Chuyên đề Hệ phương trình có chứa tham số

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Hệ phương trình có chứa tham số I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai ,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ có một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệm Đê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn tính chất nào đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìm x  y  3 Bài 1 Cho hệ phương trình  2  x  2 xy  m  1 A,tìm m để hệ có nghiệm B,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) thoả mãn P = x 12 + x 22 + y 12 + y 22 đạt giá trị nhỏ nhất Giải y  x  3 a- Hệ pt   2 x  6x  m  1  0 Hệ có nghiệm  pt (2) có nghiệm  ,  10  m  0  m  10 b- Theo Viét : x1  x 2 =6 , x 1 .x 2 =m-1 Nên p = (x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 .x 2 +(x 1 -3) 2 +(x 2 -3) 2 =-4m+46  6 (m  10)  p min  6 khi m=10 3 x  5 y  a (1) Bài 2 Cho hệ phương trình ;  2 2 3 x  5 y  b(2) a-Tìm a,b để hệ có nghiệm b-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b   1,2 c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a   1,2 Giải a  3x a-Từ(1)  y  thay vào (2)ta có :24x 2 -6ax+a 2 -5b=0(3) Hệ có nghiệm  pt(3) 5 a2 c ó nghiệm  ,  15a 2  120b  0  b  8 b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệm a2 1 c-Hệcó nghiệm với mọi a   1,2  b  max  ( ) mọi a   1,2  b  8 2 Các bài tập tương tự x  y  m 1- Giải và biện luận h ệ phương trình :  2 2 x  y  2x  2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x 2  4 y 2  1 2- Cho hệ phương trình :  ax  y  b a-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5 b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b  x  ay  a  0 3- Cho hệ phương trình  2 2 x  y  x  0 a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt )Chứng minh rằng. b-hệ có hai nghiệm(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2. (x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2  1.  x 2  xy  2m  1  0 4- Cho hệ phương trình:  x  y  2 a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt b-hệcó hai nghiệm(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )Tìm mđể:(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 =4 x  y  3 5- Cho hệ phương trình:  2  x  2 xy  m  1 a- Tìm m để hệ có nghiệm b- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) thoả mãn P = x 12 + x 22 +y 1 +y 2 đạt giá trị nhỏ nhất  x 2  y 2  25 6-Tìm m để hệ cohainghiệm bằng nhau :  mx  y  4  3m  0 a ( x 2  y 2 )  x  y  b 7- Cho hệ pt:  có nghiệm với mọi b CMR:a=0 y  x  b. II-Hệ đối xứng loại một Hệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại một nếu đổi chỗ vị trí hai ẩn cho nhau thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi Cách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s 2  4 p )Khi đó có hệ phương trình ẩn s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm được s,p theo tham số m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm được giá trị của tham số . Đôi khi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ cũng khác nhau Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể giải hệ phương trình rồi sử dụng điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất hoặc có thể lợi dụng vào tính đối xứng của hai ẩn trong hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất .Sau đây là một số ví dụ minh hoạ  x  y  xy  1  m Bài1-Chohệ phương trình:  Tìm m để hệ có nghiệm Giải 5( x  y )  4 xy  4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s 2  4 p )Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta có s=4m ,p=5m-1 1 Hệ có nghiệm  s 2  4 p  m  1 hoặc m  4 x  y  xy  m  Bài 2- Chohệ phương trình:  2 Tìm m để hệ có nghiệm 2 x  y  m Giải s  p  m Đặts=x+y,p=xy(điều kiện :s 2  4 p )Khiđóhệphươngtrình:  2 s  2 p  m s  1  3m  1 s  1  3m  1 1 hoặc  (với m  )  3  p  m  1  3m  1  p  m  1  3m  1.  