Tải bản đầy đủ (.pdf) (23 trang)

Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (396.99 KB, 23 trang )

LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬ C HAI VỚ I CÁ C HÀ M SỐ LƯ N G GIÁ C

a sin2 u + b sin u + c = 0
a cos2 u + b cos u + c = 0
atg 2 u + btgu = c = 0
a cot g 2 u + b cot gu + c = 0

( a ≠ 0)
( a ≠ 0)
( a ≠ 0)
( a ≠ 0)

Cá c h giả i:
t = sin u hay t = cos u vớ i t ≤ 1
Đặt :

π
+ kπ )
2
t = cot gu (điề u kiệ n u ≠ kπ )
t = tgu (điề u kiệ n u ≠

Cá c phương trình trê n thà n h: at 2 + bt + c = 0
Giả i phương trình tìm được t, so vớ i điề u kiệ n để nhậ n nghiệ m t.
Từ đó giả i phương trình lượ n g giá c cơ bả n tìm đượ c u.

Bà i 56: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2002)
Tìm cá c nghiệ m trê n ( 0, 2π ) củ a phương trình
cos 3x + sin 3x ⎞


5 ⎜ sin x +
⎟ = 3 + cos 2x ( * )
1 + 2 sin 2x ⎠

1
Điề u kiệ n : sin 2x ≠ −
2
Ta coù : sin 3x + cos 3x = 3sin x − 4 sin 3 x + 4 cos3 x − 3 cos x

(

(

= −3 ( cos x − sin x ) + 4 cos3 x − sin3 x

)

) (

(

)

= ( cos x − sin x ) ⎡ −3 + 4 cos2 x + cos x sin x + sin 2 x ⎤


= ( cos x − sin x )(1 + 2 sin 2x )

(


Lú c đó : (*) ⇔ 5 ⎡sin x + ( cos x − sin x ) ⎤ = 3 + 2 cos2 x − 1


1⎞

⎜ do sin 2x ≠ − ⎟
2⎠

⇔ 2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0

)

)


1

cos x =
2
⇔⎢

⎢cos x = 2 ( loaïi )

π
3
1
⇔ x = ± + k2π (nhaä n do sin 2x = ±
≠− )
2
2

3
π

Do x ∈ ( 0, 2π ) neâ n x = ∨ x =
3
3
Bà i 57: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khối A, nă m 2005)
Giả i phương trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 ( *)

1 + cos 6x
1 + cos 2x
.cos 2x −
=0
2
2
⇔ cos 6x.cos 2x − 1 = 0 (**)
Caù c h 1: (**) ⇔ 4 cos3 2x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0

Ta coù : (*) ⇔

(

)

⇔ 4 cos4 2x − 3 cos2 2x − 1 = 0
⎡cos2 2x = 1
⇔⎢ 2
⎢cos 2x = − 1 ( vô nghiệm )

4


⇔ sin 2x = 0

⇔ 2x = kπ ⇔ x =


( k ∈ Z)
2

1
( cos 8x + cos 4x ) − 1 = 0
2
⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0

Caù c h 2: (**) ⇔

⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0
⎡cos 4x = 1
⇔⎢
⎢cos 4x = − 3 ( loaïi )
2


⇔ 4x = k2π ⇔ x =
( k ∈ Z)
2
Caù c h 3: phương trình lượ n g giá c khô n g mẫ u mự c :
⎡cos 6x = cos 2x = 1
(**) ⇔ ⎢
⎣cos 6x = cos 2x = −1


Caù c h 4: cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ cos 8x + cos 4x = 2
⇔ cos 8x = cos 4x = 1 ⇔ cos 4x = 1

Bà i 58: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khối D, nă m 2005)
π⎞
π⎞ 3


Giả i phương trình: cos4 x + sin 4 x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 0
4⎠
4⎠ 2




Ta coù :
(*)
⎤ 3
1⎡
π⎞

⎢sin ⎜ 4x − 2 ⎟ + sin 2x ⎥ − 2 = 0
2⎣



1
1
3

⇔ 1 − sin2 2x + [ − cos 4x + sin 2x ] − = 0
2
2
2
1
1
1
1
⇔ − sin2 2x − 1 − 2 sin2 2x + sin 2x − = 0
2
2
2
2
2
⇔ sin 2x + sin 2x − 2 = 0
⎡sin 2x = 1
⇔⎢
⎣sin 2x = −2 ( loaïi )
π
⇔ 2x = + k2π, k ∈
2
π
⇔ x = + kπ, k ∈
4

(

⇔ sin2 x + cos2 x

)


2

− 2 sin2 x cos2 x +

(

)

Baø i 59: (Đề th i tuyển sinh Đạ i ho ï c khố i B, nă m 2004)
Giả i phương trình: 5 sin x − 2 = 3 (1 − sinx ) tg 2 x
Điề u kiệ n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1
Khi đó: (*) ⇔ 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x )

⇔ 5sin x − 2 = 3 (1 − sin x )

sin2 x
1 − sin2 x

sin2 x
cos2 x

3sin2 x
⇔ 5 sin x − 2 =
1 + sin x
2
⇔ 2 sin x + 3sin x − 2 = 0
1

⎢sin x = 2 ( nhaän do sin x ≠ ±1)



⎢sin x = −2 ( vô nghiệm )


⇔x=

π

+ k2π ∨ x =
+ k2π ( k ∈ Z)
6
6

Bà i 60: Giải phương trình: 2 sin 3x −

1
1
= 2 cos 3x +
( *)
sin x
cos x

Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0
Lú c ñoù : (*) ⇔ 2 ( sin 3x − cos 3x ) =

1
1
+
sin x cos x


( *)


