Chuyên đề Tích phân 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề. TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số thường gặp. Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp.  dx  x  C. . x  dx . . dx.  x  ln x  C x  0  e dx  e  C x. . x. . ax a dx   C 0  a  1 ln a cos xdx  sin x  C.    sin xdx   cos x  C x. 1.  cos. 2. x. 1.  sin. 2. x.  du  u  C. 1.  d ax  b  a ax  b  C. x  1  C   1  1.  . dx  tan x  C. . dx   cot x  C. . ax  b  dx  1 ax  b   C   1 a  1 dx 1  ln ax  b  C  x  0  ax  b a 1 e ax b dx  e ax b  C a 1 cosax  b dx  sin ax  b   C a 1 sin ax  b dx   cosax  b   C a 1 1 dx  tan ax  b   C 2 a cos ax  b  1 1 dx   cot ax  b   C 2 a sin ax  b   1. . Nguyên hàm của những hàm số hợp. . u  du . u  1  C   1  1. du.  u  ln u  C u  0  e du  e  C u. u. au  C 0  a  1 ln a cos udu  sin u  C.    sin udu   cos u  C a u dx . 1.  cos. 2. u. 1.  sin. 2. u. du  tan u  C du   cot u  C. I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 b. Để tính tích phân. ò f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau: /. a. Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/ (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a, x = b Þ t = u(b) = b . b. Bước 3.. b. ò f[u(x)]u (x)dx = ò f(t)dt . /. a. a. Ví dụ 7. Tính tích phân I =. e2. ò e. dx . x ln x Giải. dx x 2 x = e Þ t = 1, x = e Þ t = 2. Đặt t = ln x Þ dt =. ÞI=. Ví dụ 8. Tính tích phân I = Hướng dẫn:. p 4. 2. ò 1. dt = ln t t. Vậy I = ln 2 .. cos x. ò (sin x + cos x) 0. 2 1. 3. dx . 1. Lop12.net. = ln 2 ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> I=. p 4. cos x. ò (sin x + cos x) 0. ĐS: I =. 3. p 4. 3 . 8. Ví dụ 9. Tính tích phân I =. 1. ò (tan x + 1). dx =. 3. 0. 3. .. dx . Đặt t = tan x + 1 cos2 x. dx . 2x + 3. ò (1 + x) 1 2. Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = ln . 2 Ví dụ 10. Tính tích phân I =. 1. ò 0. Hướng dẫn:. 3-x dx . 1+x. 3. 3-x t2 dt ; đặt t = tan u  Þ  8ò 2 2 1+x (t + 1) 1 p ĐS: I = - 3 + 2 . 3 Chú ý: 1 3-x dx , rồi đặt t = Phân tích I = ò 1+x 0. Đặt t =. 1 + x sẽ tính nhanh hơn.. 2. Đổi biến số dạng 1. b. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính.  f ( x)dx. ta thực hiện các bước sau:. a. Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx  u / (t )dt . Bước 2. Đổi cận: x  a  t   , x  b  t   . . b. Bước 3.. . f ( x)dx . a. . . . f [u (t )]u / (t )dt   g (t )dt . . Ví dụ 1. Tính tích phân I =. ÞI=. p 6. ò 0. ò 0. 1 dx . 1 - x2. Giải p pù é Đặt x = sin t, t Î ê - ; Þ dx = cos tdt ë 2 2 úû 1 p x = 0 Þ t = 0, x = Þ t = 2 6 cos t dt = 1 - sin2 t. Ví dụ 2. Tính tích phân I = Hướng dẫn:. 1 2. 2. ò 0. p 6. cos t ò cos t dt = 0 p Vậy I = . 6. 4 - x 2 dx .. 2 Lop12.net. p 6. ò 0. p. dt = t 06 =. p p -0= . 6 6.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đặt x = 2 sin t ĐS: I = p . Ví dụ 3. Tính tích phân I =. 1. dx. ò 1+x 0. 2. .. Giải æ p p ö÷ Đặt x = tan t, t Î çç - ; ÷÷ Þ dx = (tan2 x + 1)dt çè 2 2 ø p x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t = 4 ÞI=. Ví dụ 4. Tính tích phân I = Hướng dẫn:. I=. 