điểm): P = 1+
1m
2

để P là số tự nhiên thì
}{
2;11m

Từ đó suy ra m


{ }
9,4,0
- Với m = 0 thì P = -1
N

- Với m = 4 thì P = 1

N
- Với m = 9 thì P = 2

N
Vậy m = 4 hoặc m = 9

Bài 2 (2.0 điểm) : Xét hai trờng hợp:
- Nếu xy = 0 Thì 1 xy = 1
2
là bình phơng của một số hữu tỉ ( 0.5 điểm)
- Nếu xy 0 Ta có :
( x
5
y
5
)
2
= ( x
5
+ y
5
)
2
4x
5
y
5
= 4x
4
y
4
4x
5
y
5
( 0.5 điểm)

( do x
5
+ y
5
= 2x
2
y
2
)
= 4x
4
y
4
( 1 xy)
=> là bình phơng 1 số hữu tỷ ( 1,0 điểm)
Bài 3 (2.0 điểm) :
a. (1.0 điểm): Giải PT : x- 2005
2005


+ x- 2006
2006
= 1 (*)
Với x= 2005 , x = 2006 vế trái và vế phải của PT có cùng trị số là 1 .
Vậy PT có nghiệm x
1
= 2005 và x
2
= 2006 ( 0,25 đ)
- Với x< 2005 thì x 2005 > 0 và x- 2006 > 1 do đó :

x- 2005
2005
+ x- 2006
2006
> 1 Nên PT (*) vô nghiệm (0,25 đ)
- Với x> 2006 thì x- 2005 > 1 và x 2006 > 0 do đó :
x- 2005
2005
+ x 2006
2006
> 1 Nên PT (*) vô nghiệm (0,25 đ)

2
22
55
44
255
)
y2x
yx
(
y4x
)y(x
xy1

=

=
- Với 2005 < x < 2006 thì 0< x 2005 < 1 còn -1 < x- 2006< 0

Nên x- 2005
2005
< x 2005 = x 2005
x 2006
2006
< x- 2006 = 2006 x
Vậy x- 2005
2005
+ x 2006
2006
< x 2005 + 2006 x =1
Nên PT(*) vô nghiệm
Tóm lại: PT (*) đã cho có 2 nghiệm x
1
= 2005 và x
2
= 2006 (0,25 đ)
b. (1.0 điểm): Để PT (k-1) x
2
2kx +k 4 = 0 có nghiệm thì cần phải có k1 và
= k
2
(k 1)(k- 4)

0.
Suy ra k 1 và k > 1 . Vậy k > 1 (0,25 đ)
Theo định lí Viet ta có :
S
1
2

=
k
k
và p
1
4


=
k
k
(0,25 đ)
- Từ S
1
2

=
k
k
Sk S = 2k k(S - 2)= S k
2

=
S
S
(S 2) (0,25 đ)
- Từ P
1
4

=
k
k
Pk P = k 4 k(P- 1) = P- 4 k
1
4


=
P
P
(P 1)
Suy ra :
2 -S
S

1
4


=
P
P
3S + 2 P 8 =0
Hay 3( x
1
+ x
2

) + 2x
1
x
2
- 8 = 0 ( 0,25đ)
Bài 4 (2.0 điểm) : a(1.25 điểm): Ta có hệ phơng trình :



=++
+=+
2)1(
12
ymx
mmymx
Có nghiệm duy nhất khi m
0

và
1

m
( 0,25 điểm )
Lúc đó nghiệm duy nhất của hệ là:

=

=
m
y
m
m
x
1
1
(0,5 điểm )
Ta thấy x =
y
mm
m
==

1
1
1
1
11
+==
xyyx
Vậy điểm M luôn thuộc đờng thẳng có phơng trình :
y = -x + 1 ( 0,5 điểm )
b ) Để điểm M thuộc góc vuông phần t thứ nhất thì x > 0 và y > 0 ( 0,25 điểm )
Do đó
1

0
1
0
1
>







>
>

m
m
m
m
Vậy để điểm M thuộc góc vuông phần t thứ nhất thì m > 1 ( 0,5 điểm )
Bài 5 (2.0 điểm) : a. (1.0 điểm):
x
2
+ 3x + 1 = ( x + 3 )
1
2
+
x
01313)1(
2222

=++++
xxxxx
0)1(3)1(1
222
=+++
xxxxx
0)31)(1(
22
=++
xxx
(0,5 điểm)
22
31
1
031
01
2
2
2
2
=




=+
=+

=+
=+

x
x
xx
x
xx
(0,5 điểm )
b.(1.0 điểm):
6x
5
- 29x
4
+ 27x
3
+ 27x
2
- 29x + 6 = 0
0)63562356)(1(
234
=+++
xxxxx



=++
==+

063562356
101
234
xxxx
xx
(0,25 điểm )
Giải (*) ta thấy x= 0 không phải là nghiệm của (*). Chia cả 2 vế của (*) cho x
2
ta có :
6x
2
- 35x + 62 -
0
635
2
=+
xx
062)
1
(35)
1
(6
2
2
=+++
x
x
x
x

(0,25 điểm )
Đặt x +
2
11
2
2
2
=+=
t
x
xt
x
ta có phơng trình là:
6(t
2
-2) - 35t + 62 = 0







=
=
=+
3
10
2
5

050356
2
1
2
t
t
tt
( 0,25 điểm )