Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬ C HAI VỚ I CÁ C HÀ M SỐ LƯ N G GIÁ C

a sin2 u + b sin u + c = 0
a cos2 u + b cos u + c = 0
atg 2 u + btgu = c = 0
a cot g 2 u + b cot gu + c = 0

( a ≠ 0)
( a ≠ 0)
( a ≠ 0)
( a ≠ 0)

Cá c h giả i:
t = sin u hay t = cos u vớ i t ≤ 1
Đặt :

π
+ kπ )
2
t = cot gu (điề u kiệ n u ≠ kπ )
t = tgu (điề u kiệ n u ≠

Cá c phương trình trê n thà n h: at 2 + bt + c = 0
Giả i phương trình tìm được t, so vớ i điề u kiệ n để nhậ n nghiệ m t.
Từ đó giả i phương trình lượ n g giá c cơ bả n tìm đượ c u.

Bà i 56: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2002)
Tìm cá c nghiệ m trê n ( 0, 2π ) củ a phương trình
cos 3x + sin 3x ⎞
⎛

5 ⎜ sin x +
⎟ = 3 + cos 2x ( * )
1 + 2 sin 2x ⎠
⎝
1
Điề u kiệ n : sin 2x ≠ −
2
Ta coù : sin 3x + cos 3x = 3sin x − 4 sin 3 x + 4 cos3 x − 3 cos x

(

(

= −3 ( cos x − sin x ) + 4 cos3 x − sin3 x

)

) (

(

)

= ( cos x − sin x ) ⎡ −3 + 4 cos2 x + cos x sin x + sin 2 x ⎤
⎣
⎦
= ( cos x − sin x )(1 + 2 sin 2x )

(

Lú c đó : (*) ⇔ 5 ⎡sin x + ( cos x − sin x ) ⎤ = 3 + 2 cos2 x − 1
⎣
⎦
1⎞
⎛
⎜ do sin 2x ≠ − ⎟
2⎠
⎝
⇔ 2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0

)

)


1
⎡
cos x =
2
⇔⎢
⎢
⎢cos x = 2 ( loaïi )
⎣
π
3
1
⇔ x = ± + k2π (nhaä n do sin 2x = ±
≠− )
2
2

3
π
5π
Do x ∈ ( 0, 2π ) neâ n x = ∨ x =
3
3
Bà i 57: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khối A, nă m 2005)
Giả i phương trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 ( *)

1 + cos 6x
1 + cos 2x
.cos 2x −
=0
2
2
⇔ cos 6x.cos 2x − 1 = 0 (**)
Caù c h 1: (**) ⇔ 4 cos3 2x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0

Ta coù : (*) ⇔

(

)

⇔ 4 cos4 2x − 3 cos2 2x − 1 = 0
⎡cos2 2x = 1
⇔⎢ 2
⎢cos 2x = − 1 ( vô nghiệm )
⎢
4

⎣
⇔ sin 2x = 0

⇔ 2x = kπ ⇔ x =

kπ
( k ∈ Z)
2

1
( cos 8x + cos 4x ) − 1 = 0
2
⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0

Caù c h 2: (**) ⇔

⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0
⎡cos 4x = 1
⇔⎢
⎢cos 4x = − 3 ( loaïi )
2
⎣
kπ
⇔ 4x = k2π ⇔ x =
( k ∈ Z)
2
Caù c h 3: phương trình lượ n g giá c khô n g mẫ u mự c :
⎡cos 6x = cos 2x = 1
(**) ⇔ ⎢
⎣cos 6x = cos 2x = −1

Caù c h 4: cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ cos 8x + cos 4x = 2
⇔ cos 8x = cos 4x = 1 ⇔ cos 4x = 1

Bà i 58: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khối D, nă m 2005)
π⎞
π⎞ 3
⎛
⎛
Giả i phương trình: cos4 x + sin 4 x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 0
4⎠
4⎠ 2
⎝
⎝


Ta coù :
(*)
⎤ 3
1⎡
π⎞
⎛
⎢sin ⎜ 4x − 2 ⎟ + sin 2x ⎥ − 2 = 0
2⎣
⎝
⎠
⎦
1
1
3

⇔ 1 − sin2 2x + [ − cos 4x + sin 2x ] − = 0
2
2
2
1
1
1
1
⇔ − sin2 2x − 1 − 2 sin2 2x + sin 2x − = 0
2
2
2
2
2
⇔ sin 2x + sin 2x − 2 = 0
⎡sin 2x = 1
⇔⎢
⎣sin 2x = −2 ( loaïi )
π
⇔ 2x = + k2π, k ∈
2
π
⇔ x = + kπ, k ∈
4

(

⇔ sin2 x + cos2 x

)

2

− 2 sin2 x cos2 x +

(

)

Baø i 59: (Đề th i tuyển sinh Đạ i ho ï c khố i B, nă m 2004)
Giả i phương trình: 5 sin x − 2 = 3 (1 − sinx ) tg 2 x
Điề u kiệ n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1
Khi đó: (*) ⇔ 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x )

⇔ 5sin x − 2 = 3 (1 − sin x )

sin2 x
1 − sin2 x

sin2 x
cos2 x

3sin2 x
⇔ 5 sin x − 2 =
1 + sin x
2
⇔ 2 sin x + 3sin x − 2 = 0
1
⎡
⎢sin x = 2 ( nhaän do sin x ≠ ±1)

⇔
⎢
⎢sin x = −2 ( vô nghiệm )
⎣

⇔x=

π
5π
+ k2π ∨ x =
+ k2π ( k ∈ Z)
6
6

Bà i 60: Giải phương trình: 2 sin 3x −

1
1
= 2 cos 3x +
( *)
sin x
cos x

Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0
Lú c ñoù : (*) ⇔ 2 ( sin 3x − cos 3x ) =

1
1
+
sin x cos x

( *)