1
1
⇔ 2 ⎡3 ( sin x + cos x ) − 4 sin3 x + cos3 x ⎤ =
+

⎦ sin x cos x
sin x + cos x
⇔ 2 ( sin x + cos x ) ⎡3 − 4 sin2 x − sin x cos x + cos2 x ⎤ =


sin x cos x
1


⇔ ( sin x + cos x ) ⎢ −2 + 8 sin x cos x −
=0
sin x cos x ⎥


2


⇔ ( sin x + cos x ) ⎢4 sin 2x −
− 2⎥ = 0
sin 2x



⎡ tgx = −1
⎡sin x + cos x = 0
⇔⎢
⇔⎢
( nhận so với điều kiện )
2
⎢sin 2x = 1 ∨ sin 2x = −1
⎣4 sin 2x − 2sin 2x − 2 = 0
2


(
(

)

)

π
π
π

+ kπ ∨ 2x = + k2π ∨ 2x = − + k2π ∨ 2x =
+ k2π, k ∈
4
2
6
6
π

π

⇔ x = ± + kπ ∨ x = −
+ kπ ∨ x =
+ kπ, k ∈
4
12
12
⇔x=−

Bà i 61: Giải phương trình:

(

)

cos x 2 sin x + 3 2 − 2 cos2 x − 1

=1
1 + sin 2x
π
Điề u kiệ n : sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + mπ
4
Luù c ñoù :
(*) ⇔ 2 sin x cos x + 3 2 cos x − 2 cos2 x − 1 = 1 + sin 2x
⇔ 2 cos2 x − 3 2 cos x + 2 = 0
2
⇔ cos x =
hay cos x = 2 ( vô nghiệm )
2

π

⎢ x = 4 + k2π
⇔⎢
⎢ x = − π + k '2π ( loại do điều kiện )

4

π
⇔ x = + k2π
4

( *)

Bà i 62: Giải phương trình:

x
3x
x
3x 1
cos x.cos .cos
− sin x sin sin
= ( *)
2
2
2
2
2

1

1
1
cos x ( cos 2x + cos x ) + sin x ( cos 2x − cos x ) =
2
2
2
2
⇔ cos x.cos 2x + cos x + sin x cos 2x − sin x cos x = 1
⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = 1 − cos2 x + sin x cos x

Ta coù : (*) ⇔

⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = sin x ( sin x + cos x )


⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − sin x ) = 0 ( * * )

(

)

⇔ ( cos x + sin x ) 1 − 2 sin 2 x − sin x = 0

⎡ cos x = − sin x
⇔⎢
2
⎣ 2 sin x + sin x − 1 = 0
π



⎢ x = − 4 + kπ
⎢ tgx = −1


π
⇔ ⎢sin x = −1
⇔ ⎢ x = − + k2π
( k ∈ Z)

2

1

⎢sin x =
⎢ x = π + k2π ∨ x = 5π + k2π
2


6
6

⎛π

Caù c h khaù c: (**) ⇔ tgx = −1 ∨ cos 2x = sin x = cos ⎜ − x ⎟
⎝2

Baø i 63: Giải phương trình: 4 cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x ( *)
Ta coù : (*) ⇔ 4 cos3 x + 6 2 sin x cos x − 8 cos x = 0
⇔ cos x 2 cos2 x + 3 2 sin x − 4 = 0


(

(

)

)

⇔ cos x ⎡ 2 1 − sin 2 x + 3 2 sin x − 4 ⎤ = 0


2
⇔ cos x = 0 ∨ 2 sin x − 3 2 sin x + 2 = 0
⎡cos x = 0

2
⇔ ⎢sin x =

2

⎢sin x = 2 ( voâ nghieäm )


π
2
π
+ kπ ∨ sin x =
= sin
4
2

2
π
π

⇔ x = + kπ ∨ x = + k2π ∨ x =
+ k2π ( k ∈ Z )
2
4
4

⇔x=

Bà i 64 : Giải phương trình:
π⎞
π⎞


cos ⎜ 2x + ⎟ + cos ⎜ 2x − ⎟ + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x ) ( *)
4⎠
4⎠



π
+ 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x )
4
2 1 − 2 sin2 x + 4 + 2 sin x − 2 − 2 = 0

(*) ⇔ 2 cos 2x.cos




(

(

) (

)

)

⇔ 2 2 sin2 x − 4 + 2 sin x + 2 = 0


⎡sin x = 2 ( loaïi )
⇔ 2 sin x − 2 2 + 1 sin x + 2 = 0 ⇔ ⎢
⎢sin x = 1

2

π

⇔ x = + k2π hay x =
+ k2π, k ∈
6
6

(


2

)

(

)

Bà i 65 : Giả i phương trình : 3 cot g 2 x + 2 2 sin 2 x = 2 + 3 2 cos x ( * )
Điề u kiệ n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ±1
Chia hai veá (*) cho sin 2 x ta đượ c :
cos2 x
cos x
+2 2 = 2+3 2
vaø sin x ≠ 0
(*) ⇔ 3
4
sin x
sin2 x
cos x
Đặt t =
ta đượ c phương trình:
sin 2 x
3t 2 − 2 + 3 2 t + 2 2 = 0

(

(

)


)

⇔t= 2∨t=

2
3

2
cos x
2
ta coù :
=
2
3
sin x 3
⇔ 3 cos x = 2 1 − cos2 x

* Vớ i t =

(

)

⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0
⎡cos x = −2 ( loaïi )
⇔⎢
⎢cos x = 1 ( nhaän do cos x ≠ ±1)

2


π
⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z )
3
cos x
* Vớ i t = 2 ta có :
= 2
sin2 x
⇔ cos x = 2 1 − cos2 x

(



)

2 cos2 x + cos x − 2 = 0

⎡cos x = − 2 ( loại )

⇔⎢
2
( nhận do cos x ≠ ±1)
⎢cos x =
2

π
⇔ x = ± + k2π, k ∈
4


Baø i 66 : Giải phương trình:

