Bài soạn GIOI HAM DAY SO, HAM SO RAT HAY

VẤN ĐỀ 4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
• Ta có định nghĩa giới hạn hữu hạn:
( )
0
0 0n n n n
x x
lim f ( x ) L x ,x x ,lim x x lim f ( x ) L
→
= ⇔∀ ≠ = ⇒ =
( )
0
0 0n n n n
x x
lim f ( x ) x ,x x ,lim x x lim f ( x )
→
= +∞ ⇔ ∀ ≠ = ⇒ = +∞
( )
0
0 0n n n n
x x
lim f ( x ) x ,x x ,lim x x lim f ( x )
→
= −∞ ⇔ ∀ ≠ = ⇒ = −∞
1. a) Cho hàm số
2
2 8
( )
2
x
y f x

x
−
= =
−
và một dãy bất kỳ
( )
2
n
x
≠
sao cho
lim 2.
n
n
x
→+∞
=
Tìm
( )
lim
n
n
f x
→+∞
từ đó suy ra
( )
2
lim .
x
f x

→


b) Cho hàm số
2
3 2
( )
1
x x
y f x
x
+ +
= =
+
và một dãy bất kỳ
( )
1
n
x
≠ −
sao cho
lim 1.
n
n
x
→+∞
= −

Tìm
( )

lim
n
n
f x
→+∞
từ đó suy ra
( )
1
lim .
x
f x
→−
2. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau:
a)
1x
4x3x
lim
2
1x
+
−−
−→
b)
1
1
5
x
lim
x
→

−
c)
( )
0
k
x x
lim cx
→

3. Sử dụng nguyên lý kẹp của giới hạn dãy số và định nghĩa giới hạn hàm số, hãy tìm
a)
0
1
lim sin
x
x
x
→
 
 ÷
 
b)
0
1
lim os
x
xc
x
→
 

 ÷
 
4. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn
a)
0
1
lim os
x
c
x
→
 
 ÷
 
b)
0
1
lim sin
x
x
→
 
 ÷
 
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
• Ta thừa nhận định lý: Cho
( ) ( )
0 0
x x x x
lim f x a, lim g x b

→ →
= =
. Khi đó ta có
( ) ( )
0
x x
lim f x g x a b
→
 
+ = +
 
( ) ( )
0
x x
lim f x g x a b
→
 
− = −
 
( ) ( )
0
x x
lim f x g x ab
→
 
=
 
( )
( )
( )

0
0
x x
f x
a
lim , b
g x b
→
 
= ≠
 
 
 
5. Tìm các giới hạn sau:
a)

|8x|lim
2
3x
−
→
b)
)3x)(1x2(
xx
lim
4
3
1x
−−
−

→
c)

3x
x
lim
2
3
1x
−
−→
d)
1x2
1x3x
lim
2
4
2x
−
−+
→
e)
3
2
3x
6x
)1x(x2
lim
−
+

→
g)
3xx2
x3x1
lim
2
3
2x
−+
−−
−→
h)
2
2
2 1 5 3
lim
2 3
x
x x
x
→−
+ − −
+
6. Tìm các giới hạn sau
a)
x 0
1
lim x(1 )
x
→

−
b)
2
9x
xx9
3x
lim
−
−
→
c)
2x
22x
lim
2
3
2x
−
+
−→
d)
9x3x2
x27x
lim
2
4
3x
−−
−
→

e)
8x6x
16x
lim
2
4
2x
++
−
−→
g)
1xx2
1x
lim
2
2
1x
−−
−
→
h)
3x4x
2x3x
lim
4
3
1x
+−
+−
→

h)
1x2x
1x2x
lim
5
3
1x
−−
−−
−→
i)
16x4x
2x3x2
lim
3
2
2x
−+
−−
→
ĐS: c)
2
23
−

d) 9 e)
16
−
7. Tìm các giới hạn sau:
a)

2
35
lim
2
2
+
−+
−→
x
x
x
b)
23
1
lim
1
−+
−
→
x
x
x
c)

x
x
x
11
lim
0

−−
→
d)
37
2
lim
2
−+
−
−→
x
x
x
e)
x33x6
1x
lim
2
1x
++
+
−→
g)
2 3
1
1
1 1
lim
x
x

x x
x x
→
<
− + −
−

h)
3x2
37x2
lim
1x
+−
−+
→
i)
3x4x
4x7x2
lim
23
1x
+−
−++
→
8. Tính các giới hạn sau
a)
33
0x
x1x1
x1x1

lim
−−+
−−+
→
b)
23x
1x
lim
2
3
1x
−+
+
−→
c)
1x
2x3x
lim
3
1x
−
−−
→
d)
33
2x
5x326x
3x237x
lim
−−+

−−+
→
e)
x
1x1
lim
m
0x
−+
→
9. Tính các giới hạn sau
a)
1x
x21x2
lim
4
1x
−
−−−
→
b)
1x
x57x
lim
3
2
1x
−
−−+
→

c)
x
x81x2
lim
3
0x
−−+
→
• Chú ý: Ta thừa nhận
x 0
sin x
lim 1
x
→
=
. Tổng quát hơn ta có
( )
( )
x 0
sin u x
lim 1
u x
→
=
với
( )
u 0 0.
=
10. Tính các giới hạn sau
a)