1
1
⇔ 2 ⎡3 ( sin x + cos x ) − 4 sin3 x + cos3 x ⎤ =
+
⎣
⎦ sin x cos x
sin x + cos x
⇔ 2 ( sin x + cos x ) ⎡3 − 4 sin2 x − sin x cos x + cos2 x ⎤ =
⎣
⎦
sin x cos x
1
⎡
⎤
⇔ ( sin x + cos x ) ⎢ −2 + 8 sin x cos x −
=0
sin x cos x ⎥
⎣
⎦
2
⎡
⎤
⇔ ( sin x + cos x ) ⎢4 sin 2x −
− 2⎥ = 0
sin 2x
⎣

⎦
⎡ tgx = −1
⎡sin x + cos x = 0
⇔⎢
⇔⎢
( nhận so với điều kiện )
2
⎢sin 2x = 1 ∨ sin 2x = −1
⎣4 sin 2x − 2sin 2x − 2 = 0
2
⎣

(
(

)

)

π
π
π
7π
+ kπ ∨ 2x = + k2π ∨ 2x = − + k2π ∨ 2x =
+ k2π, k ∈
4
2
6
6
π

π
7π
⇔ x = ± + kπ ∨ x = −
+ kπ ∨ x =
+ kπ, k ∈
4
12
12
⇔x=−

Bà i 61: Giải phương trình:

(

)

cos x 2 sin x + 3 2 − 2 cos2 x − 1

=1
1 + sin 2x
π
Điề u kiệ n : sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + mπ
4
Luù c ñoù :
(*) ⇔ 2 sin x cos x + 3 2 cos x − 2 cos2 x − 1 = 1 + sin 2x
⇔ 2 cos2 x − 3 2 cos x + 2 = 0
2
⇔ cos x =
hay cos x = 2 ( vô nghiệm )
2

π
⎡
⎢ x = 4 + k2π
⇔⎢
⎢ x = − π + k '2π ( loại do điều kiện )
⎢
4
⎣
π
⇔ x = + k2π
4

( *)

Bà i 62: Giải phương trình:

x
3x
x
3x 1
cos x.cos .cos
− sin x sin sin
= ( *)
2
2
2
2
2

1

1
1
cos x ( cos 2x + cos x ) + sin x ( cos 2x − cos x ) =
2
2
2
2
⇔ cos x.cos 2x + cos x + sin x cos 2x − sin x cos x = 1
⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = 1 − cos2 x + sin x cos x

Ta coù : (*) ⇔

⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = sin x ( sin x + cos x )


⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − sin x ) = 0 ( * * )

(

)

⇔ ( cos x + sin x ) 1 − 2 sin 2 x − sin x = 0

⎡ cos x = − sin x
⇔⎢
2
⎣ 2 sin x + sin x − 1 = 0
π
⎡
⎡

⎢ x = − 4 + kπ
⎢ tgx = −1
⎢
⎢
π
⇔ ⎢sin x = −1
⇔ ⎢ x = − + k2π
( k ∈ Z)
⎢
2
⎢
1
⎢
⎢sin x =
⎢ x = π + k2π ∨ x = 5π + k2π
2
⎣
⎢
6
6
⎣
⎛π
⎞
Caù c h khaù c: (**) ⇔ tgx = −1 ∨ cos 2x = sin x = cos ⎜ − x ⎟
⎝2
⎠
Baø i 63: Giải phương trình: 4 cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x ( *)
Ta coù : (*) ⇔ 4 cos3 x + 6 2 sin x cos x − 8 cos x = 0
⇔ cos x 2 cos2 x + 3 2 sin x − 4 = 0

(

(

)

)

⇔ cos x ⎡ 2 1 − sin 2 x + 3 2 sin x − 4 ⎤ = 0
⎣
⎦
2
⇔ cos x = 0 ∨ 2 sin x − 3 2 sin x + 2 = 0
⎡cos x = 0
⎢
2
⇔ ⎢sin x =
⎢
2
⎢
⎢sin x = 2 ( voâ nghieäm )
⎣

π
2
π
+ kπ ∨ sin x =
= sin
4
2

2
π
π
3π
⇔ x = + kπ ∨ x = + k2π ∨ x =
+ k2π ( k ∈ Z )
2
4
4

⇔x=

Bà i 64 : Giải phương trình:
π⎞
π⎞
⎛
⎛
cos ⎜ 2x + ⎟ + cos ⎜ 2x − ⎟ + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x ) ( *)
4⎠
4⎠
⎝
⎝

π
+ 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x )
4
2 1 − 2 sin2 x + 4 + 2 sin x − 2 − 2 = 0

(*) ⇔ 2 cos 2x.cos

⇔

(

(

) (

)

)

⇔ 2 2 sin2 x − 4 + 2 sin x + 2 = 0


⎡sin x = 2 ( loaïi )
⇔ 2 sin x − 2 2 + 1 sin x + 2 = 0 ⇔ ⎢
⎢sin x = 1
⎢
2
⎣
π
5π
⇔ x = + k2π hay x =
+ k2π, k ∈
6
6

(

2

)

(

)

Bà i 65 : Giả i phương trình : 3 cot g 2 x + 2 2 sin 2 x = 2 + 3 2 cos x ( * )
Điề u kiệ n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ±1
Chia hai veá (*) cho sin 2 x ta đượ c :
cos2 x
cos x
+2 2 = 2+3 2
vaø sin x ≠ 0
(*) ⇔ 3
4
sin x
sin2 x
cos x
Đặt t =
ta đượ c phương trình:
sin 2 x
3t 2 − 2 + 3 2 t + 2 2 = 0

(

(

)

)

⇔t= 2∨t=

2
3

2
cos x
2
ta coù :
=
2
3
sin x 3
⇔ 3 cos x = 2 1 − cos2 x

* Vớ i t =

(

)

⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0
⎡cos x = −2 ( loaïi )
⇔⎢
⎢cos x = 1 ( nhaän do cos x ≠ ±1)
⎢
2

⎣
π
⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z )
3
cos x
* Vớ i t = 2 ta có :
= 2
sin2 x
⇔ cos x = 2 1 − cos2 x

(

⇔

)

2 cos2 x + cos x − 2 = 0

⎡cos x = − 2 ( loại )
⎢
⇔⎢
2
( nhận do cos x ≠ ±1)
⎢cos x =
2
⎣
π
⇔ x = ± + k2π, k ∈
4

