Chuyen de HSG phan tich da thuc thanh nhan tu NTH

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng
dụng.
A.Lý thuyết chung.

1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( ra thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đơn thức, đa thức.
2 ) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đặt nhân tử chung;
2) Dùng hằng đẳng thức;
3) Nhóm nhiều hạng tứ;
4) Tách, thêm, bớt;
5 )Phối hợp nhiều phơng pháp

B. Nội dung
Phần I: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

I. Phơng pháp đặt nhân tử chung
1. Phơng pháp .

Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử.
Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc.
2.Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nh©n tư
a) –3xy + x 2 y 2 – 5x 2 y
b) 2x(y – z) + 5y(z – y)
c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2
Bµi Lµm
2
2
2
a) 3xy + x y – 5x y = xy(- 3 + xy – 5x)

b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2 = 10x 2 (x + y) – 10y 2 (x + y) = 10(x + y)(x 2 – y 2 )
= 10(x + y)(x + y)(x – y)
= 10(x + y) 2 (x – y)

3. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 12xy 2 12xy + 3x
b) 15x – 30 y + 20z
5
c)
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
7
d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)
Bµi tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
b) 2x 3 (x – y) + 2x 3 (y – x ) + 2x 3 (z – x)

(Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)

II) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
1. Phơng pháp

Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức
đơn giản.
+

Những hằng ®¼ng thøc :
(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2

(A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2
A – B = (A + B)(A B)
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiên

1


(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3
A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 )
A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 )
(A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA
A n – B n = (A – B)(A n −1 + A n − 2 B + … + AB n − 2 + B n −1 )
A 2 k – B 2 k = (A +B)(A 2 k −1 - A 2 k − 2 B + … - B 2 k −1 )
A 2 K +1 + B 2 K +1 = (A + B)(A 2 k – A 2 k −1 B + A 2 k − 2 B 2 - … +B 2 k )
n(n − 1) n − 2 2
n(n − 1) 2 n − 2
(A + B) n = A n + n A n −1 B A B +…+
A B
+ nAB n −1 + B n
1.2
1.2
n(n − 1) n − 2 2
(A - B) n = A n - n A n −1 B +

A B - … +(-1) n B n
1.2
2.Ví dụ .
Ví Dụ 1. Phân tích đa thức tành nhân tử
a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4
b) a 4 – b 4
c) (x – 3) 2 - (2 – 3x) 2
d) x 3 – 3x 2 + 3x - 1
a)
b)
c)
d)

Bµi Lµm
x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y 2 ) 2
a 4 – b 4 = (a 2 ) 2 – (b 2 ) 2 = (a 2 + b 2 ) (a 2 – b 2 ) = (a 2 + b 2 ) (a + b) (a – b)
(x – 3) 2 - (2 – 3x) 2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x)
x 3 – 3x 2 + 3x - 1 = (x 1) 3
2

2

4

2

2

2

Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a 3 + b 3 + c 3 – 3abc
b) (a + b + c) 3 – a 3 – b 3 – c 3

Bµi Lµm
a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c 3 – 3abc
= ( a + b + c)[(a + b) 2 – (a + b)c + c 2 ] – 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c) 3 – a 3 – b 3 – c 3
= (a + b) 3 + c 3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a 3 – b 3 –c 3
= 3(a + b)(ab + bc + ac + c 2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
3

3

3

3

3. Bµi tập tự luyện
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tö
a) (x – 15) 2 – 16
b) 25 – (3 – x) 2
c) (7x – 4) 2 – ( 2x + 1) 2
d) 9(x + 1) 2 – 1
e) 9(x + 5) 2 – (x – 7) 2
f) 49(y- 4) 2 9(y + 2) 2
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x 3 + 27y 3
b) (x + 1) 3 + (x 2) 3

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiªn

2


c) 1 – y 3 + 6xy 2 – 12x 2 y + 8x 3
d) 2004 2 - 16

III/ Ph©n tích đa thức thành nhân tử, bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
1. Phơng pháp
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm.
Ap dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán.

