Bài tập phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài:...... GVGD: Tên thầy. BÀI 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. GIẢI ĐÁP BÀI TỰ LUYỆN: 1. a. sin12x  cos8x= 3(sin 8x  cos12x).  5  1 cosx    3  2 2  4     c. sin  x   sin  x   cos     15  5    9 b. sin . d. Chọn các nghiệm của phương trình: cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 thuộc 0;14.  3   x   2cosx.sin(+x)  2  x x 5 b. sin4  cos4  8 8 8 c. 2sin2x.sin4x=cos2x+sin3x d. sin2 x+sin4 x=1. 2. a. cos . 3. Giải các phương trình: a. cosx+2sin2x-cos3x  1  2 sin x  cos2x b. 8 sin x . 3 1  cosx sinx. 4. Tìm các nghiệm của phương trình.. cos. . .  3x  9x 2  16x  80  1 4. Giải: 1. a. sin12x  cos8x= 3(sin 8x  cos12x).  sin12x  3cos12x= 3 sin 8x  cos8x 1 3 3 1 sin12x  cos12x= cos8x+ cos8x 2 2 2 2      sin12x.cos  sin cos12x=sin8x.cos  sin cos8x 3 3 6 6      sin  12x-   sin  8x+  3 6        12x  3  8x  6  k2  x  8  k2   (k  Z)  5  7  12x   x   8x  k2  k2   3 6 12  5  1 b. sin  cosx    3  2 . www.thaytro.vn. Trang 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy.  5  3 cosx    5 cosx   3.   k2 6  5  k2 6. 1 6k  cosx  10  5  cosx  1  6k  2 5. (1) (k  Z) (2). (1): Để có nghiệm phải chọn K thuộc Z sao cho:. 1 . 1 6k 11 3   1 k 10 5 12 4. :k  0. Với K=0. cosx=. 1 10. 1 1  k2  x  arccos  2k(k  z) 10 10 1 6k 5 5  1   k   k  1, k  0 (2) Xét 1   2 5 4 12 1 5 7 Với k= -1: cosx=    2 6 10 1  7   7   x  arccos  -   k2  x   arccos  -   2k   10   10  1  1 Với k=0; cos x   x   k2  x    2k(k  z) 2 3 3 2  4     c. sin  x   sin  x   cos     15  5    9 2 4  2 4     x  15  x  5   x  15  x  5   .cos    cos     2 sin  9 2 2   7      2 sin  x  .cos  cos  15  3 9   x  arccos. 7    7   sin  x   sin    15    18  7 7 7    x  15  18  k2  x   90  k2   (k  Z)  x  7  11  k2  x  13  k2   15 18 90 d. cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (*) co3x=cos(2x+2)=cos2x.cosx-sin2x.sinx =(2cos2x-1)cosx-2sin2x.cosx =2cos3x-cosx-2(1-cox2x).cosx =4cos3x-3cosx 3  4 cos x  3 cos x  4(2 cos2 x  1)  3 cos x  4  0 (*)  4 cos3 x  8 cos2 x  0  4 cos2 x(cosx-2)=0   cosx=0  x=  k (K  Z) 2. www.thaytro.vn. Trang 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy.   k  14 2 1    k  14  2 2 1 14 1  k  2  2. Yêu cầu bài toán: 0 . => k=0,1,2,3 từ đây tính ra các nghiệm theo yêu cầu bài toán..  3  2. a. cos   x   2cosx.sin(+x)  2  3  cos(  x)  2cosx.sin(+x) 2   cos(  x)  2cosx.(-sinx) 2   -cos(  x)   2cosx.sinx 2  sinx+ 2cosx.sinx=0  sinx(1+ 2cosx)=0 sinx=0  x  k   (k  Z) cosx=- 1  x   3  k2 4 2   x x 5 b. sin4  cos4  8 8 8 2. x x x x 5    sin2  cos2   2 sin2 .cos2  8 8 8 8 8  x  1  cos   1 x 5 1 2 5  1  sin2   1    2 4 8 2 2  8   x x 1 2  8  2  2 cos  5  cos    cos 2 2 2 3 x 2    k2 2 3 4 x  k4 (k  Z) 3 c. 2sin2x.sin4x=cos2x+sin3x  cos2x-cos6x=cos2x+sin3x   cos(-6x)=cos(  3x) 2 R     6x     3x   k2 2 . www.thaytro.vn. Trang 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy.  k2  x  6  3  (k  Z)  x    k2  6 3 2 4 d. sin x+sin x=1  2sin2 x+2sin4 x=2  1-cos2x+1-cos4x=2.  