Baø i 66 : Giải phương trình:

4 sin2 2x + 6 sin 2 x − 9 − 3 cos 2x
= 0 ( *)
cos x


Điề u kiệ n : cos x ≠ 0
Lú c ñoù :
(*) ⇔ 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x = 0

(

)

⇔ 4 1 − cos2 2x + 3 (1 − cos 2x ) − 9 − 3 cos 2x = 0
⇔ 4 cos2 2x + 6 cos 2x + 2 = 0
⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = −

1
2

⇔ 2 cos2 x − 1 = −1 ∨ 2 cos2 x − 1 = −

1
2

⎡cos x = 0 ( loại do điều kiện )
⇔⎢
⎢cos x = ± 1 nhận do cos x ≠ 0

(
)
⎢
2
⎣
2π
π
⇔ x = ± + k2π ∨ x = ±
+ k2π ( k ∈ Z )
3
3

1
2
sin 3x + sin 5x
3
5
Giả i phương trình: f ' ( x ) = 0

Baø i 67: Cho f ( x ) = sin x +

Ta coù :

f '(x) = 0
⇔ cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0

⇔ ( cos x + cos 5x ) + ( cos 3x + cos 5x ) = 0
⇔ 2 cos 3x cos 2x + 2 cos 4x cos x = 0

(

)

(

)

⇔ 4 cos3 x − 3 cos x cos 2x + 2 cos2 2x − 1 cos x = 0

(

)

⇔ ⎡ 4 cos2 x − 3 cos 2x + 2 cos2 2x − 1⎤ cos x = 0
⎣
⎦
⎡ ⎡ 2 (1 + cos 2x ) − 3⎤ cos 2x + 2 cos2 2x − 1 = 0
⎦
⇔ ⎢⎣
⎢cos x = 0
⎣
⎡4 cos2 2x − cos 2x − 1 = 0
⇔⎢
⎣cos x = 0
1 ± 17
∨ cos x = 0
8
1 + 17
1 − 17
⇔ cos 2x =

= cos α ∨ cos 2x =
= cos β ∨ cos x = 0
8
8
α
β
π
⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z )
2
2
2
⇔ cos 2x =


Bà i 68: Giải phương trình: sin8 x + cos8 x =
Ta coù :

(

sin 8 x + cos8 x = sin4 x + cos4 x

)

(

2

= ⎡ sin 2 x + cos2 x
⎢
⎣

)

17
cos2 2x ( *)
16

− 2 sin 4 x cos4 x
2

2

1
− 2 sin 2 x cos2 x ⎤ − sin4 2x
⎥
8
⎦

2

1
1
⎛
⎞
= ⎜ 1 − sin2 2x ⎟ − sin 4 2x
2
8
⎝
⎠
1

= 1 − sin2 2x + sin4 2x
8

Do đó :

( *) ⇔ 16 ⎛ 1 − sin2 2x +
⎜
⎝

1
⎞
sin4 2x ⎟ = 17 1 − sin2 2x
8
⎠

(

)

⇔ 2 sin4 2x + sin2 2x − 1 = 0
⎡sin2 2x = −1 ( loaïi )
1
1
⇔⎢
⇔ (1 − cos 4x ) =
1
⎢sin2 2x =
2
2
⎢

2
⎣
π
⇔ cos 4x = 0 ⇔ x = ( 2k + 1) , ( k ∈ Z )
8
Baø i 69 : Giải phương trình: sin

5x
x
= 5 cos3 x.sin ( *)
2
2

x
= 0 ⇔ x = π + k2π ⇔ cos x = −1
2
Thay và o (*) ta đượ c :
⎛ 5π
⎞
⎛π
⎞
sin ⎜
+ 5kπ ⎟ = − 5. sin ⎜ + kπ ⎟ , khô n g thỏ a ∀k
⎝ 2
⎠
⎝2
⎠
x
Do cos khô n g là nghiệ m củ a (*) nê n :
2

5x
x
x
x
x
( *) ⇔ sin . cos = 5 cos2 x. sin cos vaø cos ≠ 0
2
2
2
2
2
1
5
x
⇔ ( sin 3x + sin 2x ) = cos3 x.sin x vaø cos ≠ 0
2
2
2
Nhận xé t thấy : cos

⇔ 3sin x − 4 sin3 x + 2 sin x cos x = 5 cos3 x.sin x vaø cos

x
⎧
⎪cos ≠ 0
2
⇔⎨
⎪3 − 4 sin2 x + 2 cos x = 5 cos3 x ∨ sin x = 0
⎩

x
≠0
2


⇔

⇔

⇔

⇔

x
⎧
cos ≠ 0
⎪
⎪
2
⎨
⎪5 cos3 x − 4 cos2 x − 2 cos x + 1 = 0 ∨ sin x = 0
⎪
2
⎩
⎧cos x ≠ −1
⎪
⎨
x
2
⎪( cos x − 1) 5 cos x + cos x − 1 = 0 ∨ sin 2 = 0

⎩
⎧cos x ≠ −1
⎪
⎪⎡
⎪ ⎢cos x = 1
⎪⎢
−1 + 21
⎨⎢
= cos α
⎪ ⎢cos x =
10
⎪⎢
−1 − 21
⎪⎢
= cos β
⎪ ⎣cos x =
⎢
10
⎩
x = k2π hay x = ±α + k2π hay x = ±β + k2π, ( k ∈ Z )

(

)

Bà i 70: Giải phương trình: sin 2x ( cot gx + tg2x ) = 4 cos2 x ( *)
Đ iề u kiệ n : cos 2x ≠ 0 vaø sin x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ 0 ∧ cos 2x ≠ 1
cos x sin 2x
+
Ta coù : cot gx + tg2x =

sin x cos 2x
cos 2x cos x + sin 2x sin x
=
sin x cos 2x
cos x
=
sin x cos 2x
cos x
⎛
⎞
2
Lú c đó : (*) ⇔ 2 sin x.cos x ⎜
⎟ = 4 cos x
⎝ sin x cos 2x ⎠
2
cos x
⇔
= 2 cos2 x
cos 2x
⇔ ( cos 2x + 1) = 2 cos 2x ( cos 2x + 1)