2. Ví dụ
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 2 3xy + x – 3y
b) 7x 2 – 7xy – 4x + 4y
c) x 2 + 6x – y 2 + 9
d) x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt

Bµi Lµm
a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x 2 – 7xy – 4x + 4y = (7x 2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c)x 2 + 6x – y 2 + 9 = (x 2 + 6x + 9) – y 2 = (x + 3) 2 - y 2 = (x + 3 + y)(x + 3 – y)

d)x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt = (x 2 – 2xy + y 2 ) – (z 2 – 6zt + 9t 2 )
= (x – y) 2 – (z – 3t) 2 = (x – y + z – 3t)(x – y z + 3t
2

2

Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz
b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz
Bµi Lµm

a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz
= (x 2 z + y 2 z + 2xyz) + x 2 y + xy 2 + xz2 + yz 2
= z(x + y) 2 + xy(x + y) + z 2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z 2 )
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z 2 )]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz
= (x 2 y + x 2 z + xyz) + ( xy 2 + y 2 z + xyz) + (x 2 z + yz 2 + xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3. Bµi TËp
Bµi tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 4 + 3x 2 – 9x – 27
b) x 4 + 3x 3 – 9x – 9
c) x 3 – 3x 2 + 3x – 1 – 8y 3
2

2

2

2

2

2

Bµi tËp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x(y2 z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2)
b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz
d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp
1. Phơng pháp
Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đà biết và thờng tiến hành theo trình tự sau :
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiên

3


- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử

2. Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nh©n tư
a) 5x 3 - 45x
b) 3x 3 y – 6x2y – 3xy 3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bµi lµm
2

a) 5x – 45x = 5x(x – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy 3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3

3. Bµi tập
Bài tập 1. Phân tích đa thức thành nhân tử .
a)
2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
b)
8x 3 (x + z) – y 3 (z + 2x) – z 3 (2x - y)
c)
[(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
Bài tập 2. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 - z 3
Híng dÉn
(x + y + z ) 3 – x 3 – y 3 - z 3
=[(x + y + z) 3 – x 3 ] – (y 3 + z 3 )
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2]
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)

= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1. Phơng pháp
Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể
phân tích thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung
2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 6x + 8
Bµi lµm
2
2
Cách 1: x – 6x + 8 = (x – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Caùch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Caùch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Caùch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Caùch 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3. Bµi tËp
Bµi 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 + 7x +10
b) x2 – 6x + 5
c) 3x2 – 7x 6
d) 10x2 29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiên

4


a) x 3 + 4x2 – 29x + 24
b) x 3 + 6x2 + 11x + 6
c) x2 – 7xy + 10y
d) 4x2 3x 1
VI/ Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

Phơng pháp
Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đà cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể
phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, ...
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.
x 4 + 64 = x 4 + 64 + 16x 2 – 16x 2 = (x 2 + 8) 2 – (4x) 2 = (x2 + 4x + 8)(x 2 – 4x + 8)
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x 4 + 4y 4
b) x 5 + x + 1
Bµi lµm
4
4
4
4
2 2
2
2
a) x + 4y = x + 4y + 4x y – 4x y = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x 5 + x + 1 = (x 5 + x 4 + x 3 ) – (x 4 + x 3 + x 2 ) + (x 2 + x + 1)
= x 3 (x 2 + x + 1) – x 2 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x +1)
= (x 2 + x + 1)(x 3 x 2 +1)
Bài tập

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x 5 + x 4 + 1
b) x 8 + x 7 + 1
c) x 8 + x + 1
d) x 8 + 4
Bµi 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x 3 + 5x 2 + 3x – 9
b) x 3 + 9x 2 + 11x – 21
c) x 3 – 7x + 6
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x 3 - 5x 2 + 8x – 4
b) x 3 – 3x + 2
c) x 3 – 5x 2 + 3x + 9
d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10
e) x 3 + 3x 2 + 6x + 4
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x 3 – 2x – 4
b) 2x 3 – 12x 2 + 7x – 2
c) x 3 + x 2 + 4
d) x 3 + 3x 2 + 3x + 2
e) x 3 + 9x 2 + 26x + 24
f) 2x 3 – 3x 2 + 3x + 1
g) 3x 3 – 14x 2 + 4x + 3
* Một số phương phaựp khaực
VII/ Phơng pháp đặt biên số (đặt biên phụ)

Phơng pháp
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đà cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt
biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đà cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn.
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr êng THCS Tiªn

5


Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 6x 4 – 11x 2 + 3
b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x – 3) –5
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

Bµi Làm

a) 6x 11x + 3
- Đặt x2 = y
- Đa thức đà cho trở thành: 6y 2 11y + 3 = (3y 1)(2y 3)
- Trả lại biÕn cò:
6x 4 – 11x 2 + 3 = (3x 2 – 1) (2x 2 – 3) = ( 3 x – 1)( 3 x + 1)( 2 x - 3 )( 2 x +
b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x 3) 5
- Đặt x 2 + 3x + 1 = y ⇒ x 2 – 3x 3 = y 4
- Đa thức đà cho trë thµnh
y(y – 4) – 5 = y 2 – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)
- Trả lại biến cũ.
(x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x – 3) – 5 = (x 2 + 3x + 1 + 1)(x 2 + 3x + 1 – 5)
= (x 2 + 3x + 2)(x 2 + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15

c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
- Đặt x 2 + 8x + 7 = y ⇒ x 2 + 8x + 15 = y + 8
- Đa thức đà cho trở thµnh :
y(y + 8) + 15 = y 2 + 8y + 15 = y 2 + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x 2 + 8x +7 + 5)(x 2 + 8x + 7 + 3)
= (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
3. Bài tập
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x 2 + x) 2 – 2(x 2 + x) – 15
b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x + 2) – 6
c) (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x(x 2 + 4x + 8) + 2x 2
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x 2
d) 3x 6 – 4x 5 + 2x 4 – 8x 3 + 2x 2 4x + 3
4

2

3)

VIII/ Phơng Pháp hệ số bất định
Phơng Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tơng øng cđa chóng ph¶i b»ng nhau.
a n x n + a n =1 x n −1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = b n x n + b n =1 x n −1 + ... + b 2 x 2 + b 1 x + b 0
⇔ a i = b i ∀ i = 1; n
2. VÝ dơ: Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử
2.1 Vớ duù 1: A = x 3 + 11x + 30
Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích đợc thì A có dạng.

A = (x + a)(x 2 + bx + c) = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac
⇔ x 3 + 11x + 30 = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac
Đồng nhất hệ số, ta có

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiên

6


a + b = 0

ab + c = 11
ac = 30

Chän a = 2 ⇒ c = 15; b = -2
VËy (x 3 + 11x + 30) = (x + 2)(x 2 – 2x + 15)
2.2 VÝ dô 2: B = x 4 – 14x 3 + 15x 2 – 14x +1
Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích đợc thành nhân tử thì B có dạng:
B = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d)
⇔B = x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd
§ång nhÊt hÖ sè, ta cã:
 a + c = −14
 a = −1
 a = −13

 ac + b + d = 15
b = 1
b = 1



hc
⇒



 ad + bc = −14
c = −13
 c = −1
bd = 1
d = 1
d = 1



2
2
2
Do vËy B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) hc B = (x – 13x + 1)(x 2 – x + 1)
Bµi tËp
Bµi 16: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 3 + 4x 2 + 5x + 2
b) 2x 4 – 3x 3 –7x 2 + 6x + 8
c) 5x 4 + 9x 3 – 2x 2 – 4x – 8
Bµi 17: T×m a, b, c

a) x 4 – 2x 3 + 2x 2 – 2x + a = (x 2 – 2x + 1)(x 2 + bx + c)
b) x 3 + 3x 2 – x – 3 = (x – 2)( 2 x + bx + c) + a
c) 4x 3 + 7x 2 + 7x – 6 = (ax + b)(x 2 + x +1) + c
IX/ Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Khi các biến có vai trò nh nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z) 3 - x 3 – y 3 – z 3
Bµi Làm
Coi P là một đa thức biến x
Khi đó nếu x = -y th× P = 0 ⇒ P  (x + y)
Trong P, vai trß cđa x, y, z bình đẳng nên.
P (x + z)
P (y + z)
⇒ P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mµ P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số.
Với x = 0 ; y = z = 1, ta cã Q = 3
VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
VÝ dô 2:
M = a(b + c)(b 2 - c 2 ) + b(c + a)(c 2 - a 2 ) + c(a + b)(a 2 - b 2 )
Bµi Lµm
Coi M là đa thức biến a
Khi a = b thì M = 0
⇒M  (a - b)
Trong M vai trß của a, b, c bình đẳng nên :
M (b - c)
M  (c - a)
M = (a - b)(b c)(c a)N
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a.
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiên

7


Nhng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R
(R lµ h»ng sè)
⇒ M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chän a = 0, b = 1, c = 2 ⇒ R = 1
VËy B = (a – b)(b – c)(c a)(a + b + c)
Bài tập
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a b) + bc(b c) + ca(c a)
X. Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
1. Phơng pháp
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0.
Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức.
Ta đà biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là íc cđa hƯ sè tù do.
2. VÝ dơ: x3 + 3x - 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra ac = - 4 suy ra a là ớc của - 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng t không đổi.
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiÓm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử
(x - 1)
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tư chung (x – 1)
* C¸ch 1:

x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2
* C¸ch 2:
x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2
Chó ý:
+ NÕu ®a thøc có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x 1).
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử
(x + 1).
Ví dụ :
* Đa thức : x3 - 5x2 + 8x – 4 cã 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Suy ra ®a thøc có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa sè (x – 1)
*§a thøc : x3 – 5x2 + 3x + 9 cã (- 5) + 9 = 1 + 3
Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay ®a thøc chøa thõa sè (x + 1).
+NÕu ®a thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có nghiệm hữu tỷ .
p
Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng
trong đó p là ớc của hạng tử không đổi,
q
q là ớc dơng của h¹ng tư cao nhÊt.
VÝ dơ: 2x3 – 5x2 + 8x 3
Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên lµ :
(- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3..
1
Sau khi kiÓm tra ta thÊy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1). Do ®ã ta tìm cách tách
2
các hạng tử của đa thức để xuất hiƯn nh©n tư chung (2x - 1).
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3
=x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)
=(2x – 1)(x2 – 2x + 3)
XI. Phơng pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
a) Phơng ph¸p: Tam thøc bËc hai ax2 +bx + c

NÕu b2 4ac là bình phơng của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các
phơng pháp đà biết .
Nếu b2 4ac không là bình phơng của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp đợc nữa .
b) VÝ dơ: 2x2 – 7x + 3
Víi a =2 , b =- 7 , c = 3
XÐt b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55
Suy ra Ph©n tÝch đợc thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1)
Chó ý: P(x) = ax2 + bx + c = 0 cã nghiƯm lµ x1 , x2 thì
P(x) =a( x- x1)(x - x2)
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr êng THCS Tiªn

8


PhÇn 2: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THệC THAỉNH NHAN Tệ .
I). Bài toán rút gọn biểu thức
1. Phơng pháp
+Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung.
+áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
Học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển t duy suy luận lôgic, sáng tạo.
2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức
3x 3 7 x 2 + 5x − 1
A=
2x 3 − x 2 − 4x + 3

x + 3 2x −1 x − 3
−
−
B=
x +1 x −1 x2 −1
Bµi Lµm
3
2
2
3x − 3x − 4 x + 4 x + x − 1
a) A = 3
2 x − 2 x 2 + x 2 − x − 3x + 3
3 x 2 ( x − 1) − 4 x ( x − 1) + ( x − 1)
A= 2
2 x ( x − 1) + x( x − 1) − 3( x − 1)
A=

( x − 1)(3 x 2 − 4 x + 1) ( x − 1)( x − 1)(3 x − 1)
=
( x − 1)(2 x 2 + x − 3) ( x − 1)(2 x + 3)( x − 1)

A=

( x − 1) 2 (3x − 1) 3 x − 1
=
( x − 1) 2 (2 x + 3) 2 x + 3

MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
( x + 3)( x − 1) − ( 2 x − 1)( x + 1) − ( x − 3)
B =