4 sin2 2x + 6 sin 2 x − 9 − 3 cos 2x
= 0 ( *)
cos x


Điề u kiệ n : cos x ≠ 0
Lú c ñoù :
(*) ⇔ 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x = 0

(

)

⇔ 4 1 − cos2 2x + 3 (1 − cos 2x ) − 9 − 3 cos 2x = 0
⇔ 4 cos2 2x + 6 cos 2x + 2 = 0
⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = −

1
2

⇔ 2 cos2 x − 1 = −1 ∨ 2 cos2 x − 1 = −

1
2

⎡cos x = 0 ( loại do điều kiện )
⇔⎢
⎢cos x = ± 1 nhận do cos x ≠ 0

(
)

2


π
⇔ x = ± + k2π ∨ x = ±
+ k2π ( k ∈ Z )
3
3

1
2
sin 3x + sin 5x
3
5
Giả i phương trình: f ' ( x ) = 0

Baø i 67: Cho f ( x ) = sin x +

Ta coù :

f '(x) = 0
⇔ cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0

⇔ ( cos x + cos 5x ) + ( cos 3x + cos 5x ) = 0
⇔ 2 cos 3x cos 2x + 2 cos 4x cos x = 0

(


)

(

)

⇔ 4 cos3 x − 3 cos x cos 2x + 2 cos2 2x − 1 cos x = 0

(

)

⇔ ⎡ 4 cos2 x − 3 cos 2x + 2 cos2 2x − 1⎤ cos x = 0


⎡ ⎡ 2 (1 + cos 2x ) − 3⎤ cos 2x + 2 cos2 2x − 1 = 0

⇔ ⎢⎣
⎢cos x = 0

⎡4 cos2 2x − cos 2x − 1 = 0
⇔⎢
⎣cos x = 0
1 ± 17
∨ cos x = 0
8
1 + 17
1 − 17
⇔ cos 2x =

= cos α ∨ cos 2x =
= cos β ∨ cos x = 0
8
8
α
β
π
⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z )
2
2
2
⇔ cos 2x =


Bà i 68: Giải phương trình: sin8 x + cos8 x =
Ta coù :

(

sin 8 x + cos8 x = sin4 x + cos4 x

)

(

2

= ⎡ sin 2 x + cos2 x




)

17
cos2 2x ( *)
16

− 2 sin 4 x cos4 x
2

2

1
− 2 sin 2 x cos2 x ⎤ − sin4 2x

8


2

1
1


= ⎜ 1 − sin2 2x ⎟ − sin 4 2x
2
8


1

= 1 − sin2 2x + sin4 2x
8

Do đó :

( *) ⇔ 16 ⎛ 1 − sin2 2x +



1

sin4 2x ⎟ = 17 1 − sin2 2x
8


(

)

⇔ 2 sin4 2x + sin2 2x − 1 = 0
⎡sin2 2x = −1 ( loaïi )
1
1
⇔⎢
⇔ (1 − cos 4x ) =
1
⎢sin2 2x =
2
2


2

π
⇔ cos 4x = 0 ⇔ x = ( 2k + 1) , ( k ∈ Z )
8
Baø i 69 : Giải phương trình: sin

5x
x
= 5 cos3 x.sin ( *)
2
2

x
= 0 ⇔ x = π + k2π ⇔ cos x = −1
2
Thay và o (*) ta đượ c :
⎛ 5π

⎛π

sin ⎜
+ 5kπ ⎟ = − 5. sin ⎜ + kπ ⎟ , khô n g thỏ a ∀k
⎝ 2

⎝2

x
Do cos khô n g là nghiệ m củ a (*) nê n :
2

5x
x
x
x
x
( *) ⇔ sin . cos = 5 cos2 x. sin cos vaø cos ≠ 0
2
2
2
2
2
1
5
x
⇔ ( sin 3x + sin 2x ) = cos3 x.sin x vaø cos ≠ 0
2
2
2
Nhận xé t thấy : cos

⇔ 3sin x − 4 sin3 x + 2 sin x cos x = 5 cos3 x.sin x vaø cos

x

⎪cos ≠ 0
2
⇔⎨
⎪3 − 4 sin2 x + 2 cos x = 5 cos3 x ∨ sin x = 0



x
≠0
2










x

cos ≠ 0


2

⎪5 cos3 x − 4 cos2 x − 2 cos x + 1 = 0 ∨ sin x = 0

2

⎧cos x ≠ −1


x
2
⎪( cos x − 1) 5 cos x + cos x − 1 = 0 ∨ sin 2 = 0


⎧cos x ≠ −1

⎪⎡
⎪ ⎢cos x = 1
⎪⎢
−1 + 21
⎨⎢
= cos α
⎪ ⎢cos x =
10
⎪⎢
−1 − 21
⎪⎢
= cos β
⎪ ⎣cos x =

10

x = k2π hay x = ±α + k2π hay x = ±β + k2π, ( k ∈ Z )

(

)

Bà i 70: Giải phương trình: sin 2x ( cot gx + tg2x ) = 4 cos2 x ( *)
Đ iề u kiệ n : cos 2x ≠ 0 vaø sin x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ 0 ∧ cos 2x ≠ 1
cos x sin 2x
+
Ta coù : cot gx + tg2x =

sin x cos 2x
cos 2x cos x + sin 2x sin x
=
sin x cos 2x
cos x
=
sin x cos 2x
cos x


2
Lú c đó : (*) ⇔ 2 sin x.cos x ⎜
⎟ = 4 cos x
⎝ sin x cos 2x ⎠
2
cos x

= 2 cos2 x
cos 2x
⇔ ( cos 2x + 1) = 2 cos 2x ( cos 2x + 1)

