Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học”

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. I. BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số a) y  x 3  3x 2  1; b) y  x 3  3x 2  2011x  5 ; 100 ; x. 3x  1 x4. d) y  x  1  x 2 ;. e) y  x . h) y  x 2  2 x  3 ;. i) y  2 sin x  cos 2 x , x   0;   ;. f) y . c) y  x 4  2x 2  3 ; x2  4x  3 ; x2 x j) y  ; 1  x2 g) y . k) y  x  1  x  4 x  4 1  x . Dạng 2: Tìm m để hàm số y  f  x, m  đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I. 1) Cho hàm số: y  4 x 3   m  3 x 2  mx . Tìm m để a) Hàm số đồng biến trên b) Hàm số đồng biến trên khoảng  0;    1 1 c) Hàm số nghịch biến trên đoạn   ;   2 2 d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài l  1 . 1 1 2) Tìm m để hàm số: y  mx 3   m 1 x 2  3  m  2  x  đồng biến trên khoảng 3 3.  2;   .. 3) Tìm m để hàm số: y  x 3  3x 2   m  1 x  4m nghịch biến trên khoảng  1;1 . m 1 3 x  mx 2   3m  2  x đồng biến trên . 3 1 5) Tìm m để hàm số: y  mx 3  2  m  1 x 2   m  1 x  m đồng biến trên 3  ; 0    2;   . 4) Tìm m để hàm số: y . 6) Cho hàm số: y   x 4  2mx 2  m 2 . Tìm m để a) Hàm số nghịch biến trên 1;   b) Hàm số nghịch biến trên  1; 0  ,  2; 3 . x 1 . Tìm m để xm a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   .. 7) Cho hàm số: y . x 2  x  m2 . Tìm m để: x 1 a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  0;1 ,  2; 4  .. 8) Cho hàm số y . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1) Giải các phương trình sau: a). x 2  15  3x  2  x 2  8 ;. 3x  1  6  x  3x 2  14 x  8  0 (B-2010).. b). 2) Giải bất phương trình: x3  x 2  3x  2  6x  7  0 . 3) Giải hệ các hệ phương trình sau: cot x  cot y  x  y 2   4x  1 x   y  3 5  2 y  0 ; (A-2010). a) 5x  7 y  2 b)  2 2  4 x  y  2 3  4 x  7 0  x, y  . . . Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức. Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: a) sin x  x x > 0 ; b) sin x  x x < 0 ; c) tan x  x x > 0 3 x x3   d) sin x  x  x > 0 ; e) sin x  x  x < 0 ; f) 2 sin x  tan x  3x x   0;  6 6  2 3   g) cos  sin x   sin  cos x  x  ;  x x   0;  h) 2  2  cot x sin x x2 x 2 x4 a sin a  a  i)  với 0  a  b  ; j) 1  x  0  cos x  1    b sin b 2 b 2 2 2 24 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------II. BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số 1 3 x  2 x 2  3x  3 ; c) y  x 4  2 x 2  1 3 2 x  3x  3 x ; e) y  2 ; f) y  x 2  2 x  2 d) y  x 1 x 4 g) y  x  sin 2 x  2 ; h) y  3  2 cos x  cos 2 x ; i) y  sin 2 x  3 cos x, x   0;   b) y . a) y  4  x 2 ;. Dạng 2: Tìm m để hàm số y  f  x, m  có cực trị ( thoả mãn điều kiện nào đó) 1) Chứng minh rằng với mọi m hàm số: y . x 2  m  m  1 x  m3  1 xm. luôn đạt cực đại. và cực tiểu. 2) Tìm m để các hàm số sau có cực trị: 1 b) y  sin x  mx a) y  x 3  mx 2  2m 2  3m  2 x  8 ; 3 3) Tìm m để hàm số: y  mx 4  m 2  9 x 2  10 có ba cực trị. (B-2002).. . . . . 4) Tìm m để hàm số: y   x  m   3x đạt cực tiểu tại điểm x  0 . 3. 5) Tìm m để hàm số: y  x  2.. 