⇔ ( cos 2x + 1) = 0 hay 1 = 2 cos 2x
1
( nhaän do cos 2x ≠ 0 vaø cos 2x ≠ 1)
2
π
⇔ 2x = π + k2π ∨ 2x = ± + k2π, k ∈
3
π
π

⇔ x = + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈
2
6

⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x =

Bà i 71 : Giải phương trình: 2 cos2

6x
8x
+ 1 = 3 cos ( *)
5
5


12x ⎞
⎛
⎛
⎞
2 4x
Ta coù : (*) ⇔ ⎜ 1 + cos
− 1⎟
⎟ + 1 = 3 ⎜ 2 cos
5 ⎠
5
⎝
⎝
⎠
4x
4x

4x ⎞
⎛
⇔ 2 + 4 cos3
− 3 cos
= 3 ⎜ 2 cos2
− 1⎟
5
5
5
⎝
⎠
4
Đặ t t = cos x ( điều kiện t ≤ 1)
5
Ta có phương trình :
4t 3 − 3t + 2 = 6t 2 − 3
⇔ 4t 3 − 6t 2 − 3t + 5 = 0
⇔ ( t − 1) ( 4t 2 − 2t − 5 ) = 0
⇔ t = 1∨ t =

Vaä y

1 − 21
1 + 21
∨t =
( loïai )
4
4

4x

4x
=1⇔
= 2kπ
5
5
5kπ
⇔x=
( k ∈ Z)
2
4x 1 − 21
• cos
=
= cos α ( với 0 < α < 2 π )
5
4
4x
⇔
= ±α + l 2 π
5
5α l 5π
⇔x=±
+
,(l ∈ Z)
4
2
• cos

π⎞
⎛
Bà i 72 : Giải phương trình tg3 ⎜ x − ⎟ = tgx − 1 ( *)

4⎠
⎝
π
π
Đặ t t = x − ⇔ x = + t
4
4
1 + tgt
⎛π ⎞
(*) thaø n h : tg3 t = tg ⎜ + t ⎟ − 1 =
− 1 với cos t ≠ 0 ∧ tgt ≠ 1
1 − tgt
⎝4 ⎠
2tgt
⇔ tg3 t =
1 − tgt
⇔ tg3 t − tg 4 t = 2tgt
⇔ tgt ( tg3 t − tg 2 t + 2 ) = 0
⇔ tgt ( tgt + 1) ( tg 2 t − 2tgt + 2 ) = 0
⇔ tgt = 0 ∨ tgt = −1( nhận so điều kiện )
⇔ t = kπ ∨ t = −

Vậ y (*)

π
+ kπ, k ∈¢
4


⇔x=

π
+ kπ hay x = kπ, k ∈¢
4

sin 4 2x + cos4 2x
= cos4 4x (*)
Bà i 73 : Giải phương trình
⎛π
⎞ ⎛π
⎞
tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟
⎝4
⎠ ⎝4
⎠
Điề u kiệ n
⎧ ⎛π
⎧ ⎛π
⎞
⎛π
⎞
⎞
⎪sin ⎜ 4 − x ⎟ cos ⎜ 4 − x ⎟ ≠ 0
⎪sin ⎜ 2 − 2x ⎟ ≠ 0
⎪ ⎝
⎠
⎝
⎠
⎪ ⎝
⎠

⇔⎨
⎨
⎪sin ⎛ π + x ⎞ cos ⎛ π + x ⎞ ≠ 0
⎪sin ⎛ π + 2x ⎞ ≠ 0
⎜4
⎟
⎜4
⎟
⎟
⎪ ⎝
⎪ ⎜2
⎠
⎝
⎠
⎠
⎩
⎩ ⎝
⇔ cos 2x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ ±1
Do :
⎛π
⎞ ⎛π
⎞ 1 − tgx 1 + tgx
tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ =
.
=1
⎝4
⎠ ⎝4
⎠ 1 + tgx 1 − tgx
Khi cos2x ≠ 0 thì :
(*) ⇔ sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x

⇔ 1 − 2 sin 2 2x cos2 2x = cos4 4x
1
⇔ 1 − sin 2 4x = cos4 4x
2
1
⇔ 1 − (1 − cos2 4x ) = cos4 4x
2
⇔ 2 cos4 4x − cos2 4x − 1 = 0
⎡ cos2 4x = 1
⇔⎢ 2
⇔ 1 − sin 2 4x = 1
⎢ cos 4x = − 1 ( voâ nghieäm )
⎢
⎣
2
⇔ sin 4x = 0
⇔ 2 sin 2x cos 2x = 0
⇔ sin 2x = 0 ( do cos 2x ≠ 0 )
π
⇔ 2x = kπ, k ∈¢ ⇔ x = k , k ∈¢
2
1
2
− 2 (1 + cot g2x cot gx ) = 0 ( *)
Baø i 74 :Giả i phương trình: 48 −
4
cos x sin x
Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0
Ta có :

cos 2x cos x
.
sin 2x sin x
sin 2x sin x + cos 2x cos x
=
sin x sin 2x
cos x
1
=
=
( do cos x ≠ 0 )
2
2 sin x cos x 2 sin 2 x
1
1
− 4 =0
Lú c đó (*) ⇔ 48 −
4
cos x sin x
1
1
sin 4 x + cos4 x
⇔ 48 =
+ 4 =
cos4 x sin x
sin 4 x cos4 x
⇔ 48sin 4 x cos4 x = sin 4 x + cos4 x
1 + cot g2x cot gx = 1 +

⇔ 3sin 4 2x = 1 − 2 sin 2 x cos2 x
1
⇔ 3sin 4 2x + sin 2 2x − 1 = 0
2
2
⎡ 2
⎢sin x = − 3 ( loïai )
⇔⎢
⎢sin 2 x = 1 ( nhaän do ≠ 0 )
⎢
2
⎣

1
1
(1 − cos 4x ) =
2
2
⇔ cos 4x = 0
π
⇔ 4x = + kπ
2
π kπ
⇔ x = + ( k ∈ Z)
8 4
⇔

Bà i 75 : Giả i phương trình

5
sin 8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos 2x ( *)
4

(

)