⇔ ( cos 2x + 1) = 0 hay 1 = 2 cos 2x
1
( nhaän do cos 2x ≠ 0 vaø cos 2x ≠ 1)
2
π
⇔ 2x = π + k2π ∨ 2x = ± + k2π, k ∈
3
π
π

⇔ x = + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈
2
6

⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x =

Bà i 71 : Giải phương trình: 2 cos2

6x
8x
+ 1 = 3 cos ( *)
5
5


12x ⎞



2 4x
Ta coù : (*) ⇔ ⎜ 1 + cos
− 1⎟
⎟ + 1 = 3 ⎜ 2 cos
5 ⎠
5



4x
4x

4x ⎞

⇔ 2 + 4 cos3
− 3 cos
= 3 ⎜ 2 cos2
− 1⎟
5
5
5


4
Đặ t t = cos x ( điều kiện t ≤ 1)
5
Ta có phương trình :
4t 3 − 3t + 2 = 6t 2 − 3
⇔ 4t 3 − 6t 2 − 3t + 5 = 0
⇔ ( t − 1) ( 4t 2 − 2t − 5 ) = 0
⇔ t = 1∨ t =

Vaä y

1 − 21
1 + 21
∨t =
( loïai )
4
4

4x

4x
=1⇔
= 2kπ
5
5
5kπ
⇔x=
( k ∈ Z)
2
4x 1 − 21
• cos
=
= cos α ( với 0 < α < 2 π )
5
4
4x

= ±α + l 2 π
5
5α l 5π
⇔x=±
+
,(l ∈ Z)
4
2
• cos

π⎞

Bà i 72 : Giải phương trình tg3 ⎜ x − ⎟ = tgx − 1 ( *)

4⎠

π
π
Đặ t t = x − ⇔ x = + t
4
4
1 + tgt
⎛π ⎞
(*) thaø n h : tg3 t = tg ⎜ + t ⎟ − 1 =
− 1 với cos t ≠ 0 ∧ tgt ≠ 1
1 − tgt
⎝4 ⎠
2tgt
⇔ tg3 t =
1 − tgt
⇔ tg3 t − tg 4 t = 2tgt
⇔ tgt ( tg3 t − tg 2 t + 2 ) = 0
⇔ tgt ( tgt + 1) ( tg 2 t − 2tgt + 2 ) = 0
⇔ tgt = 0 ∨ tgt = −1( nhận so điều kiện )
⇔ t = kπ ∨ t = −

Vậ y (*)

π
+ kπ, k ∈¢
4


⇔x=


π
+ kπ hay x = kπ, k ∈¢
4

sin 4 2x + cos4 2x
= cos4 4x (*)
Bà i 73 : Giải phương trình
⎛π
⎞ ⎛π

tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟
⎝4
⎠ ⎝4

Điề u kiệ n
⎧ ⎛π
⎧ ⎛π

⎛π


⎪sin ⎜ 4 − x ⎟ cos ⎜ 4 − x ⎟ ≠ 0
⎪sin ⎜ 2 − 2x ⎟ ≠ 0
⎪ ⎝



⎪ ⎝


⇔⎨

⎪sin ⎛ π + x ⎞ cos ⎛ π + x ⎞ ≠ 0
⎪sin ⎛ π + 2x ⎞ ≠ 0
⎜4

⎜4


⎪ ⎝
⎪ ⎜2





⎩ ⎝
⇔ cos 2x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ ±1
Do :
⎛π
⎞ ⎛π
⎞ 1 − tgx 1 + tgx
tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ =
.
=1
⎝4
⎠ ⎝4
⎠ 1 + tgx 1 − tgx
Khi cos2x ≠ 0 thì :
(*) ⇔ sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x


⇔ 1 − 2 sin 2 2x cos2 2x = cos4 4x
1
⇔ 1 − sin 2 4x = cos4 4x
2
1
⇔ 1 − (1 − cos2 4x ) = cos4 4x
2
⇔ 2 cos4 4x − cos2 4x − 1 = 0
⎡ cos2 4x = 1
⇔⎢ 2
⇔ 1 − sin 2 4x = 1
⎢ cos 4x = − 1 ( voâ nghieäm )


2
⇔ sin 4x = 0
⇔ 2 sin 2x cos 2x = 0
⇔ sin 2x = 0 ( do cos 2x ≠ 0 )
π
⇔ 2x = kπ, k ∈¢ ⇔ x = k , k ∈¢
2
1
2
− 2 (1 + cot g2x cot gx ) = 0 ( *)
Baø i 74 :Giả i phương trình: 48 −
4
cos x sin x
Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0
Ta có :



cos 2x cos x
.
sin 2x sin x
sin 2x sin x + cos 2x cos x
=
sin x sin 2x
cos x
1
=
=
( do cos x ≠ 0 )
2
2 sin x cos x 2 sin 2 x
1
1
− 4 =0
Lú c đó (*) ⇔ 48 −
4
cos x sin x
1
1
sin 4 x + cos4 x
⇔ 48 =
+ 4 =
cos4 x sin x
sin 4 x cos4 x
⇔ 48sin 4 x cos4 x = sin 4 x + cos4 x
1 + cot g2x cot gx = 1 +


⇔ 3sin 4 2x = 1 − 2 sin 2 x cos2 x
1
⇔ 3sin 4 2x + sin 2 2x − 1 = 0
2
2
⎡ 2
⎢sin x = − 3 ( loïai )
⇔⎢
⎢sin 2 x = 1 ( nhaän do ≠ 0 )

2


1
1
(1 − cos 4x ) =
2
2
⇔ cos 4x = 0
π
⇔ 4x = + kπ
2
π kπ
⇔ x = + ( k ∈ Z)
8 4


Bà i 75 : Giả i phương trình


5
sin 8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos 2x ( *)
4

(

)

