Đề tài Một số kinh nghiệm khi giảng dạy "7 hằng đẳng thức đáng nhớ"

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". A - Đặt vấn đề Bé m«n to¸n lµ mét trong nh÷ng m«n häc chñ lùc nhÊt, ®­îc vËn dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống và khoa học. Häc to¸n gióp h×nh thµnh ë häc sinh tÝnh chÝnh x¸c, hÖ thèng, khoa häc, l«gic vµ t­ duy cao… Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ năng vận dụng " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ" là công cụ cơ bản, sử dụng nhiều trong biến đổi các biểu thức đại số … Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8, tôi nhận thấy ở học sinh kỹ năng vận dụng " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ" còn yếu, chưa linh hoạt… dẫn đến vận dụng kỹ năng này trong phân tích đa thức thµnh nh©n tö, rót gän biÓu thøc… cßn ch­a thµnh th¹o hoÆc sai sãt…. Do vậy kết quả môn toán lớp 8 qua các kỳ thi thường không cao chủ yÕu do häc sinh yÕu vÒ kü n¨ng lµm bµi. Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập nên bản thân tôi đã trăn trở và tìm hiểu nguyên nhân từ đó xin đưa ra một số ý kiến về những lưu ý trong giảng dạy " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ" ở học sinh lớp 8.. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 1 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". B - Giải quyết vấn đề I - C¬ së lý luËn: - "7 hằng đẳng thức đáng nhớ" là bảy công thức, mỗi công thức có hai vÕ: mét vÕ ë d¹ng tÝch, vÕ cßn l¹i ë d¹ng tæng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Trong đó: A, B có thể là các số, hoặc ở dạng chữ (đơn thức, đa thức), hoÆc A, B lµ c¸c biÓu thøc bÊt kú. - Thực chất của việc vận dụng "7 hằng đẳng thức đáng nhớ" là thực hiện biến đổi theo hai chiều: + Biến đổi từ tích -> tổng bằng việc áp dụng luôn công thức mà kh«ng cÇn thùc hiÖn phÐp nh©n nhiÒu khi phøc t¹p. Kü n¨ng nµy sö dông nhiÒu trong c¸c bµi to¸n rót gän biÓu thøc, tÝnh nhÈm, tÝnh hîp lý gi¸ trÞ cña 1 biÓu thøc, t×m x. + Biến đổi từ tổng -> tích là một kỹ năng sử dụng nhiều trong bài toán tính nhẩm, tìm x và là 1 phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này từ đó phục vụ cho các phép toán về phân thức đại số, giải các loại phương trình ở các chương sau.. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 2 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". II - C¬ së thùc tiÔn 1) VÒ phÝa häc sinh: - Häc sinh trung b×nh - yÕu ch­a n¾m ch¾c c¸c c«ng thøc vÒ " 7 h»ng đẳng thức đáng nhớ", chưa nhận dạng các công thức này khi nó tồn tại ở dạng số, dạng chữ, dạng chữ và số hỗn hợp, dạng bình phương của 1 biểu thøc phøc t¹p. - Có những học sinh đã nhận dạng được hằng đẳng thức rồi tuy nhiên chưa vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức đó theo hai chiều hoặc đã biết vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức trong thực hiện các phép tính, phép biến đổi biÓu thøc… nh­ng cßn sai sãt vÒ dÊu khi thùc hiÖn phÐp nh©n, sö dông quy tắc bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ, quy tắc chuyển vế trong bài toán tìm x… 2) VÒ phÝa gi¸o viªn - Trong tiết dạy những hằng đẳng thức đầu tiên để học sinh làm quen thì giáo viên có thể dạy nhanh hơn so với trình độ nhận thức của học sinh, khi d¹y néi dung cßn dµn tr¶i ch­a lµm næi bËt träng t©m cña bµi d¹y, ch­a cã phương pháp linh hoạt để gây hứng thú học tập của học sinh đồng thời kiểm tra ®­îc