3 -1. ò 0. dx = 2 x + 2x + 2. Đặt x + 1 = tan t p ĐS: I = . 12. ò 0. 3 -1. ò 0. Ví dụ 5. Tính tích phân I = p ĐS: I = . 2. Ví dụ 6. Tính tích phân I = p ĐS: I = . 12 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác. 3 -1. p 4. ò 1 + tan 0. 0. dx . 1 + (x + 1)2. 2. ò 0. 3 -1. ò 0. dx . 4 - x2. dx . x + 2x + 2 2. p 2. ò cos 0. p 2. 2. x sin 3 xdx .. ò cos. 5. 0. xdx .. 3 Lop12.net. p. ò dt = 4 .. dx . x + 2x + 2. Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = Hướng dẫn: Đặt t = sin x 8 ĐS: I = . 15. p 4. 2. Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = Hướng dẫn: Đặt t = cos x 2 ĐS: I = . 15. tan t + 1 dt = 2 t p Vậy I = . 4 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I =. I=. p 2. ò cos 0. 4. x sin2 xdx =. p 2. p 2. ò cos 0. Giải. p 2. 4. x sin2 xdx .. p 2. p 2. 1 1 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 - cos 4x)dx + ò cos 2x sin2 2xdx ò ò 4 0 16 0 4 0 p 2. p. æx 1 sin 3 2x ö÷ 2 p 1 1 2 ç . = (1 cos 4x)dx + sin 2xd(sin 2x) = sin 4x + ÷÷ = ç ò ò è 16 64 16 0 8 0 24 ø 0 32 p Vậy I = . 32 Ví dụ 14. Tính tích phân I = Hướng dẫn:. p 2. dx . cos x + sin x + 1. ò 0. x . 2 ĐS: I = ln 2 .. Đặt t = tan. Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan. 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân I =. p. xdx . sin x + 1. ò 0. Giải Đặt x = p - t Þ dx = -dt x = 0 Þ t = p, x = p Þ t = 0. 0. Þ I = -ò p. (p - t)dt = sin(p - t) + 1 p. 0. =. p 2 ò0. dt. ( sin 2t + cos 2t ). 2. =. Tổng quát:. ò 0. 0. p. (. 0. t. p. p p dt = ò ò t p 4 0 cos2 2 0 2 4. ò Ví dụ 16. Tính tích phân I =. p. p. p. p 2. ò ( sin t + 1 - sin t + 1 ) dt p. dt p dt -IÞ I= ò sin t + 1 2 0 sin t + 1. = pò p. 2t 1 t2 2t a ; cos a  ; tan a  . : sin a  2 2 2 1 t 1 t 1 t2. ). Vậy I = p .. æ t pö d çç - ÷÷÷ p çè 2 4 ø æ t p ö÷ p ç = tan ç - ÷÷ = p . æ èç 2 4 ø 0 p ö÷ 2 2 çt cos ç - ÷÷ çè 2 4 ø. p. p xf(sin x)dx = ò f(sin x)dx . 2 0. sin2007 x dx . sin2007 x + cos2007 x. Giải p Đặt x = - t Þ dx = -dt 2 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x=0Þt= sin2007. 0. Þ I = -ò p 2. Mặt khác I + J = Tổng quát:. sin2007 p 2. ( p2 - t ) + cos ( p2 - t ) 2007. p. ò dx = 2 0. p 2 0. Ví dụ 17. Tính tích phân I =. p 6. dx =. (2). Từ (1) và (2) suy ra I =. sin n x dx = sin n x + cosn x. ò. I - 3J = 1 -. ( p2 - t ). p p , x= Þt=0 2 2. p 6. ò 0. 3 (1).. p 2. ò 0. p 2. ò 0. p . 4. cosn x p dx = , n Î + . n n sin x + cos x 4. sin x dx và J = sin x + 3 cos x 2. Giải p 6. cos2007 t dx = J (1). sin2007 t + cos2007 t. p 6. ò 0. cos2 x dx . sin x + 3 cos x. dx 1 dx dx = ò 2 0 sin x + p sin x + 3 cos x 0 3 1 p Đặt t = x + Þ dt = dx  I + J = ln 3 (2). 3 4 3 1- 3 1 1- 3 ln 3 + , J= ln 3 Từ (1) và (2) I = . 16 4 16 4 1 ln(1 + x) dx . Ví dụ 18. Tính tích phân I = ò 2 1 + x 0 I+J =. ò. ÞI=. p 4. ò 0. ÞI=. =. p 4. ò 0. (. ). Giải Đặt x = tan t Þ dx = (1 + tan2 t)dt p x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t = 4 p 4. ln(1 + tan t) ( 1 + tan2 t ) dt = ò ln(1 + tan t)dt . 