cos4x+cos2x=0  cos4x=-cos2x=cos(-2x)     x= 6  k 2  4x=  (-2x)+k2   (k  Z)  x=-   k   2 2 3. cosx+2sin2x-cos3x  1  2sin x  cos2x (*) . Biến đổi:. cosx+2sin2x-cos3x=+2sin2x.sinx+2sin2x =2sin2x sinx+1. 1  sin 2x  cos2x=1+2sinx-1+2sin2 x=2sinx sinx+1 (*)  2sin2x(sinx+1)  2sin x(sinx+1) sinx(sinx+1)  0    sin2x(sinx+1)=sinx(sinx+1)  sin2x(sinx+1)=-sinx(sinx+1)  sinx(sinx+1)  0    (sin2x-six)(sinx+1)=0  (sin2x+six)(sinx+1)=0 . sinx  0   sinx+1=0    sin2x=sinx   sin2x=-sinx .   x  k   x    k2 (k  Z)  3  2 x   k2 3 . 3 1  cosx sinx  (k  Z) Điều kiện: x  k 2 b. 8 sin x . Biến đối phương trình:. www.thaytro.vn. Trang 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy. 8 sin 2x.cosx= 3 sinx+cosx  4(1-cos2x)cosx= 3 sinx+cosx  4cosx-4cos2xcos= 3 sinx+cosx  3cosx-2(cos3x+cosx)= 3 sinx 1 3  -2cos3x= 3 sinx-cosx  cos3x= cosxsinx 2 2      cos3x=cos cosx-sin sinx=cos   x  3 3 3    x   k    6  3x     x   k2   Thỏa điều kiện. 3  x     k   12 2  4. cos 3x  9x 2  16x  80  1 4 Điều kiện: 9x 2  16x  80  0   cos 3x  9x 2  16x  80  1  3x  9x 2  16x  80  k2 4 4. . . . . . .  3x  9x 2  16x  80  8k  3x  8k  9x 2  16x  80 8k  (1) x   3 9x 2  48kx  64k 2  9x 2  16x  80  8k  x   3  2  x  4k  5 3k  1  4k 2  5 4 4 49 Xét x   k  3k  1 3 9 9(3k  1) 49  9x  12k  4  (3k  1) => vế trái nguyên khi và chỉ khi 3k-1 là các ước của 49.. www.thaytro.vn. Trang 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy. 2 Loai 3 . 3k  1  1  k  0  x  5 không thoa (1) 8 . 3k  1  7  k  Loai 3 16  5 8( 2) . 3k  1  7  k  2  x   3  Thoa(1) 7 3 50 . 3k  1  49  k  Loai 3 4( 16)  5 8( 16) . 3k  1  49  k  16  x   21  Thoa(1) 3( 16)  1 3 . 3k  1  1  k . => Các nghiệm của phương trình : x=-3, x=-21.. *** BÀI LUYỆN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.  asin2x+Bsinx+c=0 đặt sinx=t, chỉ nhận nghiệm có. t 1.  acos2x+Bcosx+c=0 đặt cosx=t, chỉ nhận nghiệm có. t 1.   k 2   acot2x+Bcotx+c=0 đặt cotx=t, nhận nghiệm thỏa x   k 2  atan2x+Btanx+c=0 đặt tanx=t, nhận nghiệm thỏa x . 1. Giải phương trình: a. 4 cos 2x  2 3  1)cosx+ 3  0 b. 6 cos2 x  5 sin x  7  0. . c. sin 2x  3cos2x. . 2.    5  cos   2x  6 . 3x 3  sin2 3x  2 2 17 cos2 2x e. sin8 x  cos8 x= 6   1 f. sin4 x  cos4  x+    4 4 d. sin2. g. tan x  cot x . 2(sinx+cosx) Giải:. a. 4 cos 2x  2 3  1)cosx+ 3  0 Đặt sinx=t, ( t  1), được phương trình. 4t2  2( 3  1).cosx+ 3  0 t. 1 3 , t 2 2. www.thaytro.vn. Trang 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy. 1    cosx= 2  x   3  k2   (K  Z)  3   x    k2 cosx= 2  6 2 b. 6 cos x  5 sin x  7  0  6(1  sin2 x)  5 sin x  7  0.  