Ta coù : (*)

5
cos 2x
4
5
⇔ sin 8 x (1 − 2 sin 2 x ) − cos8 x ( −1 + 2 cos2 x ) = cos 2x
4
5
⇔ sin 8 x.cos 2x − cos8 x cos 2x = cos 2x
4
8
8
⇔ 4 cos 2x ( sin x − cos x ) = 5 cos 2x

(

) (

)

⇔ sin8 x − 2 sin10 x + cos8 x − 2 cos10 x =



⇔ cos 2x = 0 hay 4 ( sin 8 x − cos8 x ) = 5
⇔ cos 2x = 0 hay 4 ( sin 4 x − cos4 x )( sin 4 x + cos4 x ) = 5
⎛ 1

⇔ cos 2x = 0 hay 4 ⎜ 1 − sin 2 2x ⎟ = 5
⎝ 2

2
⇔ cos 2x = 0 hay − 2 sin 2x = 1(Vô nghiệm )
π
⇔ 2x = + kπ, k ∈¢
2
π kπ
⇔x= +
, k ∈¢
4 2
Cá c h khá c: Ta có 4 ( sin 8 x − cos8 x ) = 5 vô nghiệ m



( sin

8

x − cos8 x ) ≤ 1, ∀ x neâ n 4 ( sin 8 x − cos8 x ) ≤ 4 < 5, ∀x

Ghi chú : Khi gặ p phương trình lượ n g giác dạ n g R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x)
vớ i R hà m hữ u tỷ thì đặ t t = tgx

2t
2t
1 − t2
, sin 2x =
, cos 2x =
Lú c đó tg2x =
1 − t2
1 + t2
1 + t2
Bà i 76 : (Để thi tuyển sinh Đại họ c khối A, năm 2003)
Giả i phương trình
cos 2x
1
cot gx − 1 =
+ sin2 x − sin 2x ( *)
1 + tgx
2

Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0 và tgx ≠ −1
Đặt t = tgx thì (*) thà nh :
1 − t2
2
1
1 + t 2 + 1 ⎡1 − 1 − t ⎤ − 1 . 2t
−1 =


t
1+t
2⎣

1 + t2 ⎦ 2 1 + t2


1−t
1 − t 1 2t 2
t
=
+ .

( do t ≠ −1)
2
2
2 1+t
1 + t2
t
1+t

1 − t t 2 − 2t + 1 (1 − t )

=
=
t
1 + t2
1 + t2

2

⇔ ( 1 − t ) (1 + t 2 ) = ( 1 − t ) t
2


⎡ t = 1 ( nhaän do t ≠ −1)
⎡1 − t = 0
⇔⎢
⇔⎢ 2
2
⎣1 + t = (1 − t ) t ⎢2t − t + 1 = 0 ( vô nghiệm )

π
Vaä y (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( nhaän do sin 2x = 1 ≠ 0)
4

Bà i 77 : Giải phương trình: sin 2x + 2tgx = 3 ( * )

Điề u kiệ n : cos x ≠ 0
Đ ặt t = tgx thì (*) thaøn h :


2t
+ 2t = 3
1 + t2
⇔ 2t + ( 2t − 3) (1 + t 2 ) = 0
⇔ 2t 3 − 3t 2 + 4t − 3 = 0
⇔ ( t − 1) ( 2t 2 − t + 3) = 0
⎡t = 1
⇔⎢ 2
⎣2t − t + 3 = 0 ( vô nghiệm )
π
Vậy (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z )
4


Bà i 78 : Giả i phương trình

cot gx − tgx + 4 sin 2x =

2
( *)
sin 2x

Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0

2t
do sin 2x ≠ 0 neân t ≠ 0
1 + t2
1
8t
1 + t2 1
=
= +t
(*) thaø n h : − t +
t
1 + t2
t
t
8t

= 2t
1 + t2
4

= 1 ( do t ≠ 0 )

1 + t2
⇔ t 2 = 3 ⇔ t = ± 3 ( nhận do t ≠ 0 )
Đặ t t = tgx thì : sin 2x =

Vậy (*)

⎛ π⎞
⇔ tgx = tg ⎜ ± ⎟
⎝ 3⎠
π
⇔ x = ± + kπ, k ∈
3

Bà i 79 : Giả i phương trình
(1 − tgx )(1 + sin 2x ) = 1 + tgx ( * )

Điề u kiệ n : cos x ≠ 0
Đặt = tgx thì (*) thà nh :
2t ⎞
(1 − t ) ⎛ 1 +

⎟ =1+t
1 + t2 ⎠

2
( t + 1) = 1 + t
⇔ (1 − t )
1 + t2
⎡ t = −1
⎡ t = −1

⇔ ⎢ (1 − t )(1 + t )
⇔ ⎢
2
2

=1
⎣1 − t = 1 + t
2

1+t

⇔ t = −1 ∨ t = 0


⎡ tgx = −1
π
Do đó (*) ⇔ ⎢
⇔ x = − + kπ hay x = kπ, k ∈
4
⎣ tgx = 0
Bà i 80 : Cho phương trình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ( * )

a/ Giả i phương trình khi m =

3
2

⎛ π 3π ⎞
b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ , ⎟
⎝2 2 ⎠

2
Ta coù (*) 2 cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0

⎧t = cos x ([ t ] ≤ 1)

⇔⎨ 2
⎪2t − ( 2m + 1) t + m = 0

⎧ t = cos x ([ t ] ≤ 1)

⇔⎨
1
⎪t = ∨ t = m

2
3
a/ Khi m = , phương trình thành
2
1
3
cos x = ∨ cos x = ( loaïi )
2
2
π
⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z )
3
⎛ π 3π ⎞
b/ Khi x ∈ ⎜ , ⎟ thì cos x = t ∈ [−1, 0)
⎝2 2 ⎠
1

