Gián án Đề thi số 03 và đáp án

Së GD & §T b¾C NINH
Tr êng THPT QuÕ Vâ I
(Đề thi gồm có 01 trang)
§Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng
n¨m häc 2010-2011
Môn: Toán
Khối 12
Thời gian lầm bài: 150 phút( Không kể thời gian giao đề)
CÂU I: (2 điểm)
Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − + −
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
9 7y x= − −
.
CÂU II: (3 điểm)
1) Giải phương trình: 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + =
2) Giải bất phương trình:
1 1
2 3 5 2x x x
≤
+ − − −
3) Giải phương trình:
( ) ( )
2
3 9
2log 2 1 10log 2 1 7 0x x− + − − =
CÂU III: (1 điểm)
Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển:

4
1
2
n
x
x
 
+
 ÷
 
có các hệ số là ba số hạng
liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm số hạng chứa biến x bậc nhất của khai triển. ( Trong
đó n là số tự nhiên lớn hơn 1 và x là số thực dương).
CÂU IV: (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy, cho đường tròn (C):
2 2
4 4 6 0x y x y+ + + + =

và đường thẳng
: 2 3 0x my m∆ + − + =
( với m là tham số). Gọi I là tâm của
đường tròn (C). Tìm m để đường thẳng
∆
cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân
biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng
2a
. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của
các cạnh AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho AK =

3
a
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.
CÂU V: (1 điểm)
Chứng minh rằng: Nếu
, , 2a b c ≥
thì:
2 2 2
log log log 3
b c c a a b
a b c
+ + +
+ + ≥
……………………………..Hết……………………………….
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài)
Người soạn đề: Phạm Thu Thủy
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán – Khối 12 (Người soạn: Phạm Thu Thủy)
Câu Nội dung Điểm
I(2 điểm) 1) Khảo sát hàm số (1 điểm)
TXĐ: D =
¡
SBT:
2
' 3 6y x x= − +

0
' 0

2
x
y
x
=

= ⇔

=

;
( )
(0) 2; 2 2y y= − =
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞
0,25
Lập bảng biến thiên 0,25
Kết luận: ĐB, NB, Cực trị 0,25
Tâm đối xứng, vẽ đồ thị 0,25
2) Viết phương trình tiếp tuyến (1 điểm)
Từ gt suy ra tiếp tuyến có hệ số góc là: k = - 9 0,25
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt:
2 2
1
3 6 9 2 3 0
3
x

x x x x
x
= −

− + = − ⇔ − − = ⇔

=

0,25
Với
1 2x y= − ⇒ =
, pttt là:
9 7y x= − −
(loại vì không song song)
0,25
Với
3 2x y= ⇒ = −
, pttt là:
9 25y x= − +
Vậy pttt cần tìm là:
9 25y x= − +
0,25
II (3 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác (1 điểm)
Pt
2
9sin 6cos 6sin .cos 1 2sin 8x x x x x⇔ + − + − =
( ) ( )
1 sin 6cos 2sin 7 0x x x⇔ − + − =
0,25
sin 1 (1)

6cos 2sin 7 0 (2)
x
x x
=

⇔

+ − =

0,25
(1)
2 ;
2
x k k
π
π
⇔ = + ∈ ¢
0,25
(2) vô nghiệm vì:
2 2 2
a b c+ <
Vậy pt đã cho có nghiệm là:
2 ;
2
x k k
π
π
= + ∈ ¢
0,25
2) Giải bất phương trình chứa căn (1 điểm)

ĐK:
5
2
2
1
2
x
x

− ≤ <




≠


0,25
*Nếu:
1
2
2
x− ≤ <
thì:
2 3 0; 5 2 0x x x+ − − < − >
⇒
Bpt đã cho luôn đúng. Vậy
1
2;
2

x
 
∀ ∈ −
÷

 
đều là nghiệm
0,25
*Nếu:
1 5
2 2
x< <
thì:
2 3 0; 5 2 0x x x+ − − > − >
Bpt
5 2 2 3x x x⇔ − ≤ + − −
Gbpt được nghiệm:
3
2
2
x
x

≤ −


≥

Kết hợp điều kiện ta có:
5

2
2
x≤ <
0,25
Vậy bpt đã cho có nghiệm là:
1
2
2
5
2
2
x
x

− ≤ <



≤ <


0,25
3) Giải phương trình log(1 điểm)
ĐK:
1
2
x >
Pt
( ) ( )
2

3 3
2log 2 1 5log 2 1 7 0x x⇔ − + − − =
0,25
Đặt
3
log (2 1)t x= −
Pt
2
1
2 5 7 0
7
2
t
t t
t
=