2
0x
x
x6cos1
lim
−
→
b)
x5cos1
x3cos1
lim
0x
−
−
→
c)
3
0x
x
xsintgx
lim
−
→
d)
x1
1xcos
lim
1x
−
+π

→
e)
)
4
xsin(
tgx1
lim
4
x
π
−
−
π
→
g)
3
0x
x
xsin1tgx1
lim
+−+
→
h)
tgx)x2cos1(lim
2
x
+
π
→
i)

gxcot1
tgx1
lim
4
x
−
−
π
→
k)
tgx1
xcosxsin
lim
4
x
−
−
π
→
l)
)
x
sinx(lim
x
π
∞→
m)
xsin
x1x21
lim

3
2
0x
+−+
→
Dạng 3. Giới hạn một phía
11. Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) tại x = x
0
và xét xem
)x(flim
0
xx
→

có tồn tại hay không trong những trường hợp sau đây
a) f(x) =







≤−
>
−
+−
1xkhi
2
x

1xkhi
1x
2x3x
2
2
tại x
0
= 1 b) f(x) =





≥−
<
−
−
2xkhix21
2xkhi
2x
x4
2
tại x
0
= 2
c ) f(x) =
32
xx4
2
+

tại x = 0 d ) f(x) =







>
−+
−+
≤
0xkhi
11x
11x
0xkhi
2
3
3
tại x
0
= 0
12. Tìm a để
)x(flim
1x
→
tồn tại, trong đó f(x) =






≥+
<
−
−
1xkhi2ax
1xkhi
1x
1x
3
Dạng 4. Giới hạn của hàm số tại vô cực
13. Tìm các giới hạn sau:
a)
1x2
7xx3
lim
3
2
x
−
+−
−∞→
b)
1x
15x7x2
lim
4
34
x

+
−+
−∞→
c)
1x3
2x
lim
3
6
x
−
+
+∞→
d)
1x3
2x
lim
3
6
x
−
+
−∞→
e)
3
2
2
x
3xx8
x2x

lim
+−
+
−∞→
g)
2xx
xx
lim
2
x
+−
+∞→
14. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
3
12
lim
xx
xx
x
+
++
+∞→
b)
32
23
5
3

lim
xx
xx
x
−
+−
+∞→
c)
1
432
lim
23
3
+−−
−+
−∞→
xx
xx
x
d)
3
)21)(1(
lim
7
52
++
−−
−∞→
xx
xx

x
e)
12
14
lim
2
42
++
+−+
−∞→
xx
xxx
x
g)
x
xxx
x
21
14
lim
2
−
+−+
−∞→

15. Tìm các giới hạn sau:
a)
)1(lim
2
xx

x
−+
+∞→
b)
2
3
lim
2
+
−
−∞→
x
xx
x
c)
)1(lim
22
+−−
−∞→
xxx
x
d)
1(lim
22
+−−
+∞→
xxx
x
e)
)1(lim

2
+−+
+∞→
xxx
x
f)
)1(lim
2
xxx
x
++−
−∞→
g)
)1(lim
2
xx
x
−+
+∞→
h)
34
12152
lim
2
2
1
+−
+−
→
xx

xx
x
16. Tính các giới hạn sau
A =
x2
x31
lim
x
−
−
∞→
B =
1x2x
3x2
lim
23
2
x
+−
+
∞→
C =
1x
1x2x
lim
3
25
x
+
−+

∞→
17. Tính các giới hạn sau
M =
x21x4
1x43x2x
lim
2
2
x
−++
++++
∞→
N =
1x1x4
x32xx
lim
2
2
x
+−+
+++
∞→
P =
1x
1x2x41xx9
lim
22
x
+
++−++

∞→
18. Tính các giới hạn sau
A =
)xxx(lim
2
x
−+
∞→
B =
)3x4x41x2(lim
2
x
−−−−
∞→
C =
)1x1x(lim
3
32
x
−−+
∞→
D =
)xx3x(lim
3
32
x
−+
∞→
Dạng 5. Hàm số liên tục
19. Xét tính liên tục của các hàm số sau

a) f(x) =





=
≠
−
−−
2xkhi1
2xkhi
x2
3x21
tại x
0
= 2 b) f(x) =







=
≠
−
0xkhi
4
1

0xkhi
xsin
xcos1
2
tại x
0
= 0
c) f(x) =





=π−
≠
−
π
1xkhi
1xkhi
1x
xsin
tại x
0
= 1
20. Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x
0
= 0.
a) f(x) =








≥
+
−
+
<
+−−
0xkhi
2x
x4
m
0xkhi
x
x1x1
b) f(x) =







≥+
+
+
<

−
0xkhim
1x
4x
0xkhi
x2sinx
x4cos1

21. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R
a) f(x) =





=
≠
0xkhi1
0xkhi|
x
xsin
|
b) f(x) =





=
≠

0xkhi1
0xkhi
|x|
xsin
22. Tìm m để hàm số f(x) =







≤+
>
−
−+
2xkhi
4
1
mx
2xkhi
2x
22x3
3
liên tục trên R
23. Không giải phương trình, hãy chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm
a) cosx + mcos2x = 0 b) m(x – 1)
3
(x + 2) + (2x + 3) = 0
c) (m

2
+ m + 1)x
4
+ 2x – 2 = 0