Do t = ∉ [ −1, 0] nên
2
π 3π
( *) có nghiệm trên ⎛ , ⎞ ⇔ m ∈ ⎡ −1, 0)



⎝2 2 ⎠
Baø i 81 : Cho phương trình
( cos x + 1)( cos 2x − m cos x ) = m sin 2 x ( *)

a/ Giả i (*) khi m= -2

⎡ 2π ⎤
b/ Tìm m sao cho (*) có đú n g hai nghiệ m trê n ⎢0, ⎥
⎣ 3⎦

Ta có (*) ⇔ ( cos x + 1) ( 2 cos2 x − 1 − m cos x ) = m (1 − cos2 x )
⇔ ( cos x + 1) ⎡2 cos2 x − 1 − m cos x − m (1 − cos x ) ⎤ = 0


⇔ ( cos x + 1) ( 2 cos2 x − 1 − m ) = 0

a/ Khi m = -2 thì (*) thà nh :


( cos x + 1) ( 2 cos2 x + 1) = 0
⇔ cosx = -1
⇔ x = π + k2π ( k ∈ Z )
⎡ 2π ⎤

⎡ 1 ⎤
b / Khi x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì cos x = t ∈ ⎢ − ,1⎥
⎣ 3⎦
⎣ 2 ⎦
⎡ 1 ⎤
Nhậ n xé t rằ n g vớ i mỗi t trê n ⎢ − ,1⎥ ta chỉ tìm đượ c duy nhấ t mộ t x trê n
⎣ 2 ⎦
⎡ 2π ⎤
⎢0, ⎥
⎣ 3⎦
⎡ 1 ⎤
Yê u cầ u bà i toá n ⇔ 2t 2 − 1 − m = 0 có đu ù n g hai n ghiệ m trê n ⎢ − ,1⎥
⎣ 2 ⎦
Xé t y = 2t 2 − 1 ( P ) vaø y = m ( d )

Ta coù y’ = 4t

⎡ 2π ⎤
Vậ y (*) có đú ng hai nghiệ m trê n ⎢0, ⎥
⎣ 3⎦

⎡ 1 ⎤
⇔ (d) cắ t (P) tạ i hai điể m phân biệ t trê n ⎢ − ,1⎥
⎣ 2 ⎦
1
⇔ −1 < m ≤
2

Baø i 82 : Cho phương trình (1 − a ) tg 2 x −


a/ Giaû i (1) khi a =

1
2

2
+ 1 + 3a = 0 (1)
cos x

⎛ π⎞
b/ Tìm a để (1) có nhiề u hơn mộ t nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
π
Điề u kiệ n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ
2


(1) ⇔ (1 − a ) sin2 x − 2 cos x + (1 + 3a ) cos2 x = 0
⇔ (1 − a ) (1 − cos2 x ) − 2 cos x + (1 + 3a ) cos2 x = 0
⇔ 4a cos2 x − 2 cos x + 1 − a = 0
⇔ a ( 4 cos2 x − 1) − ( 2 cos x − 1) = 0
⇔ ( 2 cos x − 1) ⎡a ( 2 cos x + 1) − 1⎤ = 0



1
1⎞

thì (1) thaø n h : ( 2 cos x − 1) ⎜ cos x − ⎟ = 0
2

2⎠

1
π
⇔ cos x = = cos ( nhaän do cos x ≠ 0 )
2
3
π
⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z )
3
⎛ π⎞
b/ Khi x ∈ ⎜ 0, ⎟ thì cos x = t ∈ ( 0,1)
⎝ 2⎠
1

cos x = t = ∈ ( 0,1)
2
Ta coù : (1) ⇔ ⎢

⎢2a cos x = 1 − a ( 2 )

a/ Khi a =


⎪a ≠ 0

1−a

⎧1 ⎫
Yê u cầ u bà i toá n ⇔ (2) có nghiệ m trê n ( 0,1) \ ⎨ ⎬ ⇔ ⎨0 <

<1
2a
⎩2⎭

⎪1 − a 1
⎪ 2a ≠ 2

⎧a ≠ 0

⎪1 − a
⎪0 < a < 1
⎧1

>0

⎪3 < a < 1
1
⎪ 2a


⇔⎨
⇔ ⎨a < 0 ∨ a > ⇔ ⎨
1 − 3a
3


⎪a ≠ 1
<0

1

⎪ 2a

2

⎪2 (1 − a ) ≠ 2a
⎪a ≠ 2



Caù c h khaù c : dặ t u =

1
, điề u kiệ n u ≥1 ; pt thaø n h
cos x

(1 − a ) ( u 2 − 1 ) − 2u + 1 + 3a = 0 ⇔ (1 − a ) u 2

− 2u + 4a = 0

⇔ ( u − 2 ) [ (1 − a)u − 2a ] = 0
Baø i 83 : Cho phương trình : cos 4x + 6 sin x cos x = m (1)

a/ Giaû i (1) khi m = 1
⎡ π⎤
b/ Tìm m để (1) có hai nghiệ m phân biệ t trê n ⎢ 0, ⎥
⎣ 4⎦
2
Ta coù : (1) ⇔ 1 − 2 sin 2x + 3 sin 2x = m



⎧t = sin 2x ( t ≤ 1)

⇔⎨ 2
⎪2t − 3t + m − 1 = 0 ( 2 )

a/ Khi m = 1 thì (1) thà nh
⎧t = sin 2x ( t ≤ 1)
⎧ t = sin 2x ( t ≤ 1)


⇔⎨
⎨ 2
3
⎪2t − 3t = 0
⎪t = 0 ∨ t = ( loaïi )