2 1 + tan t 0 p Đặt t = - u Þ dt = -du 4 p p t=0Þu= , t= Þu=0 4 4. p 4. ò 0. é æp ứ ln(1 + tan t)dt = -ò ln ê 1 + tan çç - u ÷÷÷ ú du çè 4 êë ø úû p 0. 4. æ 1 - tan u ö÷ ln çç 1 + ÷ du = çè 1 + tan u ÷ø. 5 Lop12.net. p 4. ò 0. æ ö÷ 2 ln çç ÷ du çè 1 + tan u ÷ø.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> p 4. p 4. 0. 0. p. ò ln 2du - ò ln (1 + tan u ) du = 4 ln 2 - I .. =. Vậy I = Ví dụ 19. Tính tích phân I =. p 4. ĐS: I =. cos x dx . x +1. ò 2007. -. Hướng dẫn: Đặt x = -t. p ln 2 . 8. p 4. 2 . 2. Tổng quát:. Với a > 0 , a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ -a; a ] thì a. f(x) ò a x + 1 dx = -a. a. ò f(x)dx . 0. Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa f(-x) + 2f(x) = cos x . Tính tích phân I =. p 2. ò f(x)dx .. -. ò f(-x)dx , x = -t Þ dx = -dt. Đặt J =. -. x=-. ÞI=. Giải. p 2. p 2. p 2. p 2. p p p p Þt= , x= Þt=2 2 2 2 p 2. ò f(-t)dt = J Þ 3I = J + 2I = ò [ f(-x) + 2f(x) ] dx. -. p 2. -. =. p 2. p 2. p 2. ò cos xdx = 2ò cos xdx = 2 .. -. p 2. 0. Vậy I =. 2 . 3. 3.3. Các kết quả cần nhớ i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì. a. ò f(x)dx = 0 . -a. ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm). 6 Lop12.net. a. a. -a. 0. ò f(x)dx = 2ò f(x)dx ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> p 2. ò cos. n. 0. xdx =. p 2. ò 0. Trong đó. ìï (n - 1)!! ïï , neáu n leû n sin xdx = ïí n !! . ïï (n - 1)!! p . , neáu n chaün ïï ïî n !! 2. n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0 !! = 1; 1!! = 1; 2 !! = 2; 3 !! = 1.3; 4 !! = 2.4; 5 !! = 1.3.5; 6 !! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7; 8 !! = 2.4.6.8; 9 !! = 1.3.5.7.9; 10 !! = 2.4.6.8.10 .. Ví dụ 21.. Ví dụ 22.. p 2. ò cos. 11. xdx =. 10 !! 2.4.6.8.10 256 . = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693. ò sin. 10. xdx =. 9 !! p 1.3.5.7.9 p 63p . . = . = 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512. 0 p 2 0. II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có / / ( uv )/ = u v + uv Þ ( uv )/ dx = u/ vdx + uv/ dx Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ Þ uv. b a. =. b. b. a. a. b. ò. d(uv) =. a. ò. b. a. vdu +. ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv. Công thức:. a. b. ò udv = uv a. b a. a. ò udv a b. - ò vdu . a. - ò vdu (1). a. ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) /. b a. b. b. Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b. b. b a. b. - ò f / (x)g(x)dx (2). a. 2. Phương pháp giải toán. b. Giả sử cần tính tích phân. ò f(x)g(x)dx. ta thực hiện. a. Cách 1. Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân /. Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: i/ Nếu gặp ii/ Nếu gặp Cách 2.. b. b. b. a b. a. a. ò P(x) sin axdx, ò P(x) cos axdx, ò e. ax. b. ò vdu. phải tính được.. a. .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x) .. ò P(x) ln xdx thì đặt u = ln x . a. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Viết lại tích phân. b. b. a. a. ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G (x)dx 1. /. và sử dụng trực tiếp công thức (2).. ò xe dx .. Ví dụ 1. Tính tích phân I =. x. 0. Giải u = x ì du = dx ì ï ï Đặt ï (chọn C = 0 ) í dv = e x dx Þ ï í x ï ï ï ïv = e î î 1. ò xe dx = xe. Þ. 0 e. 1. ÞJ=. 1. - ò e x dx = (x - 1)e x 0. 1 p 2. òe 0. x. sin xdx .. Giải. ì du = cos xdx ì u = sin x ï ï ï Đặt ï Þ í í x ï ï dv = e dx v = ex ï ï î î. ò. e x sin xdx = e x sin x. 0. p 2 0. p 2. p. - ò e x cos xdx = e 2 - J . 0. ì ì ï du = - sin xdx ï u = cos x Đặt ï í dv = e x dx Þ ï í ï ï v = ex ï ï î î. p 2. òe 0. x. cos xdx = e x cos x. p 2 0. +. p 2. òe 0. x. sin xdx = -1 + I p. e2 + 1 . Þ I = e - (-1 + I) Þ I = 2 p 2. Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.. Hướng dẫn: Đặt t =. = 1.. dx ìï ïï du = ìï u = ln x x Đặt ïí Þ ïí 2 ïï dv = xdx ïï x î ïï v = î 2 e e 2 x 1 e2 + 1 . x ln xdx = ln x - ò xdx = 2 2 1 4 1. ò. p 2. Ví dụ 7. Tính tích phân I =. 1 0. Giải. e. Þ. ÞI=. x 1 0. ò x ln xdx .. Ví dụ 2. Tính tích phân I =. Ví dụ 3. Tính tích phân I =. x. p2 4. ò cos 0. xdx .. p 2. x  Þ I = 2 ò t cos tdt =  = p - 2 . 0. 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> e. ò sin(ln x)dx .. Ví dụ 8. Tính tích phân I =. 1. (sin1 - cos1)e + 1 ĐS: I = . 2. III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b. ò. Giả sử cần tính tích phân I =. f(x) dx , ta thực hiện các bước sau. a. Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:. a. x f(x) Bước 2. Tính I =. b. ò a. f(x) dx = 2. ò. Ví dụ 9. Tính tích phân I =. I=. 1. x2 - 0. x1. x2. b. a. x1. x2. ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx . Giải. x x 2 - 3x + 2. ò (x -3. 2. -3 +. p ĐS: I = 2 3 - 2 - . 6 2. Dạng 2. Giả sử cần tính tích phân I = Cách 1. Tách I =. b. ò a. p 2. ò 0. 1 0. 2. -. 2 0. - 3x + 2 ) dx - ò ( x 2 - 3x + 2 ) dx = 1. Vậy I = Ví dụ 10. Tính tích phân I =. +. b. x 2 - 3x + 2 dx .. -3. Bảng xét dấu. +. x1 0. 59 . 2. 5 - 4 cos2 x - 4 sin xdx .. b. ò [ f(x) a. [ f(x) ± g(x) ] dx =. b. ò a. ± g(x) ] dx , ta thực hiện. f(x) dx ±. b. ò a. g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 11. Tính tích phân I =. 2. ò(x -1. 59 . 2. - x - 1 ) dx .. Giải. Cách 1. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> I=. 2. ò(x. - x - 1 ) dx =. -1 0. = -ò xdx + -1. 2 0. x =2. -1. Cách 2. Bảng xét dấu. I=. 1. 2. ò. x dx - ò x - 1 dx. -1. -1 2. ò xdx + ò (x - 1)dx - ò (x - 1)dx 0 2 2. x + 2. x x x–1. 0. 2. 2. 0. -1. 1. æx ö æx ö + çç - x ÷÷÷ - çç - x ÷÷÷ = 0 . è2 ø -1 è 2 ø1 2. –1. 0 0. – –. 1. 2. 1 +  – 0. 1. 2. 2 + +. 2. ò ( -x + x - 1) dx + ò ( x + x - 1) dx + ò ( x - x + 1) dx -1. = -x. 3. Dạng 3 Để tính các tích phân I =. b. ò a. 0. 0 -1. 1. + (x - x) 0 + x Vậy I = 0 . 1. 2. max { f(x), g(x)} dx và J =. 2 1. = 0.. b. ò min { f(x), a. g(x)} dx , ta thực hiện các. bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) > 0 thì max { f(x), g(x)} = f(x) và min { f(x), g(x)} = g(x) . + Nếu h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x)} = f(x) . Ví dụ 12. Tính tích phân I =. 4. ò max { x. 2. 