Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng. A.Lý thuyÕt chung. 1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( ra thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức, đa thức. 2 ) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1) §Æt nh©n tö chung; 2) Dùng hằng đẳng thức; 3) Nhãm nhiÒu h¹ng tø; 4) T¸ch, thªm, bít; 5 )Phối hợp nhiều phương pháp. B. Néi dung Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. I. Phương pháp đặt nhân tử chung 1. Phương pháp . Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử. Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch nh©n tö chung vµ mét nh©n tö. ViÕt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngoÆc, viÕt c¸c nh©n tö cßn l¹i cña mçi h¹ng tö vµo trong dÊu ngoÆc. 2.VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) –3xy + x 2 y 2 – 5x 2 y b) 2x(y – z) + 5y(z – y) c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2 Bµi Lµm a) 3xy + x y – 5x y = xy(- 3 + xy – 5x) b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2 = 10x 2 (x + y) – 10y 2 (x + y) = 10(x + y)(x 2 – y 2 ) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) 2 (x – y) 2. 2. 2. 3. Bµi tËp tù luyÖn Bµi tËp 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 12xy 2 – 12xy + 3x b) 15x – 30 y + 20z 5 c) x(y – 2007) – 3y(2007 - y) 7 d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1) Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3 b) 2x 3 (x – y) + 2x 3 (y – x ) + 2x 3 (z – x). (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008). II) Phương pháp dùng hằng đẳng thức 1. Phương pháp Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản. +. Những hằng đẳng thức : (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 A – B = (A + B)(A – B) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 ) A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA A n – B n = (A – B)(A n 1 + A n  2 B + … + AB n  2 + B n 1 ) A 2 k – B 2 k = (A +B)(A 2 k 1 - A 2 k  2 B + … - B 2 k 1 ) A 2 K 1 + B 2 K 1 = (A + B)(A 2 k – A 2 k 1 B + A 2 k  2 B 2 - … +B 2 k ) n(n  1) n  2 2 n(n  1) 2 n  2 (A + B) n = A n + n A n 1 B A B +…+ A B + nAB n 1 + B n 1.2 1.2 n(n  1) n  2 2 (A - B) n = A n - n A n 1 B + A B - … +(-1) n B n 1.2 2.VÝ dô . VÝ Dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc tµnh nh©n tö a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 b) a 4 – b 4 c) (x – 3) 2 - (2 – 3x) 2 d) x 3 – 3x 2 + 3x - 1 a) b) c) d). Bµi Lµm x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y 2 ) 2 a 4 – b 4 = (a 2 ) 2 – (b 2 ) 2 = (a 2 + b 2 ) (a 2 – b 2 ) = (a 2 + b 2 ) (a + b) (a – b) (x – 3) 2 - (2 – 3x) 2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x) x 3 – 3x 2 + 3x - 1 = (x – 1) 3 2. 2. 4. 2. 2. 2. VÝ dô 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) a 3 + b 3 + c 3 – 3abc b) (a + b + c) 3 – a 3 – b 3 – c 3 Bµi Lµm a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c 3 – 3abc = ( a + b + c)[(a + b) 2 – (a + b)c + c 2 ] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c) 3 – a 3 – b 3 – c 3 = (a + b) 3 + c 3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a 3 – b 3 –c 3 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c 2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) 3. 3. 3. 3. 3. Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a) b) c) d) e) f). (x – 15) 2 – 16 25 – (3 – x) 2 (7x – 4) 2 – ( 2x + 1) 2 9(x + 1) 2 – 1 9(x + 5) 2 – (x – 7) 2 49(y- 4) 2 – 9(y + 2) 2. Bµi 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 8x 3 + 27y 3 b) (x + 1) 3 + (x – 2) 3 c) 1 – y 3 + 6xy 2 – 12x 2 y + 8x 3 d) 2004 2 - 16. III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử. 1. Phương pháp Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm. AÙp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán. 2. VÝ dô VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2 – 3xy + x – 3y b) 7x 2 – 7xy – 4x + 4y c) x 2 + 6x – y 2 + 9 d) x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt Bµi Lµm a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1) b) 7x 2 – 7xy – 4x + 4y = (7x 2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4) c)x 2 + 6x – y 2 + 9 = (x 2 + 6x + 9) – y 2 = (x + 3) 2 - y 2 = (x + 3 + y)(x + 3 – y) d)x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt = (x 2 – 2xy + y 2 ) – (z 2 – 6zt + 9t 2 ) = (x – y) 2 – (z – 3t) 2 = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t 2. 2. VÝ dô 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz Bµi Lµm a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz = (x 2 z + y 2 z + 2xyz) + x 2 y + xy 2 + xz2 + yz 2 = z(x + y) 2 + xy(x + y) + z 2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z 2 ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z 2 )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz = (x 2 y + x 2 z + xyz) + ( xy 2 + y 2 z + xyz) + (x 2 z + yz 2 + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) 2. 2. 2. 2. 2. 2. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> = (xy + yz + xz)( x + y + z) 3. Bµi TËp Bµi tËp 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 4 + 3x 2 – 9x – 27 b) x 4 + 3x 3 – 9x – 9 c) x 3 – 3x 2 + 3x – 1 – 8y 3 Bµi tËp 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) IV. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 1. Phương pháp Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau : - §Æt nh©n tö chung - Dùng hằng đẳng thức - Nhãm nhiÒu h¹ng tö 2. Ví dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 5x 3 - 45x b) 3x 3 y – 6x2y – 3xy 3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bµi lµm a) 5x – 45x = – 9) = 5x(x +3) (x – 3) 3 2 2 b) 3x y – 6x y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2] = 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1) 3. 5x(x2. 3. Bµi tËp Bµi tËp 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö . a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc b) 8x 3 (x + z) – y 3 (z + 2x) – z 3 (2x - y) c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2 Bµi tËp 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 - z 3 Hướng dẫn 3 3 3 3 (x + y + z ) – x – y - z =[(x + y + z) 3 – x 3 ] – (y 3 + z 3 ) = (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh hai hay nhiÒu h¹ng tö 1. Phương pháp Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung 2. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh thµnh nh©n tö x2 – 6x + 8 Bµi lµm 2 2 Caùch 1: x – 6x + 8 = (x – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4) Caùch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4) Caùch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4) Caùch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2) Caùch 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4) 3. Bµi tËp Bµi 9 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + 5 c) 3x2 – 7x – 6 d) 10x2 – 29x + 10 Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 3 + 4x2 – 29x + 24 b) x 3 + 6x2 + 11x + 6 c) x2 – 7xy + 10y d) 4x2 – 3x – 1 VI/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Phương pháp Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, ... VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. x 4 + 64 = x 4 + 64 + 16x 2 – 16x 2 = (x 2 + 8) 2 – (4x) 2 = (x2 + 4x + 8)(x 2 – 4x + 8) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 4 + 4y 4 b) x 5 + x + 1 Bµi lµm 2. a) x 4 + 4y 4 = x 4 + 4y 4 + 4x y 2 – 4x 2 y 2 = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) 2. 