6 sin2 x  5 sin x  1  0 1  x  arcsin  k2  3 1   sinx= 3 1    x    arcsin  k2 (K  Z)  3 sinx= 1   2  x  5  k2  6 2   c. sin 2x  3cos2x  5  cos   2x  6 . . . 2. 1  3    4  sin 2x  cos2x   5  cos   2x  2 6  2  2.       4  cos2xcos  sin 2x sin   5  cos   2x  6 6  6  2.       4  cos(  2x)   cos   2x   5  0 6   6     cos  6  2x   1       5 cos   2x   (loai) 6  4     cos   2x   1   2x    k2 6 6  5   k (k  Z) 12 3x 3  sin2 3x  d. sin2 2 2 3x 3x 3x 3  sin2  4 sin2 cos2  2 2 2 2 3x 3x  3x  3  sin2  4 sin2 1  sin2   2 2  2  2 3x 3x 3  sin2  5 sin2  0 2 2 2 3x  t (0  t  1) được phương trình: Đặt sin2 2. www.thaytro.vn. Trang 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy. 3 1 3 0t , t 2 2 4 3x 1 3x  sin2   2 sin2  1  1  cos3x=1 2 2 2     cos3x=0  3x=  k  x   k 2 6 3 3x 3 3x 3x 3 sin2   2 sin2   1  cos3x= 2 4 2 2 2 1 2 2 2  cos3x=-  cos x k 2 3 9 3 17 cos2 2x e. sin8 x  cos8 x= 6 4t2  5t . 4. 4. 17  1  cos2x   1  cos2x     cos2 2x   2 2 6     4 4  (1  cos2x) +(1  cos2x)  17 cos2 2x.  1  4 cos 2x  6 cos2 2x  4 cos3 2x  cos4 2x+1+4cos2x+6cos2 2x+4cos3 2x+cos4 2x=17 co  2 cos4 2x  5 cos2 2x  2  0 1  cos2 2x    2  2 cos 2x  2 (loai). 1  2 cos2 2x  1  1  cos4x=1 2     cos4x=0  4x=  k  x=  k (K  Z) 2 8 4   1 f. sin4 x  cos4  x+    4 4    4 sin4 x  4cos4  x+   1  4 cos2 2x . 2.    (1  cos2x) +  1+cos(2x+   1 2   (1  cos2x)2 +(1  sin 2x)2  1  1  2 cos 2x  cos2 2x+1-2sin2x+sin2 2x=1 2. 1 1 1 sin 2x  cos2x  2 2 2   1    cos2x.cos  sin 2x.sin   cos(2x- )  cos 4 4 4 4 2  sin 2x  cos .   x   k    2x-    k2   (k  Z) 4  4 4  x  k g. tan x  cot x  2(sinx+cosx) (1) www.thaytro.vn. Trang 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy.  2 sinx cosx (1)    2(sinx+cosx) cosx sinx 1   2(sinx+cosx) (*) sinx.cosx 2   2(sinx+cosx) sin2x 4   2(1+sin2x) sin2 2x  2=sin3 2x+sin2 2x. Điều kiện: x  k.  sin3 2x+sin2 2x-2=0  (sin3 2x-1)(sin3 2x-1)=0  (sin2x-1)(sin2 2x+sinx+1+1)=0  (sin2x-1)(sin2 2x+sinx+2)=0    sin2x=1  2x=  k2  x   k 2 4  Thỏa điều kiện, nhưng chỉ x   k2 thỏa (*) 4 2. Giải các phương trình:. 2    5  4 cos   x    3  6  2 x  5  7 1 b. 2 cos 2x  cos2  10 cos   x    cosx 2  2  2 2 4 6 c. cos x-cos2x+2sin x=0 d. tan2 x  cot 2 x  2(t anx+cotx)=6  . a. cos  2x+. Giải:. 2     5  4 cos   x    3   6  2 2   5    cos  2x+   4 sin  x    3  3 2    5     1  2 sin2  x+   4 sin  x    3 2  3   3     2 sin2  x+   4 sin  x     0 3 2  3    Đặt sin  x    t ( t  1) được phương trình: 3  a. cos  2x+. www.thaytro.vn. Trang 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy. 1  t  3 2t2  4t   0   2 2 t  3  2      x    k2 x    k2    1  3 6 6  sin  x       (k  Z) 3 2   x    5  k2  x    k2   3 6 2 x  5  7 1 b. 2 cos 2x  cos2  10 cos   x    cosx 2  2  2 2 x 4 cos 2x  2cos2  20 sinx  7  cosx 2 2  4(1-2sin x)+1+cosx-20sinx+7=cosx  -8sin2 x-20sinx+12=0  2sin2 x+5sinx-3=0  x   x   c. cos4 x-cos2x+2sin6 x=0 sinx=-3 (loai)   sinx= 1 2 .   k2 6 5  k2 6. 2. 