0. + 1, 4x - 2 } dx .. Giải Đặt h(x) = ( x + 1 ) - ( 4x - 2 ) = x 2 - 4x + 3 . 2. Bảng xét dấu. x h(x). I=. 1. ò 0. 0. 1 0. +. ( x2 + 1 ) dx +. Ví dụ 13. Tính tích phân I =. 2. ò min { 3 , x. 0. –. 3. ò 1. 3 0. 4 +. ( 4x - 2 ) dx +. 80 Vậy I = . 3. 4. ò (x 3. 2. + 1 ) dx =. 80 . 3. 4 - x } dx .. Giải Đặt h(x) = 3 - ( 4 - x ) = 3x + x - 4 . x. Bảng xét dấu. I=. 1. ò 0. x h(x) 3x dx +. 2. ò 1. 0. 1 0. –. ( 4 - x ) dx =. 2 +. 3 ln 3 x. 1 0. 10 Lop12.net. æ x2 ö 2 5 + çç 4x - ÷÷÷ = + . è 2 ø1 ln 3 2 2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Vậy I = IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b. Để chứng minh. "x Î [ a; b ] .. ò f(x)dx ³ 0. Ví dụ 14. Chứng minh. ò. 3. 0. b. ò f(x)dx £ 0 ) ta chứng minh. (hoặc. a. 1. a. Giải. Với "x Î [ 0; 1 ] : x £ 1 Þ. Để chứng minh. f(x) ³ 0 (hoặc f(x) £ 0 ) với. 1 - x 6 dx ³ 0 .. b. b. a. a. 1. ò. 1- x ³ 0 Þ. 3. 6. 2. Dạng 2. 2 5 + . ln 3 2. 6. 3. 0. 1 - x 6 dx ³ 0 .. ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh f(x) ³ g(x) với "x Î [ a;. Ví dụ 15. Chứng minh. p 2. ò 0. dx £ 1 + sin10 x. p 2. dx. ò 1 + sin 0. 11. x. b ].. .. Giải p ù : 0 £ sin x £ 1 Þ 0 £ sin11 x £ sin10 x Với "x Î éê 0; ë 2 úû 1 1 . Þ 1 + sin10 x ³ 1 + sin11 x > 0 Þ £ 10 1 + sin x 1 + sin11 x Vậy. p 2. dx. ò 1 + sin 0. 3. Dạng 3 Để chứng minh A £. 10. x. £. p 2. dx. ò 1 + sin 0. x. 11. .. b. ò f(x)dx £ B ta thực hiện các bước sau a. Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m £ f(x) £ M . Bước 2. Lấy tích phân A = m(b - a) £ Ví dụ 16. Chứng minh 2 £. 1. ò 0. b. ò f(x)dx £ M(b - a) = B . a. 4 + x 2 dx £. 5.. Giải Với "x Î [ 0; 1 ] : 4 £ 4 + x 2 £ 5 Þ 2 £ Vậy 2 £ Ví dụ 17. Chứng minh. p £ 4. 3p 4. ò p 4. 1. ò 0. 4 + x 2 dx £. dx p £ . 2 2 3 - 2 sin x. Giải 11 Lop12.net. 4 + x2 £ 5.. 5..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2 1 é p 3p ù Với "x Î ê ; £ sin x £ 1 Þ £ sin2 x £ 1 ú: 4 û 2 2 ë4 1 1 Þ 1 £ 3 - 2 sin2 x £ 2 Þ £ £1 2 3 - 2 sin2 x. Þ. (. 1 3p p £ 2 4 4. ). ò. dx 3p p . £1 2 4 4 3 - 2 sin x. p £ 4. ò. dx p £ . 2 2 3 - 2 sin x. Vậy. Ví dụ 18. Chứng minh. 3 £ 12. 3p 4. p 3. ò p 4. p 4 3p 4 p 4. (. ). cotx 1 dx £ . x 3. Giải ép pù cotx ú ta có Xét hàm số f(x) = , xÎê ; êë 4 3 úû x -x - cotx 2 ép pù ú f / (x) = sin x 2 < 0 "x Î ê ; êë 4 3 úû x p p p pù Þf £ f(x) £ f "x Î éê ; 3 4 ë 4 3 úû ép pù 3 cotx 4 ú Þ £ £ "x Î ê ; êë 4 3 úû p x p. ( ). ( ). 3 æç p p ö÷ Þ ç - ÷£ p çè 3 4 ÷ø. Vậy 4. Dạng 4 (tham khảo) Để chứng minh A £. 3 £ 12. p 3. cotx 4 æp pö dx £ çç - ÷÷ . x p çè 3 4 ÷ø. ò p 4. p 3. ò p 4. cotx 1 dx £ . x 3. b. ò f(x)dx £ B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện a. ìf(x) £ g(x) "x Î [a; b] ï ï b ïb Þ f(x)dx £ B . Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho ï í ò ï g(x)dx = B ï a ò ï ï îa ìïh(x) £ f(x) "x Î [a; b] ïï b ï b Þ A £ ò f(x)dx . Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho í ïï h(x)dx = A a ò ïï îa. Ví dụ 19. Chứng minh. 2 £ 2. 2 2. ò 0. dx p £ . 2007 4 1- x 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Giải ù 2 1 ú : 0 £ x 2007 £ x 2 £ 2 ûú 2 1 1 Þ £ 1 - x 2 £ 1 - x 2007 £ 1 Þ 1 £ £ 2 1 - x 2007 é Với "x Î ê 0; ëê. Þ. 2 2. 