Giáo án lớp 4 - Tuần 8 năm 2007

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ. CHUYÊN ĐỀ 9 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH §1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH 1.. Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác. a) Mỗi đa giác có một số đo diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương. b) Ha đa giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau. c) Nếu một đa giác được phân chia thành một số hữu hạn đa giác thành phần rời nhau (không có điểm trong chung) thì diện tích của đa giác bị chi bằng tổng diện tích các đa giác thành phần. d) Hai đa giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau. Hai đa giác có diện tích bằng nhau được gọi là hai đa giác tương đương. e) Diện tích hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị được gọi là một đơn vị diện tích. 2.. Các công thức diện tích một số đa giác thường gặp a) Diện tích tam giác Cho tam giác ABC có - Độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c ; - Độ dài đường cao tương ứng với các cạnh a, c b, c là ha , hb , hc ; 1 - Nửa chu vi của tam giác là: p = (a + b + c) ; 2 - Bán kính đường tròn nội tiếp Δ ABC là r. B Ta có các công thức tính diện tích tam giác:. A. ha. hb. b O hc a. C. 1 1 1 a.ha = b.hb = c.hc (1) 2 2 2 S = p(p  a)(p  b)(p  c) (2) (công thức Hê - rông) S = p.r (3). S=. Đặc biệt :. a a2 3 - Diện tích tam giác đều có cạnh bằng a : S = . 4 1 - Diện tích tam giác vuông : S = ab (a, b là độ dài các cạnh góc vuông) 2 b) Diện tích của một số tứ giác đặc biệt TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ Hình thang. Hình bình hành. Hình chữ nhật. a. a. h b (a  b)h S= 2 Hình vuông a. b. h a S = ah. S = ab. Hình thoi. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc d2. d2 d1. S = a2. d1. S = d1.d2. S = d1.d2. c) Diện tích của đa giác n-cạnh Cách tính diện tích của đa giác n-cạnh : Ta chia đa giác đó thành các tam giác không có điểm trong chung. Tính diện tích từng tam giác rồi cộng tất cả các diện tích tam giác lại. Chẳng hạn, ở hình vẽ bên, ta có : SABCDE = SABC + SACD + SADE 3.. A B E. C. D. Các bài toán cơ bản về diện tích. Bài toán 1. (Hai tam giác có chung chiều cao hoặc có chiều cao bằng nhau) Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc a. Lấy trên a các điểm B, C, D, E sao cho BC = kDE (k > 0). Chứng minh rằng : SABC = kSADE A Chứng minh Không giảm tổng quát, có thể giả sử D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E (hình vẽ). Kẻ AH  a, thì AH là đường cao chung của ABC và ΔADE. Ta có : 1 1 SABC = AH.BC = AH.kDE 2 2 1 = k( AH.DE) = kSADE  đpcm. 2 Từ bài toán trên, ta có các hệ quả sau :. B. H. D. C. E. a. Hệ quả 1: Hai tam giác có chung chiều cao thì tỉ số diện tích sẽ bằng tỉ số cạnh tương ứng với hai chiều cao ấy.. TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ SABC BC (= k).  SADE DE A Hệ quả 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Thật vậy, xét ΔABC có đường trung tuyến AM. Ta có : B M BM = MC (k = 1)  SABM = SAMC . Hệ quả 3: Hai tam giác có chiều cao bằng nhau thì tỉ số diện tích của hai tam giác bằng tỉ số hai cạnh tương ứng với hai chiều cao đó.. Thật vậy, theo hình vẽ trên thì. C. Bài toán 2. (Hai tam giác có chung đáy hoặc có hai đáy bằng nhau) Cho đường thẳng a. Lấy hai điểm B, C thuộc a và hai điểm A, A’ không thuộc a (A ≠ A’). Kẻ AH và A’H’ cùng vuông góc với a (AH > A’H’). Gọi E là giao điểm của AA’ với a. Chứng minh rằng : S AH a) ABC  ; SA 'BC A'H' S EA b) ABC  . SA 'BC EA' Chứng minh Ta xét ba trường hợp hình vẽ như sau : A A. A. A’ H’ B H H’ E. C. B. H. C. E A’. HE. H’. B. C. A’. Ở cả ba trường hợp hình vẽ, ta đều có : 1 AH.BC SABC AH 2   a) (1) SA 'BC 1 A 'H '.BC A 'H ' 2 b) AH // A’H’ (vì cùng  BC) nên theo hệ quả của định lí Ta – let, ta có : AH EA  (2) A'H' EA' S EA Từ (1) và (2) suy ra : ABC  (đpcm). SA 'BC EA'. TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ Bài toán 3. Cho hai đường