3.  1  cos2x   1  cos2x    cos2x+2    0 2 2      1  cos2x   4 cos 2x  1  cos2x   0 2. Đặt cos2x=t. 1  t . 2. 3.  t  1 được phương trình:.  4t  (1  t)3  0.  1  2t  t 2  4t  (1  t)3  0  (1  t)2  (1  t)3  0  (1  t)2 (1  1  t)  0  t  2 (loai)  (1  t)2 (2  t)  0   t  1 cos 2x  1  2x  k2  x  k (k  z) d. tan2 x  cot 2 x  2(t anx+cotx)=6. Điều kiện: x  k.   tan x  cot x  2  2  2(tan x  cot x)  6  0.  2. Đặt tanx+cotx=U thì U  2 , Được phương trình:. U  2 U  4. U2+2U-8=0  . ** tanx+cotx=2  t anx+. 1 20 tanx. www.thaytro.vn. Trang 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy.  tan2 x  2 tan x  1  0  t anx=1   x=  k 4 1 40 ** tanx+cotx=-4  t anx+ tanx  tan2 x  4 tan x  1  0  t anx=-2- 3  x  arctan(-2- 3 )  K   (k  Z)  t anx=-2+ 3  x  arctan(-2+ 3 )  K 3. Giải các phương trình:. x x  x   2 2 4 2 sin4 x  cos4 x 1  (t anx+cotx) b. sin2x 2 2 c. 2 cos 2x  cos2x=4sin2 2x.cos2 x d. 2 sin4 x  7 sin2 x cos x  6 cos2 x  0 a. sin .sinx-cos .sin2 x  1  2 sin2 . Giải:.  x   4 2 x x x   x  sinx  sin -2cos2 .sin   1  2 sin2     0 2 2 2  4 2 x 2. x 2. a. sin .sinx-cos .sin2 x  1  2 sin2 . x x x     sinx  sin -2cos2 .sin   cos   x   0 2 2 2  2  x x x    sinx  sin -2cos2 .sin  1  0 2 2 2     x  x  sinx   2cos2  1 .sin  1  0 2  2  . x x    sinx  2sin3  sin  1  0 2 2   x  x x    sinx  sin  1  2 sin2  2 sin  1  0 2  2 2  . sinx=0   x  k (k  Z) sin x  0 2  4 sin x  cos4 x 1  (t anx+cotx) b. sin2x 2  Điều kiện: x  k 2 Biến đổi:.  sin. 2. . x  cos2 x 2 sin 2x. . 1  sin2 x  cos2 x    2  sinx.cosx . www.thaytro.vn. Trang 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy. 1 2 sin 2x 1 1 2    1  sin2 2x  1 sin 2x sin 2x 2  sin 2x  0 1. Không thỏa điều kiện => phương trình vô nghiệm c. 2 cos2 2x  cos2x=4sin2 2x.cos2 x.  1  cos4x+cos2x=(1-cos4x)(1+cos2x)  1  cos4x+cos2x=1-cos4x+cos2x-cos4xcos2x  2cos4x+cos4x.cos2x=0  cos4x(2+cos2x)=0     cos4x=0  4x=  k  x   k (k  Z) 2 8 4 4 2 2 d. 2 sin x  7 sin x cos x  6 cos x  0 Đặt sin2 x  t  0  t  1 được phương trình 2t 2  7 cos.t  6 cos2 x  0 Phương trình bậc hai cũa t này có   49 cos2 x  48 cos2 x  cos2 x.  7 cos x  cosx 3  cosx t  4 2 =>   t  7 cos x  cosx  2cosx  4 3 3  * sin2 x  cosx  1-cos2 x= cosx 2 2 cosx=-2  loai   2cos2x+3cos-2=0   cosx= 1  2 1  cosx=  x    k2 2 3 * Sin2x=2cosx  1-cos2x=2cosx. cosx=-1- 2  loai   cos2 x+2cosx-1=0   cosx=-1+ 2. . . cosx=-1+ 2  x  arccos -1+ 2  k2 1  cot 2 x+a  tanx+cotx   2  0 2 cos x 5 a. Giải phương trình khi a  . 2 4. Cho phương trình. b. Định a để phương trình có nghiệm. Giải.. 1  cot 2 x+a  tanx+cotx   2  0 2 cos x  1  tan2 x  cot 2 x+a  tanx+cotx   2  0. www.thaytro.vn. Trang 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy.  k  Z  2 2 Đặt tan x  cot x  U thì U  2 , tan2 x + cot 2 x + 2 =  tanx + cotx  Điều kiện: x  k. Được phương trình. U2  aU  1  0 5 5 a. Khi a  : U2  U  1  0  2U2  5U  2  0 2 2 U  2  U   1  loai  2  Với U=-2. 