2


⇔ sin 2x = 0 ⇔ x =
2
⎡ π⎤
b/ Khi x ∈ ⎢0, ⎥ thì sin 2x = t ∈ [ 0,1]
⎣ 4⎦
Nhận thấy rằ n g mỗi t tìm được trê n [ 0,1] ta chỉ tìm được duy nhấ t mộ t
⎡ π⎤
x ∈ ⎢ 0, ⎥
⎣ 4⎦
Ta coù : (2) ⇔ −2t 2 + 3t + 1 = m
Xeù t y = −2t 2 + 3t + 1 trên [ 0,1]


Thì y ' = −4t + 3

Yê u cầ u bà i toá n ⇔ (d) y = m cắ t tạ i hai điể m phâ n biệ t trê n [ 0,1]

⇔2 ≤ m <

17
8

Cá c h khá c :đặt f (x) = 2t 2 − 3t + m − 1 . Vì a = 2 > 0, nê n ta coù
⎧Δ =17 − 8m > 0
⎪ f (0) = m −1≥ 0

17

Yê u cầ u bà i toá n ⇔ ⎨ f (1) = m − 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ m <
8

S 3
⎪ 0 ≤ = ≤1

2 4


Bà i 84 : Cho phương trình
4 cos5 x.sin x − 4 sin 5 x cos x = sin 2 4x + m (1 )

a/ Biết rằ ng x = π là nghiệm của (1). Hã y giải (1) trong trườn g hợ p đó .
π

b/ Cho biế t x = − là mộ t nghiệ m củ a (1). Hã y tìm tấ t cả nghiệ m củ a (1) thoû a
8
4
2
x − 3x + 2 < 0


(1) ⇔ 4 sin x cos x ( cos4 x − sin 4 x ) = sin2 4x + m

⇔ 2 sin 2x ( cos2 x − sin2 x )( cos2 x + sin 2 x ) = sin 2 4x + m
⇔ 2 sin 2x.cos 2x = sin 2 4x + m
⇔ sin 2 4x − sin 4x + m = 0

(1)

a/ x = π là nghiệ m củ a (1) ⇒ sin2 4π − sin 4π + m = 0
⇒m = 0
Lú c đó (1) ⇔ sin 4x (1 − sin 4x ) = 0
⇔ sin 4x = 0 ∨ sin 4x = 1
π
+ k2π
2

π kπ
⇔x =
∨x= +
( k ∈ Z)
4
8
2

⎧t = x2 ≥ 0
⎧t = x2 ≥ 0

⇔⎨
b/ x 4 − 3x 2 + 2 < 0 ⇔ ⎨ 2
⎪t − 3t + 2 < 0
⎩1 < t < 2

⇔ 1 < x2 < 2 ⇔ 1 < x < 2
⇔ 4x = kπ ∨ 4x =

⇔ − 2 < x < −1 ∨ 1 < x < 2 ( *)
π
⎛ π⎞
thì sin 4x = sin ⎜ − ⎟ = −1
8
⎝ 2⎠
π
x = − là nghiệm của (1) ⇒ 1 + 1 + m = 0
8
⇒ m = −2
x=−

Lú c đó (1) thà nh : sin2 4x − sin 4x − 2 = 0
⎧t = sin 4x ( với t ≤ 1)

⇔⎨
2
⎪t − t − 2 = 0



⎧t = sin 4x ( với t ≤ 1)

⇔⎨
⎪t = −1 ∨ t = 2 ( loaïi )

⇔ sin 4x = −1
π
⇔ 4x = − + k2π
2
π kπ
⇔x = − +
8
2
Kế t hợ p vớ i đi ề u kiệ n (*) suy ra k = 1
π π 3π
Vaä y (1) có n ghiệ m x = − + =
thỏ a x4 − 3x2 + 2 < 0
8 2
8
Baø i 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương
2 cos x.cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x
(1 )
4 cos2 x − cos 3x = a cos x + ( 4 − a )(1 + cos 2x )

( 2)


Ta coù : (1) ⇔ cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x


(

⇔ cos x = 1 + 2 cos2 x − 1

)

⇔ cos x (1 − 2 cos x ) = 0
1
2
2
3
Ta coù : (2) ⇔ 4 cos x − 4 cos x − 3 cos x = a cos x + ( 4 − a ) 2 cos2 x
⇔ cos x = 0 ∨ cos x =

(

)

⇔ 4 cos3 x + ( 4 − 2a ) cos2 x ( a − 3) cos x = 0
⎡cos x = 0
⇔⎢
2
⎢4 cos x + 2 ( 2 − a ) cos x + a − 3 = 0

1⎞

⇔ cos x = 0 hay ⎜ cos x − ⎟ [ 2 cos x + 3 − a ] = 0
2⎠

1

a−3
⇔ cos x = 0 ∨ cos x = ∨ cos x =
2
2

Vậ y yê u cầ u bà i toá n
⎡a − 3
⎢ 2 =0

⎢a − 3 = 1


⎢ 2
2
⎢a − 3
a−3

< −1 ∨
>1

2
⎣ 2

⎡a = 3
⎢a = 4


⎣a < 1 ∨ a > 5

Baø i 86 : Cho phương trình : cos4x = cos 2 3x + asin 2 x (*)

a/ Giả i phương trì nh khi a = 1
⎛ π ⎞
b/ Tìm a để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟
⎝ 12 ⎠
1
a
Ta coù : ( *) ⇔ cos 4x = (1 + cos 6x ) + (1 − cos 2x )
2
2
2
3
⇔ 2 2 cos 2x − 1 = 1 + 4 cos 2x − 3 cos 2x + a (1 − cos 2x )

(

)

⎧t = cos 2x
( t ≤ 1)

⇔⎨
2
3
⎪2 2t − 1 = 1 + 4t − 3t + a (1 − t )

⎧t = cos 2x
( t ≤ 1)