1  3m  1) 2  4(m  1  3m  1) Hệ có nghiệm  s 2  4 p    m  0 (TMĐK) 2 (1  3m  1)  4(m  1  3m  1)  x 2  y 2  m Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm :  4  x  y 4  3m  2 Giải s  m Đặt s=x 2 +y 2 ,p=x 2 y 2 (ĐK:s,p  0) Khiđóhệpt   2  s  2 p  3m  2 s 2  4 p s  m 0  m  1     m 2  3m  2 Hệcónghiệm  s  0 2  m  3  5 p  0 p  2    x  y  m Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm :   x  4  y  1  4 Giải Đặtu= x  4 ,v= y  1 (đK:u,v  0 ,x  4 ,y  1 )Khiđóhệpt: u  v  0 u  v  4 u  v  4     2 21  3m Hệcónghiệm u  0 ,v  0  uv  0 2 u  v  3m  5 (u  v) 2  4uv uv  2  16  2(21  3m) 13  m7  3 21  3m  0. x  y  x 2  y 2  8 Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm :   xy ( x  1)( y  1)  m. Lop12.net. Giải.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> u  v  8 1 1 , v  )Khiđóhệ:  nên u,v là nghiệm pt bậc 4 4 uv  m 1 1 hai: X 2 -8X +m=0 (u,v  )Hệ có nghiệm khi pt này có hai nghiệm lớn hơn bằng  4 4 1 Hai đồ thị hai hàm số y=x 2 -8x và y=-m cắt nhau tại hai điểm có hoành độ  .Nên dựa 4 31 vào đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16  m   Bài6- Tìm m để hệ có 3 nghiệm 16 x  y  1 phân biệt  3 3  x  y  m( x  y ) Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u . x  y  1 x  y  1 Hệpt   v  2 2 x  y  0 ( x  y )( x  y  xy  m)  o 1  x y  2 x  y  1 x  y  1  Hệ có ba nghiệm phân biệt khi có hai   2  2  x  y  1  xy  1  m  x  y  xy  m  0  xy  1  m . Giải. 1 1  pt X 2 -X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt   2 2 3 3   4m  3 0  m.  (m= ptcó nghiệm kép X=0,5) 4 4 x   y  xy  2m  1 Bai7-Cho hệ phương trình :  2  xy ( x  y )  m  m a-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của m b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải s  m (1)   s  p  2m  1 p  m 1  Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình :   2 s  m  1 sp  m  m   (2)  p  m a-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (s 2  4 p với mọi m). nghiệm phân biệt x ,y . b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duy nhất  s 2  4 p  (m  1) 2  4m  m  1 Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1 Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK của tham số ,thay giá trị của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiện đủ. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  x  y  xy  1 Bài8-Tìm mđể hệ pt  2 có nghiệm duy nhất  x  y 2  1  m( x  y  1)  1 Giải * Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệm duy nhất thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0  x  y  xy  1  x  y  xy  1  x  y  xy  1 * Với m=0 hệ pt :  2     2 2 2  x  y 2  1  1 x  y  2 ( x  y )  2 xy  2  x  y  0 (VN )  xy   1  Vậy :m=0   x  y  2 x  1    xy  1 y  1 Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc lợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất `Bài tập x  y  m  1 1-cho hệ pt :  2 2 2  x y  xy  2m  m  3 a-Giải hệ pt khi m=3 b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m  x  xy  y  m  1 2- Cho hệ pt :  2 2  x y  xy  m a-Giải hệ pt khi m=2 b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0  x 2  y 2  xy  m  6 3- Cho hệ pt :  2 x  xy  2 y  m a- Giải hệ khi m=-3 b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất  x  y  2m  1 4- Tìm m để hệ :  2 có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ nhất 2 2 x  y  m  2 m  3  2 2  x  y  2  2m 5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :  ( x  y ) 2  4. x  y  m 6- Cho hệ pt :  2 a- Giải hệ khi m=2 2 2 x  y  6  m b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất  xy ( x  2)( y  2)  5m  6 7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :  2 2  x  y  2 x  2 y  2m. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  x  y  xy  m 8- Tìm m để hệ :  2 có 4 nghiệm phân biệt 2  x  y  3  2m  x  y  xy  m 9- Giải biện luận hệ pt:  2 2  x  y  3  2m  x  y  xy  m 10-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  y  m. III-Hệ đối xứng loại hai +Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhau thì pt này của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại +Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa vào pt này có thể giải được hệ +Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một  x 2  3 x  my Bài1-Chohệpt:  2 Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt  y  3 y  mx Giải x  y  0  y ( y  3  m)  0 x  y  0 Trừ hai vế của của hai pt ta có :  2   x  y x  y  3  m  x  3 x  my Hệ có hai nghiệm phân biệt  m+3  0  m  3 2 2  x  2 y  mx  y Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất  2  y  2 x 2  my  x Giải ( x  y )(3 x  3 y  m  1)  0 x  y Trừ hai vế của hai pt,ta có hệ:  2  (1)  2 2 2 x  2 y  mx  y y  2 x  my  x   3 x  3 y  m  1  0  hoặc  2 (2) 2  y  2 x  my  x Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m-1=0  m  1 khi đó hệ (2) vô nghiệm .Vậy m=-1 2  xy  x  m( y  1) Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :   xy  y 2  m( x  1) Giải Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của pt nên hệ có nghiệm duy nhấtthì x=y thay vào hệ có pt: 2x 2 mx  m  0 có nghiệm duy nhất khi m=0 v m=8 2 x  0 y  x  0  xy  x  0 Vớim=0hệlà:  hoặc  (hệcóvôsốnghiệm)  2  xy  y  0 y  0  x( x  y )  0. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  xy  x 2  8( y  1) Với m=8 hệ:   x  y  2 (hệ có nghiệm duy nhất)  xy  y 2  8( x  1) Vậy m=8  1  x  6  y  m Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :   1  y  6  x  m Giải : Đ K :-1  x, y  6 Nếu (x,y)là nghiệm của hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm của hệ nên hệ có nghiệm duy x  5  x 5 nhất thì   x=y= thay vào hệ ta có m= 14 2 y  5  y  1  x  6  y  14 Với m= 14 hệ pt:    1  y  6  x  14  1  x  6  y  14   1  x  6  x  1  y  6  y  2 14. Mà 1  x  6  x  1  y  6  y  2 14 dấu bằng xảy ra  x=y= hệ pt)Nên hệ có nghiệm duy nhất x=y=. 5 (thoả mãn 2. 5 2. Vậy m= 14 Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm  x  1  y  2  m   y  1  x  2  m Giải ĐK :x,y  2 3 3   x  1  x  2  y  1  y  2  x  1  x  2  y  1  y  2 (1) Hệ     x  1  y  2  m  x 1  y  2  m . 3. nghịch biến trong khoảng (2,+  ) Nênpt(1)  x=ythay vào t 1  t  2 pt kia ta có pt: x  1  x  2  m Hệcónghiệmkhiptnàycónghiệm  Vậy: m  3 m  Min  ( x  1  x  2 )  3 Hàm số f(t)=. x2.  x 3  y 2  7 x 2  mx Bài 6- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :  3 Giải  y  x 2  7 y 2  my. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ( x  y )( x 2  y 2  xy  6( x  y )  m)  0 Trừ haivế của hai pt ta có:  3  x=y=0 V  x  y 2  7 x 2  mx  x 2  y 2  xy  6( x  y )  m  0(2) x  y V ( II ) ( I )  3  2  y  x 2  7 y 2  my  y  8 y  m  0(1) ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm  pt (1) vô nghiệm  , <0  m >16 ĐK Đủ :Với m>16 khi đó pt (2)  y 2  ( x  6) y  x 2  6 x  m  0 Là pt bậc hai ẩn y có   3( x  2) 2  4(m  12)  0 với mọi m>16 nên pt(2) vô nghiệm  hệ (II) vô nghiệm và hệ (I) vô nghiệm Vậy :m>16 Bài tập ( x  1) 2  y  m 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :  ( y  1) 2  x  m. 2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm duy n hất  x  1  y  m  1  x 2  2  y  m  x 2  y 3  4 y 2  my a-  2 b,  c,   y  x 3  4 x  mx  y  1  x  m  1  y 2  2  x  m  x 2  x  y  2m d,  2  y  y  x  2m 2 x  y  1  m 3-Tìm m để hệ có nghiệm :  2 y  x  1  m. IV-Hệ đẳng cấp bậc hai a x 2  b xy  c1 y 2  d1 (1) Xét hệ có dạng :  1 2 1 a 2 x  b2 xy  c 2 y 2  d 2 (2) Cách giải Cách 1: + xét xem x=0 có là nghiệm của hệ pt hay không  x 2 (a  b t  c1t 2 )  d1 +Với x  0 đặt y=tx thay vào hệ pt :  2 1 1 chia hai vế của hai pt  x (a 2  b2 t  c 2 t 2 )  d 2 cho x 2 cân bằng hệ số vế phải của hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x khi đó ta có pt bậc hai ẩn t,giải pt đó tìm được t. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Cách 2:Cân bằng hệ số ẩn X 2 ở hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x 2 ,rút x theo y ở pt mới thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùng phương giải được ẩn x Cách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tự dota được pt có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,y Với hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheo mỗi hệ mà ĐK để hệcónghiệmcũng khác nhau  x 2  4 xy  y 2  m(1) Bài 1-CMR :Hệ pt sau có nghiệm với mọi m:  2  y  3 xy  4(2) Giải Nhận xét ở pt (2) bậc nhất với ẩn x nên rút x ở pt (2) thayvào pt(1)tacó pt:2y 4 -(409m)y 2 -16=0(3)Đặt t=y 2 (t  0 ) Ta có pt:2t 2 -(40-9m)t-16=0(4) pt(4) luôn có hai nghiệm trái dấu nên pt(3) luôn có nghiệm do đó hệ luôn có nghiệm với mọi m (ĐPCM) 3 x 2  2 xy  y 2  11 Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm :  2  x  2 xy  3 y 2  17  m Giải +x=0 thay vào hệ giải ra tìm được y=  11 ,m=16  x 2 (t 2  2t  3)  11 +x  0 (haym  16 )Đặty=tx thay vào hệ :  2 2   x (3t  2t  1)  17  m  3t 2  2t  1 17  m   2 11   t  2t  3  x 2 (t 2  2t  3)  11 . (m  16)t 2  2(m  6)  3m  40  0(3) Ta có :t 2 +2t+3=(t+1) 2 +2>0 với mọitnên  2 2  x (t  2t  3)  11(4) hệ có nghiệm  pt(3) có nghiệm  ,  2(m 2  10m  338)  0  5-11. 3  m  5 3  x 2  (m  1) xy  (m  2) y 2  m  1(1) Bài 3-Tìm m để hệ :  2 có 4 nghiệm phân biệt  x  (m  1) xy  (2m  5) y 2  m  1(2) Giải (m  3) y 2  2 Lấy pt (1) trừ pt (2) rồi rút x theo y ta có x= thay vàopt(1)tacó:(3m 2y 2 18m  23) y 4 -12(m+1)y 2 +4=0 Đặt t=y 2 (Đ K:t  0 )Ta có:(3m 2 18m  23)t 2 -12(m+1)t+4=0 (3). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Hệ có 4nghiệm phân biệt  pt(3)có2nghiệm dương phân biệt   36(m  1) 2  4(3m 2  18m  23)  0  2 7 m 3m  18m  23  0 3  m 1  2 0  3m  18m  23 Bài tập  x 2  my  y 2  m 1-Tìm m để hệ có nghiệm :  2  x  (m  1) xy  my 2  m 3 x 2  2 xy  y 2  m 2-Tìm m để hệ có nghiệm :  2  x  xy  y 2  2. V-Một số hệ khác 1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn Ta xét hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn mà các hạng tử chứa ẩn đều là bậc hai ,cách tìm điều kiện để hệ có nghiệm có liên quan đến việc giải hệ đẳng cấp bậc hai 1 m  2 2 (1)  x  2 xy  7 y  Ví dụ 1- Tìm m để hệ sau có nghiệm :  m 1 3 x 3  10 xy  5 y 2  2(2)  Giải *ĐK Cần: Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (x,y) thoả mãn hệ bất pt trên .Khi đó nhân cả 4 hai vế của (1) với -2 rồi cộng hai bất đẳng thức với nhau ta có: x 2 6 xy  9 y 2  m 1  4  ( x  3 y) 2   m  1  0  m  1 m 1 1 m 2  1   1 *ĐK Đủ: Với m<-1.Ta có : m 1 m 1 1 m  2 2  y  0,5  x  1,5  x  2 xy  7 y  1  Xét hệ pt:  V   Hệ có nghiệm 1 m   x   1 , 5 y   0 , 5 2 2   3 x  10 xy  5 y  2  Vậy : m<-1 Bài tập 1- Tìm m để hệ có nghiệm 3m  1 5 x 2  4 xy  2 y 2  3  2 2  5 x  7 xy  2 y  a-  2 b-  m2 2m  1 2 7 x  4 xy  2 y  3 x 2  xy  y 2  1 2m  5  . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 3 x 2  8 xy  8 y 2  2  c-  2 m 1 2  x  4 xy  2 y  2m  1 . 