1 3 x   m 2  m  2  x 2   3m 2  1 x  m  5 đạt cực tiểu tại 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. x 2  mx để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa 1 x hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 . x 2   m  1 x  m  1 7) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị  Cm  của hàm số y  x 1 luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . (B-2005) 2 2 x  2  m  1 x  m  4m 8) Tìm m để hàm số: y  có cực đại cực tiểu, đồng thời các x2 điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(A-2007) 9) Cho hàm số: y  x 4  2mx 2  2m . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành: a) Một tam giác đều b) Một tam giác vuông c) Một tam giác có diện tích bằng 16. 10) Tìm m để hàm số: y  2 x3  3  m 1 x 2  6m 1  2m  x có cực đại, cực tiểu nằm trên 6) Tìm m để hàm số: y . đường thẳng 4x  y  0. 11) Tìm m để hàm số: y  x3  mx 2  7 x  3 có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 3x  y  7  0. 12) Tìm m để hàm số: y  x 3  3  m  1 x 2   2m 2  3m  2  x  m  m 1 có đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng x  4 y  20  0 một góc 450 . 13) Tìm m để hàm số: y  x 3  3x 2  m 2 x  m có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng x  2 y  5  0 . 2 14) Cho hàm số: y  x 3   cosm  3sin m  x 2  8 1  cos2m  x  1 3 a) Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x1 , x 2 . Chứng minh: x12  x22  18 . 1 3 x  mx 2  x  m  1 có khoảng cách giữa các điểm cực 3 đại và cực tiểu là nhỏ nhất 3m 2 16) Tìm m để hàm số: y  x 3  x  m có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai 2 phía của đường thẳng x  y  0 . 1 3 17) Tìm m để hàm số: y  x 4  mx 2  chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. 4 2 2 mx  3mx  2m  1 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối 18) Tìm m để hàm số: y  x 1 với trục Ox. x 2   m  2  x  3m  2 có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả 19) Tìm m để hàm số: y  x2 1 2 2 mãn yCD .  yCT  2 15) Tìm m để hàm số: y . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. . . . . 20) Tìm m để hàm số: y  x 3  2  m  1 x 2  m 2  4m  1 x  2 m2  2011 đạt cực trị 1 1 1    x1  x2  . x1 x2 2. tại hai điểm có hoành độ x1 , x 2 sao cho 21) Tìm m để hàm số  Cm  : y  mx  tiệm cận xiên bằng. 1. 1 có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến x. . (A-2005).. 2. 1 1 22) Tìm m để hàm số: y  mx 3   m  1 x 2  3  m  2  x  đạt cực trị tại x1 , x2 thoả 3 3 x1  2 x2  1. 5 2 đạt cực trị tại hai 23) Tìm m để hàm số: y  x 3   m  1 x 2  m 2  4m  3 x  3 2011 điểm x1 , x2 sao cho A  x1 x2  2  x1  x2  đạt giá trị lớn nhất.. . 24) Tìm m để hàm số: y . . 1 3 5 2 x  mx  4mx  4 đạt cực trị tại x1, x 2 sao cho biểu thức 3 2. x 2  5mx1  12m đạt giá trị nhỏ nhất.  2 m2 x12  5mx2  12m ------------------------------------------------------------------------------------------------------------III. BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y  x 3  3x 2  9 x  1 , x   4; 4 ; b) y  x 4  8x 2  16 , x   1; 3 m2. A. x 1 , x   2; 4 ; d) y  x  2  e) y  x  2  x , x  1;   ; x2 x 1 f) y  cos3 x  6 cos 2 x  9 cos x  5 ; g) y  sin 3 x  cos 2 x  sin x  2 c) y . 3 2x 2  7 x  23 x 1 ; i) y  , x   1; 2 ; j) y  x 6  4 1  x 2 , x   1;1 2 x  2x  10 x2  1 1  sin 6 x  cos 6 x k) y  ; l ) y  sin 5 x  3 cos x ; m) y  sin 2012 x  cos 2012 x 4 4 1  sin x  cos x cos x   , x   0;  ; n) y  2  x  2  x  4  x 2 ; o) y  2 sin x  2 cos x  sin x   3. . h) y . p) y  5 sin x  9 sin x  4 ; q) y  3. 2. 1  x4. 