Ta coù : (*)

5
cos 2x
4
5
⇔ sin 8 x (1 − 2 sin 2 x ) − cos8 x ( −1 + 2 cos2 x ) = cos 2x
4
5
⇔ sin 8 x.cos 2x − cos8 x cos 2x = cos 2x
4
8
8
⇔ 4 cos 2x ( sin x − cos x ) = 5 cos 2x

(

) (

)

⇔ sin8 x − 2 sin10 x + cos8 x − 2 cos10 x =

⇔ cos 2x = 0 hay 4 ( sin 8 x − cos8 x ) = 5
⇔ cos 2x = 0 hay 4 ( sin 4 x − cos4 x )( sin 4 x + cos4 x ) = 5
⎛ 1
⎞
⇔ cos 2x = 0 hay 4 ⎜ 1 − sin 2 2x ⎟ = 5
⎝ 2
⎠
2
⇔ cos 2x = 0 hay − 2 sin 2x = 1(Vô nghiệm )
π
⇔ 2x = + kπ, k ∈¢
2
π kπ
⇔x= +
, k ∈¢
4 2
Cá c h khá c: Ta có 4 ( sin 8 x − cos8 x ) = 5 vô nghiệ m

Vì

( sin

8

x − cos8 x ) ≤ 1, ∀ x neâ n 4 ( sin 8 x − cos8 x ) ≤ 4 < 5, ∀x

Ghi chú : Khi gặ p phương trình lượ n g giác dạ n g R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x)
vớ i R hà m hữ u tỷ thì đặ t t = tgx

2t
2t
1 − t2
, sin 2x =
, cos 2x =
Lú c đó tg2x =
1 − t2
1 + t2
1 + t2
Bà i 76 : (Để thi tuyển sinh Đại họ c khối A, năm 2003)
Giả i phương trình
cos 2x
1
cot gx − 1 =
+ sin2 x − sin 2x ( *)
1 + tgx
2

Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0 và tgx ≠ −1
Đặt t = tgx thì (*) thà nh :
1 − t2
2
1
1 + t 2 + 1 ⎡1 − 1 − t ⎤ − 1 . 2t
−1 =
⎢
⎥
t
1+t
2⎣

1 + t2 ⎦ 2 1 + t2
⇔

1−t
1 − t 1 2t 2
t
=
+ .
−
( do t ≠ −1)
2
2
2 1+t
1 + t2
t
1+t

1 − t t 2 − 2t + 1 (1 − t )
⇔
=
=
t
1 + t2
1 + t2

2

⇔ ( 1 − t ) (1 + t 2 ) = ( 1 − t ) t
2

⎡ t = 1 ( nhaän do t ≠ −1)
⎡1 − t = 0
⇔⎢
⇔⎢ 2
2
⎣1 + t = (1 − t ) t ⎢2t − t + 1 = 0 ( vô nghiệm )
⎣
π
Vaä y (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( nhaän do sin 2x = 1 ≠ 0)
4

Bà i 77 : Giải phương trình: sin 2x + 2tgx = 3 ( * )

Điề u kiệ n : cos x ≠ 0
Đ ặt t = tgx thì (*) thaøn h :


2t
+ 2t = 3
1 + t2
⇔ 2t + ( 2t − 3) (1 + t 2 ) = 0
⇔ 2t 3 − 3t 2 + 4t − 3 = 0
⇔ ( t − 1) ( 2t 2 − t + 3) = 0
⎡t = 1
⇔⎢ 2
⎣2t − t + 3 = 0 ( vô nghiệm )
π
Vậy (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z )
4

Bà i 78 : Giả i phương trình

cot gx − tgx + 4 sin 2x =

2
( *)
sin 2x

Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 0

2t
do sin 2x ≠ 0 neân t ≠ 0
1 + t2
1
8t
1 + t2 1
=
= +t
(*) thaø n h : − t +
t
1 + t2
t
t
8t
⇔
= 2t
1 + t2
4
⇔
= 1 ( do t ≠ 0 )

1 + t2
⇔ t 2 = 3 ⇔ t = ± 3 ( nhận do t ≠ 0 )
Đặ t t = tgx thì : sin 2x =

Vậy (*)

⎛ π⎞
⇔ tgx = tg ⎜ ± ⎟
⎝ 3⎠
π
⇔ x = ± + kπ, k ∈
3

Bà i 79 : Giả i phương trình
(1 − tgx )(1 + sin 2x ) = 1 + tgx ( * )

Điề u kiệ n : cos x ≠ 0
Đặt = tgx thì (*) thà nh :
2t ⎞
(1 − t ) ⎛ 1 +
⎜
⎟ =1+t
1 + t2 ⎠
⎝
2
( t + 1) = 1 + t
⇔ (1 − t )
1 + t2
⎡ t = −1
⎡ t = −1

⇔ ⎢ (1 − t )(1 + t )
⇔ ⎢
2
2
⎢
=1
⎣1 − t = 1 + t
2
⎢
1+t
⎣
⇔ t = −1 ∨ t = 0


⎡ tgx = −1
π
Do đó (*) ⇔ ⎢
⇔ x = − + kπ hay x = kπ, k ∈
4
⎣ tgx = 0
Bà i 80 : Cho phương trình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ( * )

a/ Giả i phương trình khi m =

3
2

⎛ π 3π ⎞
b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ , ⎟
⎝2 2 ⎠

2
Ta coù (*) 2 cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0

⎧t = cos x ([ t ] ≤ 1)
⎪
⇔⎨ 2
⎪2t − ( 2m + 1) t + m = 0
⎩
⎧ t = cos x ([ t ] ≤ 1)
⎪
⇔⎨
1
⎪t = ∨ t = m
⎩
2
3
a/ Khi m = , phương trình thành
2
1
3
cos x = ∨ cos x = ( loaïi )
2
2
π
⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z )
3
⎛ π 3π ⎞
b/ Khi x ∈ ⎜ , ⎟ thì cos x = t ∈ [−1, 0)
⎝2 2 ⎠
1

