Giáo án Bồi dưỡn học sinh giỏi Toán 8 - Trường THCS Quảng Hợp

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 TiÕt 1-2-3-4 Chuyên đề 1:. phÐp nh©n vµ phÐp chia ®a thøc D¹ng tæng qu¸t: Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức: A(B+C) = A.B +A.C ( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D C¸c bµi to¸n vËn dông: Bµi to¸n 1: Cho biÓu thøc: M= a) Bằng cách đặt. 3 1 1 432 4 (2  )  229 433 229 433 229  433. 1 1  a,  b , h·y rót gän biÓu thøc M theo a vµ b 229 433. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M. Gi¶i: a) M = 3a(2  b)  a(1  b)  4ab  5a b) M = 5a  5 . 1 5  229 229. Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= x 5  5 x 4  5 x 3  5 x 2  5 x  1 víi x= 4 Gi¶i: C¸ch 1. Thay x  4 , ta cã A = 4 5 -5.4 4 +5.4 3 -5.4 2 +5.4-1 = 4 5 -(4+1).4 4 +(4+1).4 3 -(4+1)4 2 + (4+1).4-1 = 4-1 =3 C¸ch 2: Thay 5 bëi x  1 , ta cã: A = x  ( x  1) x 4  ( x  1) x 3  ( x  1) x 2  ( x  1) x  1 = x5  x5  x4  x4  x3  x3  x 2 + x2  x 1 = x 1 = 3. 5. Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta thường thay chữ b»ng sè.Nh­ng ë vÝ dô 1 vµ ë c¸ch 2 cña vÝ dô 2, ta l¹i thay sè b»ng ch÷.. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 1 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 Bµi to¸n 3: Chứng minh hằng đẳng thức ( x  a )( x  b)  ( x  b)( x  c)  ( x  c)( x  a )  ab  bc  ca  x 2 biÕt r»ng 2 x  a  b  c. Gi¶i: Biến đổi vế trái ta được: x  bx · ab  x  cx  bx  bc  x 2  cx  ab  3 x 2  2 x(a  b  c)  (ab  bc  ca). Thay a  b  c bëi 2 x ®­îc vÕ tr¸i b»ng  x 2  ab  bc  ca , b»ng vÕ ph¶i. 2. 2. bµi tËp: Bµi tËp 1: Rót gän bÓu thøc. 2 y  x  2 x  y  y  3 x  (5 y  x) . Víi x  a 2  2ab  b 2 , y  a 2  2ab  b 2 . Bµi tËp 2: a)Chøng minh r»ng 210  211  212 chia hÕt cho 7 b) ViÕt 7.32 thµnh tæng cña ba luü thõa c¬ sè 2 víi c¸c sè mò lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi tËp 3: TÝnh 3. 1 1 4 118 5 8   5   117 119 117 119 117  118 39. Bµi tËp 4: Chứng minh hằng đẳng thức: ( (a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca)(a  b  c)  a(a 2  bc)  b(b 2  ca)  c(c 2  ab) Bµi tËp 5: Rót gän biÓu thøc ( x  a)( x  b)( x  c) biÓu r»ng a  b  c  6, ab  bc  ca  7, abc  60. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 2 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 TiÕt 5-6-7-8 Chuyên đề 2:. các hằng đẳng thức đáng nhớ Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở réng. từ đẳng thức (1) ta suy ra: (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca. Më réng: 2. 2. 2. 2. (a1  a 2  ...........a n ) 2  a1  a 2  .............  a n 1  a n  2a1a 2  ...........  2a n 1a n. Tæng qu¸t: (a  b) n  B( a )  b n  B(b )  a n. C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Cho x+y=9 ; xy=14. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a) x-y ; b) x 2 +y 2 ; c)x 3 +y 3 . Gi¶i a) (x-y) 2 =x 2 -2xy+y 2 =x 2 +2xy+y 2 -4xy=(x+y) 2 -4xy=9 2 -4.14=25=5 2 suy ra x-y =  5 b) (x+y) 2 =x 2 +y 2 +2xy suy ra x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy = 9 2 -2.14 = 53 c) (x+y) 3 = x 3 +y 3 +3x 2 y+3xy 2 = x 3 +y 3 +3xy(x+y) suy ra x 3 +y 3 =(x+y) 3 -3xy(x+y) =9 3 -3.14.9 = 351 NhËn xÐt: 1. Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngược lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phương bằng nhau. ( A – B) 2 = ( B – A ) 2 2. §Ó tiÖn sö dông ta cßn viÕt: ( A + B) 3 = A 3 + B + 3AB(A+B) 3. ( A – B) 3 = A 3 - B 3 - 3AB(A-B ) VÝ dô 3:. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 3 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = (x + 3y – 5) 2 - 6xy + 26 Gi¶i : A = x 2 + 9y 2 + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26 = ( x 2 - 10x + 25) + ( 9y 2 - 30y + 25 ) + 1 = ( x -5) 2 + ( 3y-5) 2 + 1 V× (x-5) 2  0 (dÊu “ =” x¶y ra  x=5 ); (3y-5) 2  0 (dÊu “=” x¶y ra  y=. 