Một số bài toán Hình học giải tích

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NguyÔn §øc Thôy * * * H×nh häc gi¶i tÝch 1. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:  x  1 t x  2 y  z  4  0 vµ  :  y  2  t  : 1  x  2 y  2z  4  0 2   z  1  2t a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  và song song với đường 1 th¼ng  . 2 b. Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng  sao cho đoạn 2 thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. (trÝch §TTS §H A2002) 2. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): (2m  1) x  (1  m) y  m  1  0 (m lµ tham sè) 2 x  y  2  0 vµ ®­êng th¼ng dm :   mx  (2m  1) z  4m  2  0 Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). (trÝch §TTS §H D2002) 3. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: ax  3 y  3  0  x  az  a  0 vµ d :  d : 2  x  3z  6  0 1  y  z 1  0 a. Tìm a để hai đường thẳng d và d cắt nhau. 1 2 b. Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với 2 ®­êng th¼ng d . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a d vµ d khi a = 2. 1 1 2 4. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho đường thẳng: 2 x  2 y  z  1  0 và mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  m  0 . Tìm m để d :  x  2 y  2z  4  0 ®­êng th¼ng d c¾t mÆt cÇu (S) t¹i hai ®iÓm M, N sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm đó bằng 9. 5. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; -1; -2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5). TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhá nhÊt. 6. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: 3 x  z  1  0 x y 1 z d :   vµ d :  1 1 2 2 x  y  1  0 2 1 a. Chøng minh r»ng d , d chÐo nhau vµ vu«ng gãc víi nhau. 1 2 b. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d , d và 1 2 x4 y 7 z 3 song song víi ®­êng th¼ng  : .   1 4 2 7. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) vµ ®iÓm C sao cho AC  (0;6;0) . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ trung ®iÓm I cña BC đến đường thẳng OA. (trÝch §TTS §H B2003) NguyÔn §øc Thôy. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> NguyÔn §øc Thôy * * * H×nh häc gi¶i tÝch 8. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với A(0; 0; a 3 ), B(a; 0; 0), C(0; a 3 ; 0) (a > 0). Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng AB vµ OM. 9. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) mét gãc b»ng 300. 10. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho đường thẳng:  x  3ky  z  2  0 d : k kx  y  z  1  0 Tìm k để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x  y  2 z  5  0. k (trÝch §TTS §H D2003) 11. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  m2  3m  0 (m lµ tham sè) vµ mÆt cÇu (S): ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  9 . Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). 12. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), 3 x  2 y  11  0 B(0; -1; 3) vµ ®­êng th¼ng d:   y  3z  8  0 a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P), chøng minh r»ng d vu«ng gãc víi IK. b. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phương trình x  y  z  1  0. 13. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho bốn điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1), C(-2; 2; 2), D(1; -1; 2). a. Chøng minh c¸c tam gi¸c ABC, ABD, ACD lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. b. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. c. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH. 14. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho ba điểm A(1; 1; 2), B(-2; 1; -1), C(2; -2; 1). a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). c. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn OABC. 15. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:  x  2t '  x  1 t  vµ  :  y  1  t '  :y  t 2  1   z  t z  t ' a. Chøng minh  ;  chÐo nhau vµ tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng Êy. 1 2 b. Tìm hai điểm A, B lần lượt trên 1; 2 sao cho AB là đoạn vuông góc chung của  vµ  . 1 2 NguyÔn §øc Thôy. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>