( x + 1)( x − 1)
2
x + 2x − 3 − 2x 2 + x + 1 − x + 3
B =
( x + 1)( x − 1)
2
1− x
= −1
B =
( x + 1)( x − 1)
3. Bµi tËp
Bµi 19. Rót gän biĨu thøc
a 2 (b − c ) + b 2 (c − a ) + c 2 (a − b)
A=
ab 2 − ac 2 − b 3 + bc 2
2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45
B= 3
3 x − 19 x 2 + 33 x − 9
x 3 − y 3 + z 3 + 3 xyz
C=
( x + y ) 2 + ( y + z ) 2 + ( z − x) 2
b)

x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz
D=
( x − y) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2
Bµi 20. Rót gän biĨu thøc
1
1
1

1
+
+
+
A=
x( x + y ) y ( x + y ) x( x − y ) y ( y − x )
1
1
1
+
+
B=
a (a − b)(a − c ) b(b − a )(b − c) c(c − a )(c − b)
Bµi 21. Cho x2 - 4x + 1 = 0
4
2
Tính giá trị của biểu thức
A = x + x +1
x2
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiên

9

II) Bài toán giải phơng trình bậc cao.
Phơng pháp: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đa về phơng trình tích
AB = 0 hoặc A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ: Giải phơng tr×nh
* VÝ dơ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0
⇔ x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = 0
⇔ x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0
⇔ (x- 5)(x2- 2x + 5) = 0
x − 5 = 0
⇔  2
x − 2x + 5 = 0
x = 5
⇔ 
2
( x 1) + 4 = 0(voly )
Vậy phơng trình đà cho cã tËp nghiƯm S = {5}
* VÝ dơ 2:
(2x2 + 3x - 1) 2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0
(1)
2
Đặt: 2x + 3x - 1 = t
(*)
2
⇒ 2x + 3x + 3 = t + 4
Phơng trình đà cho trở thành:
t2 - 5(t + 4) + 24 = 0
⇔ t2 - 5t + 4 = 0
⇔ (t - 1)(t - 4) = 0
t − 1 = 0
⇔ 

t − 4 = 0
t = 1
⇔ 
t = 4
+ Thay t = 1 vµo (*), ta cã: 2x2 + 3x - 1 = 1
⇔ 2x 2 + 3x - 2 = 0
⇔ (2x 2 + 4x) - x - 2 = 0
⇔ 2x(x + 2) - (x + 2) = 0
(x + 2) (2x - 1) = 0
 x = −2
x + 2 = 0

1
2 x − 1 = 0 ⇔ 
x=

2

+ Thay t = 4 vµo (*), ta cã :
2x2 + 3x - 1 = 4
⇔ 2x 2 + 3x - 5 = 0
⇔ (x - 1)( 2x +5) = 0
x = 1
x −1 = 0
⇔
⇔ 
x = − 5
2 x + 5 = 0
2


VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiƯm: S = { -2;
* VÝ Dô 3:
(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40
⇔ (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40
⇔ (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40

5
1
;
; 1}
2
2`

(1)

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiên

10


§Ỉt x2 + 6x + 5 = t (*)
⇒ x2 + 6x + 8 = t + 3
Phơng trình đà cho trë thµnh:

Thay t = 5 vµo (*), ta cã:

x2 + 6x + 5 = 5
⇔x2 + 6x = 0

t(t + 3) = 40
⇔ t2 + 3t – 40 = 0
⇔ (t – 5)(t + 8) = 0
t = 5
⇔ 
t = −8

x = 0
⇔x(x + 6) = 0 ⇔ 
x = - 6
2
Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x + 6x + 5 = - 8
⇔ x2 + 6x + 13 = 0
5 25
27
⇔x2 + 2x +
+
= 0
2
4
4
5
27
(x + )2 +