5 5 ) nên A  1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y  ). 3 3. Ta viÕt min A = 1. NhËn xÐt : 1. Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau. Ch¼ng h¹n: (A – B ) 2 = A 2 - 2AB + B 2 hoặc ngược lại 2. Bình phương của mọi số đều không âm : ( A – B ) 2  0 (dÊu “ =” x¶y ra  A = B). VÝ dô 4: Cho đa thức 2x 2 - 5x +3.Viết đa thức trên dưới dạng một đa thức của biến y trong đó y =x+ 1. Gi¶i: thay x bëi y-1, ta ®­îc : 1x 2 - 5x +3 = 2( y – 1) 2 - 5( y-1 ) + 3 = 2 ( y 2 - 2y + 1) – 5y + 3 + 5 = 2y 2 - 9y + 10 VÝ dô 5: Sè nµo lín h¬n trong hai sè A vµ B ? A = (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1) B = 2 32 . Gi¶i: Nh©n hai vÕ cña A víi 2-1, ta ®­îc : A = (2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1). áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 nhiều lần, ta được: A = 2 32 -1. VËy A < B. VÝ dô 6: Rót gän biÓu thøc : A = (a + b + c) 3 + (a - b – c) 3 -6a(b + c) 2 . Gi¶i : A = [a + (b + c)] 3 + [a – (b + c)] 3 - 6a(b + c ) 2 = a 3 + 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + (b + c) + a 3 -3a 2 (b + c) + + a 3 - 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 - (b + c) 3 - 6a(b + c) 2 = 2a 3. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 4 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. Bµi tËp vËn dông: A – C¸c. hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4). Bµi 6: TÝnh nhamh kÕt qu¶ c¸c biÓu thøc sau: a) 127 2 +146.127 + 73 2 ; b) 9 8 .2 8 - (18 4 - 1)(18 4 + 1) ; c) 100 2 - 99 2 + 98 2 - ..... + 2 2 - 1 2 d) (20 2 +18 2 +...+4 2 +2 2 ) – (19 2 +17 2 +...+3 2 +1 2 ) ; 780 2  220 2 e) 125 2  150.125  75 2. Bµi 7 : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc b»ng c¸ch hîp lÝ : a) A =. 2582  242 2 ; b) B = 263 2 + 74.263 + 37 2 ; C = 136 2 -92.136 + 46 2 ; 2 2 254  246. c) D = (50 2 + 48 2 +..........+2 2 ) – (49 2 +47 2 +...........+3 2 + 1 2 ) Bµi 8 : Cho a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca . Ch­ng minh r»ng a = b = c . Bµi 9 : T×m x vµ t×m n  N biÕt x 2 + 2x + 4 n - 2 n1 +2 = 0. B – C¸c Bµi 10 :. hằng đẳng thức (5), (6), (7) :. Rót gän c¸c biÓu thøc : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ; b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3; c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ; Bµi 11 : T×m x biÕt : 6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0 Bµi 12 : Chứng minh các hằng đẳng thức : (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a). Bµi 13 : Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 5 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 Cho a+b+c+d = 0 . Chøng minh r»ng : a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) . Bµi 14 : Cho a+b = 1 .TÝnh gi¸ trÞ cña M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2) .. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 6 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 TiÕt 9-10-11-12 Chuyên đề 3:. Tø Gi¸c – h×nh Thang – H×nh thang c©n. *) Kh¸i niÖm chung vÒ tø gi¸c: +) §Þnh nghÜa : a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai ®o¹n th¼ng nµo còng kh«ng cïng n»m trªn mét ®­êng th¼ng. A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.. Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh. Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau). Đường chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau. Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt ®iÓm thuéc tø gi¸c, ®iÎm trong tø gi¸c, ®iÓm ngoµi tø gi¸c. b) ABCD lµ tø gi¸c låi  ABCD lu«n thuéc nöa mÆt ph¼ng víi bê lµ ®­êng th¼ng chøa bÊt kú c¹nh nµo cña nã. Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm. Trong h×nh, ABCD lµ tø gi¸c låi A. B. D. C. 3. §Þnh lÝ: Tæng c¸c gäc trong tø gi¸c b»ng 3600 . *) T×m hiÓu s©u vÒ tø gi¸c gi¸c låi: §Þnh lÝ : Trong mét tø gi¸c låi , hai ®­êng chÐo c¾t nhau. Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác låi. ABCD låi  ABCD cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau. Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây: (I) Tia Oz n»m trong gäc xOy  tia Oz c¾t ®o¹n th¼ng MN, víi M  Oz, N  Oy (II) NÐu tia Oz n»m trong xOy th× Oz vµ Oy n»m trong nöa mÆt ph¼ng bê chøa Oy; Oz vµ O x n»m trong nöa mÆt ph¼ng bê chøa Oy. (III) Cho tam gi¸c ABC a) C¸c trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ c¸c ®iÓm A vµ C c¾t nhau t¹i ®iÓm M. Tø gi¸c ABCM lµ låi hay kh«ng låi? V× sao?. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 7 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 b) M lµ mét ®iÓm tuú ý thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC( kh«ng th¼ng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM lµ tø gi¸c låi? c) M vµ N lµ hai ®iÓm tuú ý thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC( vµ kh«ng thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác låi. B. Gi¶i. a) ABCM kh«ng låi (lâm), v× B vµ C n»m ë hai nöa mÆt M phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a) b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm bÊt k× thuéc miÒn trong cña tam gi¸c ABC. NÕu M thuéc miÒn ngoµi cña ABC th× A có hai trường hợp : - M ở trong góc đối đỉnh của một góc cña tam gi¸c. trong h .2b, M ë trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm). - M ë trong mét gãc cña tam gi¸c. trong h×nh 2b, M’ n»m trong gãc A. Do đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC, cho nªn ®o¹n Am’ c¾t ®o¹n th¼ng BC vµ ABM’C lµ tø gi¸c låi.. C. Tãm l¹i, trong h .2b, c¸c miÒn ®­îc g¹ch chÐo lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M mµ MABC lµ tø gi¸c lâm. Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các j M đỉnh của tứ giác lồi.. B. M'. A. C. c) §­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N bao giê còng kh«ng c¾t mét c¹nh cña tam gi¸c ABC. Trong h .2c, ®­êng th¼ng MN kh«ng c¾t AC. Tø gi¸c MNCA lµ B tø gi¸c låi(®iÓm N thuéc miÒn ngoµi cña tam gi¸c MAC vµ n»m trong gãc MAC). M. N. A. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 8 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp. C.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. H .2a. c¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đường chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đường chÐo. *) NhËn xÐt : Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm các đường phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”. Gi¶i B Cho tø gi¸c ABCD(h. 7). Ta ph¶i chøng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) C 1) Chøng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA o Ta cã : AC < AB +BC (bất đẳng thức trong  ABC) A AC < AD + DC (bất đẳng thức trong  ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức trong  BCD) BD < BA + AD (bất đẳng thức trong  BAD) Từ đó : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chøng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). Trong tam gi¸c ABO vµ CDO, ta cã : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Céng (1) vµ (2) ta cã : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tương tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có : AD + BC < BD + AC (4) Tõ (3) vµ (4) ta ®­îc : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). (®pcm) *) NhËn xÐt: 1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đường chéo. Vậy có thể phát biểu mệnh đề : “ Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đường chÐo”.. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 9 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp. D.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn đúng không ? vì sao? VÝ dô 2: Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD. Chøng minh r»ng : AB < AC. C Gi¶i Gäi giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ O B Trong tam gi¸c AOB, ta cã : O D AB < AO + OB (1) Trong tam gi¸c COD, ta cã : CD < CO + OD (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : AB + CD < BO + OD + CO + OA A AB + CD < AC + BD (3) Theo gi¶ thiÕt : AB + BD  AC + CD (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra AB < AC.(®pcm). VÝ dô 3 : Cho tø gi¸c låi ABCD. Gäi P vµ Q lµ trung ®iÓm cña hai c¹nh AD vµ BC. Chøng minh r»ng : PQ . DC  AB 2. Gîi ý : ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đường phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng B định lí về đường trung bình trong tam giác. Gi¶i A GT Tø gi¸c ABCD PA = PD, QB = QC KL. PQ . Q. DC  AB 2. P. Cm:. F. Ta kÎ thªm ®­êng chÐo AC vµ lÊy trung ®iÓm F cña AC. D Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình, do đó : PF =. DC 2. Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình. do đó :. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 10 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp. C.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 QF =. AB 2. NÕu P,Q vµ F kh«ng th¼ng hµng th× trong tam gi¸c PQF ta cã: PQ < PF + QF =. DC  AB 2. NÕu P, Q, vµ F th¼ng hµng th× F lµ ®iÓm n»m gi÷a cña hai ®o¹n th¼ng PQ vµ ta cã : PQ = PF + QF =. DC  AB 2. Như vậy trong mọi trường hợp, ta có : PQ . DC  AB . ( ®pcm) 2. NhËn xÐt : Cã thÓ thÊy ngay r»ng : P, Q, F th¼ng hµng Do đó ta chứng minh được rằng : PQ . . AB//CD.. DC  AB . 2. Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD. Như vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định lÝ:. CD  AB 2 CD  AB (2) NÕu ABCD kh«ng lµ h×nh thang (AB//CD) th× PQ  2 DC  AB vµ PQ < 2. (1) NÕu ABCD lµ h×nh thang (AB//CD) th× PQ =. C¸c bµi tËp : Bµi tËp 1: Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc miÒn trong cña ttam gi¸c OCD, víi O lµ giao ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng AC vµ BD. ChØ ra tø gi¸c låi nhËn bèn trong n¨m ®iÓm A, B, C, D, E.. Bµi tËp 2:. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 11 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 Chøng minh r»ng tõ n¨m ®iÓm bÊt k× trong mÆt ph¼ng(kh«ng cã ba điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn được bốn điểm là các đỉnh của một tứ gi¸c låi. Bµi tËp 3: Chøng minh r»ng trong mét tø gi¸c låi cã c¸c gãc kh«ng b»ng nhau th× cã Ýt nhÊt mét gãc tï. Bµi tËp 4: Cho tø gi¸c låi ABCD, hai c¹nh AD vµ BC kÐo dµi gÆp nhau t¹i E, hai c¹nh AB vµ CD kÐo dµi gÆp nhau t¹i M. KÎ hai ph©n gi¸c cña hai gãc CED vµ BMC c¾t nhau t¹i K. tÝnh gãc EKM theo c¸c gãc trong cña tø gi¸c ABCD.. *) h×nh thang – h×nh thang c©n: H×nh thang: -) §Þnh nghÜa: H×nh thang lµ tø gi¸c cã hai c¹nh song song. AB//CD ABCD lµ h×nh thang  hoÆc (AB//CD,AD//BC) AD//BC B A. A. B. D. C. A. D. B. D. C. C. Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai c¹nh bªn, ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai c¹nh bªn gäi lµ ®­êng trung b×nh 2. §Þnh lÝ (vÒ ®­êng trung b×nh) AB//CD.  PQ//AB vµ PQ =. AB  CD 2. h×nh thang c©n 1. §Þnh nghÜa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau. 2. TÝnh chÊt: §Þnh lÝ 1: Trong h×nh thang c©n, hai c¹nh bªn b»ng nhau. H×nh thang ABCD (AB//CD) :  BC= AD. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 12 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 §Þnh lÝ 2 : Trong h×nh thang c©n hai ®­êng chÐo b»ng nhau. H×nh thang ABCD(AB//CD) :  AC = BD Định lí 3 :(đảo của định lí 2) NÕu h×nh thang cã hai ®­êng chÐo b»ng nhau th× nã lµ h×nh thang c©n. 3. DÊu hiÖu nhËn biÕt h×nh thang c©n: §Ó chøng minh h×nh thang lµ c©n, ta cã thÓ chøng minh h×nh thang đó có một trong các tính chất sau : 1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa). 2) Hai ®­êng chÐo b»ng nhau. VÝ dô 4 : Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lượt trên các tia AB vµ AC sao cho : AE + AK = AB + AC Chøng minh r»ng : BC < EK. A. K. L. Gi¶i : LÊy trªn AB mét ®iÓm L sao cho AL = AK LÊy trªn AC mét ®iÓm D sao cho AD = AE Râ rµng c¸c tam gi¸c ALK vµ AED lµ nh÷ng tam gi¸c c©n cã chung gãc ë đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do đó DELK là h×nh thang c©n, cã c¸c ®­êng chÐo b»ng nhau. DL = EK (1) Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo DL vµ EK, ta xÐt tæng : EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL) = (EO + OD) + (OK + OL) Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có : 2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) O. B. C. D. E. Nh­ng trong tam gi¸c OKL, ta cã : OK + OL > LK Trong  DEO : EO + OD > ED. (3) (4). Tõ (2), (3) vµ (4) : 2EK > LK + ED Tõ gi¶ thiÕt AE + AK = AB + AC Suy ra BE = CK MÆt kh¸c dÔ thÊy BCDE lµ h×nh thang c©n nªn BE = CK. (5). Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 13 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 VËy DC = CK. Tương tự, ta cũng chứng minh được B là trung điểm của EL. Từ đó, BC ;là đường trung bình của hình thang DELK, suy ra : LK + ED = 2BC Tõ (5) vµ (6), ta cã : EK > BC ( ® p c m).. (6). VÝ dô 5 : Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc. BiÕt đường cao AH = h, Tính tổng hai đáy. Gi¶i : VÏ AE// BD (E CD). V× AC  BD (gt) nªn AC  AE B A (quan hÖ gi÷a tÝnh song song vµ vu«ng gãc). Ta cã AE = BD ; AB = DE (tÝnh chÊt ®o¹n ch¾n) AC = BD (tÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh thang O c©n)Suy ra AC = AE ; A AEC vu«ng c©n t¹i A ; ®­êng cao AH còng lµ trung tuyÕn, 1 1 do đó AH = EC  (AB  CD) hay E D H 2 2 AB + CD =2h. NhËn xÐt: Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ đường phô ta cã thÓ : - Từ một đỉng vẽ đường thẳng song song với một đường chéo (như ví dụ trªn). - Từ một đỉnh vẽ một đường thẳng song song với một cạnh bên. - Từ một đỉnh vẽ thêm một đường cao.. VÝ dô 6 : A C A  1800 . Chøng minh r»ng Cho tø gi¸c ABCD cã AD = AB = BC vµ A a) Tia DB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc D. b) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n. K Gi¶i : 1 A B A A víi 2 a) VÏ BH  CD, BK  AD. Ta cã A1  C (cïng bï A A 2 ) do đó  BHC =  BKA(cạnh huyền, góc 1 2 nhän), suy ra BH = BK. D C H VËy DB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc D. b) Góc A1 là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên A  2D A A A  ADC A A  AB // CD (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). 1. 1. 1. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 14 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp. C.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 A A (v× cïng b»ng C VËy tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang. H×nh thang nµy cã ADC 1 A A ) nªn lµ h×nh thang c©n. 1. NhËn xÐt : Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trước tiên phải chứng minh tứ giác đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo định nghÜa) hoÆc hai ®­êng chÐo b»ng nhau. Trong vÝ dô trªn, sau khi chøng minh ®­îc AB//CD cÇn tr¸nh sai lÇm cho r»ng v× AD = BC (gt) nªn ABCD lµ h×nh thang c©n, sai lÇm ë chç h×nh thang cã hai c¹nh bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.. C¸c bµi tËp vËn dônG Bµi tËp 5: Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đường chéo AC là ph©n gi¸c cña gãc DAB. Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang. Bµi tËp 6 : Chøng minh r»ng trong mét h×nh thang ®­êng th¼ng ®i qua trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên kia. Bµi tËp 7: Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lượt là trung ®iÓm cña BD vµ AC . Chøng minh r»ng nÕu E F =. CD  AB 2. th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang.. Bµi tËp 8: Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Chøng minh r»ng tø gi¸c MNHP lµ h×nh thang c©n. Bµi tËp 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lượt trên các tia AB vµ AC sao cho : AE + AK = AB +AC Chøng minh r»ng :. BC < EK .. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 15 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8. TiÕt 13 =>18 Chuyên đề 5 (6tiết): §­êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang *) KiÕn thøc c¬ b¶n : 1. a) §­êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø hai th× nã ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba. b) §­êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh bªn cña h×nh thang vµ song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. 2. a) §­êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c. (h.8) b) §­êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang.(h.9) A. A. E. E. F. D. B F. D. C. C. h.8 h.9 3.a) §­êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa cạnh đấy. b) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. Bæ sung : Trong h×nh thang cã hai c¹nh bªn kh«ng song song, ®o¹n th¼ng nèi trung điểm hai đường chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy. Trong h.10 : A B MN // AB // CD CD  AB MN  . M N 2 D. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 16 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp. C.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 C¸c vÝ dô minh häa *) VÝ dô 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng AB  CD minh r»ng nÕu MN  th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang. 2 Gi¶i : Gọi O là trung điểm của BD. Các đoạn thẳng OM, ON lần lượt là đường trung b×nh cña ABD vµ BCD nªn B AB OM  vµ OM // AB ; (1) 2 CD ON = vµ ON // CD ; (2) A O 2 N Suy ra O n»m gi÷a M vµ N. VËy ba ®iÓm M, O, N th¼ng hµng (3). M Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác ABCD lµ h×nh thang. D. C. +) NhËn xÐt : Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai điểm này ta chưa được đường trung bình của tam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm trung điểm của đường chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng được định lí đường trung bình của tam giác để chứng minh. Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đường trung bình của tam giác là việc vẽ đường phụ thường gặp khi giải bài toán hình học. *) VÝ dô 2 : Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện của hình thang này để hai đường chéo của nó chia đường trung bình thành ba phần b»ng nhau. A B Gi¶i : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC ; MN c¾t BD t¹i P, c¾t AC t¹i Q ; MN lµ ®­êng trung b×nh cña M Q P h×nh thang nªn MN // AB // CD. XÐt ABD cã MA = MD ; MP // AB nªn PB = PD D XÐt ADC cã MA = MD ; MQ // CD nªn QA = QC. MP và NQ lần lượt là đường trung bình của ABD và ABC nên AB MP  NQ  . 2 PQ lµ ®o¹n nèi trung ®iÓm hai ®­êng chÐo cña h×nh thang ABCD nªn. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 17 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp. N C.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 CD  AB . 2 AB2 CD  AB  Ta cã : MP = +Q = QN  2 2  AB  CD  AB  CD  2.AB +) NhËn xÐt : Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD , chứng minh tương tự như trên ta vẫn có hai đường chéo chia đường trung bình thµnh ba phÇn b»ng nhau. Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đường chéo của nó chia ®­êng trung b×nh lµm ba phÇn b»ng nhau. *) VÝ dô 3 : Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đường vuông góc xuống một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam gi¸c xuèng ®­êng th¼ng d. Gi¶i : Gi¶ sö ABC cã ba ®­êng trung tuyÕn AD, BE, CF c¾t nhau t¹i O; c¸c đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đường thẳng d. Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI PQ . A. F. E O. M C B. D. H N I G P Tõ trung ®iÓm M cña K BO vµ tõ E, ta h¹ MN vµ EP vu«ng gãc víi d. Ta cã BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chóng cïng vu«ng gãc víi d). V× O lµ täng t©m cña tam gi¸c ABC nªn BM = MO = OE. Ta lại có HN = IN = IP (đường thẳng song song cách đều). Như vậy ta được ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lượt có MN, OI, EP là các đường trung bình. Từ đó suy ra MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nh­ng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vµo (1) ta ®­îc BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI.  VÝ dô 4 :. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 18 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 Cho mét ®iÓm C ë ngoµi mét ®o¹n th¼ng AB. Dùng c¸c tam gi¸c vu«ng A AC = CBB' A = 1v ). Chøng minh c©n ACA’, BCB’ ra ngoµi tam gi¸c ABC ( A' r»ng vÞ trÝ cña ®iÓm M ( trung ®iÓm cña A’B’) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ chän ®iÓm C. Gi¶i : H¹ A’H, C E vµ B’F cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AB. Ta dÔ dµng chøng minh ®­îc c¸c cÆp tam gi¸c vu«ng sau ®©y b»ng nhau : B' M C. A'. H. A. E. N. B. F. A' HA = AEC (1) B'FB =  BEC (2) Suy ra AH = BF = CE. Gäi N lµ trung ®iÓm cña HF th× N còng lµ trung ®iÓm cña AB. MN còng lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang vu«ng A’HFB’ nªn A'H + B'F MN  AB vµ MN = . 2 Nh­ng tõ (1) vµ (2) ta cã A’H = AE ; B’F = BE AE + BE AB MN =  nªn . 2 2 AB VËy MN vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm N cña AB vµ MN = , nghÜa 2 là vị trí điểm M được hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C ( C lµ ®iÓm bÊt k×, C vµ M cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®­êng th¼ng AB). c¸c bµi tËp vËn dông Bµi 1: A =  . Trªn c¹nh CA lÊy ®iÓm D sao cho CD = AB. Cho tam gi¸c ABC cã A KÎ ®­êng th¼ng xy qua trung ®iÓm cña AD vµ BC. tÝnh gãc do ®­êng th¼ng xy t¹o víi AB. Bµi 2 : Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD bằng nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D). Các điẻm I và E lần lượt là trung ®iÓm cña AC vµ BD. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng IE song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc xOy. Cho tam gi¸c ABC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n ABD( vu«ng ë A, D vµ C cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB), dùng tam gi¸c vu«ng c©n AEC ( vu«ng ë A, E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi K, I, M lần lượt là trung điểm của EC, BD vµ BC. Chøng minh r»ng tam gi¸c KMI vu«ng c©n. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 19 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8 Bµi 4: Cho hai ®iÓm A vµ B ë ngoµi ®­êng th¼ng xy. t×m hÖ thøc gi÷a kho¶ng c¸ch tõ trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy. Bµi5 : Cho tam giác ABC. Đường thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B’ và C’ là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đường thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn nhất.. Gi¸o viªn : TrÞnh V¨n Hïng-. Trang 20 Lop8.net. -Trường THCS Quảng Hợp.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>