Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>KHÁI NIỆM CHUNG</b>

Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa
các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực
tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối

tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối
tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo
hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy.

Trong nhiều mơ hình, hệ thức liên hệ được viết dưới

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>ĐỊNH NGHĨA</b>

Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập,
hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi
chung là phương trình vi phân.

<b>Ví dụ.</b>

(

)

2

'

'

0 ;

<i>dy</i>

2

<i>y y</i>

<i>x</i>

<i>x y</i>

<i>xy</i>

<i>dx</i>

+

-

=

=

( )

(

, , ',

, ...,

<i>n</i>

)

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>CẤP CỦA PTVP</b>

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo
hàm có mặt trong phương trình.

Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:
Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:
Phương trình vi phân cấp <i>n</i> là phương trình có dạng:

(

, , '

)

0

'

( )

,

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>VÍ DỤ</b>

Nêu cấp của các PTVP sau:

(

)

(

)

(

)

2
2
2

) ' ' 0

) 2 1 1 0

) '' 4 2 '

<i>a y y</i> <i>x</i> <i>x y</i>

<i>b</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>dy</i>
<i>c y</i> <i>xy</i> <i>xy</i>

+ - =

+ + - =

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>-VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP</b>

Một bể chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước.

Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với
tốc độ 25 lít/phút. Dung dịch được trộn kỹ và thốt ra

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>VÍ DỤ</b>

Gọi y(t) là lượng muối trong bể vào thời điểm t.
Ta có y(0)=20

Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút
Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút
Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200

Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t)
Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1</b>

Giả định:

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2</b>

Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số.
+ Khi tăng đến mức K nào đó thì dân số giảm (hoặc giảm
về K khi dân số tăng quá K)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1</b>

<b>Định nghĩa. </b>Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có

dạng:

Trong đó:

- F xác định trong miền G thuộc R3

- x là biến độc lập, y là hàm cần tìm

(

, , '

)

0

, ,

<i>dy</i>

0

<i>F x y y</i>

<i>hay</i>

<i>F x y</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>NGHIỆM CỦA PTVP CẤP 1</b>

Nghiệm tổng quát

Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng quát)

Nghiệm riêng

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>NGHIỆM TỔNG QUÁT</b>

Dạng:

Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C

Với mọi điểm ( ₀, ₀) ∈ ta đều tìm được C0 sao cho

(

,

)

<i>y</i> = <i>j</i> <i>x C</i>

(

)

0 0, 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN</b>

Tên khác: tích phân tổng quát

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>NGHIỆM RIÊNG</b>

Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số C0
xác định được gọi là nghiệm riêng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>NGHIỆM KỲ DỊ</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>PTVP CẤP 1 THƯỜNG GẶP</b>

PT biến số phân ly

PT biến số phân ly được
PT đẳng cấp cấp 1

PT tuyến tính cấp 1
PT Bernoulli

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>PT BIẾN SỐ PHÂN LY</b>

Dạng: g(y)dy=f(x)dx

Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x.
Ta có:

Ví dụ.

( )

( )

( )

( )

<i>g y dy</i> = <i>f x dx</i> Û <i>G y</i> = <i>F x</i> + <i>C</i>

ò

ò

2

2

1

<i>x</i>

<i>y dy</i> <i>dx</i>
<i>x</i>

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC</b>

<b>Dạng 1.</b>
<b>Cách giải:</b>

Chia hai vế cho f₁(x)g₂(y) để đưa về dạng biến số phân ly
Xét riêng tại những giá trị f₁(x)g₂(y)=0

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>VÍ DỤ</b>

Giải phương trình:

Đáp án:

Nghiệm tổng quát:
Nghiệm: y=-1

(

)

₍

₎

(

)

2 3

1

1

1

0

<i>x y</i>

+

<i>dx</i>

+

<i>x</i>

-

<i>y</i>

-

<i>dy</i>

=

3

1

ln

1

2ln

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC</b>

<b>Dạng 2.</b>
<b>Cách giải:</b>

Đặt z=ax+by

Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz

(

)

</div>

<!--links-->