Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 8 - Chuyên đề 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức. . Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung). - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. - Nhóm nhiều hạng tử. . Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Thêm bớt cùng một hạng tử. - Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số). - Duøng phöông phaùp heä baát ñònh. - Tìm nghiệm của đa thức. - Quy taét HORNER (Hoùt - Nô).. B. MỘT SỐ BAØI TOÁN VAØ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: I. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG ( ĐẶT NTC, DÙNG HĐT, NHÓM HẠNG TỬ) :. Bài 1 : PT đa thức thành nhân tử: a/ (xy + 4)2– (2x + 2y)2 c/ 4a2b2– ( a2+b2 – 1)2. b/ ab( x2+y2) + xy (a2+b2) d/ (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2.. II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC (TÁCH, THÊM BỚT,ĐẶT ẨN PHỤ, HỆ SỐ BẤT ĐỊNH, TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC, QUY TAÉC HORNER ). 1/ PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ : Đa thức dạng P(x) =ax2+ bx + c Phöông phaùp: Nhaåm tìm 2 soá m,n sao cho : m.n = a.c vaø m+ n = b Tách P(x)= ax2+ mx + nx+ c rồi nhóm hạng tử. Bài 2: PT đa thức thành nhân tử: a/ 2x2 + 3x – 5 . b/ 3x2 –7x +2 . c/ x2 – 4xy + 3y2 . d/ x2 + 3xy + 2y2 Bài 3: PT đa thức thành nhân tử: x3 – 7x – 6 Caùch 1: Taùch soá haïng -7x thaønh – x – 6x, ta coù: X3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Caùch 2: Taùch soá haïng – 6 = 8 – 14 ,ta coù: X3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3). Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 2/ PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT HẠNG TỬ : Bài 4 : PT đa thức thành nhân tử: a/ x4 + 4. b/ x4y4 + 4 c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b) Phöông phaùp giaûi: a/ x4 + 4 b/ x4y4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 = x4y4 + 4 +4x2y2– 4x2y2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2y2 + 2)2 –(2xy)2 = (x2 + 2x +2). (x2 – 2x +2) = (x2y2 + 2xy +2). (x2y2 – 2xy +2) c/ Cách 1: Trong 3 hạng tử : (b – c ) ; (c – a) ; (a – b) ta biểu diễn 1 hạng tử thông qua 2 hạng tử còn lại bằng cách thêm bớt hạng tử: Chaúng haïn: b – c = b – a + a – c = – (a– b) – ( c – a ) sau đó nhóm từng cặp có nhân tử chung là ra kết quả: c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b) = a2[– (a– b) – ( c – a )] + b2(c – a)+ c2(a – b) = - a2(a– b) – a2( c – a ) + b2(c – a)+ c2(a – b) = c2(a – b) – a2(a– b) +b2(c – a)– a2( c – a ) = (a – b) ( c2 – a2) + (c – a)( b2– a2) = (a – b) (c – a)(c + a – a – b) =(a – b) (c – a)(c– b) Cách 2 : Nhân 2 hạng tử bất kì, biến đổi để xuất hiện NTC với hạng tử còn lại a2(b – c ) + b2(c – a = a2b – a2c + b2c – b2 a + c2(a – b) = (a2b – b2 a) – (a2c – b2c) + c2(a – b) = ab(a – b) – c(a – b)(a+b)+ c2(a – b) = (a – b)( ab – ca – cb +c2) = (a – b)[ a(b – c) – c(b –c)] =(a – b) (b – c) (a – c) Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử.. A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) ] = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz). Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x). Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử ( BTVN) a/ ab(a+b) – bc( b + c ) – ac(c – a) . b/ x – y – x3(1 – y) + y3 ( 1 – x) ( áp dụng được cả 2 cách như bài trên ) Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử a) a3 + b3 + c3 -3abc b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lời giải: a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Cách 1 Biểu diễn 1 hạng tử thông qua 2 hạng tử còn lại Ta coù (y – z) = (y – x) + (x – z) neân (x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 = = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z)(y– z)– (y – x)3 = 3(y – x)(x – z)(y– z) Cách 2: Nhóm 2 hạng tử , biến đổi xuất hiện NTC với hạng tử còn lại : Cách 3:Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a ta coù: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ( ĐỔI BIẾN SỐ)  Daïng 1 : (Daïng truøng phöông) P(x) = ax4+ bx2+ c Phöông phaùp: Ñaët y = x2 ñöa veà daïng :P(y) = ay2+ by + c rồi áp dụng phương pháp tách hạng tử. Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử. a/ P(x) = x4 + 7x2 +6 b/ Q(x) = 2x4 + 5 x2 – 7 Giaûi : a/ Đặt y = x2 khi đó P(x) trở thành: b/ Đặt y = x2 khi đó Q(x)trở thành: P(y) = y2 + 7y + 6 Q(y) = 2y2 + 5y – 7 = y2 + 6y + y + 6 = 2y2 + 7y – 2y – 7 = y(y+6) + (y+6) = y( 2y + 7) – (2y+7) Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi =(y+6)(y+1) Vaäy P(x) = (x2 +6)( x2 +1). = ( 2y + 7) (y 1) Vaäy P(x) = (x2 +7)( x2– 1) = (x2 +7)( x– 1)(x+1)  Dạng 2 : Đa thức dạng P(x) = (ax2 + bx + c)(ax2 +bx + d)+ e Phương pháp : Đặt y = ax2 + bx + c hoặc y = ax2 +bx + d , biến đổi đưa về daïng : a’y2 + b’y + c’ áp dụng phương pháp tách hạng tử : Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử. a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b/ 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giaûi: a) Ñaët x2 + x + 1 = y ta coù x2 + x + 2 =y +1 Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) 2 2 Do đó: (x + x + 1)(x + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Ñaët: x2 + xy + xz = m, ta coù 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Baøi 10:. Dạng 3 : Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Phöông phaùp : Ñaët bieán phuï y = (x + a)(x + b) coù theå y = (x + c)(x + d) hoặc y2 = x2 + (a + b) x Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) Do doù . P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa thuc dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồi biến đổi nhö treân.. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi  Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 Bài 11 : Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử. Giaûi: Deã thaáy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 vaø a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) –24x2 Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).  Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng a’y2 + b’xy +c’ rồi áp dụng tách hạng tử Bài 12: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + 2 thành nhân tử. Giaûi: Ñaët y = x2 – 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1 Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 10x2 vaø m + n = 3x choïn m = 5x , n = - 2x Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do doù , P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2). Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2+ b’xy +c’ rồi áp dụng tách hạng tử Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử. Giaûi: Deã thaáy b = 1, d = 2, e =4 ñaët y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4 Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 vaø m + n = - x choïn m = 2x, n = -3x Ta coù Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2). * Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên.  Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c Caùch giaûi: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng trùng phương mx4 + nx2 + p. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x – 2 lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1). BAØI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 1/ 6x4 + 19x2 + 15 2/ (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4 3/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 16 4/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 7 5/ (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 6/ (a+2)(a+3)(a2+a+6) + 4a2 . 7/ (x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2 8/ (7 – x)4 + ( 5 – x)4 – 2 9/ x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 10/ x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1 IV. PHÖÔNG PHAÙP HEÄ SOÁ BAÁT ÑÒNH. Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giaûi: a) Keát quaû tìm phaûi coù daïng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac. Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta có: a+b =0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, do đó a, c là ước của - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 khi đó b = - 2 thoả mãn hệ trên. Đó là một bộ số phải tìm tức là x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) b) Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nến đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd . Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta có x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a+c =6 ac + b + d =7 ad + bc = 6. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi bd =1 Từ hệ này tìm được: a = b = d = 1 , c = 5 Vaäy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5). V. TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.  Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x). P(x) = (x – a) Q(x) Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhị thức (x – a).  Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân biệt đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x). P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương đúng của phép chia chính là Q(x).  Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao? Theá naøo laø nghieäm soá keùp? Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x). Q(x) laïi coù nghieäm x = a suy ra Q(x) = (x – a) R(x). Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x). Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x). Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 thành nhân tử . Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có số nghiệm là x = 2 Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2 , ta được thương số là Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4 Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có 2 nghiệm phân biệt là -1 và 2 Vì P(-1) = 0 vaø P(2) = 0 Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2 , ta được thương đúng cuûa pheùp chia laø: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2). VI. QUY TAÉT HOÙT – NÔ (HORNER) Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho một nhị thức bậc nhất. Bài toán: Giả sử chúng ta chia được đa thức. P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + ….. + an chia nhị thức x - a. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Bậc của đa thức thương Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vị. Q(x) = b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + …… + bn - 1 Soá dö r laø moät haèng soá vì baä r < baäc (x – a) Ta coù: a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ….. + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – 2 + …. + bn – 1) + r Caân baèng caùc heä soá, ta coù: b0 = a0 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1. Ta saép xeáp thaønh baûng sau:. a. a0 b0 = a 0. a1 b1 = a1 +ab0. b3 = a3 + ab2 ………………………….. bn – 1 = an – 1 + abn - 2 r = an + abn -1. a2 b2 = a2 +ab1. ………. an - 1 bn – 1 = an -1 + abn - 2. an r = an + abn -1. Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + 1 thành nhân tử. Giaûi: Ta coù P(1) = 3 – 4 + 1 = 0 Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q1(x) Ta xaùc ñònh Q1(x) baèng quy taét Hoùt – Nô .. 1. 3 3. -4 -1. 0 -1. 0 -1. 1 r = p(1) =0. Do đó Q1(x) = 3x3 – x2 – x – 1 Nhaän xeùt raèng Q1(x) = 0 suy ra Q1(x) = (x – 1)Q2(x) Ta xác định Q2(x) bằng cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ: 3 -1 -1 -1 1 3 2 1 0 2 Suy ra: Q2(x) = 3x + 2x + 1, không phân tích thành nhân tử được nữa. Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + 1 = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1). Luyeän taäp theâm : Phân tích đa thức thành nhân tử. P(x) = 2 x 4  7 x3  2 x 2  13x  6. Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>