Do t = ∉ [ −1, 0] nên
2
π 3π
( *) có nghiệm trên ⎛ , ⎞ ⇔ m ∈ ⎡ −1, 0)
⎜
⎟
⎣
⎝2 2 ⎠
Baø i 81 : Cho phương trình
( cos x + 1)( cos 2x − m cos x ) = m sin 2 x ( *)

a/ Giả i (*) khi m= -2

⎡ 2π ⎤
b/ Tìm m sao cho (*) có đú n g hai nghiệ m trê n ⎢0, ⎥
⎣ 3⎦

Ta có (*) ⇔ ( cos x + 1) ( 2 cos2 x − 1 − m cos x ) = m (1 − cos2 x )
⇔ ( cos x + 1) ⎡2 cos2 x − 1 − m cos x − m (1 − cos x ) ⎤ = 0
⎣
⎦
⇔ ( cos x + 1) ( 2 cos2 x − 1 − m ) = 0

a/ Khi m = -2 thì (*) thà nh :


( cos x + 1) ( 2 cos2 x + 1) = 0
⇔ cosx = -1
⇔ x = π + k2π ( k ∈ Z )
⎡ 2π ⎤

⎡ 1 ⎤
b / Khi x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì cos x = t ∈ ⎢ − ,1⎥
⎣ 3⎦
⎣ 2 ⎦
⎡ 1 ⎤
Nhậ n xé t rằ n g vớ i mỗi t trê n ⎢ − ,1⎥ ta chỉ tìm đượ c duy nhấ t mộ t x trê n
⎣ 2 ⎦
⎡ 2π ⎤
⎢0, ⎥
⎣ 3⎦
⎡ 1 ⎤
Yê u cầ u bà i toá n ⇔ 2t 2 − 1 − m = 0 có đu ù n g hai n ghiệ m trê n ⎢ − ,1⎥
⎣ 2 ⎦
Xé t y = 2t 2 − 1 ( P ) vaø y = m ( d )

Ta coù y’ = 4t

⎡ 2π ⎤
Vậ y (*) có đú ng hai nghiệ m trê n ⎢0, ⎥
⎣ 3⎦

⎡ 1 ⎤
⇔ (d) cắ t (P) tạ i hai điể m phân biệ t trê n ⎢ − ,1⎥
⎣ 2 ⎦
1
⇔ −1 < m ≤
2

Baø i 82 : Cho phương trình (1 − a ) tg 2 x −

a/ Giaû i (1) khi a =

1
2

2
+ 1 + 3a = 0 (1)
cos x

⎛ π⎞
b/ Tìm a để (1) có nhiề u hơn mộ t nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
π
Điề u kiệ n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ
2


(1) ⇔ (1 − a ) sin2 x − 2 cos x + (1 + 3a ) cos2 x = 0
⇔ (1 − a ) (1 − cos2 x ) − 2 cos x + (1 + 3a ) cos2 x = 0
⇔ 4a cos2 x − 2 cos x + 1 − a = 0
⇔ a ( 4 cos2 x − 1) − ( 2 cos x − 1) = 0
⇔ ( 2 cos x − 1) ⎡a ( 2 cos x + 1) − 1⎤ = 0
⎣
⎦

1
1⎞
⎛
thì (1) thaø n h : ( 2 cos x − 1) ⎜ cos x − ⎟ = 0
2

2⎠
⎝
1
π
⇔ cos x = = cos ( nhaän do cos x ≠ 0 )
2
3
π
⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z )
3
⎛ π⎞
b/ Khi x ∈ ⎜ 0, ⎟ thì cos x = t ∈ ( 0,1)
⎝ 2⎠
1
⎡
cos x = t = ∈ ( 0,1)
2
Ta coù : (1) ⇔ ⎢
⎢
⎢2a cos x = 1 − a ( 2 )
⎣
a/ Khi a =

⎧
⎪a ≠ 0
⎪
1−a
⎪
⎧1 ⎫
Yê u cầ u bà i toá n ⇔ (2) có nghiệ m trê n ( 0,1) \ ⎨ ⎬ ⇔ ⎨0 <

<1
2a
⎩2⎭
⎪
⎪1 − a 1
⎪ 2a ≠ 2
⎩
⎧a ≠ 0
⎧
⎪1 − a
⎪0 < a < 1
⎧1
⎪
>0
⎪
⎪3 < a < 1
1
⎪ 2a
⎪
⎪
⇔⎨
⇔ ⎨a < 0 ∨ a > ⇔ ⎨
1 − 3a
3
⎪
⎪
⎪a ≠ 1
<0
⎪
1

⎪ 2a
⎪
2
⎩
⎪2 (1 − a ) ≠ 2a
⎪a ≠ 2
⎩
⎩

Caù c h khaù c : dặ t u =

1
, điề u kiệ n u ≥1 ; pt thaø n h
cos x

(1 − a ) ( u 2 − 1 ) − 2u + 1 + 3a = 0 ⇔ (1 − a ) u 2

− 2u + 4a = 0

⇔ ( u − 2 ) [ (1 − a)u − 2a ] = 0
Baø i 83 : Cho phương trình : cos 4x + 6 sin x cos x = m (1)

a/ Giaû i (1) khi m = 1
⎡ π⎤
b/ Tìm m để (1) có hai nghiệ m phân biệ t trê n ⎢ 0, ⎥
⎣ 4⎦
2
Ta coù : (1) ⇔ 1 − 2 sin 2x + 3 sin 2x = m

⎧t = sin 2x ( t ≤ 1)
⎪
⇔⎨ 2
⎪2t − 3t + m − 1 = 0 ( 2 )
⎩
a/ Khi m = 1 thì (1) thà nh
⎧t = sin 2x ( t ≤ 1)
⎧ t = sin 2x ( t ≤ 1)
⎪
⎪
⇔⎨
⎨ 2
3
⎪2t − 3t = 0
⎪t = 0 ∨ t = ( loaïi )
⎩
2
⎩
kπ
⇔ sin 2x = 0 ⇔ x =
2
⎡ π⎤
b/ Khi x ∈ ⎢0, ⎥ thì sin 2x = t ∈ [ 0,1]
⎣ 4⎦
Nhận thấy rằ n g mỗi t tìm được trê n [ 0,1] ta chỉ tìm được duy nhấ t mộ t
⎡ π⎤
x ∈ ⎢ 0, ⎥
⎣ 4⎦
Ta coù : (2) ⇔ −2t 2 + 3t + 1 = m
Xeù t y = −2t 2 + 3t + 1 trên [ 0,1]