⇒ + − = ⇔

= −

0,25
Với
3
1 log (2 1) 1 2t x x= ⇒ − = ⇔ =
(Thỏa mãn)
Với
( )
3

7 7 1 3
log 2 1
2 2 2 162
t x x= − ⇒ − = − ⇔ = +
(Thỏa mãn)
0,25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
1 3
2;
2 162
x x= = +
0,25
III(1 điểm) Khai triển Niu Tơn (1 điểm)
1 3
2 4
4
1
2
2
n
n
n k
k k
n
k o
x C x
x
−
−
=

 
+ =
 ÷
 
∑
;
o k n≤ ∈ ≤¥
0,25
Hệ số của ba hạng tử đầu tiên của khai triển là:
0 1 1 2 2
; .2 ; .2
n n n
C C C
− −
Từ gt
0 2 2 1 1
.2 2 .2
n n n
C C C
− −
⇒ + =
Giải pt tìm được
1
8
n
n
=


=


(loại n = 1)
0,25
Với n = 8, ta có khai triển:
8
3
8
4
4
8
4
1
.2 .
2
k
k k
k o
x C x
x
−
−
=
 
+ =
 ÷
 
∑
Để có số hạng chứa biến x bậc nhất thì:
3
4 1 4

4
k k− = ⇔ =
(T/m)
0,25
Vậy số hạng cần tìm là:
4 4
8
35
,2 .
8
C x x
−
=
0,25
IV(3 điểm) 1) Hình học phẳng (1 điểm)
Đường tròn có tâm I(- 2; - 2), bán kính R =
2
Gọi H là trung điểm của dây cung AB
⇒
IH
⊥
AB
0,25
Ta có diện tích tam giác IAB là: S =
1
IA.IB.
2
sin
·
AIB

= sin
·
AIB
Diện tích tam giác IAB lớn nhất
⇔
sin
·
AIB
= 1
⇔
·
AIB
=90
0
0,25
⇒
∆
IAB vuông cân tại I
IA 2
IH 1
2
⇒ = =
( T/mãn <R)
0,25
2
1 4
1
1
−
⇒ =

+
m
m

0
8
15
m
m
=


⇔

=

Vậy m= 0; m = 8/15 là giá trị cần tìm
0,25
2) Hình học không gian (2 điểm)
a)Gọi H là hình chiếu của S trên đáy
Do SA=SB=SC=SD
⇒
HA=HB=HC=HD
⇒
H là giao điểm của hai
đường chéo của đáy
N
M
EH
C

D
B
A
S
K
0,25
Thể tích của khối chóp là:
ABCD
1
V S .SH
3
=
Có S
ABCD
= 2a
2
0,25
Xét
∆
ABD vuông tại A
⇒
BD =
5a
⇒
BH =
1
2
5a
Xét
∆

SBH vuông tại H
⇒
SH =
3
2
a
0,25
Vậy V =
3
3
3
a
( Đvtt)
0,25
b)Từ gt
⇒
MN//AD
Chỉ ra MN// (SAD) 0,25
⇒
d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) 0,25
Gọi E là trung điểm của AD
Kẻ HK
⊥
SE, chỉ ra HK
⊥
(SAD)
⇒
d(MN, SK) = IH 0,25
Xét
∆

SHE vuông tại H, tính được HK =
21
7
a
Vậy khoảng cách cần tìm là: d(MN, SK) =
21
7
a
0,25
V(1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức(1 điểm)
Có:
( ) ( )
1 1
2 2 0, , 2
2 2
a b ab a b b a a b+ − = − + − ≤ ∀ ≥
a b ab⇒ + ≤
Tương tự có:
;b c bc c a ca+ ≤ + ≤
( )
( )
( )
ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln
a b a b
b c b c
c a c a
⇒ + ≤ +
+ ≤ +

+ ≤ +
0,25
VT=
( ) ( ) ( )
2ln 2ln 2ln
ln ln ln
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
2ln 2ln 2ln
ln ln ln ln ln ln
a b c
b c c a a b
≥ + +
+ + +
=
ln ln ln
2 1 1 1 3
ln ln ln ln ln ln
a b c
b c c a a b
 
+ + + + + −
 ÷
+ + +
 
=
( )
1 1 1

2 ln ln ln 6
ln ln ln ln ln ln
a b c
b c c a a b
 
+ + + + −
 ÷
+ + +
 
0,5
( ) ( ) ( )
3
3
3 ln ln ln ln ln ln .
1 1 1
3 . . 6
ln ln ln ln ln ln
a b b c c a
a b b c c a
≥ + + +
−
+ + +
=9 – 6 = 3 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra
⇔
a=b=c=2
0,25