2-. Sử dụng hình học để tìm. điều kiện hệ có nghiệm Sử dụng phương pháp này ở những hệ mà trong đó mỗi phương trình hay bất phương trình có tập nghiệm là một hình (đường thẳng, đường tròn ,elíp ,parabôl…)hoặc một đồ thị hàm số ,khi giá trị của tham số thay đổi thì các hình đó cũng thay đổi ,dựa vào điều kiện sảy ra các vị trí tương đối của nó để biện luận tập nghiệm của hệ .Tuỳ theo mỗi hệ ,có khi phải biến đổi mới có thể sử dụng được phương pháp này 2 2  x  y  2(1  a ) Bài 1- Tìm a để hệ có hai nghiệm :  ( x  y ) 2  4 Giải Nếu a<-1 hệ vô nghiệm 2 2  x  y  2(1  a )(1) Nếu a  1 Khi đó hệ :  Tập nghiệm của (1) là đường tròn tâm  x  y  2(2) O(0,0) bán kính R= 2(1  a ) còn nghiệm của (2) là hai đường thẳng x+y-2=0 V x+y+2=0 đối xứng nhau qua O Nên hệ có nghiệm  hai đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung  Hai đường thẳng cùng tiếp xúc với đường tròn  Khoảng cách từ O đến hai đường thẳng bằng bán kính của đường tròn  2  2(1  a )  a  0.  x 2  ( y  1) 2  a (1) Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất :  ( x  1) 2  y 2  a (2) Giải Nếu a<0 hệ vô nghiệm Nếu a  0 Khi đó nghiệm của (1) là hình tròn tâm I(0,-1)bán kính R= a và nghiệm của (2) là hình tròn tâm J(-1,0) bán kính R= a Nên hệ có nghiệm duy nhất  Hai hình tròn có điểm chung duy nhất  Hai hình tròn tiếp xúc ngoài nhau  IJ  2 a 1  2 2 a a 2  x  y  3a Bài 3-Tìm a để hệ có nghiệm ;   x  1  y  2  a Giải Nếu a<0 hệ vô nghiệm Nếu a u  v  a (1) (u , v  0)  0 đặtu= x  1  0 ,v= y  1  0 Khiđóhệ:  2 2 u  v  3a  3(2) Trong hệ toạ độ nghiệm của (1)là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng :u+v=a(d) và nghiệm của (2) là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâm O(o,o)bán kính R= 3a  3 .Nên hệ có nghiệm  hai đường có điểm chung trong góc phần tư thứ nhất d(o,m)  d(o,d)  R (trongđóđtm:u+v= 3a  3 ) 3a  3  a  6a  6 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài tập.  x  y  2 Bài 1-Tìm a để hệ có nghiệm :   x  y  2 x( y  1)  a  2  x  y  2 xy  m  1 Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :   x  y  1 log 2 2 ( x  y )  1 (x  y ) Bài 3-Tìm m để hệ có nghiệm :   x  2 y  m  x 2  y 2  1  2 x Bài 4-Tìm m để có nghiệm duy nhất :   x  y  m  0  x 2  y 2  4 x  1 Bài 5-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :   x  y  m  0  x  1  y  1  1 sau có nhiều nghiệm nhất :  2  x  y 2  m 2. Bài 6-Tìm m để hệ. 3-sử dụng điều kiện cần và đủ  x  y  2  4 Bài 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :  2  x  ( y  2) 2  m Giải Điều kiện cần :Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (-x,y)cũng là nghiệm của hệ Do đó để hệcó nghiệm duy nhất thìx=-xx=0  y  2Vy  6  y  2  4 Với x=0thay vào hệ ta có :   (II)  ( y  2) 2  m 2  m  y  2  m 2  2  m Đểhệ(II)có nghiệm duy nhất điều kiện là:  m0  6  2  m Điều kiện đủ :hệ có nghiệm duy nhất x=0,y=2 3 x  a y 2  1  1  Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất  1  a2 x  y  2 y  y 1  Giải 3 x  a y 2  1  1 Hệ pt   Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (x,-y) cũng là nghiệm Nên hệ  x  y 2  1  a 2 có nghiệm duy nhất thì y=-y y=0 3 x  a  1 4 Thay y=0 vào hệ ta có   a  1Va  2 3 x  1  a. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Nếu a=-1 thay vào hệ ,giải hệ ta có hệ có nghiệm duy nhất x=y=0 Nếu a=4/3 thay vào hệ ,giải hệ => nghiệm :x=7/9,y=0 Vậy :a=-1 hoặc a=4/3  x2  3  y  a  Bài-3 Tìmađể hệ có nghiệm duy nhất   y 2  5  x  x 2  5  3  a Giải Nếu (x,y)là nghiệm thì (-x,-y)cũng là nghiệm . Nên để hệ có nghiệm duy nhất thì x=y=0.Thay vào hệ ta có a= 3  x 2  3  y  3 (1)  Với a= 3 ,hệ pt:  Nhận thấy x,y  0 thì VT(1)  3 Nên  y 2  5  x  x 2  5 (2) (1) có nghiệm :x=y=0 thay vào (2)thoả mãn Vây :a= 3 Bài tập  xyz  z  a  Bài 1-Tìm a,b để hệ có nghiệm duy nhất :  xyz 2  z  b x 2  y 2  z 2  4  2 x  y 2  z Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất  x  y  z  a  x  y 2  1 Bài 3- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất   y  1  ax 2  a 2 x  x  y  x 2  m Bài 4-Cho hệ pt:   y 2  x 2  1 a-Giải hệ với m=2 b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất a ( x  1)  cos x  y Bài 5-Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất  2  sin x  y  1. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>