Thì y ' = −4t + 3

Yê u cầ u bà i toá n ⇔ (d) y = m cắ t tạ i hai điể m phâ n biệ t trê n [ 0,1]

⇔2 ≤ m <

17
8

Cá c h khá c :đặt f (x) = 2t 2 − 3t + m − 1 . Vì a = 2 > 0, nê n ta coù
⎧Δ =17 − 8m > 0
⎪ f (0) = m −1≥ 0
⎪
17
⎪
Yê u cầ u bà i toá n ⇔ ⎨ f (1) = m − 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ m <
8
⎪
S 3
⎪ 0 ≤ = ≤1
⎪
2 4
⎩

Bà i 84 : Cho phương trình
4 cos5 x.sin x − 4 sin 5 x cos x = sin 2 4x + m (1 )

a/ Biết rằ ng x = π là nghiệm của (1). Hã y giải (1) trong trườn g hợ p đó .
π

b/ Cho biế t x = − là mộ t nghiệ m củ a (1). Hã y tìm tấ t cả nghiệ m củ a (1) thoû a
8
4
2
x − 3x + 2 < 0


(1) ⇔ 4 sin x cos x ( cos4 x − sin 4 x ) = sin2 4x + m

⇔ 2 sin 2x ( cos2 x − sin2 x )( cos2 x + sin 2 x ) = sin 2 4x + m
⇔ 2 sin 2x.cos 2x = sin 2 4x + m
⇔ sin 2 4x − sin 4x + m = 0

(1)

a/ x = π là nghiệ m củ a (1) ⇒ sin2 4π − sin 4π + m = 0
⇒m = 0
Lú c đó (1) ⇔ sin 4x (1 − sin 4x ) = 0
⇔ sin 4x = 0 ∨ sin 4x = 1
π
+ k2π
2
kπ
π kπ
⇔x =
∨x= +
( k ∈ Z)
4
8
2

⎧t = x2 ≥ 0
⎧t = x2 ≥ 0
⎪
⇔⎨
b/ x 4 − 3x 2 + 2 < 0 ⇔ ⎨ 2
⎪t − 3t + 2 < 0
⎩1 < t < 2
⎩
⇔ 1 < x2 < 2 ⇔ 1 < x < 2
⇔ 4x = kπ ∨ 4x =

⇔ − 2 < x < −1 ∨ 1 < x < 2 ( *)
π
⎛ π⎞
thì sin 4x = sin ⎜ − ⎟ = −1
8
⎝ 2⎠
π
x = − là nghiệm của (1) ⇒ 1 + 1 + m = 0
8
⇒ m = −2
x=−

Lú c đó (1) thà nh : sin2 4x − sin 4x − 2 = 0
⎧t = sin 4x ( với t ≤ 1)
⎪
⇔⎨
2
⎪t − t − 2 = 0
⎩

⎧t = sin 4x ( với t ≤ 1)
⎪
⇔⎨
⎪t = −1 ∨ t = 2 ( loaïi )
⎩
⇔ sin 4x = −1
π
⇔ 4x = − + k2π
2
π kπ
⇔x = − +
8
2
Kế t hợ p vớ i đi ề u kiệ n (*) suy ra k = 1
π π 3π
Vaä y (1) có n ghiệ m x = − + =
thỏ a x4 − 3x2 + 2 < 0
8 2
8
Baø i 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương
2 cos x.cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x
(1 )
4 cos2 x − cos 3x = a cos x + ( 4 − a )(1 + cos 2x )

( 2)


Ta coù : (1) ⇔ cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x

(

⇔ cos x = 1 + 2 cos2 x − 1

)

⇔ cos x (1 − 2 cos x ) = 0
1
2
2
3
Ta coù : (2) ⇔ 4 cos x − 4 cos x − 3 cos x = a cos x + ( 4 − a ) 2 cos2 x
⇔ cos x = 0 ∨ cos x =

(

)

⇔ 4 cos3 x + ( 4 − 2a ) cos2 x ( a − 3) cos x = 0
⎡cos x = 0
⇔⎢
2
⎢4 cos x + 2 ( 2 − a ) cos x + a − 3 = 0
⎣
1⎞
⎛
⇔ cos x = 0 hay ⎜ cos x − ⎟ [ 2 cos x + 3 − a ] = 0
2⎠
⎝
1

a−3
⇔ cos x = 0 ∨ cos x = ∨ cos x =
2
2

Vậ y yê u cầ u bà i toá n
⎡a − 3
⎢ 2 =0
⎢
⎢a − 3 = 1
⇔
⇔
⎢ 2
2
⎢a − 3
a−3
⎢
< −1 ∨
>1
⎢
2
⎣ 2

⎡a = 3
⎢a = 4
⎢
⎢
⎣a < 1 ∨ a > 5

Baø i 86 : Cho phương trình : cos4x = cos 2 3x + asin 2 x (*)

a/ Giả i phương trì nh khi a = 1
⎛ π ⎞
b/ Tìm a để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟
⎝ 12 ⎠
1
a
Ta coù : ( *) ⇔ cos 4x = (1 + cos 6x ) + (1 − cos 2x )
2
2
2
3
⇔ 2 2 cos 2x − 1 = 1 + 4 cos 2x − 3 cos 2x + a (1 − cos 2x )

(

)

⎧t = cos 2x
( t ≤ 1)
⎪
⇔⎨
2
3
⎪2 2t − 1 = 1 + 4t − 3t + a (1 − t )
⎩
⎧t = cos 2x
( t ≤ 1)
⎪
⇔⎨
3