viÖc n¾m c«ng thøc vµ vËn dông c¸c c«ng thøc nµy theo hai chiÒu. - Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y gi¸o viªn ch­a thùc sù quan t©m rÌn kü năng, thuật toán cho học sinh đặcbiệt là học sinh yếu kém. Giáo viên chưa chỉ ra những tình huống mà các em dễ nhầm lẫn qua đó góp phần củng cố kü n¨ng cho häc sinh. - Sau khi cung cấp xong " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ" cho học sinh gi¸o viªn ch­a nhÊn m¹nh sù gièng vµ kh¸c nhau gi÷a c¸c c«ng thøc dÔ nhÇm lÉn. Qua c¸c d¹ng bµi tËp gi¸o viªn ch­a nªu bËt ®­îc c¸ch vËn dông "7 hằng đẳng thức đáng nhớ" theo hai chiều: khi nào thì vận dụng theo chiều tæng -> tÝch, khi nµo th× vËn dông theo chiÒu tÝch -> tæng…dÉn tíi häc sinh vận dụng chưa linh hoạt các hằng đẳng thức. - Giáo viên chưa thực sự định hướng, xây dựng cho học sinh một phương pháp học tập nhẹ nhàng, hiệu quả mà lại nâng cao kỹ năng làm bài cho học sinh. Giáo viên chưa ứng dụng công nghệ thông tin, phương tiện dạy học hiện đại…trong công tác giảng dạy. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 3 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". III - Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: Trong quá trình giảng dạy "7 hằng đẳng thức đáng nhớ" tôi đưa ra mét sè gi¶i ph¸p sau: - Nh÷ng l­u ý trong gi¶ng d¹y lý thuyÕt. - Xây dựng những phương pháp giải các dạng toán có vận dụng "7 hằng đẳng thức đáng nhớ". - Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. - Củng cố kỹ năng biến đổi hằng đẳng thức theo hai chiều và hoàn thiÖn dÇn c¸c kü n¨ng rót gän biÓu thøc…. - T×m tßi c¸ch gi¶i hay, khai th¸c bµi to¸n dµnh cho häc sinh kh¸ giái. III.1 Mét sè l­u ý khi d¹y lý thuyÕt 1. Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức để gây sự tin tưởng của học sinh về tính đúng đắn của công thức. Cô thÓ: a) Dạy hằng đẳng thức (HĐT) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3a b2 + b3 a2 - b2 = (a +b)(a - b) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Chẳng hạn: Dạy hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 xuất phát từ phÐp nh©n ®a thøc víi ®a thøc. Yªu cÇu häc sinh tÝnh: (a + b)2 =(a +b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 víi a,b lµ c¸c sè VËy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Tổng quát HĐT trên đúng với A,B là các biểu thức tùy ý b) Dạy Hằng đẳng thức: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3a b2 - b3 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) - Cã 2 c¸ch t×m ra c«ng thøc:. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 4 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". + Cách 1: Thực hiện nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc rồi thu gọn. + Cách 2: Vân dụng hằng đẳng thức đã học. Ch¼ng h¹n: - Dạy hằng đẳng thức: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 với a,b là các số Ta cã: (a - b)2 = [a +(-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2= a2 - 2ab + b2 VËy: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Tổng quát: hằng đẳng thức đúng với A, B là biểu thức tùy ý. - Sau khi tìm ra hằng đẳng thức GV: khái quát hằng đẳng thức đúng víi c¸c biÓu thøc tuú ý, ®i s©u vµo c¸ch nhí H§T, yªu cÇu häc sinh ph¸t biÓu thµnh lêi theo hai chiÒu tõ tÝch -> tæng vµ tæng -> tÝch. 2. Bø¬c 2: §­a ra c¸c t×nh huèng t¹o ®iÒu kiÖn cho HS ghi nhí c«ng thøc và phát triển công thức theo chiều tư duy thuận. Bước