Sáng kiến kinh ngiệm: Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - Môn Đại số lớp 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Trường THCS Phước Chỉ. A/. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn chủ lực nhất, nó được vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Bởi trước hết Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, logic và tư duy cao,… do đó nếu chất lượng dạy và học toán ở trường THCS được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta đưa các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiện đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn của nhân loại. Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường THCS đã và đang làm tích cực hoá hoạt động tư duy học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống. Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phương trình là nội dung quan trọng, là trọng tâm của chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Vì vậy để giúp học sinh nắm được khái niệm về phương trình, giải thành thạo các dạng phương trình là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên. Qua thực tế giảng daïy nhieàu naêm, cuõng nhö qua vieäc theo doõi keát quaû baøi kieåm tra, baøi thi cuûa học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), thì việc giải phương trình là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình còn nhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa làm được, do chưa nắm vững chắc các cách giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán về phương trình. Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn toán nên bản thân đã chọn đề tài: “. RÌn kü. năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8”. 2. Đối tượng nghiên cứu: Reøn kyõ naêng giaûi phöông trình cho hoïc sinh. 3. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 81, 83 ở trường THCS Phước Chæ, naêm hoïc 2009 - 2010. Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Trường THCS Phước Chỉ. Đề tài có ý tưởng phong phú, đa dạng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua ba daïng phöông trình “phöông trình ñöa veà daïng ax + b = 0, phöông trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu” trong chương trình toán 8 hiện hành. 4. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan. Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập của học sinh. Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra. Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh. B/. NOÄI DUNG 1. Cơ sở lý luận Với sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, bùng nổ công nghệ thông tin, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học và quản lý giáo dục, toàn cầu hóa như hiện nay, đã và đang tạo điều kiện thuận lợi cho nền giáo dục và đào tạo của nước ta trước những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển mạnh mẽ đó thì giáo dục và đào tạo trước hết và luôn luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”. Hiện nay ngành Giáo dục tích cực xây dựng nhiều chương trình hành động, đa dạng hóa các loại hình học tập, trong đó việc đẩy mạnh sử dụng công nghệ hiện đại trong dạy học và quản lý là một trong những biện pháp của quá trình đổi mới giáo dục theo hướng tích cực phù hợp với xu thế hiện nay. Để đáp ứng được mục tiêu giáo dục một cách toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao có hiệu quả chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Muốn vậy trước hết giáo viên là người định hướng và giúp đỡ học sinh của mình lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, rèn luyện tính tự học, tính cần cù, siêng năng, chịu khó, … tạo điều kiện khơi dạy lòng ham hoïc, yeâu thích boä moân, phaùt huy tö duy saùng taïo cuûa hoïc sinh, thì moân toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Học toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập hoặc những cách giải do Thầy, Cô đưa ra mà là quá trình nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút ra được những cách giải hay, những điều gì bổ ích. Do đó dạng toán giải phương trình của môn đại số 8 đáp ứng yêu đầy đủ cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để các em hoïc tieáp caùc chöông trình sau naøy, nhö giaûi baát phöông trình, chöông trình Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Trường THCS Phước Chỉ. lớp 9 sau này, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến ba dạng phương trình và các phương phaùp giaûi thoâng qua caùc ví duï cuï theå. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các dạng phương trình một cách nhanh chóng và chính xác. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phương trình, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học sinh học tập tốt bộ môn. 2. Cơ sở thực tiễn Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét, nhận dạng phương trình và biến đổi trong thực hành giải toán yếu kém, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý thức học tập, trong nhờ vào kết quả người khác. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, không tìm được hướng giải thích hợp. Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ năng giải toán cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin. Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Giữ mối liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quaû hoïc taäp cuûa con em haàu nhö khoâng coù. 3. Nội dung vấn đề 3.1. Những giải pháp mới của đề tài  Đề tài đưa ra các giải pháp như sau: - Sắp xếp các dạng phương trình theo các mức độ. - Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình. - Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. - Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình. - Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán..  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản + Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0. + Phöông phaùp giaûi phöông trình tích. + Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương Lop8.net. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THCS Phước Chỉ. Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8.  Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương trình + Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao) + Ñöa ra caùch giaûi hay, saùng taïo, cho caùc daïng phöông trình. 3.2. Các phương trình thường gặp A. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình.  Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).  Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:. Phöông phaùp chung: - Thực hiện bỏ dấu ngoặc. - Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax =. c.  Chuù yù:. Neáu a  0, phöông trình coù nghieäm x =. c a. Neáu a = 0, c  0, phöông trình voâ nghieäm Neáu a = 0, c = 0, phöông trình coù voâ soá nghieäm Ví duï 1: Giaûi phöông trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x). (BT-11c)-SGK-tr13). Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. Giaûi:. 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)  5 – x + 6 = 12 – 8x  – x + 8x = 12 – 11  7x = 1  x=. 1 7. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =. Ví duï 2: Giaûi phöông trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2). 1 7 (BT-17f)-SGK-tr14). Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. Lời giải sai:    . (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai) x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu) –2x = 7 (sai từ trên) x = 7 – 2 = 5 (tìm nghieäm sai). Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là: Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái Lời giải đúng:. (2)  x – 1 – 2x + 1 = 9 – x. Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường THCS Phước Chỉ. Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8  x – 2x + x = 9  0x = 7. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Qua ví duï naøy, giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh: Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu goïn vaø chuù yù veà caùch tìm nghieäm cuûa phöông trình..  Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:. Phöông phaùp chung: - Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1. - Thực hiện cách giải như dạng 1.. Ví duï 3: Giaûi phöông trình:. x 1 x 1 x 1   2 2 3 6. (3) (ví duï 4 Sgk-tr12). Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. Lời giải sai:. x 1 x 1 x 1   2 2 3 6 3( x  1)  2( x  1)  x  1 12  (sai ở hạng tử thứ ba)  6 6  3( x  1)  2( x  1)  x  1  12 (sai từ trên).  4 x  18 (sai từ trên)  x  4,5 (sai từ trên). Sai lầm của học ở đây là: Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng. x 1 x 1 x 1   2 2 3 6 3( x  1)  2( x  1)  ( x  1) 12   6 6  3 x  3  2 x  2  x  1  12. Lời giải đúng:. Vaäy: S =  4 .  4 x  16  x  4. Qua ví duï treân, giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh: Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.  Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau: 1 1 1 Caùch 1: (3)  ( x  1)      2 2. 3 6. 4 2 6  x 1  3  x = 4.  ( x  1). Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Caùch 2: Ñaët t = x -1 (3) . t t t   2 2 3 6.  3t  2t  t  2.6. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THCS Phước Chỉ. Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8 Vaäy: S =  4 .  t 3.  x 1  3  x = 4. Ví duï 4: Giaûi phöông trình:. 2 x 1 2x  0,5 x   0, 25 5 4. (4). Vaäy: S =  4 . (BT-18b)-SGK-tr14). Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. Caùch giaûi 1: (4)  4(2  x)  20  0,5 x  5(1  2 x)  20  0, 25  8  4 x  10 x  5  10 x  5  4x = 2  x = 0,5. Vaäy: S =  0,5 .  Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau: Caùch 2: Chuyeån phöông trình veà phaân soá (4) . 2  x x 1 2x 1 2  x x 1 x 2 x 1         5 2 4 4 5 2 2 5 2. Caùch 3: Chuyeån phöông trình veà soá thaäp phaân (4)  0, 2  (2  x)  0,5 x  0, 25  (1  2 x)  0, 25  0, 4  0, 2 x  0,5 x  0,5  0,5 x  0, 2 x  0,1.  Phöông trình tích Phöông phaùp chung: Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức. Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0  Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0. Ta thường biến đổi như sau: Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích. - Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0. - Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử. Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận. Ví duï 5: Giaûi phöông trình (3x – 2)(4x + 5) = 0. (BT- 21a)-Sgk-tr17). Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0  3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0  3x = 2 hoặc 4x = – 5  x =. 2 3. hoặc x = . Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. 5 4. Lop8.net. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trường THCS Phước Chỉ. Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8 2 5 Vaäy S =  ;    3. 4 .  Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau: 3 x  2  0. . (3x – 2)(4x + 5) = 0   ( ký hiệu  thay cho chữ hoặc) 4 x  5  0  * Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích. Ví duï 6: Giaûi phöông trình x2 – x = –2x + 2 (6). (BT-23b)-Sgk-tr17). - Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: (6)  x2 – x + 2x – 2 = 0  x2 + x – 2 = 0 ñaây laø phöông trình raát khoù chuyeån về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý. Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế Caùch 1: (6)  x2 – x + 2x – 2 = 0 Caùch 2: (6)  x(x – 1) = – 2(x – 1)  x(x – 1) + 2(x – 1) = 0  x(x – 1) + 2(x – 1) = 0  (x – 1)(x + 2) = 0  (x – 1)(x + 2) = 0  x 1  0 x  1    x  2  0  x  2. Vaäy S =  1 ;  2 .  x 1  0 x  1    x  2  0  x  2. Vaäy S =  1 ;  2 . Ví duï 7: Giaûi phöông trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 (7). (BT-28f)-Sgk-tr7). - Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình. (7)  –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0  –5x2 – 9x + 2 = 0 ñaây laø phöông trình raát khoù chuyeån veà phöông trình tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý. Giaûi: (7)  (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2  (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0  (x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0  x  2 x  2  0    x  1  5 x  1  0  5  1 Vaäy S =   2 ;  5  . Giaùo vieân cuûng coá cho hoïc sinh kinh nghieäm khi ñöa phöông trình veà daïng tích: Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình và đặt ngay nhân tử chung ấy. Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trường THCS Phước Chỉ. Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử. Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.  Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phöông phaùp chung Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trì tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. x2 1 2   x  2 x x( x  2). Ví duï 8: Giaûi phöông trình. (8). (BT 52b)-Sgk-tr33). Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau: Lời giải sai: ĐKXĐ: x  2 ; x  0 (8) . x( x  2)  1( x  2) 2  x( x  2) x( x  2).  x(x + 2) – 1(x – 2) = 2. (duøng kyù hieäu  laø khoâng chính xaùc). + 2x – x + 2 = 2  x2 + x = 0  x(x + 1) = 0 . x2. x  0 (không kiểm chứng với điều kiện) x  0    x 1  0  x  1. Vaäy S =  0 ;  1 . (keát luaän dö nghieäm). Sai laàm cuûa hoïc sinh laø: Duøng kyù hieäu “  ”khoâng chính xaùc Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện Lời giải đúng: ĐKXĐ: x  2 ; x  0 (8) . x( x  2)  1( x  2) 2  x( x  2) x( x  2).  