2
⎪−4t + 4t + 3t − 3 = a (1 − t )
⎩
⎧1 = cos 2x
( t ≤ 1)
⎪
⇔⎨
2
⎪( t − 1) −4t + 3 = a (1 − t ) ( * *)
⎩
a/ Khi a = 1 thì (*) thà nh :

(

)

(

)


⎧
⎧
⎪t = cos 2x ( t ≤ 1)
⎪t = cos 2x
⇔⎨
⎨
2
⎪t = ±1
⎪( t − 1) −4t + 4 = 0

⎩
⎩
⇔ cos 2x = ±1 ⇔ cos2 2x = 1

(

)

(t

≤ 1)

kπ
, ( k ∈ Z)
2
⎛ 3 ⎞
⎛ π ⎞
⎛ π⎞
b/ Ta coù : x ∈ ⎜ 0, ⎟ ⇔ 2x ∈ ⎜ 0, ⎟ .Vaäy cos 2x = t ∈ ⎜
⎜ 2 ,1 ⎟
⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 6⎠
⎝
⎠
⇔ sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =

(

)

Vaäy (**) ⇔ ( t-1) −4t 2 + 3 = a (1 − t )
⇔ 4t 2 − 3 = a ( do t ≠ 1)
⎛ 3 ⎞
X eù t y = 4t 2 − 3 ( P ) treân ⎜
⎜ 2 ,1 ⎟
⎟
⎝
⎠
⎛ 3 ⎞
⇒ y ' = 8t > 0 ∀t ∈ ⎜
⎜ 2 ,1 ⎟
⎟
⎝
⎠
⎛ 3
⎞
⎛ π⎞
,1 ⎟
Do ñ o ù (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⇔ ( d ) : y = a caét ( P ) treân ⎜
⎜ 2
⎟
⎝ 2⎠
⎝
⎠
⎛ 3⎞
⇔ y⎜
⎜ 2 ⎟ < a < y (1 )
⎟
⎝

⎠
⇔ 0
1.

BÀI TẬP

Gia û i ca ù c phương trình sau :
a/ sin4x = tgx
π⎞
π⎞ 9
⎛
⎛
b/ sin4 x + sin4 x ⎜ x + ⎟ + sin4 ⎜ x − ⎟ =
4⎠
4⎠ 8
⎝
⎝
c/ tgx + cot gx = 4
d/

(

)

sin x 3 2 − 2 cos x − 2 sin 2 x − 1

1 − sin 2x
4
e/ 4 cos x + 3 2 sin 2x = 8 cos x

1
1
2
+
=
f/
cos x sin 2x sin 4x
π⎞
⎛
g/ sin 2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1
4⎠
⎝

=1

π⎞
π⎞
⎛
⎛
2 ( 2 sin x − 1) = 4 ( sin x − 1) − cos ⎜ 2x + ⎟ − sin ⎜ 2x + ⎟
4⎠
4⎠
⎝
⎝
4x
= cos2 x
k/ cos
3
x
l/ tg .cos x + sin 2x = 0

2
h/


m/ 1 + 3tgx = 2sin 2x
n/ cot gx = tgx + 2tg2x
3x
4x
+ 1 = 3 cos
p/ 2 cos2
5
5
2
q/ 3 cos 4x − 2 cos 3x = 1
3x
+ 1 = 3 cos 2x
r/ 2 cos2
2
x
s/ cos x + tg = 1
2
t/ 3tg2x − 4tg3x = tg 2 3x.tg2x
u/ cos x.cos 4x + cos 2x.cos 3x + cos2 4x =
v/ cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x =
w/ sin 4x = tgx

3
2

3

2

13
cos2 2x
8
⎛ 3π x ⎞ 1
⎛ π 3x ⎞
y/ sin ⎜
− ⎟ = sin ⎜
+
⎟
⎝ 10 2 ⎠ 2
⎝ 10 2 ⎠
sin6 x + cos6 x = a sin 2x
(1)
a/ Giả i phương trình khi a = 1.
x/ cos6 x + sin6 x =

2.

(ÑS : a ≥

b/ Tìm a để (1) có nghiệ m
3.

Cho phương trình
cos6 x + sin6 x
= 2mtg2x
cos2 x − sin2 x

(1 )

a/ Giả i phương trình khi m =

1
8

(ĐS : m ≥

b/ Tìm m sao cho (1) có nghiệ m
4.

1
)
4

Tìm m để phương trình
sin 4x = mtgx có nghiệm x ≠ kπ

1
)
8

1
⎛
⎞
⎜ ĐS : − < m < 4 ⎟
2
⎝
⎠

5.

6.

Tìm m để phương trình :
cos 3x − cos 2x + m cos x − 1 = 0
⎛ π
⎞
có đú n g 7 nghiệ m trê n ⎜ − , 2π ⎟
( ĐS :1 < m < 3)
⎝ 2
⎠
Tìm m để phương trình :
4 sin 4 x + cos4 x − 4 sin 6 x + cos6 x − sin 2 4x = m có nghiệ m

(

) (

)

1
⎛
⎞
⎜ ĐS : − ≤ m ≤ 1 ⎟
8
⎝
⎠

7.

8.

9.

Cho phương trình :
6 sin2 x − sin2 x = m cos2 2x
a/ Giả i phương trình khi m = 3
b/ Tìm m để (1) có nghiệ m

(1)

( ĐS : m ≥ 0 )

Tìm m để phương trình :
( 2m + 1) sin2 x = 0
m
sin4 x + cos 4x + sin 4x −
4
4
π π⎞
⎛
có hai nghiệ m phâ n biệ t trê n ⎜ , ⎟
⎝4 2⎠
1⎞
⎛
⎜ ĐS : 2 5 − 4 < m < ⎟
2⎠
⎝

Tìm m để phương trình :
sin6 x + cos6 x = m sin 4 x + cos4 x có nghiệ m

(

)

1
⎛
⎞
⎜ ĐS : ≤ m ≤ 1 ⎟
2
⎝
⎠

10.

Cho phương trình :
cos 4x = cos2 3x + a sin2 x
⎛ π⎞
Tìm a để phương trình có nghiệ m x ∈ ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠

( ÑS : 0 < a < 1)
Th.S Phạm Hồng Danh

TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn