Một số chuyên đề Toán 8 - Chuyên đề1: Phép nhân đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Một số chuyên đề toán 8. Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ. I. Nh©n ®a thøc 1. Khái niệm nhân đơn thức với đa thức 2. Kh¸i niÖm nh©n ®a thøc víi ®a thøc 3. Khái niệm về đa thức đồng nhât P(x) và Q(x) P(x) và Q(x) gọi là đồng nhất nếu P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x, Kí hiệu P(x)  Q(x) VÝ dô: P(x) = (x+5)(ax2+bx+25) vµ Q(x)=x3+125 a) Viết đa thức P(x) dưới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x b) víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× P(x)=Q(x) víi mäi gi¸ trÞ cña x.. Gi¶i a)P(x)=(x+5)(ax2+bx+25). = + + 25x + 5ax2 + 5bx + 125 = ax3 + (b+5a)x2 + (25 + 5b)x + 125 b) P = Q víi mäi x <=> ax3 + (b+5a)x2 + (25 + 5b)x + 125 = x3+125 víi mäi x a  1 <=> b  5a  0 <=> 5b  25  0 . ax3. bx2. a  1  b  5. Phương pháp: Hai đa thức P(x) và Q(x) đồng nhất nếu khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức bằng nhau VÝ dô 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = x4 - 17x3 + 17x2 – 17x + 20 t¹i x = 16. Gi¶i: C¸ch 1: A= x3(x – 16) – x2(x-16) +x(x-16) – (x – 16) + 4 = 4 ( v× x = 16 nªn x – 16 = 0) C¸ch 2: thay 16 = x vµo A ta cã: A = x4 – (x+1)x3 + (x + 1)x2 – ( x + 1)x + x + 4 = x4 – x4 – x3 + x3 + x2 – x2- x + x + 4 =4. Bµi tËp D¹ng 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc hîp lÝ. Bµi 1. Dạng 2: Tìm các hệ số của đồng nhất thất thức. Page 1 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Một số chuyên đề toán 8 II. Các Hằng đẳng thức đáng nhớ 1. ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 5. (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 2. ( a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = a3 - b3 - 3ab(a - b) 3. (a + b)(a – b) = a2 – b2 6. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 7. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 + 3ab(a + b) N©ng cao: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + ….+ bn-1) an + bn = (a + b)(an-1 – an – 2b + an-3b2 - …...- abn-2 + bn-1) ( víi n lÎ) Dạng 1: Chứng minh đẳng thức VÝ dô 1. Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca th× a = b = c Lêi Gi¶i 2 2 2 2 a + b + c = ab + bc + ca < = > 2a + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0  (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc + c2) = 0  (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 0 => a = b = c (®pcm) VÝ dô 2: cho a + b + c = 0. Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 = 3abc Lêi gi¶i: Ta cã: (a + b)3 = (- c)3  a3 + 3ab(a + b) + b3 = -c3  a3 - 3abc + b3 + c3 = 0 < = > a3 + b3 + c3 = 3abc (®pcm) Bµi tËp Bµi 1. Chøng minh r»ng (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 víi x, y kh¸c 0 th×. a b = x y. Bµi 2. cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng: (5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)2 Bµi 2. Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 víi x, y, z kh¸c 0 th×. a b c = = . x y z. Bµi 3. Chøng minh r»ng: a) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) b)a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) Lêi gi¶i 3 3 3 3 a) Ta cã (a + b + c) – a – b – c = a3 + (b + c)3 + 3a(b + c)(a + b + c) - a3 – b3 – c3 = 3bc(b + c) + 3a(b + c)(a + b + c) = 3(b + c)(bc + a2 + ab + ac) = 3(a + b)(b + c)(c + a). b) Ta cã a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)3 – 3(a + b)c(a + b + c) – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 – ab – ac – bc). Page 2 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Một số chuyên đề toán 8. Bµi 4. Cho ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0; víi x, y, z ≠ 0 Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc Gi¶i Tõ ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0 ta cã: (a + b + c)(x + y + z) = 0 => a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc Bµi 5. Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Th× a + b +c = 0 hoÆc a = b =c. Gi¶i Ta cã: a3 + b3 + c3 = 3abc  (a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c– a)2] = 0. = > a + b + c = 0 hoÆc a = b =c Bµi 6. Cho. 1 1 1 1 + + = . Chứng minh rằng có ít nhất một cặp số đối nhau. a b c a+ b+ c. Gi¶i => a = -b hoÆc b = -c hoÆc c = -a. 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = . Chøng minh r»ng n + n + n = n n n Víi n lÎ. a b c a+ b+ c a b c a +b +c 3 3 3 3 3 3 Bµi 8. Cho a + b + c = (a + b + c) (hoÆc a  b  c  a  3 b  3 c hoÆc. Bµi 7. Cho. 3. 1 1 1 1 1 1 + + =  + +  ). Chøng minh r»ng an + bn + cn = (a + b + c)n v¬id n lÎ. a 3 b 3 c3  a b c . Bµi 9. Cho x + y + z = a + b + c; x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2; x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + c3. Chøng minh r»ng: xn + yn + zn = an + bn + cn; D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Vi dô. Cho x + y = a vµ xy = b. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b. a) x2 + y2 b) x3 + y3 Lêi gi¶i 2 2 2 2 a) x + y = (x + y) – 2xy = a – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab Bµi 1. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. TÝnh A = 1+  1+  1+  b c a a. . b. . c. . . D¹ng 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt. VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + 2x + 3 Lêi gi¶i: x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2 dÊu “=” x¶y ra khi x = -2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 khi x = - 2 VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc –x2 – 5x + 5 Lêi gi¶i: –x2 – 5x + 5 = - (x2 + 5x – 5) = -(x2 + 2. 5 x + 2. D¹ng 4: T×m x VÝ dô: T×m x biÕt: x2 – 3x – 4 = 0 Lêi gi¶i:. Page 3 Lop8.net. 25 25 - 5) = 4 4.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Một số chuyên đề toán 8. 3 2. x2 – 2. x +. 9 9 3 25 - - 4 = 0  (x - )2 = 0  (x – 4)(x + 1) = 0 4 4 2 4. => x = 4 hoÆc x = -1;. Chuyên đề 2. Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: 1. §Æt nh©n tö chung. Sử dụng phương pháp này khi các hạng tử có nhân tử chung 2. Sử dụng hằng đẳng thức: Khi biểu thức có dạng trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ 3. Nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc hằng đẳng thức 4. Thªm bít mét h¹ng tö. VÝ dô 1:Ph©n tÝch ®a thøc 4x4 + 81 thµnh nh©n tö Gi¶i: 4x4 + 81 = 4x4 +36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x) VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 64x4 + y4 Gi¶i: 64x4 + 16x2y2 + y4 - 16x2y2 = (8x2 + y)2 – (4xy)2 = (8x2 + y -4xy)(8x2 + y +4xy) 4 2 VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc x + x + 1 thµnh nh©n tö x4 + x 2 + 1 = x 4 + x3 + x 2 – x3 + 1 = x2(x2 + x +1) – (x – 1)(x2 + x + 1) =(x2 + x + 1)(x2 – x + 1). Bµi TËp Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: b) x3 + y3 + z3 – 3xyz Bµi 1. a) x4 + 5x3 + 10x – 4 Thªm bít 3xy(x + y) Thªm bít 2x2 vµo biÓu thøc 4 2 3 2 x3 + y3 + z3 – 3xyz x + 