x(x + 2) – 1(x – 2) = 2. (8’).  x2 + 2x – x + 2 = 2  x2 + x = 0  x(x + 1) = 0 (khoâng thoûa ñieàu kieän) x  0 x  0    x 1  0  x  1 (thoûa ñieàu kieän). Vaäy S =   1  Giáo viên cần củng cố ở học: Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trường THCS Phước Chỉ. Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, neân ta duøng kyù hieäu “  ” hay noùi caùch khaùc taäp nghieäm cuûa phöông trình (8’) chöa chaéc laø taäp nghieäm cuûa phöông trình (8). Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận. Ví duï 9: Giaûi phöông trình. 1 x 3 3 x2 2 x. (9). (BT 30a)-Sgk-tr23). - Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung cuûa phöông trình, roài tìm ÑKXÑ. - Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm. Giaûi:. ÑKXÑ: x  2 (9) . 1  3( x  2) 3  x  x2 x2.  1 + 3(x – 2) = 3 – x  1 + 3x – 6 = 3 – x  4x = 8  x = 2 (khoâng thoûa maõn ñieàu kieän). Vaäy phöông trình voâ nghieäm Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau: - Tìm ÑKXÑ cuûa phöông trình: * Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0) * Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu thức bằng 0) - Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là ñieàu kieän xaùc ñònh (ÑKXÑ) cuûa phöông trình. - Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước. - Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3;… hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có dạng này ta không cần phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0. 1 2x2  5 4  3  2 Ví duï 10: Giaûi phöông trình (10) (BT 41c)-SBT-tr10) x 1 x 1 x  x 1 Lời giải: ĐKXĐ: x  1 ; x2 + x + 1 > 0 x2  x  1  2x2  5 4( x  1)  (10)  2 ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x 2  x  1). Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trường THCS Phước Chỉ. Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8  3x2 + x – 4 = 4x – 4  3x2 – 3x = 0  3x(x – 1) = 0 (thoûa ñieàu kieän) x  0 3 x  0     x 1  0  x  1 (không thoûa ñieàu kieän). Vaäy S =  0 . B. Phaùt trieån tö duy vaø kyõ naêng giải phương trình Ví duï 11: Giaûi phöông trình. x. 3x  4 3 x 5x  5  2  x  1 (11) (Sách Bổ trợ-Nâng cao) 15 5. - Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần. Laàn 1: Maãu chung laø 15 Laàn 2: Maãu chung laø 10 3x  4 9  3x  15 x   15 x  15 5 2  10 x  2(3 x  4)  5(9  3 x)  150 (hoïc sinh giaûi tieáp) x 1 x  2 x  3 x  4    Ví duï 12: Giaûi phöông trình (12) (BT 53-Sgk-tr34) 9 8 7 6. Hướng dẫn: (11)  x . - Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau: Caùch 1: (12)  56.( x  1)  63.( x  2)  72.( x  3)  84.( x  4)  56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336  37x = –370  x = –10 Vaäy S =   10  - Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp phải bài toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. Do đó giáo viên cần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể rút ra cách giải tổng quát cho các bài tập có dạng tương tự. Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau: x + 1 + 9 = x + 10 Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều x + 2 + 8 = x + 10 cùng bằng một phân thức x + 3 + 7 = x + 10 x + 4 + 6 = x + 10 Khi đó ta có cách giải như sau:  Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử: x 1. x2. x3. x4.         1    1    1    1 Caùch 2: (12)    9   8   7   6 . Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Trường THCS Phước Chỉ. x  10 x  10 x  10 x  10    9 8 7 6 1 1 1 1  ( x  10)       0 9 8 7 6. .  x + 10 = 0  x = –10. Vaäy S =   10 . - Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn. -Khai thác bài toán: * Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau: 1). x 1 x  2 x  3 x  4    2009 2008 2007 2006. * Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:. x 1 x  2 x  3 x  4     x  2006 2011 2012 2013 2014 x 1 x  2 x  3 x  2009 x  2010    ...    2010 3) 2010 2009 2008 2 1 x 1 x2 x 3 x4 1 1 1  1  x  2006  4 Hướng dẫn: 2) 2011 2012 2013 2014 x  2010 x  2010 x  2010 x  2010 ( x  2010)     0  2011 2012 2013 2014 1 x 1 x  2 x  3 x  2009 x  2010    ...    2010 3) 2010 2009 2008 2 1 x  2011 x  2011 x  2011 x  2011 x  2011    ...   0  2010 2009 2008 2 1. 2).  Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử: Ví duï 13: Giaûi phöông trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = 8 (13). (Sách Bổ trợ-Nâng cao). Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8 Hướng dẫn: (13)  (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) = 0  (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0  (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) = 0  (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) = 0  (x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (hoïc sinh giaûi tieáp) - Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác để đưa về dạng tích mà các em đã học. Bài toán tổng quát: Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Trường THCS Phước Chỉ. Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thaønh b1x + b2x sao cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích ac. Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b..  Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 Ví duï 14: Giaûi phöông trình. 3 2 1   (14) (BT.31.b/23) ( x  1)( x  2) ( x  3)( x  1) ( x  2)( x  3). Hướng dẫn: ĐKXĐ: x  1; x  2; x  3 (14)  3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (hoïc sinh giaûi tieáp) - Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía caïnh khaùc thì vieäc giaûi phöông trình cuûa chuùng ta seõ lyù thuù hôn. -Khai thác bài toán: * Bài toán (14) trên chính là bài toán sau phức tạp sau: 1) Ta coù: (14) . 3 2 1  2  2 x  3x  2 x  4 x  3 x  6 x  5 2. * Ta có bài toán tương tự như sau: 4 3 2 1    0 ( x  1)( x  2)( x  3) ( x  1)( x  2)( x  4) ( x  1)( x  3)( x  4) ( x  2)( x  3)( x  4) 1 1 1 1 1 1      3) (*) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) 10 1 1 1 1 1 1     Hướng dẫn: ; ;… ( x  1)( x  2) x  2 x  1 ( x  2)( x  3) x  3 x  2 1 1 1   (*)  x  6 x  1 10. 2).  Phöông phaùp ñaët aån phuï: 3 x. Ví duï 15: Giaûi phöông trình x 2  3x  4  . 1  0 (15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao) x2. - Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phöông trình laø voâ cuøng khoù khaên (phöông trình baäc 4). Vì vaäy giaùo vieân caàn hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn. Giaûi: ÑKXÑ: x  0 1 1 1 1  3( x  )  4  0 Ñaët x   y  x 2  2  y 2  2 2 x x x x Phương trình trở thành y2 – 3y + 2 = 0  (y – 1)(y – 2) =0  y = 1 hoặc y = 2. (15)  x 2 . Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Trường THCS Phước Chỉ. 1 x 1 x   2  x2 – 2x + 1 = 0  (x – 1)2  x = 1 (nhaän) x Vaäy S =  1 . Khi đó x   1  x2 – x + 1 = 0 (vô nghiệm). Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những mắc mứu trong quá trình giải phương trình. Vì thời gian có hạn nên không đi sâu vào một số phương trình khác như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,… 3.3. Biện pháp và kết quả thực hiện  Bieän phaùp Để thực hiện tốt kỹ năng giải phương trình của học sinh, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau: Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở các lớp 6, 7. Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân, chia đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm mục đích thực hiện các phép tính ở hai vế cuûa phöông trình, ñöa phöông trình veà daïng tích khoâng sai soùt. Khi học về phân thức ở chương II, giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm vững các tìm giá trị của ẩn để phân thức chứa mẫu thức được xác định nhằm giúp học sinh tìm được ĐKXĐ của phương trình chứa mẫu thức sau này không sót và chính xác. Cần chú ý khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có thể nên cho học sinh tìm mẫu thức chung trước để việc tìm ĐKXĐ của phương trình sẽ tiện hơn và khoâng soùt ñieàu kieän. Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng phương trình, tìm phương trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, caùch giaûi khaùc..  Moät soá löu yù khi giaûi phöông trình, hoïc sinh caàn nhaän xeùt:.  Quan saùt ñaëc ñieåm cuûa phöông trình: Nhận xét quan hệ giữa các biểu thức trong trong phương trình từ đó đưa ra cách biến đổi thích hợp.  Nhaän daïng phöông trình: Xét xem phương trình đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp cho phù hợp từng dạng phương trình đó.. Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Trường THCS Phước Chỉ.  Kinh nghiệm trong biến đổi phương trình: Khi đã thu gọn hai vế của phương trình, nếu biến có số mũ từ hai trở lên thì ta cố gắng tìm cách chuyển phương trình đó về dạng phương trình tích. Khi biến đổi phương trình nếu nhận thấy hai vế của phương có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ấy. Khi khử mẫu hai vế của phương trình ta cần lưu ý đây là phương trình hệ quả của phương trình ban đầu do đó ta dùng dấu suy ra. Khi biến đổi phương trình cần chú ý tính chất đặc biệt của tử và mẫu của phương trình từ đó suy ra cách phân tích hợp lý như nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ, … cho thích hợp.  