⇔⎨
3

2
⎪−4t + 4t + 3t − 3 = a (1 − t )

⎧1 = cos 2x
( t ≤ 1)

⇔⎨
2
⎪( t − 1) −4t + 3 = a (1 − t ) ( * *)

a/ Khi a = 1 thì (*) thà nh :

(

)

(

)




⎪t = cos 2x ( t ≤ 1)
⎪t = cos 2x
⇔⎨

2
⎪t = ±1
⎪( t − 1) −4t + 4 = 0



⇔ cos 2x = ±1 ⇔ cos2 2x = 1

(

)

(t

≤ 1)


, ( k ∈ Z)
2
⎛ 3 ⎞
⎛ π ⎞
⎛ π⎞
b/ Ta coù : x ∈ ⎜ 0, ⎟ ⇔ 2x ∈ ⎜ 0, ⎟ .Vaäy cos 2x = t ∈ ⎜
⎜ 2 ,1 ⎟

⎝ 12 ⎠
⎝ 6⎠


⇔ sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =

(

)


Vaäy (**) ⇔ ( t-1) −4t 2 + 3 = a (1 − t )
⇔ 4t 2 − 3 = a ( do t ≠ 1)
⎛ 3 ⎞
X eù t y = 4t 2 − 3 ( P ) treân ⎜
⎜ 2 ,1 ⎟



⎛ 3 ⎞
⇒ y ' = 8t > 0 ∀t ∈ ⎜
⎜ 2 ,1 ⎟



⎛ 3

⎛ π⎞
,1 ⎟
Do ñ o ù (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⇔ ( d ) : y = a caét ( P ) treân ⎜
⎜ 2

⎝ 2⎠


⎛ 3⎞
⇔ y⎜
⎜ 2 ⎟ < a < y (1 )




⇔ 0
1.

BÀI TẬP

Gia û i ca ù c phương trình sau :
a/ sin4x = tgx
π⎞
π⎞ 9


b/ sin4 x + sin4 x ⎜ x + ⎟ + sin4 ⎜ x − ⎟ =
4⎠
4⎠ 8


c/ tgx + cot gx = 4
d/

(

)

sin x 3 2 − 2 cos x − 2 sin 2 x − 1

1 − sin 2x
4
e/ 4 cos x + 3 2 sin 2x = 8 cos x

1
1
2
+
=
f/
cos x sin 2x sin 4x
π⎞

g/ sin 2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1
4⎠


=1

π⎞
π⎞


2 ( 2 sin x − 1) = 4 ( sin x − 1) − cos ⎜ 2x + ⎟ − sin ⎜ 2x + ⎟
4⎠
4⎠


4x
= cos2 x
k/ cos
3
x
l/ tg .cos x + sin 2x = 0

2
h/


m/ 1 + 3tgx = 2sin 2x
n/ cot gx = tgx + 2tg2x
3x
4x
+ 1 = 3 cos
p/ 2 cos2
5
5
2
q/ 3 cos 4x − 2 cos 3x = 1
3x
+ 1 = 3 cos 2x
r/ 2 cos2
2
x
s/ cos x + tg = 1
2
t/ 3tg2x − 4tg3x = tg 2 3x.tg2x
u/ cos x.cos 4x + cos 2x.cos 3x + cos2 4x =
v/ cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x =
w/ sin 4x = tgx

3
2

3

2

13
cos2 2x
8
⎛ 3π x ⎞ 1
⎛ π 3x ⎞
y/ sin ⎜
− ⎟ = sin ⎜
+

⎝ 10 2 ⎠ 2
⎝ 10 2 ⎠
sin6 x + cos6 x = a sin 2x
(1)
a/ Giả i phương trình khi a = 1.
x/ cos6 x + sin6 x =

2.

(ÑS : a ≥

b/ Tìm a để (1) có nghiệ m
3.

Cho phương trình
cos6 x + sin6 x
= 2mtg2x
cos2 x − sin2 x


(1 )

a/ Giả i phương trình khi m =

1
8

(ĐS : m ≥

b/ Tìm m sao cho (1) có nghiệ m
4.

1
)
4

Tìm m để phương trình
sin 4x = mtgx có nghiệm x ≠ kπ

1
)
8

1


⎜ ĐS : − < m < 4 ⎟
2



5.

6.

Tìm m để phương trình :
cos 3x − cos 2x + m cos x − 1 = 0
⎛ π

có đú n g 7 nghiệ m trê n ⎜ − , 2π ⎟
( ĐS :1 < m < 3)
⎝ 2

Tìm m để phương trình :
4 sin 4 x + cos4 x − 4 sin 6 x + cos6 x − sin 2 4x = m có nghiệ m

(

) (

)

1


⎜ ĐS : − ≤ m ≤ 1 ⎟
8





7.

8.

9.

Cho phương trình :
6 sin2 x − sin2 x = m cos2 2x
a/ Giả i phương trình khi m = 3
b/ Tìm m để (1) có nghiệ m

(1)

( ĐS : m ≥ 0 )

Tìm m để phương trình :
( 2m + 1) sin2 x = 0
m
sin4 x + cos 4x + sin 4x −
4
4
π π⎞

có hai nghiệ m phâ n biệ t trê n ⎜ , ⎟
⎝4 2⎠
1⎞

⎜ ĐS : 2 5 − 4 < m < ⎟
2⎠


Tìm m để phương trình :
sin6 x + cos6 x = m sin 4 x + cos4 x có nghiệ m

(

)

1


⎜ ĐS : ≤ m ≤ 1 ⎟
2



10.

Cho phương trình :
cos 4x = cos2 3x + a sin2 x
⎛ π⎞
Tìm a để phương trình có nghiệ m x ∈ ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠

( ÑS : 0 < a < 1)
Th.S Phạm Hồng Danh

TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn




×