2x + 5x + 10x - 4 - 2x = x3 + y3 + 3xy(x + y)+ z3 – 3xyz - 3xy(x + =x2(x2 + 2) + 5x(x2 + 2) – 2(x2 + y) 2) 2 2 = (x + y)3 + z3 – 3xy( x + y + z) =(x + 2)(x + 5x– 2) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy - xz - yz) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz – yz) b) x8 + x + 1 Bµi 2. a) x7 + x2 + 1 Thªm bít x2 vµo biÓu thøc Thªm bít x vµo biÓu thøc. Page 4 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Một số chuyên đề toán 8 x7 + x 2 + 1 = x 7 – x + x 2 + x + 1 x8 + x + 1 = x8 - x2+ x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x2(x6-1) + (x2 + x + 1) =x(x3+1)(x-1)(x2 + x + 1) +( x2 + x =(x2 + x + 1)[x2(x3 +1)(x-1) + 1] + 1) =(x2 + x + 1)[x(x3+1)(x-1) + 1] b) x10 + x5 + 1 Bµi 3. a) x5 + x4 + 1 Thªm bít x2 + x vµo biÓu thøc Thªm bít x3 vµo biÓu thøc x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1 x10 + x5 + 1 = x10 – x + x5 – x2 + x2 + x +1 =x(x3 + 1)(x-1)(x2 + x +1) + x2(x – 1)( x2 + = x3(x2 + x + 1) – (x -1)(x2 + x + x +1) + ( x2 + x + 1) 1) = ( x2 + x +1)[x(x3 + 1)(x-1) + x2(x – 1) + 1] =(x2 + x + 1)(x3 – x + 1) Bµi 4. chøng minh r»ng: x200 + x100 +1  x4 + x2 + 1 Ta cã: x200 + x100 +1 = (x200 – x2 ) + (x100 – x4) + (x4 +x2 + 1) = x2( x198 -1) + x4(x96 - 1) + (x4 +x2 + 1) = x4[(x6)33 - 1] + x2[(x6)16- 1] + (x4 +x2 + 1) = x4(x6 - 1)A(x) + x2(x6 - 1)B(x) + (x4 +x2 + 1) = x4(x2 – 1)(x4 + x2 + 1)A(x) + x2(x2 – 1)(x4 + x2 + 1)B(x) + (x4 +x2 + 1) = (x4 + x2 + 1)[x4(x2 – 1)A(x) + x2(x2 – 1)B(x) + 1]  x4 + x2 + 1 ( ®pcm) b) x4 + 324 (Thªm bít 81x2) Bµi 5.a) 4x4 + 1 (Thªm bít 4x2) d) x8 + x7 + 1 (Thªm bít x2 + x) c) x5 + x + 1 (Thªm bít x2) e) x5 - x4 – 1 (Thªm bít x2) f) x7 + x5 + 1 (Thªm bít x2 + x) g) x8 + x4 + 1 (Thªm bít x2) g) x3 + 3xy + y3 – 1 (Thªm bít 3xy(x + y)) Bµi 6. Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö a) 1 + 2 + 3 + …+ n b) 12 + 22 + 32 + …+n2 c)13 + 23 + 33 + …+n3 d) 14 + 24 + 34 + …+n4 e) 12 + 32 + 52 +…+ (2n+1)2 e) 22 + 42 + 62 +…+ (2n)2 g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n(n + 1) h) 1.2.3 + 2.3.4 + …. + n(n+1)(n+2) 2 2 2 2 Hướng dẫn:b) 1 + 2 + 3 + …+n Ta cã: (n + 1)3= n3 + 3n2 + 3n + 1 n3 = (n-1)3+ 3(n-1)2 + 3(n-1) + 1 …………………………….. …………………………….. 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1 Ta cã : (n + 1)3 + n3 +…+ 23=(n 3 + (n-1)3 +…+ 13) + 3(12 + 22 + 32 + …+n2) +3(1 + 2 + 3 + …+ n) + n 3(12 + 22 + 32 + …+n2) = (n + 1)3 –(1 +n) – 3. 12. +. 22. +. 32. +. …+n2. (n+1)n =(n+1)(2n2 + n):2 2. = n(n + 1)(2n + 1):2 = n(n + 1)(2n + 1):6. Chú ý: Các đa thức dạng: x3m + 1+ x3n + 2 + 1 đều chứa nhân tử x2 + x + 1 x2n+ xn+ 1 chøa nh©n tö x2 + x + 1 nÕu n kh«ng chia hÕt cho 3. Page 5 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Một số chuyên đề toán 8. 5. T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö Mét sè c¸ch ph©n tÝch ®a thøc ax2 + bx + c thµnh nh©n tö C¸ch 1: t¸ch h¹ng tö thø 2: b = b1 + b2 sao cho b1b2 = ac Cách 2: tách hạng tử thứ 1,3 làm xuất hiện hằng đẳng thức, hoặc nhân tö chung VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 3x2 – 8x + 4 C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø 2 3x2 – 8x + 4 = 3x2 - 2x – 6x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) C¸ch 2: T¸ch h¹ng tö thø nhÊt 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (x – 2)( 3x – 2) VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 4x2 – 4x – 3 C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø 2: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 +2x – 6x -3 = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) = (2x + 1)( 2x – 3) C¸ch 2: T¸ch h¹ng tö thø ba:4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x -1)2 - 22 = (2x + 1)( 2x – 3) Trong tam thøc bËc 2: c¸ch ph©n tÝch tæng qu¸t lµ sö dông c¸ch t¸ch h¹ng tö thứ 3 làm xuất hiện hằng đẳng thức Ph©n tÝch ®a thøc bËc n thµnh nh©n tö ( Phương pháp dễ dàng áp dụng đối với đa thức có nghiệm nguyên hoặcphân số) F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …… + an -NÕu x = a lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) th× + f(x) cã nh©n tö chung lµ x – a + a lµ ­íc cña an VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö F(x) = x3 – x2 – 4 Gi¶i: XÐt c¸c ­íc cña -4 lµ 1, 2, 4, -1, -2, -4 thÊy f(2) = 0 vËy x – 2 lµ mét nh©n tö cña f(x) x3 – x2 – 4 = x3 - 2x2 + x2 – 4 = x2 ( x -2) + (x – 2)(x + 2) = (x – 2)(x2 + x + 2) - NÕu x =. p lµ nghiÖm cña F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …… + an th× f(x) cã nh©n q. tö chung lµ qx – p( q lµ ­¬c cña a0, p lµ ­íc cña an) VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö 3x3 - 7x2 + 17x – 5. Page 6 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Một số chuyên đề toán 8 Dùng phương pháp nhẩm nghiệm thấy 1, -1, 5, -5 không phải là nghiệm của đa thức trªn. xÐt. ±1 ±5 1 , ta thÊy lµ nghiÖm cña ®a thøc do dã 3x – 1 lµ mét nh©n tö chung: ±3 ±3 3. 3x3 - 7x2 + 17x – 5 = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5x(3x – 1) = (3x – 1)( x2 – 2x + 5). Bµi tËp Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö b) 2x2 + 3x – 27 Bµi 1 a) 6x2 – 11x + 3 b) x3 + 7x – 6 Bµi 2 a) x3 + 2x – 3 d) x3 – 9x2 + 6x + 16 e) x3 – x2 – x – 2 e) 6x2 + 7xy + 2y2 Bµi 3 a) x3 – 7x – 6 b) 27x3 – 27x2 + 18x f) 9x2 – 9xy – 4y2 –4 g) x2 – y2 + 10x - 6y + 16 c) 2x3 - x2 + 5x + 3 2 2 d) (x – 3) + 16 h) x3y3 + x2y2 + 4. c) 2x2 – 5xy +- 3y2 c) x3 + 5x2 + 8x + 4 f) x3 + x2 – x + 2 i) x3 + 3x2y – 9xy2 + 5y3 j) x4 + x3 + 6x2 + 5x + 5 k)x4– x3 – 2x2 +12x + 36 l)x8y8 + x4y4 + 1 m)3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + 1. m) x4 + y4 + (x + y)4 ( Thªm bít 2x2y2) 6. Phương pháp đổi biến Mét sè d¹ng quen thuéc D¹ng 1: (x + a)(x + b)(x + c)(x +d) + q cã a + b = c + d ViÕt [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c +d)x + cd) + q = [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (a +b)x + cd) + q đặt x 2 + a + b  x +. ab+cd =y 2. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 Gi¶i: (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) – 23 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 24 §Æt y = x2 + 7x + 11 ta cã: (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 12 = (t – 1)(t + 1) – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5) =(x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16) Dạng 2: Đa thức bậc bốn có hệ số đối xứng F(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = x2(ax2 + bx + c + b/x + a/x2) =x2 [a(x2 +1/x2) + b(x + 1/x) + c] = x2[a(x + 1/x)2 + b(x + 1/x) +c -2a] đặt y = x + 1/x và phân tích a(x + 1/x)2 + b(x + 1/x) +c -2a = ay2 + by + c – 2a Thµnh nh©n tö. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Gi¶i: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = x2(x2 + 6x + 7 + 6/x + 1/x2) = x2[(x +1/x)2 + 6(x + 1/x) + 5] đặt y = x + 1/x ta có x4 + 6x2 + 7x2 + 6x +1 = x2(y2 + 6x + 5) = x2(y + 1)(y + 5) Page 7 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Một số chuyên đề toán 8 = x2(x + 1/x + 1)( x + 1/x + 5) = ( x2 + x +1)(x2 + 5x + 1) Bµi tËp Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y - 4 b) (12x2 – 12xy + 3y2) – 10(2x – 3y) Gi¶i: x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – 4 +8 2 = (x – y) + 3(x – y) – 4 =3(2x – y)2 – 10(2x – y) + 8 đặt t = x – y ta có : §Æt t = 2x – y ta cã: 2 2 (x – y) + 3(x – y) – 4 = t + 3t – 4 3(2x – y)2 – 10(2x – y) + 8 =3t2 – 10t + 8 = (t – 1)( t + 4) =(x – y – 1)(x – y + =(3t2 – 4t) – (6t – 8) = t(3t – 4) – 4) 2(3t – 4) =(3t – 4)(t – 2) = (6x – 3y – 4)(2x – y –2 3 3 3 Bµi 2: a) (a – b) + (b – c) + (c – a) c) B = (a + b –2c)3 + (a + c –2b)3 + (b + §Æt x = a – b; y = b – c; z = c – a c – 2a)3 3 3 3 Ta cã: (a – b) + (b – c) + (c – a) = §Æt x = (a + b –2c)3; y = (a + c –2b)3 ; x3 + y3 + z3 vµ x + y + z = 0 z =(b + c – 2a)3 ta cã: x + y +z = 0 VËy x3 + y3 + z3 = 3xyz B = 3(a + b –2c)(a + c –2b)(b + c – 2a) Bµi 3. Chøng minh r»ng: a)(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) Biến đổi vế trái: (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3(x + y)z(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x3 + y3 + z3 + 3xy(x + y) 3(x + y)z(x + y + z) – x3 – y3 – z3 =3(x + y)(xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(x + z)(y + z) b)Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö A = (a + b + c)3 + (a – b - c)3+ (b – c – a)3 + (c – a – b)3 §Æt x = a – b – c; y = b – c – a; z =c – a – b ta cã : x + y + z = -(a + b + c) A = -(x + y + z )3 + x3 + y3 + z3 áp dụng tương tự phần a) A = -3(x + y)(y + z)(z + x) Bµi 4. a) (x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 b)(x2 + 4x -3)2 – 5x(x2 + 4x -3) +6x2 (đặt y = x2 + 4x -3) c)(x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2 d) x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1 Bµi 5. 2(x2 – 6x + 1) + 5(x2 – 6x + 1)(x2 + 1) + (x2 + 1)2 Bµi 6. Chøng minh r»ng: M = 4(x – 2)(x – 1)(x + 4)(x + 8) + 25x2 Kh«ng ©m. M = 4(x2 + 2x – 8)(x2 + 7x – 8) + 25x2 = §Æt a = x2 + 2x – 8 ta cã: M = 4a(a + 5x) + 25x2 = (2a + 5x)2 ≥0 (®pcm) 7. Phương pháp hệ số bất định(Phương pháp đồng nhất hệ số). Đây là phương pháp thường được áp dụng cho một số đa thức đưa được về đa thức bậc bèn cã c¸c hÖ sè nguyªn VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Page 8 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Một số chuyên đề toán 8 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 Lêi Gi¶i: ThÊy ± 1, ±3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc. §a thøc trªn ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö cã d¹ng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x2 + (ac + b + d)x2 + (bc + da)x + bd. a + c = -6 ac + b + d=12   Ta cã: bc + ad= - 14 lÊy b =1, d =3 =>c =-2, a = - 4    bd = 3 VËy x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 – 4x + 1)(x2 – 2x + 3) Bµi TËp Phân tích đa thức sau thành nhân tử theo phương pháp đồng nhất hệ số: A = 3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + 1 B = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1 C = x4 – x3 + 2x2 – 11x – 5 D = 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 8. Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp xét giá trị riêng là phương pháp xét giá trị của biến làm cho giá trị của biểu thức bằng 0. Từ đó xác định các nhân tử chung bằng cách thay các giá trị bất kì vào đẳng thức được xác định hoặc dựa vào đó để tách, thêm bớt nhóm thích hợp. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) ta thÊy víi y = z hoÆc x = y hoÆc x = z th× x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = 0. vËy ta cã y –z, x – y, z - x lµ nh©n tö chung cña biÓu thøc trªn. x2(y – z) + y2z – y2x + z2x – z2y = K.(x – y)(y – z)(z –x) v× (x – y)(y – z)(z –x) lµ ®a thøc bËc 3 nªn K lµ h»ng sè thay x= 0, y = 1, z =2 vào đẳng thức trên ta được: -2 = K.2 => K = -1 VËy x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = - (x – y)(y – z)(z –x) =(x – y)(y – z)(x - z) Ví dụ 2: Xác định a, b sao cho x4 + ax + b = x2 – 1 C1: Thùc hiÖn phÐp chia råi cho sè d­ = 0 C2: viÕt x4 + ax + b = (x2 – 1).q(x) T¹i x = -1, x =1 ta cã: 1 + a + b = 0 vµ 1 – a + b = 0 => b = - 1, a = 0 Bµi TËp Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. M = xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz Bµi 2. M = a(b + c – a)2 +b(c + a – b)2 + c(a + b – c)2 + (a + b – c)(b + c –a)(c +. Page 9 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Một số chuyên đề toán 8 a – b) (xÐt a = 0) Bµi 3. (x + y + z)(xy + yz + zx) – xyz (xÐt x = - y,..). Chuyên đề 3. Xác định đa thức Chuyên đề 3. Số chính Phương. I. Tính chất Số chính phương. Số chính phương chia cho 3, 4 dư 1 hoặc dư 0 số chính phương chia hết cho p2k+1 thì chia hết cho p2k+2( Với p là số nguyên tố) Giữa hai số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương Chữ số tận cùng của số chính phương không thể là 2,3,7,8 II. Phương pháp chứng minh a) chứng minh một số là số chính phương - biểu diễn một biểu thức được dưới dạng bình phương của một số - Hai số nguyên tố cùng nhau a và b có tích là số chính phương thì a và b là những số chính phương b) Chứng minh một số không là số chính phương: - Chứng minh số đó nằm giữa hai số chính phương liên tiếp. - Chøng minh sù ph©n tÝch cã chøa luü thõa lÎ cña mét sè nguyªn tè - XÐt sè d­ cña nã khi chia cho 3,4,5 - Chøng minh ch÷ sè tËn cïng cña nã lµ 2,3,7,8 c) Tìm điều kiện để một biểu thức là số chính phương. III. Mét sè bµi to¸n Dạng 1. Chứng minh một biểu thức là số chính phương. Bµi 1. Cho A = 111...1   888...8   1 là số chính phương 2n. n. Lêi gi¶i: n A = 111...1  7.111...1   888...8   1  111...1.10    1 2n. n. n. §Æt a = 111...1  => 9a + 1 =. n. 10n. n. A = a(9a + 1) - 7a + 1 = 9a2 - 6a + 1 =(3a + 1)2 ( ®pcm) Dạng 2: Tìm điều kiện để một biểu thức là số chính phương. PageLop8.net 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Một số chuyên đề toán 8 Ví dụ: Tìm điều kiện để a(a + 3) là số chính phương Lêi gi¶i: Để a(a + 3) là số chính phương thì a(a + 3) = k2  a2 + 3a = k2  4a2 + 12a = 4k2 < = > (2a + 3)2 = 4k2 + 9 < = > (2a + 3 – k)(2a + 3 + k) = 9  2a  3 - 2k  1 a  1   2a  3  2k  9 k  2  2a  3 - k  3 a  0   2a  3  k  3 k  0. Dạng 3: Chứng minh một biểu thức không thể là một số chính phương theo điều kiÖn Bµi 1. Cho sè tù nhiªn n thuéc N*, d lµ ­íc cña 2n2. Chøng minh r»ng n2 + d Kh«ng thể là số chính phương. Lêi gi¶i C¸ch 1: gi¶ sö n2 + d =m2 < = >n2 +. 2n 2 = m2 < = >kn2 + 2n 2 = km2 K. C¸ch 2: ta cã 2n2 + 2d. Chuyên đề 4. Bất đẳng thức Chuyên đề 5. Giải phương trình nghiệm nguyên Chuyên đề 6. Số nguyên tố Chuyên đề 7. Đồng dư thức. H×nh Häc. Chuyên đề 1: Định lí talet - Tam giác đồng dạng Chuyên đề 2: Phương pháp diện tích Page 11 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Một số chuyên đề toán 8. PageLop8.net 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>