này để HS tự làm là chÝnh th«ng qua c¸c trß ch¬i.... 3. Bước 3: GV giúp HS hoàn thiện tư duy theo chiều ngược lại. 4. Bøíc 4: §Ó HS thÊy ®­îc lîi Ých cña c«ng thøc trªn, GV cho HS tÝnh nhanh một số phép tính đơn giản. Sau khi häc xong c¸c H§T, GV chØ ra c¸ch nhí cho HS qua viÖc so s¸nh c¸c H§T cô thÓ nh­ sau: a. Cách đọc các biểu thức: (A - B)2: Bình phương của một hiệu A2 - B2 : Hiệu hai bình phương (A + B)3 : Lập phương của một tổng A3 + B3 : Tổng hai lập phương (A - B)3 : Lập phương của một hiệu A3 - B3 : Hiệu hai lập phương b.Sù gièng nhau, kh¸c nhau cña c¸c H§T: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 * Gièng nhau: VÕ ph¶i cã 3 h¹ng tö gièng nhau.. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 5 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". * Kh¸c nhau: DÊu cña h¹ng tö 2AB (A + B)3 = A3 + 3 A2B + 3A B2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3 A2B + 3A B2 - B3 * Gièng nhau: VÕ ph¶i cã 4 h¹ng tö gièng nhau * Khác nhau: ở công thức (A - B)3 dấu “-”đứng trước luỹ thừa bậc lẻ cña B (quy t¾c ®an dÊu) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) Cïng dÊu céng. Bình phương thiếu của hiệu. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Cïng dÊu trõ. Bình phương thiếu của tổng. c. Mèi quan hÖ gi÷a c¸c H§T + (A - B)2 = (B - A)2 + (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 = A2 - 2AB + B2 + 4AB = (A - B)2 + 4AB VËy: (A + B)2 = (A - B)2 + 4AB + (A + B)3 = A3 + 3 A2B + 3A B2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) VËy: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) - Tương tự ta còn có các mối quan hệ khác như: + A2 + B2 = (A + B)2 - 2AB + A2 + B2 = (A - B)2 + 2AB + A3 - B3 = (A - B)3 +3AB(A - B) ...... III.2 Thùc hµnh Vận dụng HĐT trong làm bài tập là kĩ năng được sử dụng thường xuyên, khi dạy lý thuyết xong GV hướng dẫn HS làm bài tập; lưu ý những kĩ năng hay sai, GV có thể cho HS kiểm tra chéo bài nhau từ đó củng cố kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng lµm bµi cho HS.. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 6 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". GV phân bậc các dạng bài tập từ dễ đến khó hợp với quá trình phát triển tư duy, bài tập trước đã có những tiền đề gợi ý cho các bài tập sau. D¹ng 1: VËn dông trùc tiÕp H§T: Tõ tæng thµnh tÝch, tõ tÝch thµnh tæng. VÝ dô: Bµi 1: TÝnh 1 2. c) (2y -x)( x2 + 2xy + 4y2). a) ( x  )2 b) (2m +. d) (a + b + c)2. 3n)2 Gi¶i. 1 2. a) ( x  )2 = x2 – 2.x.. 1 2. +(. 1 2 ) 2. = x2 - x +. 1 4. b) (2m + 3n)2 = (2m)2 + 2.2m.3n + (3n)2 = 4m2 + 12mn + 9n2 c) (2y -x)( x2 + 2xy + 4y2) = (2y -x)[( 2y)2 + 2yx + x2)] = (2y)3 - x3 = 8y3 - x3 d) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac  L­u ý: - Mét sè häc sinh ch­a nhËn d¹ng ®­îc c¸c tÝch nµy cã d¹ng H§T nªn thực hiện phép nhân đa thức với đa thức để tính. Thực ra ở bài tập này chính là vận dụng HĐT theo chiều tích -> tổng để phá ngoặc rồi thu gọn đơn thức đồng dạng. - HS thường quên không thực hiện đóng ngoặc ở những biểu thức là phân số hoặc đơn thức có từ 2 thừa số trở lên hoặc đa thức. 1 2. - Ch¼ng h¹n ë c©u a häc sinh kh«ng viÕt ( )2 mµ viÕt. 12 , 2. ë c©u b häc. sinh không viết (2m)2 mà viết 2m2... dẫn đến sai bản chất  ở câu d để vận dụng HĐT phải nhóm các số hạng (Khi gặp bình phương của nhiều số hạng). Tương tự câu d ta cũng tính được các kết quả sau: + (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ac. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 7 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". + (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac ………….. Bµi 2 : ViÕt c¸c tæng sau vÒ d¹ng tÝch: a) -6x + 9x2 + 1 b) -9x2 +6x – 1 c) 8x3 - 6yx2 + 12x2y - y3 Gi¶i a) -6x + 9x2 + 1 = 9x2 - 6x + 1 = (3x)2 - 2.3x.1 + 12 = (3x - 1)2 b) -9x2 +6x - 1 = -(9x2 - 6x + 1) = -(3x - 1)2 c) 8x3 - 6yx2 + 12x2y - y3 = (2x)3 - 3 (2x)2y + 3.(2x) y2 - y3 = (2x - y)3  L­u ý : - ë c©u a, c mét sè häc sinh ch­a nhËn ra H§T "Èn" trong biÓu thøc nµy, nếu khéo léo biến đổi thêm một bước thì sẽ xuất hiện HĐT. + Một số trường hợp các biểu thức chưa đúng dạng HĐT mà phải đổi vÞ trÝ h¹ng tö nh­ c©u a, c + Để xuất hiện HĐT phải đổi dấu hạng tử bằng cách đưa các hạng tử vào trong ngoặc mà trước ngoặc là dấu “-” như câu b. - Tuy nhiên không phải lúc nào đề bài cũng chỉ rõ việc dựa vào HĐT mµ c©u hái kh¸c ®i ch¼ng h¹n: ViÕt tæng thµnh tÝch, tÝnh, tÝnh nhanh, thªm hạng tử vào biểu thức để có HĐT, điền biểu thức thích hợp vào ô vuông,…. mấu chốt ở đây nếu cho một biểu thức ở dạng tích thì tìm cách biến đổi về dạng tổng, nếu cho một đa thức thì tìm cách biến đổi về dạng tích. * Phương pháp: - Nhận dạng HĐT, xác định biểu thức thứ nhất, biểu thức thứ hai và viết kết quả theo đúng công thức đã học. - Thùc hiÖn phÐp tÝnh trªn c¸c h¹ng tö cho gän.. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 8 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". D¹ng 2 : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc VÝ dô: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) x2 - 4y2 t¹i x = 70, y = 15 b) 742 + 242 - 48.74 Gi¶i a) x2 - 4y2 = x2 - (2y)2 = (x + 2y)(x - 2y) Thay x = 70, y = 15 ta cã : (70 + 2.15)(70 - 2.15) =. 100.40. =. 4000. b) 742 + 242 - 48.74 = 742 + 242 - 2.24.74 = (74 - 24) 2 = 502 = 2500 * L­u ý : - Không nên thay trực tiếp hoặc dùng máy tính để tính. * Phương pháp : - Dựa vào HĐT biến đổi biểu thức đã cho theo chiều từ tích -> tổng, từ tæng -> tÝch . - Thay số (đối với đa thức). * Më réng: §èi víi häc sinh kh¸ giái gi¸o viªn cã thÓ ®­a ra mét sè bµi tËp tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc chøa hai biÕn VÝ dô: a, Cho x - y = 7. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 9 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". * Hướng suy nghĩ: ở câu này nếu vận dụng phương pháp tính giá trị của biÓu thøc nh­ ë trªn th× kh«ng lµm ®­îc. VËy gi¸o viªn gîi ý cho häc sinh biến đổi biểu thức A để xuất hiện lũy thừa của x - y Gi¶i: A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37 = x2 + 2x + y2 -2y - 2xy + 37 = (x2 - 2xy + y2) + (2x - 2y) + 37 = (x - y)2 + 2(x - y) + 37 Thay x - y = 7 ta cã : A = 72 + 2.7 + 37 = 100. b, Cho x + y = 3 vµ x2 + y2 = 5 TÝnh x3 + y3 * Hướng suy nghĩ: Ta có x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2), để tính được x3 + y3 thì phải tính được xy. Giáo viên gợi ý học sinh dựa vào 2 dữ kiện đề bài t×m c¸ch tÝnh ®­îc xy Gi¶i: Tõ x + y = 3 suy ra (x + y)2 = 9 => x2 + 2xy + y2 = 9 => 2xy = 9 - 5 =>. xy = 2. Ta cã x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = 3(5 - 2) = 3.3 =9 * Lưu ý: Trên cơ sở bài tập trên làm các bài tập tương tự chẳng hạn cho biÕt x -y, x2 + y2 tÝnh x3 - y3 ….. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 10 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". D¹ng 3: Rót gän biÓu thøc VÝ dô: Rót gän biÓu thøc sau: a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2) c) (2x - 1)2 - (2x + 2)2 d) (a + b)3. - 3ab(a + b). Gi¶i: a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) = x3 + 33 – 54 – x3 = 27 – 54 = 27 * L­u ý: C©u a cã thÓ thay c©u hái lµ “Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc kh«ng phô thuéc vµo x” ( v× kÕt qu¶ c©u a sau khi rót gän lµ h»ng sè). b) (2x + y)(4x2 – 2xy +y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 - y3] = 8x3 + y3 - 8x3 + y3. = 2 y3. *L­u ý : + KÕt qu¶ c©u b kh«ng phô thuéc vµo biÕn x, cã thÓ thay c©u hái : “Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc kh«ng phô thuéc vµo x” + HS thường không đóng ngoặc ở kết quả tích 2 đa thức khi trước tích là dấu “-” dẫn đến rút gọn sai như không viết – [(2x)3 - y3] mà viết – (2x)3 - y3 c) (2x - 1)2 - (2x + 2)2 = 4x2 - 4x + 1 – (4x2 + 8x + 4) = 4x2 - 4x + 1 – 4x2 - 8x - 4 = -12x – 3 *L­u ý : + Biểu thức trên có dạng HĐT “Hiệu hai bình phương” nên có cách thứ 2 nh­ sau: (2x - 1)2 - (2x + 2)2 = [(2x - 1) + (2x + 2)][ (2x - 1) - (2x + 2)] = (2x - 1 + 2x + 2)(2x - 1 - 2x – 2) = (4x + 1)(-3). Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 11 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". = -12x – 3 + Gi¸o viªn cã thÓ hái thªm: * TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc trªn t¹i x = 1 => ®­a vÒ bµi to¸n tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. * NÕu cho -12x – 3 = 0 t×m ®­îc x =? => ®­a vÒ bµi to¸n t×m x. d) (a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + 3 a2b + 3a b2 + b3 -3a2b – 3ab2 = a 3 + b3 * Lưu ý : Có thể đưa về bài toán chứng minh đẳng thức : (a + b)3. - 3ab(a + b) = a3 + b3. Thực chất của chứng minh đẳng thức chính là bài toán rút gọn nhưng đã biÕt kÕt qu¶ bëi vËy qua bµi tËp nµy gi¸o viªn cung cÊp cho häc sinh c¸c cách chứng minh một đẳng thức. Thông thường ta biến đổi vế phức tạp - kết quả là vế còn lại * Phương pháp: - Xem xÐt xem c¸c h¹ng tö hoÆc tÝch c¸c ®a thøc cã t¹o thµnh H§T hay kh«ng? NÕu cã th× vËn dông H§T theo chiÒu tÝch -> tæng - Thực hiện các phép tính bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn các đơn thức đồng d¹ng. D¹ng 4 : T×m x VÝ dô : T×m x, biÕt : a) x2 – 2x + 1 = 25. b) x3 – 3x2 = -3x +1. Gi¶i a) x2 – 2x + 1 = 25 . (x - 1)2 = 52 (x - 1)2 - 52 = 0 (x - 1 + 5)( x - 1 - 5) = 0 (x + 4)(x - 6) = 0. x. + 4 = 0 hoÆc x - 6 = 0. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 12 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". x = - 4 hoÆc x = 6 VËy x = - 4 ; x = 6 b) . x3 – 3x2 = -3x +1 x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 (x - 1)3 = 0. . x – 1 =0 x=1. VËy x = 1 L­u ý: víi nh÷ng bµi to¸n t×m x sau khi rót gän hai vÕ ta cã bËc cña biến từ bậc hai trở lên thì tìm cách biến đổi để xuất hiện HĐT theo chiều từ tổng -> tích từ đó vận dụng tích chất lũy thừa để tìm x. * Phương pháp : Tæng qu¸t * A 2 = k2. (k  R). A 2 - k2 = 0  (A. - k)(A + k) = 0. A – k =0 hoÆc A + k = 0 A = k hoÆc A = - k * (A + B)3 = 0 . A+B=0. Dạng 5 : Chứng minh giá trị biểu thức luôn dương, luôn âm Ví dụ 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi giá trÞ cña biÕn a) A = 4x2 + 4x + 2 b) B = 2x2 - 2x + 1 Gi¶i a) A = 4x2 + 4x + 2 = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1)2 + 1 C¸ch 1: NhËn xÐt: (2x + 1)2  0 víi  x vµ 1 > 0 víi  x. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 13 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". Nªn (2x + 1)2 + 1 > 0 víi  x C¸ch 2: NhËn xÐt : (2x + 1)2  0 víi  x . (2x + 1)2 + 1  1 víi  x. => (2x + 1)2 + 1> 0 víi  x Vậy giá trị của biểu thức A luôn dương với mọi giá trị của biến b) Gợi ý: tìm cách biến đổi biểu thức B xuất hiện HĐT bình phương của 1 hiệu B = 2x2 - 2x + 1 = 2(x2 - x + = 2(x2 - 2.. 1 ) 2. 1 x 2. +. 1 2. 1 4. 1 2. 1 2. = 2[(x- )2 + = 2(x - )2 +. 1 4. -. 1 4. +. 1 ) 2. ]. Các bước tiếp theo làm tương tự như câu a * Më réng: ë c©u a tõ c¸ch 2 gi¸o viªn hái thªm: 1 + BiÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 1 khi nµo? ( x = - ) 2. + Víi x . 1 2. th× A cã gi¸ trÞ nh­ thÕ nµo? ( A > 1) 1 2. Từ đó GV dẫn dắt giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x= - . Đó chính là bài to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 1 biÓu thøc. * Phương pháp tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất) của f(x): Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a > 0, b và m là hằng số) NhËn xÐt f(x): (x + b)2 > 0 víi  x a(x + b)2 > 0 víi  x a(x + b)2 + m > m víi  x DÊu "=" x¶y ra  (x + b)2 = 0  x=  b. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 14 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". Từ đó kết luận giá trị nhỏ nhất của f(x). L­u ý: +Với m > 0 khi thực hiện xong bước nhận xét đã chứng minh được giá trị biểu thức luôn dương + §èi víi c¸c biÓu thøc chøa 2 biÕn th× c¸ch t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc chứng minh giá trị biểu thức luôn dương hoàn toàn tương tự. VÝ dô 2: Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lu«n ©m víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn B = -15 –x2 + 6x Gi¶i: B = -15 –x2 + 6x = –x2 + 6x - 9 – 6 = - (x2 - 6x + 9) – 6 = - (x -3)2 - 6 C¸ch 1: NhËn xÐt : (x - 3)2  0 víi  x . - (x - 3)2  0 víi  x mµ -6 <0 víi  x nªn - (x -3)2 – 6 < 0 víi  x C¸ch 2:. NhËn xÐt : (x - 3)2  0 víi  x  - (x - 3)2  0 víi  x  - 6 - (x - 3)2  - 6 víi  x => - 6 - (x - 3)2 < 0 víi  x VËy gi¸ trÞ cña biÓu thøc B lu«n ©m víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn.  Më réng: Tõ c¸ch 2 GV hái thªm : + Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× B cã gi¸ trÞ b»ng -6? (x = 3) + Víi x  3 th× B cã gi¸ trÞ nh­ thÕ nµo? (B < -6) GV chốt – 6 là giá trị lớn nhất của B (khi x = 3), từ đó dẫn dắt đến bài to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt. * Muốn tìm GTLN ( giá trị lớn nhất) của f(x) thì biến đổi : Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a < 0, b và m là hằng số) NhËn xÐt f(x): (x + b)2  0 víi  x a(x + b)2  0 víi  x. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 15 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". a(x + b)2 + m  m víi  x DÊu "=" x¶y ra  (x + b)2 = 0 => x=  b Từ đó kết luận GTLN của f(x) * Lưu ý: Nếu m< 0 thì khi thực hiện xong bước nhận xét đã chứng minh ®­îc gi¸ trÞ biÓu thøc lu«n ©m víi  x. IV. HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm: áp dụng một số kinh nghiệm khi giảng dạy "7 hằng đẳng thức đáng nhớ" đã góp phần nâng cao chất lượng môn toán 8. Kết quả kiểm tra về "7 hằng đẳng thức đáng nhớ" được thống kê đánh giá qua lớp 8 đại trà trường THCS Hải Nam ở 2 năm học 2009 – 2010, 2010 2011 như sau: a, Ch­a ¸p dông gi¶i ph¸p (n¨m häc 2009 – 2010) ë líp 8B Sè häc sinh. §iÓm tõ 0 ->1,5. §iÓm trung b×nh trë lªn. §iÓm tõ 7 ->10. 