2. b) x 5 + x + 1 = (x 5 + x 4 + x 3 ) – (x 4 + x 3 + x ) + (x + x + 1) 2. 3. 2. 2. 2. = x (x + x + 1) – x (x + x + 1) + (x + x +1) 2. 2. = (x + x + 1)(x 3 – x +1) Bµi tËp Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x 5 + x 4 + 1 b) x 8 + x 7 + 1 c) x 8 + x + 1 d) x 8 + 4 Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3. 2. 3. 2. a) x + 5x + 3x – 9 b) x + 9x + 11x – 21 3 c) x – 7x + 6 Bµi 13: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2. 3. a) x - 5x + 8x – 4 3 b) x – 3x + 2 3. 2. 3. 2. 3. 2. c) x – 5x + 3x + 9 d) x + 8x + 17x + 10 e) x + 3x + 6x + 4 Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 3 a) x – 2x – 4 2. 3. b) 2x – 12x + 7x – 2 2. 3. c) x + x + 4 3. 2. 3. 2. d) x + 3x + 3x + 2 e) x + 9x + 26x + 24 3. 2. f) 2x – 3x + 3x + 1 3. 2. g) 3x – 14x + 4x + 3 * Moät soá phöông phaùp khaùc VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Phương pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn. VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2. a) 6x 4 – 11x + 3 2. 2. b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bµi Lµm 2. a) 6x – 11x + 3 - §Æt x2 = y 2 - Đa thức đã cho trở thành: 6y – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3) - Tr¶ l¹i biÕn cò: 2 2 2 6x 4 – 11x + 3 = (3x – 1) (2x – 3) = ( 3 x – 1)( 3 x + 1)( 2 x 4. 3 )( 2 x +. 3). 2. 2. b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 2. 2. - §Æt x + 3x + 1 = y  x – 3x – 3 = y – 4 - Đa thức đã cho trở thành 2 y(y – 4) – 5 = y – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5) - Tr¶ l¹i biÕn cò. 2 2 2 2 (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – 5 = (x + 3x + 1 + 1)(x + 3x + 1 – 5) 2. 2. = (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2. 2. - §Æt x + 8x + 7 = y  x + 8x + 15 = y + 8 - Đa thức đã cho trở thành : 2 2 y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Tr¶ l¹i biÕn cò 2 2 (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + 7 + 3) 2. 2. 2. = (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) 3. Bµi tËp Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (x 2 + x) 2 – 2(x 2 + x) – 15 b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x + 2) – 6 c) (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x(x 2 + 4x + 8) + 2x 2 Bµi 15: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4 c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x 2 d) 3x 6 – 4x 5 + 2x 4 – 8x 3 + 2x 2 – 4x + 3 VIII/ Phương Pháp hệ số bất định Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau. a n x n + a n 1 x n 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = b n x n + b n 1 x n 1 + ... + b 2 x 2 + b 1 x + b 0  a i = b i  i = 1; n 2. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 2.1 Ví duï 1: A = x 3 + 11x + 30 V× A lµ ®a thøc bËc 3, hÖ sè cao nhÊt lµ 1. Nªn nÕu A ph©n tÝch ®­îc th× A cã d¹ng. A = (x + a)(x 2 + bx + c) = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac  x 3 + 11x + 30 = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac §ång nhÊt hÖ sè, ta cã a  b  0  ab  c  11 ac  30  Chän a = 2  c = 15; b = -2 VËy (x 3 + 11x + 30) = (x + 2)(x 2 – 2x + 15) 2.2 VÝ dô 2: B = x 4 – 14x 3 + 15x 2 – 14x +1 V× B lµ ®a thøc bËc 4, hÖ sè cao nhÊt lµ 1 nªn nÕu B ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö th× B cã d¹ng: B = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) B = x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd §ång nhÊt hÖ sè, ta cã:. a  c  14 ac  b  d  15   ad  bc  14 bd  1. . a  1 b  1   c  13 d  1. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. hoÆc. a  13 b  1   c  1 d  1. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Do vËy B = (x 2 – x + 1)(x 2 – 13x + 1) hoÆc B = (x 2 – 13x + 1)(x 2 – x + 1) Bµi tËp Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 3 + 4x 2 + 5x + 2 b) 2x 4 – 3x 3 –7x 2 + 6x + 8 c) 5x 4 + 9x 3 – 2x 2 – 4x – 8 Bµi 17: T×m a, b, c a) x 4 – 2x 3 + 2x 2 – 2x + a = (x 2 – 2x + 1)(x 2 + bx + c) b) x 3 + 3x 2 – x – 3 = (x – 2)( 2 x + bx + c) + a c) 4x 3 + 7x 2 + 7x – 6 = (ax + b)(x 2 + x +1) + c IX/ Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2.1: Ví duï 1: P = (x + y + z) 3 - x 3 – y 3 – z 3 Bµi Lµm Coi P lµ mét ®a thøc biÕn x Khi đó nếu x = -y thì P = 0  P  (x + y) Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên. P  (x + z) P  (y + z)  P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số. Víi x = 0 ; y = z = 1, ta cã Q = 3 VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) VÝ dô 2: M = a(b + c)(b 2 - c 2 ) + b(c + a)(c 2 - a 2 ) + c(a + b)(a 2 - b 2 ) Bµi Lµm Coi M lµ ®a thøc biÕn a Khi a = b th× M = 0 M  (a - b) Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên : M  (b - c) M  (c - a) M = (a - b)(b –c)(c – a)N Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a. Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R lµ h»ng sè)  M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chän a = 0, b = 1, c = 2  R = 1 VËy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) Bµi tËp Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) X. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức 1. Phương pháp Cho ®a thøc f(x), a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nÕu f(x) = 0. Nh­ vËy nÕu ®a thøc f(x) chøa nh©n tö (x - a) th× ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2. VÝ dô: x3 + 3x - 4 NÕu ®a thøc trªn cã nghiÖm lµ a ( ®a thøc cã chøa nh©n tö (x - a) th× nh©n tö cßn l¹i cã d¹ng x2 + bx = c suy ra ac = - 4 suy ra a lµ ­íc cña - 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tư không đổi. ¦íc cña (- 4) lµ : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiÓm tra ta thÊy1 lµ nghiÖm cña ®a thøc suy ra ®a thøc chøa nh©n tö (x - 1) Do vËy ta t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung (x – 1) * C¸ch 1: x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2 * C¸ch 2: x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2 Chó ý: + NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng kh«ng th× ®a thøc chøa nh©n tö (x – 1). + NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c h¹ng tö bËc lÎ th× ®a thøc chøa nh©n tö (x + 1). VÝ dô : * §a thøc : x3 - 5x2 + 8x – 4 cã 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Suy ra ®a thøc cã nghiÖm lµ 1 hay ®a thøc cã chøa thõa sè (x – 1) *§a thøc : x3 – 5x2 + 3x + 9 cã (- 5) + 9 = 1 + 3 Suy ra ®a thøc cã nghiÖm lµ - 1 hay ®a thøc chøa thõa sè (x + 1). +NÕu ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn nh­ng ®a thøc cã nghiÖm h÷u tû . p Trong ®a thøc víi hÖ sè nguyªn nghiÖm h÷u tû nÕu cã ph¶i cã d¹ng trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q q là ước dương của hạng tử cao nhất. VÝ dô: 2x3 – 5x2 + 8x – 3 NghiÖm h÷u tû NÕu cã cña ®a thøc trªn lµ : (- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3.. 1 Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách 2 các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1). 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3 =x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x2 – 2x + 3) XI. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c Nếu b2 – 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết . Nếu b2 – 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa . b) VÝ dô: 2x2 – 7x + 3 Víi a =2 , b =- 7 , c = 3 XÐt b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55 Suy ra Ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö : 2x2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1) Chó ý: P(x) = ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm lµ x1 , x2 th× P(x) =a( x- x1)(x - x2) PhÇn 2: CÁC BAØI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ. I). Bµi to¸n rót gän biÓu thøc 1. Phương pháp +Ph©n tÝch tö thøc vµ mÉu thøc thµnh nh©n tö nh»m xuÊt hiÖn nh©n tö chung. +áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  Häc sinh thÊy ®­îc sù liªn hÖ chÆt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc gióp ph¸t triÓn t­ duy suy luËn l«gic, s¸ng t¹o. 2)VÝ dô: Rót gän biÓu thøc 3x 3  7 x 2  5 x  1 A= 2x3  x 2  4x  3 x  3 2x  1 x  3   B= x 1 x 1 x2 1 Bµi Lµm 3 2 2 3x  3x  4 x  4 x  x  1 a) A = 3 2 x  2 x 2  x 2  x  3x  3 3 x 2 ( x  1)  4 x( x  1)  ( x  1) A= 2 2 x ( x  1)  x( x  1)  3( x  1). b). A=. ( x  1)(3 x 2  4 x  1) ( x  1)( x  1)(3 x  1)  ( x  1)(2 x 2  x  3) ( x  1)(2 x  3)( x  1). A=. ( x  1) 2 (3 x  1) 3 x  1  ( x  1) 2 (2 x  3) 2 x  3. MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) ( x  3)( x  1)  (2 x  1)( x  1)  ( x  3) B = ( x  1)( x  1) B =. x 2  2x  3  2x 2  x  1  x  3 ( x  1)( x  1). 1  x2  1 ( x  1)( x  1) 3. Bµi tËp Bµi 19. Rót gän biÓu thøc a 2 (b  c)  b 2 (c  a )  c 2 (a  b) A= ab 2  ac 2  b 3  bc 2 2 x 3  7 x 2  12 x  45 B= 3 3 x  19 x 2  33 x  9 x 3  y 3  z 3  3 xyz C= ( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2. B =. x 3  y 3  z 3  3 xyz ( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 Bµi 20. Rót gän biÓu thøc 1 1 1 1    A= x( x  y ) y ( x  y ) x( x  y ) y ( y  x) 1 1 1   B= a (a  b)(a  c) b(b  a )(b  c) c(c  a )(c  b) Bµi 21. Cho x2 - 4x + 1 = 0 x4  x2 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= x2 II) Bài toán giải phương trình bậc cao. Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích D=. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> AB = 0  hoÆc A = 0 hoÆc B = 0 Ví dụ: Giải phương trình * VÝ dô 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0  x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = 0  x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0  (x- 5)(x2- 2x + 5) = 0 x  5  0   2 x  2x  5  0. x  5   2 ( x  1)  4  0(voly ) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5} * VÝ dô 2: (2x2 + 3x - 1) 2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0 §Æt: 2x2 + 3x - 1 = t  2x2 + 3x + 3 = t + 4 Phương trình đã cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = 0  t2 - 5t + 4 = 0  (t - 1)(t - 4) = 0 t  1  0   t  4  0 t  1   t  4. (1) (*). + Thay t = 1 vµo (*), ta cã: 2x2 + 3x - 1 = 1  2x 2 + 3x - 2 = 0  (2x 2 + 4x) - x - 2 = 0  2x(x + 2) - (x + 2) = 0 (x + 2) (2x - 1) = 0  x  2 x  2  0  1 2 x  1  0   x  2  + Thay t = 4 vµo (*), ta cã : 2x2 + 3x - 1 = 4  2x 2 + 3x - 5 = 0  (x - 1)( 2x +5) = 0 x  1 x 1  0    x   5 2 x  5  0  2  Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; * VÝ Dô 3: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40  (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40  (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40. 5 1 ; ; 1} 2 2`. (1). Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> §Æt x2 + 6x + 5 = t (*)  x2 + 6x + 8 = t + 3 Phương trình đã cho trở thành:. Thay t = 5 vµo (*), ta cã:. t(t + 3) = 40  t2 + 3t – 40 = 0  (t – 5)(t + 8) = 0 t  5   t  8. x2 + 6x + 5 = 5 x2 + 6x = 0. x  0 x(x + 6) = 0   x  - 6 Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x2 + 6x + 5 = - 8  x2 + 6x + 13 = 0 5 25 27 x2 + 2x + + = 0 2 4 4 5 27  (x + )2 + = 0 (V« lý) 2 4 Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6} Ví dụ 4: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0 (4) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (4)  Chia hai vÕ cña (4) cho x 2  0, ta ®­îc 1 1 x 2 + 3x + 4 + 3 + 2 =0 x x 1 1  (x2 + 2 ) + 3(x + ) + 4 = 0 x x 1 §Æt x + = t (*) x 1  x 2 + 2 = t2 – 2 x Phương trình đã cho trở thành : t 2 + 3t + 2 = 0  (t + 1)(t + 2) = 0 t  1  t  2 1 Thay t = - 1 vµo (*), ta ®­îc : x + = -1  x 2 + x + 1 = 0 (V« nghiÖm) x 1 Thay t = - 2 vµo (*), ta ®­îc : x + = - 2  x 2 + 2x + 1 = 0  (x + 1) 2 = 0  x = -1 x Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1} *Ví dụ 5: Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ x 5 – x 4 + 3x 3 + 3x 2 – x + 1 = 0 (5) Có x = - 1 là 1 nghiệm của phương trình (5). Do đó (5)  (x + 1)(x 4 – 2x 3 + 5x 2 – 2x + 1) = 0 Giải phương trình đối xứng bậc chẵn. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + 1 = 0 (5’) Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (5’). Chia c¶ 2 vÕ cña (5’) cho x 2  0, ta cã: 1 1 1 1 x 2 – 2x + 5 - 2 + 2 = 0  (x 2 + 2 ) – 2(x + ) + 5 = 0 x x x x 1 §Æt (x + ) = t (*) x 1  (x 2 + 2 ) = t 2 – 2 x (5’)  t 2 – 2t +3 = 0  (t – 1) 2 + 2 = 0 ( v« nghiÖm) Vậy Phương trình (5) có tập nghiêm S = {-1} Bµi tËp: Bài 22: Giải phương trình a) 2x 3 + 3x 2 +6x +5 =0 b) x 4 – 4x 3 – 19x 2 + 106x – 120 = 0 c) 4x 4 + 12x 3 + 5x 2 – 6x – 15 = 0 d) x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = 0 Bài 23: giải phương trình a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24 b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 c) (2x + 1)(x+ 1) 2 (2x + 3) = 18 d) 12x + 7) 2 (3x + 2)(2x + 1) = 3 Bài 24: giải phương trình a) (x 2 – 6x + 9) 2 – 15(x 2 – 6x + 10) = 1 b) (x 2 + x + 1) 2 +(x 2 + x + 1) – 12 = 0 c) (x 2 + 5x) 2 – 2x 2 – 10x = 24 Bài 25: giải phương trình a) x 4 - 2x 3 + 4x 2 – 3x + 2 = 0 b) x 4 – 3x 3 + 4x 2 – 3x + 1 = 0 c) 2x 4 – 9x 3 + 14x 2 – 9x + 2 = 0 d) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 +x 2 + x + 1 = 0 Bài 26: giải phương trình: x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = 0. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> D. KÕt luËn chung Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác tạo nên sự lôgic chặt chẽ của toán học. Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo ph©n tÝch . Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán ®o¸n, tæng hîp kiÕn thøc. Trong năm qua tôi đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy r»ng c¸c em rÊt hµo høng trong qu¸ tr×nh t×m tßi lêi gi¶i hay vµ hîp lý nhÊt, kÓ c¶ c¸c bµi tËp vËn dông rót gän biÓu thøc th× ý nghÜa cña viÖc ph©n tÝch c¸c ®a thøc tö vµ mÉu cña c¸c ph©n thøc rÊt quan träng, nã kh«ng nh÷ng giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà còn giúp việc tìm tập xá định, tìm mẫu thức chung của biểu thức . Số học sinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng được vào các bµi tËp lµ 95% Trên đây là một số suy nghĩ của tôi về vấn đề phát triển tư duy của học sinh qua việc dạy giải bài toán ph©n tÝch ®a thøc hµnh nh©n tö. Rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp . Xin ch©n thµnh c¶m ¬n !. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. NguyÔn Thanh Hïng 2006. Lop8.net. Trường THCS Tiên Nha. n¨m. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>