1  2  0  tan2 x  2 tan x  1  0 t anx  2   t anx+1  0  t anx=-1  x=-  k  k  Z  4 2 b. Cần tìm a để phương trình U  aU  1  0 có nghiêm U  2 tan x  cot x  2  t ãn+. phương trình có   a2  4 Nếu   0  a  2 , phương trình có nghiệm U  1 loai  Nếu   0  a2  4  0  a  2 , phương trình có 2 nghiệm. U1 . a  a2 -4 a  a2 -4 ,U2  2 2. Để phương trình có nghiệm thì:. a  a2  4 a  a2  4  2 hoac 2 2 2. 2a2  4  2a a2 -4 2a2  4  2a a2 -4   4 hoac 4 4 4  a2  2  a a2 -4  8. hoac. a a2 -4  10  a2 1. hoac a2  10  a a2 -4. Giải (1): a  10. (1) đúng. . a2  2  a a2 -4  8.  2. . 2  a  10 thì 1  a2 a2  4  100  20a2  a 4  16a2  100  a2  2. 5/2. 25 5  a  4 2. 10 5/2. www.thaytro.vn. Trang 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài:...... GVGD: Tên thầy. 5 2 a  10 2 vế đều dương (2)  a 4  20a2  100  a 4  4a2 5  16a2  100  a  2 => a . Giải (2):. Vô nghiệm. 5 2 sin 6x  cos6x m 5. Cho phương trình     tan  x+  .tan  x-   4  4 1 a. Giải phương trình khi m   4 Theo yêu cầu bài tập: a . b. Định m để phương trình có nghiệm. Giải:.          .tan  x     tan  x    cos    x   cos  x   4 4 4   2 4            tan  x   .tan  x     tan  x   .cot  x    1 4 4 4 4         Điều kiện: x   k    k 4 2 4 2. . .sin6 x  cos6 x= sin2 x.    cos x    sin x  cos x  sin x  cos x-sin x.cos x    sin x  cos x   3 sin x.cos x  3. 2. 3. 2. 2. 2. 2. 4. 4. 2. 2. 2. 2. 3 3  1  cos4x  sin2 2x  1    4 4 2  5  3 cos 4x  8  1. 5  3 cos 4x 1 1 8 Khi m   :    5  3 cos 4x  2 4 1 4.  cos4x=-1  4x=+k2  x=.   k 4 2. 5  3 cos 4x  m  3 cos 4x  5  8m 8 -8m-5  cos4x= 3 -8m-5 1  1 3 Để phương trình có nghiệm thì: 1  1  m   4 4 6. Định a để phương trình 2a sin x  (1  a).cos2x+a+3=0 có nghiệm: Từ:. Giải: www.thaytro.vn. Trang 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài:...... . GVGD: Tên thầy. Nếu a = 0, có phương trình –cos2x+3=0. phương trình vô nghiệm. 2a sin4 x  (1  a).cos2x+a+3=0 . Nếu a khác 0  1-cos2x  a  2(1  a)cos2x+2a+6=0.  acos2 2x-2(1+a).cos2x+3a+6=0 Đặt cos2x=X thì X  1 được phương trình aX2-2(1+2a)X+3a+6=0 phương trình này có.  '  1  4a  4a2  a(3a  6)  a2  2a  1  (a  1)2 1  2a  a  1 2  a    X1  a a   X2  1  2a  a  1  3 (loai)  a Để phương trình có nghiệm thì:. 2a 1 a 2  a  a  1  0  2  a 1 0  a  2  2a  a  0  2  0  a a  1 hay a  0  a  0. 1 .  a  1. Bài Tự Luyện Tập: 1. Giải các phương trình: a. 2cos2x+4cosx=3sin2x b. 4sin4x+12cos2x=7 c. sin2x(1+tanx) + m(tanx + cotx)-1=0. 1 x x    cos4 x= sin2 2x 2 2 8 3  3 tan2 x  m(t anx+cotx)-1=0 2. Định m để phương trình sau: 2 sin x d. sin4 x+sin4 x . Có nghiệm. 3. Cho phương trình  2 sin x  1 2 cos 2x  2 sin x  m   3  4 cos2 x a. Giải phương trình khi m=1 b. Định m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc 0;. www.thaytro.vn. Trang 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>