Keát quaû Kết quả áp dụng kỹ năng giải phương trình này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà. Kết quả kiểm tra về giải phương trình được thông kê, đánh giá qua hai lớp 81, 83 ở năm học 2009 – 2010 như sau: a) Chöa aùp duïng giaûi phaùp Keát quaû khaûo saùt Thời gian học kỳ II Khaûo saùt (chöa aùp duïng giaûi phaùp). TS HS 63. Trung bình trở lên Số lượng Tæ leä (%) 27 42,85%. * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích, nhận dạng phương trình, kỹ năng thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót về dấu, chưa áp dụng được các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, ... b) AÙp duïng giaûi phaùp Laàn 1: Keát quaû khaûo saùt Thời gian học kỳ II Keát quaû aùp duïng giaûi phaùp (laàn 1). TS HS 63. Trung bình trở lên Số lượng Tæ leä (%) 40 63,49%. * Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm được các dạng phương trình, kỹ năng biến đổi hợp lý, việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, phân tích đa thức thành nhân tử có hiệu quả, biết nhận xét đánh giá bài toán trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý. Laàn 2: Keát quaû khaûo saùt (kieåm tra 1 tieát) Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8 Thời gian học kỳ II Keát quaû aùp duïng giaûi phaùp (laàn 2). TS HS 63. Trường THCS Phước Chỉ Trung bình trở lên Số lượng Tæ leä (%) 58 92,06%. * Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc về các dạng phương trình, vận dụng thành thạo các kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các yếu tố quan trọng, đặc điểm của phương trình, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt. Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại từng dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ năng xử lý nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.  Toùm laïi: Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các dạng phương trình, đặc điểm của từng cách giải cho các dạng phương trình. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, hoïc sinh yeáu naém chaéc veà caùch giaûi phöông trình, vaän duïng vaø reøn luyeän kyõ naêng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập về phương trình được sắp xếp theo các mức độ nhận thức của học sinh. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.. C/. KEÁT LUAÄN  Baøi hoïc kinh nghieäm Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho pheùp toâi ruùt ra moät soá kinh nghieäm sau:.  Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, khuyết điểm, cần rèn luyện ở học sinh các kỹ năng thực hành theo trình tự các bước giải phương trình. Từ đó học sinh có khả năng nắm được phương pháp vận dụng tốt các cách giải phương trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên daãn caùc em ñi quaù xa noäi dung saùch giaùo khoa..  Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các dạng phương trình phương pháp giải cho từng dạng, rèn kỹ năng biến đổi, linh Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh - môn Đại số 8. Trường THCS Phước Chỉ. hoạt trong việc vận dụng các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú niềm vui trong học tập, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức..  Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp giải cơ baûn, ta caàn cho hoïc sinh tìm hieåu theâm caùc phöông phaùp phaân tích naâng cao khaùc, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải phương trình tốt hơn. Qua đó tập ở học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em..  Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên. Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tạo sự hứng thú và niềm vui trong học tập.  Hướng phổ biến áp dụng Đề tài được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình đại số lớp 8, cho các năm học sau, cho những đơn vị trường cùng loại hình.  Hướng nghiên cứu phát triển Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp giải khác, phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, việc vận dụng giải phương trình vào các bài toán thực tế.. Người thực hiện: Nguyễn Hoài Phương. Lop8.net. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span>