35. 5 (14,3%). 16 (45,7%). 6 (17,1%). * Nhận xét: đa số học sinh chưa biến đổi thành thạo các HĐT theo hai chiều, kỹ năng làm bài còn yếu thường nhầm lẫn về dấu khi nhân đa thức víi ®a thøc, khi thùc hiÖn bá ngoÆc, khi chuyÓn vÕ… c¸ biÖt vÉn cßn häc sinh còn nhầm lẫn khi thu gọn đơn thức đồng dạng. b, Sau khi ¸p dông gi¶i ph¸p (n¨m häc 2010 -2011) ë líp 8C Sè häc sinh. §iÓm tõ 0 ->1,5. §iÓm trung b×nh trë lªn. §iÓm tõ 7 ->10. 45. 0 (0%). 35 (77,8%). 15 (33,3%). *Nhận xét: Hầu hết học sinh đã vận dụng thành thạo các HĐT theo 2 chiều, học sinh đã có kỹ năng làm bài tốt, không còn nhầm lẫn về dấu, tính toán … đã nắm được phương pháp giải các dạng bài tập, và nhớ được những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài tập này. Tuy nhiªn cßn mét sè häc sinh thùc sù yÕu kÐm kü n¨ng lµm bµi ch­a ch¾c chắn, việc vận dụng các hằng đẳng thức chưa linh hoạt. Vấn đề này tôi sẽ tiếp tục có kế hoạch kèm cặp thêm trong quá trình dạy tiếp theo để nâng cao kỹ năng giải toán cho các em.. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 16 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 17 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". C. KÕt luËn Từ thực tế giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh nắm vững “7 hằng đẳng thức đáng nhớ”, vận dụng linh hoạt trong giải toán giáo viên cÇn lµm næi bËt ®­îc viÖc vËn dông theo hai chiÒu : + Biến đổi từ tích -> tổng ( để phá ngoặc) trong các bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức, tìm x làm cơ sở cho các phép biến đổi phương trình sau nµy. + Biến đổi từ tổng -> tích là một phương pháp để tính nhẩm, tính nhanh, là một phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này; làm cơ sở cho các bài toán rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, và giải phương trình tích ở các chương sau. Việc dạy học“7 hằng đẳng thức đáng nhớ" trong trường THCS nếu làm tốt các bước trên sẽ giúp học sinh định hướng được kiến thức cần sử dông, n©ng cao ®­îc kÜ n¨ng lµm bµi cÈn thËn, chÝnh x¸c.. Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 18 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Mét sè kinh nghiÖm khi gi¶ng d¹y. " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ". D. ý kiến đề xuất - Đối với học sinh đại trà đặc biệt là học sinh yếu kém ngoài những giờ học trên lớp nên có những buổi học phụ đạo riêng liên tục để nâng dần kü n¨ng lµm bµi cña c¸c em. - Nên đưa các phương tiện dạy học hiện đại có ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy để gây hứng thú học tập ở học sinh. - Phòng giáo dục nên tiếp tục tổ chức những buổi học tập chuyên đề trao đổi chuyên môn. Cung cấp và phổ biến những sáng kiến kinh nghiệm hay để giáo viên được tham khảo và học hỏi. Trªn ®©y lµ mét sè ý kiÕn chñ quan cña t«i vÒ viÖc gi¶ng d¹y “7 hằng đẳng thức đáng nhớ" sao cho có hiệu quả cao, chắc chắn chưa thể hoàn thiÖn. Vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để chất lượng môn toán ngày càng được nâng cao. T«i xin tr©n thµnh c¶m ¬n! H¶i Nam, ngµy 03 th¸ng 01 n¨m 2011 Người viết. Hoµng V¨n Nam ý kiến đánh giá. ý kiến đánh giá. cña tæ chuyªn m«n. Của Hội Đồng Khoa học Nhà Trường. ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... Người thực hiện : Hoàng Văn Nam 19 Lop8.net. Trường THCS Hải Nam.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>