Giáo án Các bài toán khó hình học lớp 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. CÁC BÀI TOÁN KHÓ HÌNH HỌC LỚP 7 BÀI 1: Cho hình chữ nhật ABCDvới AB = 2AD ,M là trung điểm của đoạn AB.Trên AB lấy H sao cho Ð ADH = 150.Hai đường thẳng CH và DM cắt nhau tại K.Hãy so sánh độ các đoạn thẳng DH và DK LỜI GIẢI :. Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là đường thẳng DH dựng tam giác đều DHN .Gọi Q là trung điểmDC ta có : AD = DQ = QC ÐADH = ÐQDN = 150 DH = HN (  DHN đều ) Þ D ADH = D QDN (c. g .c ) Þ ÐNQD = ÐHAD = 900 Þ ÐNQC = 900 Þ D NQD = D NQC (c. g .c ) Þ ÐNCQ = ÐNDQ = 150 Þ ÐDNC = 1800 - (150 + 150 ) = 1500 Từ đó suy ra HNC  360 0  (60 0  150 0 )  150 0  HNC  DNC (c.g .c)  CH  CD Tức là  CHD cân tại C .Mà HDC  90 0  15 0  75 0 nênDHC  75 0 (1) 0 0 0 Do tam giác ADM vuông cân tại A nên ADM  45 SuyraHDM  45  15  30 0 (2) Xét tam giác DHK từ (1) và (2) suy ra HKD  75 0 (3) Từ (1) và(3) suy ra tam giác DHK cân tại D Tức là DH = DK BÀI2 :Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm O trong tam giác sao cho AOB  AOC So sánh độ dài của OB và OC. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. Kẻ đường cao AH, nếu điểm O thuộc AH Thì dễ thấy OB =OC và ÐAOB = ÐAOC Trái giả thiết . Gỉa sử tia AO nằm trong góc BAH và CO cắt AH tại M nối BM .ta có OC = OM + MC = OM + MB > OB từ đó suy ra ÐOCB < ÐOBC suy ra : ÐACO = ÐACB - ÐOCB > ÐABC - ÐOBC = ÐABO (1) Ta có ÐCAO > ÐCAH = ÐBAH > ÐBAO (2) Từ (1) và (2) ta có : ÐAOB = 1800 - (ÐABO + ÐBAO ) > 1800 - (ÐAC 0 + ÐCAO ) = ÐAOC . Điều này trái giả thiết . Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH .Lập luận tương tự ta có OB> OC và ÐAOB < ÐAOC Vậy ÐAOB < ÐAOC Û OB > OC BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AG,Elà chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG.Các đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D.So sánh độ dài DE và BC. LỜI GIẢI :. Trên tia CA lấy điểm D’ sao cho Alà trung đểm của CD’ thì 2 đường trung tuyến BAvà D’M cắt nhau tại G với 3AG = AB do đó điểm D’ º D .Mặt khác BA ^ DC nên D BDC vuông cân tại B .Do ÐBCD = 450 Þ D BDCvuông cân tại B. Do đó BD = BC (1) Gọi N là giao đểm của CG và BD .Vì G trọng tâm D BDC Nên N là trung điểm của BD. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 Từ đó BN = CM = BM . Hạ BK ^ NC Thì KM =BM = CM vì D KCM cân tại M nên KE = CE (2) Lại có ÐBNK = ÐCME ( Cùng phụ với ÐBCN ) Suy ra D BNK = D CME Þ ÐNBK = ÐMCE Và BK = CE (3) Từ (2) và (3) suy ra KE = KB Nên D BKE là tam giác vuông cân tại K do đó ÐBEK = ÐBEM = 450 . Hai tam giác BKDvà CEB Có ÐDBK = ÐBCE Và BK = CE , BD = CB do đó D BKD = D CEB Þ ÐDKB = ÐBEC = 1350 Suy ra D DKB = D DKE (c. g .c ) Þ DB = DE (4) Từ (1) và (4) suy ra DB = DE BÀI 4 : Cho tam giác ABC với ÐABC = ÐACB = 360 Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm N sao cho ÐBCN = 120 .Hãy so sánh độ dài của CN và CA LỜI GIẢI :. Trên tia BA lấy điểm Dsao cho BD = BC Ta có tam giác BCD cân tại B .Vì 1800 - 360 ÐABC = 360 nênÐBCD = ÐBDC = = 720 . 2 Ta lại có ÐDAC = ÐABC + ÐACB = 360 + 360 = 720 (Tính chất của góc ngoài ) Þ ÐBDC = ÐDAC (= 720 ) Suy ra tam giác ACD cân tại C dó CA = CD (1). Xét 2 tam giác BDN và BCN có : BN chung BD= BC Và ÐCBN = ÐDBN Nên suy ra D BDN = D BCN (c. g .c ) Þ CN = DN Þ D NCD Cân tại N lại có :. ÐNCD = ÐBCD - ÐBCN = 720 - 120 = 600 Þ D NCD là tam giác đều Þ CN = CD (2) Từ (1) và (2) ta có CA = CN BÀI 5: Cho tam giác ABC với ÐBAC = 550 , ÐABC = 1150 .Trên tia phân giác của góc ACB lấy điểm M sao cho ÐMAC = 250 . Tính số đo góc BMC LỜI GIẢI :. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. Ta có ÐC = 1800 - (550 + 1150 ) = 100 . Kẻ DE ^ AM (E  AC) Ta có ÐDAM = ÐDMA = 300 Þ D DAM cân tại D từ đó suy ra ÐADM = 1200 Và DE là đường phân giác của góc ADM nên ÐEDM = ÐBDM = 600 do đó D EDC = D BDC (c. g .c ) . Xét 2 tam giác BMC và EMC có BC = EC ÐMCB = ÐMCE = 50 , MC chung Do đó. D BMC = D EMC 9c. g .c ) Þ ÐBMC = ÐEMC = 1800 - ÐDME = 1800 - ÐDAE = 1800 - 550 = 1250 BÀI 6: Cho tam giác ABC cân trên cạnh đáy BC lấy đểm D sao cho CD = 2 BD. So sánh số đo 1 2 góc ÐBAD Và Ð CAD 2. LỜI GIẢI : Gọi M là trung điểm của DC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA .Ta có AMC  EMD Vì có MD = MC , MA = ME AMC  EMD Nên DE = AC Và A3  E Mặt khác D1  B (tính chất góc ngoài của tam giác ) do. B  C  D1  C  AC  AD  DE  DA  A2  E  A2  A3 Vì A3  A1 (doABD  ACM (c.g .c)  A2  A3  A1  A3  2A1  A2  A3 1 Suy ra BAD  DAC 2 BÀI 7: Cho tamgiác ABC lấy điểm D thuộc nửa mf không chứa C bờ AB sao cho DA  DB và AD = AB . Lấy điểm E thuộc nửa mf không chứa B bờ AC sao cho AE  AC và AE = AC . So sánh diện tích 2 tam giác ADE và ABC.. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 5 LỜI GIẢI :. Ký hiệu SABC là diện tích tam giác ABC .Trên tia đối của tia AB lấy B’ sao cho AB = AB’,ta có ADB' vuông cân ,suy ra AD = AB’ và AD  AB’. Xét 2 tam giác DAE và B’AC có AD = AB’ , AE = AC , DAE  B' AC  DAE  B' AC  S DAE  S ABC (1) .Mặt khác 2 tam giác B’AC và ABC có AB’ = AB , cùng đường cao hạ từ đỉnh C do đó SB’AC = SABC (2) Từ (1) và (2) suy ra SADE = SABC BÀI 8: Cho tam giác ABC có AB> AC .Trên các cạnh AB , AC lấy các điểm M,N sao cho AM = AN gọi K là giao điểm của BN và CN .Hãy so sánh độ dài của KB và KC . LỜI GIẢI :. Trên đoạn AB lấy điểm I sao cho AI = AC khi đó AMC  ANI (c.g.c)  NI  MC (1) vì tam giác AIC cân tại A suy ra AIC  90 0 ( Tia IN nằm giữa 2 tia IA,IC ) . vì AIN  BIN  180 0  BIN  90 0 Trong tam giác BIN góc là góc tù suy ra BN > IN (2) . Từ (1)và (2) ta có BN > CM (3) . cũng do AMC  ANI nên AMC  ANI Vì AMN  ANM  KMN  INM ta lại có INM  KNM (do I nằm giữa Mvà B ) do đó KMN  KNM  KM  KN (4) Từ (3) và (4) ta có BN+KM > CM+KN  BN –KN .> CM – KM  BK > CK BÀI 9: Cho tam giác ABC có góc ACB = 450 và góc A tù ..Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA tại D sao cho góc CBD = góc ABC kẻ AH vuông góc với BD tại H tính số đo góc CHD.. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6 LỜI GIẢI :. Gọi tia đối của tia AB là tia Ax .Xét tam giác ABH ta có : HAx  AHB  ABH  90 0  2B1 . Xét tam giác ABC ta có : 1 A2  C1  B1  45 0  B1  HAx suy ra AC là tia phân giác của góc Hax. 2 Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của góc ABH suy ra HC là phân giác góc AHD Do góc AHD = 900 Nên suy ra góc CHD = 450. BÀI 10 Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC .Gọi M,N là trung điểm của AB , AC .Kẻ NH  CM tại H kẻ HE  AB tại E . Chứng minh tam giác ABH cân và HM là tia phân giác góc BHE LỜI GIẢI :. a, Từ A kẻ AK  MC tại K và AQ  HN tại Q .Hai tam giác vuông MAK và NCH có 1 MC = NC (= AB ) , A1  C1 (cùng phụ với góc AMC ) 2  MAK  NCH  AK  HC (1) Dễ thấy BAK  ACH (c.g .c)  BKA  AHC . 2 Tam giác vuông AQN và CHN có AN = NC , ANQ  CNH  ANQ  CNH  AQ  CH (2) Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ  AH là tia phân giác của góc KHQ  AHQ  45 0  AHC  135 0  BKA  135 0 Từ. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 7. BKA  BKH  AKH  360 0  BKH  135 0 Tam giác AKH có KHA  45 0 Nên nó vuông cân tại K suy ra KA = KH . Xét 2tam giác BKA và BKH có BK chung , BKA  BKH  135 0 , KA = KH  BKA  BKH (c.g .c)  BA  BH hay tam giác ABH cân tại B . b, ta có A1  H 1 theo (1) mà HE // CA  H 2  C1 (góc đồng vị) vì A1  C1  H 1  H 2 hay HM là tia phân giác góc BHE BÀI 11: Cho tam giác ABC với góc A khác 900 và góc B KHÁC 1350. Gọi M là trung điểm của BC.Về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân đáy AB .Đường thẳng qua A vuônggóc với AB cắt CE tại P và cắt DM tại Q chứng minh rằng Q là trungđiểm của BP. LỜI GIẢI :. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 8. Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>