= 0 (Vô lý)
2
4
Vậy phơng trình (1) cã tËp nghiƯm S = {0; -6}
VÝ dơ 4: Giải phơng trình đối xứng bậc chẵn
x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0 (4)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng tr×nh (4)
⇒ Chia hai vÕ cđa (4) cho x 2 0, ta đợc
1
1
x 2 + 3x + 4 + 3 + 2 = 0
x x
1
1
⇔ (x2 + 2 ) + 3(x +
)+4=0
x
x
1
Đặt x +
= t (*)
x
1
x 2 + 2 = t2 2
x
Phơng trình đà cho trở thành :
t 2 + 3t + 2 = 0
⇔ (t + 1)(t + 2) = 0
t = −1
⇔

t = −2
1
Thay t = - 1 vào (*), ta đợc : x +
= -1 ⇔ x 2 + x + 1 = 0 (Vô nghiệm)
x
1
Thay t = - 2 vào (*), ta đợc : x +
= - 2 ⇔ x 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ (x + 1) 2 = 0 x = -1
x
Vậy phơng trình (4) có tập nghiệm S = {-1}
*Ví dụ 5: Giải Phơng trình đối xøng bËc lỴ
x 5 – x 4 + 3x 3 + 3x 2 – x + 1 = 0 (5)
Cã x = - 1 là 1 nghiệm của phơng trình (5).
Do ®ã (5) ⇔ (x + 1)(x 4 – 2x 3 + 5x 2 – 2x + 1) = 0
Gi¶i phơng trình đối xứng bậc chẵn.
x4 2x3 + 5x2 – 2x + 1 = 0 (5’)
Ta thÊy x = 0 không là nghiệm của (5). Chia cả 2 vế của (5) cho x 2 0, ta có:
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr êng THCS Tiªn

11


x 2 2x + 5 - 2
Đặt

(x +

1
1
1
1
+ 2 = 0 ⇔ (x 2 + 2 ) – 2(x + ) + 5 = 0
x
x
x
x

1
) = t (*)
x

1
) = t2 – 2
x2
(5’) ⇔ t 2 – 2t +3 = 0
⇔ (t – 1) 2 + 2 = 0 ( vô nghiệm)
Vậy Phơng trình (5) có tập nghiêm S = {-1}
Bài tập:
Bài 22: Giải phơng trình
a) 2x 3 + 3x 2 +6x +5 =0
b) x 4 – 4x 3 – 19x 2 + 106x – 120 = 0
c) 4x 4 + 12x 3 + 5x 2 – 6x – 15 = 0
d) x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = 0
Bài 23: giải phơng trình

a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24
b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680
c) (2x + 1)(x+ 1) 2 (2x + 3) = 18
d) 12x + 7) 2 (3x + 2)(2x + 1) = 3
Bài 24: giải phơng trình
a) (x 2 6x + 9) 2 15(x 2 – 6x + 10) = 1
b) (x 2 + x + 1) 2 +(x 2 + x + 1) – 12 = 0
c) (x 2 + 5x) 2 2x 2 10x = 24
Bài 25: giải phơng tr×nh
a) x 4 - 2x 3 + 4x 2 – 3x + 2 = 0
b) x 4 – 3x 3 + 4x 2 – 3x + 1 = 0
c) 2x 4 – 9x 3 + 14x 2 – 9x + 2 = 0
d) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 +x 2 + x + 1 = 0
Bài 26: giải phơng trình: x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = 0
⇒ (x 2 +

D. KÕt luËn chung
Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chơng trình học của học sinh, nó liên quan
kết hợp với các phơng pháp khác tạo nên sự lôgic chặt chẽ của toán học. Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó
từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích .
Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán
đoán, tổng hợp kiến thức.
Trong năm qua tôi đà vận dụng phơng pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng
các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận dụng rút gọn biểu
thức thì ý nghĩa của việc phân tích các đa thức tử và mẫu của các phân thức rất quan trọng, nó không những giúp
việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà còn giúp việc tìm tập xá định, tìm mẫu thức chung của biểu thức .
Số học sinh nắm vững các phơng pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng đợc vào các
bài tập là 95%
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiªn

12


Trên đây là một số suy nghĩ của tôi về vấn đề phát triển t duy của học sinh qua việc dạy giải bài toán phân
tích đa thức hành nhân tử.
Rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp .
Xin chân thành cảm ơn !

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử
Nha

Nguyễn Thanh Hùng
năm 2006

Tr ờng THCS Tiªn

13