2 2. dx dx . £ò 2007 1- x 1 - x2 0 0 0 Đặt x = sin t Þ dx = cos tdt 2 p x = 0 Þ t = 0, x = Þt= 2 4. ò dx £ ò. Þ. 2 2. 3 +1 £ 4. p 4. dx = 1 - x2. ò 0. Vậy Ví dụ 20. Chứng minh. 2 2. 1 1 - x2. 2 2. 2 £ 2. 0. cos tdt p = . cos t 4. dx p . £ 4 1 - x 2007. ò 0. 1. ò. xdx 2 +1 £ . 2 x + 2 -1 0 Giải Với "x Î [ 0; 1 ] : 2 - 1 £ x 2 + 2 - 1 £ 3 - 1 x x x Þ £ £ 3 -1 2 -1 x2 + 2 - 1 Þ. 1. ò 0. Vậy. ò. 2. xdx £ 3 -1. 1. xdx £ 2 x + 2 -1. ò. 3 +1 £ 4. 0. 1. xdx £ x2 + 2 - 1. ò 0. 1. ò 0. xdx . 2 -1. 2 +1 . 2. V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường. y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là S =. b. ò a. f(x) dx .. Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân. ò a. f(x) dx .. Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1, x = e và Ox. Giải Do ln x ³ 0 "x Î [ 1; e ] nên. S=. e. ò 1. ln x dx =. e. ò ln xdx = x ( ln x - 1 ) 1. Vậy S = 1 (đvdt). 13 Lop12.net. e 1. = 1..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = -x 2 + 4x - 3, x = 0, x = 3 và Ox. Giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0 1. S = -ò ( -x 2 + 4x - 3 ) dx + 0. 3. ò ( -x. 2. 1. + 4x - 3 ) dx. æ x ö æ x3 ö 8 = - çç + 2x 2 + 3x ÷÷÷ + çç + 2x 2 + 3x ÷÷÷ = . è 3 ø0 è 3 ø1 3 8 Vậy S = (đvdt). 3 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1. 3. y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S =. b. ò. 3. f(x) - g(x) dx .. a. Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. b. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân. ò. f(x) - g(x) dx .. a. 2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường. y = f(x), y = g(x) là S =. b. ò a. f(x) - g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của. phương trình f(x) = g(x) ( a £ a < b £ b ) . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [ a; b ] . b. Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân. ò. f(x) - g(x) dx .. a. Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 , x = 0, x = 2 . Giải 3 Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 (loại). Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 0 1. S = -ò ( x - 6x + 11x - 6 ) dx + 0. 3. 2. 2. ò (x 1. 3. - 6x 2 + 11x - 6 ) dx. æx ö æx ö 11x 11x 2 5 = - çç - 2x 3 + - 6x ÷÷÷ + çç - 2x 3 + - 6x ÷÷÷ = . è 4 ø0 è 4 ø1 2 2 2 4. 2. 1. 4. 14 Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 5 (đvdt). 2 Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 . Giải 3 Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 . Bảng xét dấu x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0. Vậy S =. S=. 2. ò (x. 3. 1. 3. - 6x + 11x - 6 ) dx - ò ( x 3 - 6x 2 + 11x - 6 ) dx 2. 2. æx ö æx ö 11x 11x 2 1 = çç - 2x 3 + - 6x ÷÷÷ - çç - 2x 3 + - 6x ÷÷÷ = . è4 ø1 è 4 ø2 2 2 2 1 Vậy S = (đvdt). 2 4. 2. 2. 4. 3. Chú ý: Nếu trong đoạn [ a; b ] phương trình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công b. thức. ò a. f(x) - g(x) dx =. b. ò [ f(x) - g(x) ] dx. .. a. Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 , y = 4x . Giải 3 Ta có x = 4x Û x = -2 Ú x = 0 Ú x = 2. ÞS=. 0. ò (x -2. 3. 2. ò (x. - 4x ) dx +. 0. 3. - 4x ) dx. æx ö æx ö = çç - 2x 2 ÷÷÷ + çç - 2x 2 ÷÷÷ = 8 . è 4 ø -2 è 4 ø0 4. 0. 2. 4. Vậy S = 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4 x + 3 và trục hoành. Giải 2 Ta có x - 4 x + 3 = 0 Û t2 - 4t + 3 = 0, t = x ³ 0 ét = 1 é x =1 é x = ±1 Û êê Û êê Û êê t=3 x =3 x = ±3 ë ë ë ÞS=. 3. ò. -3. 3. x - 4 x + 3 dx = 2 ò x 2 - 4x + 3 dx 2. é = 2 êê ò ( x 2 - 4x + 3 ) dx ëê 0 1 é æ x3 ö÷ 2 = 2 ê çç - 2x + 3x ÷÷ + êë è 3 ø0. 0. ù - 4x + 3 ) dx úú 1 ûú 3 3 ù æx ö 16 ç - 2x 2 + 3x ÷÷ ú = . ÷ø ú çè 3 3 1 û 16 Vậy S = (đvdt). 3 Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4x + 3 và y = x + 3 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 4x + 3 = x + 3 1. +. 15 Lop12.net. 3. ò (x. 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ìï x + 3 ³ 0 ïï éx = 0 2 Û ïí éê x - 4x + 3 = x + 3 Û ê . êx = 5 ïï ë ê 2 ïï ê x - 4x + 3 = -x - 3 îë. Bảng xét dấu. x x - 4x + 3. 0. 2. ÞS=. 1. ò (x 0. 2. 1 0. +. - 5x ) dx +. 3. ò ( -x. 2. 1. 3 0. –. 5 +. + 3x - 6 ) dx +. 5. ò (x 3. 2. - 5x ) dx. æ x3 æ -x 3 ö æ x3 5x 2 ö÷ 3x 2 5x 2 ö÷ 109 . = çç + - 6x ÷÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ = è 3 ø1 è 3 2 ø0 è 3 2 2 ø3 6 109 Vậy S = (đvdt). 6 Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 1 , y = x + 5 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 1 = x + 5 Û t2 - 1 = t + 5, t = x ³ 0 ìï t = x ³ 0 ïï ìï t = x ³ 0 2 Û ïí éê t - 1 = t + 5 Û ïí Û x = ±3 ïï ïï t = 3 î ïï êê t2 - 1 = -t - 5 îë ÞS=. Bảng xét dấu. 1. 3. ò. -3. 3. 5. 3. x - 1 - ( x + 5 ) dx = 2 ò x 2 - 1 - ( x + 5 ) dx 2. 0. x x -1. 0. 2. ÞS=2. 1. ò ( -x 0. 1 0. – 2. 3 +. - x - 4 ) dx +. 3. ò (x 1. 2. - x - 6 ) dx. æ -x 3 ö÷ æ x3 ö x2 x2 73 ç ç . =2ç - 4x ÷÷ + ç - 6x ÷÷÷ = è 3 ø0 è 3 ø1 2 2 3 73 Vậy S = (đvdt). 3 1. 3. Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có). B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ³ 0 "x Î [ a; b ] , y = 0 , b. x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f 2 (x)dx . a. Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x + y = R 2 quay quanh Ox. Giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R 2 Û x = ±R . Phương trình (C) : x 2 + y2 = R 2 Û y2 = R 2 - x 2 2. R. R. -R. 0. Þ V = p ò ( R 2 - x 2 ) dx = 2pò ( R 2 - x 2 ) dx16 Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> æ x3 ö 4pR 3 = 2p çç R 2 x - ÷÷÷ = . è 3 ø0 3 4pR 3 Vậy V = (đvtt). 3 R. 2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) ³ 0 "y Î [ c; d ] , x = 0 , d. y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là V = pò g2 (y)dy . c. x2 y2 Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : 2 + 2 = 1 quay quanh Oy. a b Giải y2 Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 Û y = ±b . b 2 2 x y a 2 y2 Phương trình (E) : 2 + 2 = 1 Û x 2 = a 2 - 2 a b b b b 2 2 2 2 æ æ a y ö a y ö Þ V = pò çç a 2 - 2 ÷÷÷ dy = 2pò çç a 2 - 2 ÷÷÷ dy è è b ø b ø -b. 0. æ 2 a y ö÷ 4pa 2 b ç = 2p ç a y . ÷ = è 3 3b2 ÷ø 0 4pa 2 b Vậy V = (đvtt). 3 2. 3. R. 3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b, f(x) ³ 0, g(x) ³ 0 "x Î [ a; b ]) quay quanh trục Ox là b. V = pò f 2 (x) - g2 (x) dx . a. Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , y2 = x quay quanh Ox. Giải ìx ³ 0 éx = 0 ï Hoành độ giao điểm ï Û êê . í 4 x=1 ï ïx = x ë î 1. Þ V = pò x - x dx = p 0. 4. (. ). 1. ò (x 0. 4. - x ) dx. 1 5 1 2 1 3p x - x = . 5 2 10 0 3p Vậy V = (đvtt). 10. =p. 4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và y = d (c < d, f(y) ³ 0, g(y) ³ 0 "y Î [ c; d ]) quay quanh trục Oy là d. V = pò f 2 (y) - g2 (y) dy . c. Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = -y2 + 5 , x = 3 - y quay quanh Oy. 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Giải. é y = -1 Tung độ giao điểm -y2 + 5 = 3 - y Û êê . y=2 ë 2. Þ V = pò ( -y2 + 5 ) - ( 3 - y )2 dy. =p. 2. 2. -1. ò (y -1. 4. - 11y2 + 6y + 16 ) dy. æ y5 11y 3 ö = p çç + 3y2 + 16y ÷÷ çè 5 ÷ø 3. Vậy V = VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP. 2 -1. =. 153p (đvtt). 5. 153p . 5. 1. 1 1 1 10 1. Tính I=  1  x  dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S  1  C101  C102  ...  C1010 2 3 11 0 1. 2. Tính: I   x 1  x  dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 19. 0. S 1 2. 1 0 1 1 1 2 1 18 1 19 C19  C19  C19  ...  C19  C19 . 2 3 4 20 21. 1 3. 3. Chứng minh rằng: 1  Cn1  Cn2  ... . 1 2n 1  1 Cnn  n 1 n 1. BÀI TẬP TỰ GIẢI 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x  cos x , biết rằng F      ln 2 sin x  cos x  4 2. Tính các tích phân sau: 2. 2. e A= 2 x  5 - 7 x dx. . x. 1. 2. B=  x 2 -1 dx. C= 2 x ln 2dx . -2. 0. 3. Tính các tích phân sau:  3. A= e3 cos x sin xdx  0. e 4 B=  ln x dx 1. C*=. x. 2 3. . 5. dx x x 4 2. 2. x dx x -1 1 1. D*= . 4. Tính các tích phân sau: . e. I=  sin(ln x) dx x 1. J=. dx  sin 2 x cot x 4. 10. K=  lg xdx 1. 6. . ln 5. L=  x dx x 3 ln 3 e  2e. M=. 2.  0. sin 2 xdx cos 2 x  4 sin 2 x. 2. N=  1. dx x -9 2.  2. C=  0. sin 2 x dx (1  cos 2 x)2. 5. Tính các tích phân sau: 1 dx A=.  0. 4 - x2. B=. 3. . 3. dx x2  3. 18 Lop12.net. 4. C=  16 - x 2 dx 0.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ln 2. D=.  0. 3. 1- e x dx 1  ex. 2 dx x 1. E= . 2. 2. 6. Tính các tích phân sau: e2. 2. ln x dx 2 1 x.  B*=  x sin x dx 2. A=  ln x dx x 1. 0. C*= . 1  cos x. 1. 2. 3x 4  2 x dx x3 1. e. E= . D*=  cos(ln x)dx 1. F* . x2  1  4 dx 1 1  x. 7. Tính: . 4. . A=  cos xdx 2. 0. e. F=  1. ln x  1 dx x. 1. 2. C=  xe x dx. B=  cos3 xdx. 0. 0 2. 4. G=  x 1  2 x 2 dx. H=  x 1  2 xdx. 0. 0. 4. D= . e. 1. 2. I=  1. 2. x. x. dx. x dx x 1. E=  x ln xdx 1. 1. x dx 2 0 1 x. J= . 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:. a. x=1; x=e; y=0 và y= 1  ln x. b. y=2x; y=3x và x=0. x. c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=  . 3. 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a) Trục Ox. b) Trục Oy.. Hết. 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>