thẳng BD và CD cắt nhau tại A. Chứng minh rằng : SADE AD.AE  . SABC AB.AC A Chứng minh E Xét ba trường hợp : D - Điểm A không thuộc cả hai đoạn thẳng BD và CE : Nối B với E. Vì hai tam giác ADE và ABE có chung đường cao kẻ B C từ đỉnh E tới AB nên : SADE AD  SABE AB E Mặt khác, hai tam giác ABE và ABC có chung đường cao kẻ từ D đỉnh B tới AC nên : A SABE AE  B C SABC AC S S AE AD S AD.AE  Do đó : ADE  ABE  hay ADE  (đpcm) SABE SABC AC AB SABC AB.AC D - Điểm A thuộc cả hai đoạn thẳng BD và CE : Chứng minh tương tự như trên. - Điểm A thuộc một trong hai đoạn thẳng BD và CE A (chẳng hạn BD) : E Chứng minh tương tự như trên. B C 4. Áp dụng phương pháp diện tích để giải toán Phương pháp diện tích là một phương pháp sử dụng diện tích như một công cụ, phương tiện để giải các bài toán ở nhiều phương diện khác nhau : - Chứng minh một số định lí, tính chất. - Tính giá trị của một hệ thức hình học. - Tính diện tích, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc. - Chứng minh sự đồng quy của 3 đường thẳng. a) Chứng minh một số định lí, tính chất. Ví dụ 1. (Chứng minh định lí Pi - ta - go trong tam giác vuông) Chứng minh rằng, trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Giải. TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. B’ B c A. a. a b. 1 2 3. C. b. c. A’. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ Giả sử ΔABC vuông tại A, có AB = C, BC = a, CA = b. Ta phải chứng minh : b2 + c2 = a2. Trên tia đối của tia CA lấy điểm A’ sao cho CA’ = c. Dựng tia A’x  AA’ (tia Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AA’ có chứa điểm B). Lấy điểm B’ trên A’x sao cho A’B’ = b. Xét hai tam giác vuông ABC và A’CB’ có :  A   900 , AC = A’B’ = b, AB = A’C = c A.   CBA   ΔABC = ΔA’CB’ (c - g - c)  BC = B’C = a, C 3 C   900 hay C  C   900  BCB'  = 900. Tam giác ABC vuông tại A nên CBA 1 3 1 Suy ra ΔBCB’ vuông cân tại C.  = 900 nên là hình thang vuông. Tứ giác ABB’A’ có AB // A’B’ (vì cùng  AA’) và A Ta có : SABB’A’ = SABC + SBCB’ + SCA’B’ hay : (b  c) 2 bc a 2 bc = ↔ b2 + c2 = a2 (đpcm)   2 2 2 2. Ví dụ 2. (Chứng minh định lí Ta – let trong tam giác) Nếu một đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại thì nó sẽ định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. A Giải Giả sử đường thẳng a // BC và cắt hai cạnh AB, AC B’ C’ a của ΔABC lần lượt tại B’ và C’. Ta phải chứng minh : AB' AC'  AB AC B C Vì a // BC nên khoảng cách từ hai điểm B và C đến a bằng nhau. Do đó, ΔBB’C và ΔCB’C’ có hai chiều cao hạ từ B và C xuống cạnh B’C’ bằng nhau. Suy ra : SBB’C’ = SCB’C’  SBB’C’ + SAB’C’ = SCB’C’ + SAB’C’ hay SABC’ = SACB’ (1) Hai tam giác BAC’ và BAC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC nên : SBAC ' AC' (2)  SBAC AC Chứng minh tương tự, ta có : Từ (1), (2) và (3), suy ra :. SCAB ' AB' (3)  SCAB AB. AB' AC' (đpcm).  AB AC. TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ Ví dụ 2. (Chứng minh định lí Xê - va trong tam giác) Trên các cạnh BC, CA, AB của ΔABC lấy lần lượt các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng : A 'B B'C C'A AA’, BB’, CC’ đồng quy ↔   1 A 'C B'A C'B. A C’ B. B’. P A’. C. Giải Ta phải chứng minh hai trường hợp : A 'B B'C C'A   1 A 'C B'A C'B Thật vậy, nếu AA’, BB’, CC’ đồng quy tại P thì theo bài toán cơ bản 2, ta có : SABP A 'B SBAP B'C SCBP C'A ; ;    SACP A 'C SBCP B'A SCAP C'B. Điều kiện cần : AA’, BB’, CC’ đồng quy . . A 'B B'C C'A SABP SBAP SCBP =1      A 'C B'A C'B SACP SBCP SCAP. A 'B B'C C'A    1  AA’, BB’, CC’ đồng quy. A 'C B'A C'B Gọi P là giao điểm của AA’ và BB’, C1 là giao điểm của CP với AB. Khi đó, AA’, BB’ và CC1 đồng quy nên theo chứng minh trên, ta có : A 'B B'C C1A A 'B B'C C'A C A C'A    1 , mà    1 nên suy ra : 1  A 'C B'A C1B A 'C B'A C'B C1B C'B. Điều kiện đủ :. . C1A  C1B C'A  C'B AB AB hay . Do đó : C1B = C’B   C1B C'B C1B C'B. Vì C1 và C’ đều thuộc AB nên C1 ≡ C’. Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại P. Ví dụ 3. (Chứng minh tính chất đường phân giác trong tam giác) Trong một tam giác, đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. A Giải Giả sử tam giác ABC có đường phân giác AD. Ta phải DB AB F chứng minh :  E DC AC Kẻ DE  AB, DF  AC, AH  BC. Ta có : C B HD AH AB  2SABD = AH.BD = DE.AB  (1) DE BD TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ AH AC (2)  DF CD Mặt khác, D thuộc đường phân giác góc A nên DE = DF (3) AB AC DB AB Từ (1), (2) và (3) suy ra : hay (đpcm).   BD CD DC AC. 2SADC = AH.CD = DF.AC . Ví dụ 4. (Chứng minh tính chất đường cao trong tam giác) Chứng minh rằng trong tam giác, đường cao ứng với cạnh lớn nhất thì nhỏ nhất. Giải. A F Giả sử ΔABC có AB ≤ BC ≤ CA. Ta phải chứng minh : CE ≥ AH ≥ BF. E Thật vậy, ta có : 2SABC = AB.CE = BC.AH = CA.BF AB AH BC BF B Do đó : và   H BC CE CA AH AB BC Vì AB ≤ BC ≤ CA nên ≤ 1 và ≤ 1. Từ đó suy ra : AH ≤ CE và BF ≤ AH BC CA Hay CE ≥ AH ≥ BF (đpcm).. C. b) Tính giá trị của một hệ thức hình học Ví dụ 5. Cho ΔABC. Lấy một điểm O nằm trong tam giác. Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của AO với BC, BO với CA, CO với AB. Tính : A OP OQ OR   a) ; AP BQ CR R O Q OA OB OC   b) . AP BQ AR C B H KP Giải OK OP  a) Kẻ OK  BC, AH  BC thì OK // AH. Theo định lí Ta – let, ta có : (1) AH AP S OK Mặt khác, ΔOBC và ΔABC có cùng chung cạnh BC nên : OBC  (2) SABC AH Từ (1) và (2) suy ra :. SOBC OP .  SABC AP. Chứng minh tương tự, ta có :. SOCA OQ SOAB OR ,   SABC BQ SABC CR. TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ. Suy ra : b). OP OQ OR SOBC SOCA SOAB SOAB  SOBC  SOCA        1. AP BQ CR SABC SABC SABC SABC. OA OB OC AP  OP BQ  OQ CR  OR  OP OQ OR        3    = 2. AP BQ AR AP BQ CR AP BQ CR  . Vậy. OP OQ OR    2. AP BQ CR. c) Tính diện tích, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc. Ví dụ 6. Cho ΔABC, trung tuyến AM. Điểm O thuộc đoạn AM sao cho AO = 3OM. Gọi N là giao điểm của BO với AC. Biết diện tích ΔABC bằng 120cm2. Tính : a) Diện tích ΔAOB ; A b) Diện tích tứ giác CMON. Giải a) Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh BC nên : O 1 2 SAMB  SAMC  SABC = 60 (cm ). B 2 M Hai tam giác AOB và AMB có cung đường cao hạ S AO AO 3OM 3 từ đỉnh B đến cạnh AM nên : AOB     . SAMB AM AO  OM 3OM  OM 4. N C. 3  SAOB  SAMB  45 (cm2) 4 S MB b) Ta có : AOB   1 (xem bài toán 2) hay SAOC  SAOB  45 (cm2) SAOC MC  SBOC  SABC  (SAOB  SAOC )  120  90  30 (cm2). Lại có :. SAOB NA NA 30 2 NA  NC 5 NC 3 hay        SBOC NC NC 45 3 NC 3 AC 5. Vì ΔCON và ΔAOC có chung chiều cao hạ từ O xuống cạnh AC nên : SCON NC 3 3 3    SCON  SAOC   45  27 (cm2) SAOC AC 5 5 5 Mặt khác, ΔOMC và ΔOBC có chung chiều cao hạ từ O đến BC nên : SCOM MC 1 1 1    SCOM  SBOC   30  15 (cm2) 2 2 SBOC BC 2 Vậy SCMON  SCOM  SCON  15  27  42 (cm2)\. TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ Ví dụ 7. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. a) Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho AD = AB. Tính độ dài BD. b) Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BE = 4 cm. Tính độ dài AE. A Giải a) Kẻ AH  BC. Vì ΔABC vuông tại A, nên : BC2 = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 252 (định lí Pitago)  BC = 25 (cm). Ta lại có : 2SABC = AB.AC = AH.BC B C H D AB.AC 15.20  AH    12 (cm) BC 25 ΔAHB vuông tại H nên : BH2 = AB2 – AH2 (định lí Pitago) hay BH2 = 152 – 122 = 92  BH = 9 (cm). Tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD (gt)) nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến. Do đó : BD = 2BH = 18 (cm). A b) Kẻ AH  BC. Tương tự câu a, ta tính được : AH = 12 (cm) và BH = 9 (cm)  EH = BH – BE = 9 – 4 = 5 (cm). Áp dụng định lí Pitago cho ΔAHE (vuông tại H), ta có: B E H C AE2 = AH2 + EH2 = 52 + 122 = 132  AE = 13 (cm). TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG MÔN TOÁN 8 – PHẦN ĐẠI SỐ. TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY PHÚC Lop8.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>