1  x  2. t) y  x 2  x  1  x 2  x  1 ; u) y  w) y  x . . 2. . ; r) y  x x  4  x. 1  256x 8. 1  4 x  2. 2. . . 5 x  4 x. ; v) y  x 2  4 x  3  2 x 2  4 x 2.  1 x   1 x  5   3 x 2  6 x  9 x 2  2 x  1 , x  4;   ; x) y     1 4   x   x . . . Lop12.net. .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. y) y . 4 tan x 11 1  cos 4 x  2 2 1  tan 2 x. ; z) y  cos 2 x . 1 1  cos x  1 2 cos x cos x. Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn nhất vào những bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số: 1) Tìm m để phương trình: x 1  8  x   x 1  8  x   m có nghiệm thực. 2) Tìm m để phương trình: 3 x 1  m x  1  2 4 x  1 có nghiệm thực. (A-2007). . . 3) Tìm m để phương trình: 2 sin 4 x  cos 4 x  cos 4x  2 sin 2 x  m  0 có ít nhất một   nghiệm thuộc đoạn 0;  .  2 4) Tìm m để phương trình :. 2x 2  2  m  4  x  5m  10  3  x  0 có nghiệm thực.. 1 1  x  x  y  y  5  5) Tìm m để hệ phương trình:  có nghiệm thực. 1 1 3 3 x   y   15m 10 y3 x3  ( D-2007). 6) Tìm m để phương trình: 10x 2  8x  4  m  2 x  1 x 2  1 có hai nghiệm thực phân biệt. 7) Tìm m để BPT: m. . . x 2  2 x  2  1  x  2  x   0 có nghiệm trên 0;1  3  .. 2 2 x  7 x  3  0 8) Với giá trị nào của m thì hệ  2 có nghiệm thực.  x  mx  m  0. . . . 2 2  x  3x  4 x  5x  2011  0 9) Tìm m để hệ:  có nghiệm thực. 3 2 x  3 x x  m 15m  0 . . . . 2012 5x 2012  1  0  1 x có nghiệm thực. 10) Tìm m để hệ:  2 x  m  2 x  2m  3  0    11) Tìm m để phương trình: 4 2x  2 x  2. 4 6  x  2 6  x  m có đúng hai nghiệm phân biệt. (A-2008).. 12) Tìm m để phương trình m. . . 1  x 2  1  x 2  2  2 4 1  x 4  1  x 2  1  x 2 có. nghiệm thực. (B-2004). --------------------------------------------------------------------------------------------------------IV. BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ 1) Cho hàm số: y  x3  6x 2  x  12  C . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ là nghiệm của phương trình y  0 . b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). 1 và điểm I  2; 2  . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong 2) Cho hàm số: y  2  x2 phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). Dạng 2: Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị. 1) Xác định tâm đối xứng của các đồ thị hàm số sau: 4x  3 3x 2  5x  8 . ; c) y  a) y  x 3  6 x 2  4 x  9 ; b) y  10 x  6 2 x 1 2) Cho hàm số: y  x 4  4mx 3  2x 2 12mx . Xác định m để hàm số có trục đối xứng song song với Oy. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------V. BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số Tìm các loại tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: x 1 ; 2x 1. x3 ; x 1. 2x2  x  1 x 3 2 2 x  x x ; h) y  e) y  x 2  x  1 ; f) y  x  x 2  2 x ; g) y  2 1  x2 x 1 6 x 2  5x  7 x x 1 ; j) y  2 . ; k) y  i) y  l) y  x2  x  1  x ; 2 4 x 2 x  3x  1 x2  4 Dạng 2: Tiệm cận có chứa tham số mx 2  6 x  2 1) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: y  . x2 x2 . 2) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: y  2 x  4x  m x3 3) Tìm m để đồ thị hàm số: y  2 chỉ có đúng một tiệm cận đứng. x  mx  2m x 1 4) Tìm m để đồ thị hàm số: y  2 có hai tiệm cận đứng là x  x1, x  x 2 sao x  mx  1 x2 x2 cho 12  22  7 . x2 x1 a) y . b) y . 5) Cho hàm số: y  điểm A  2; 0  .. x2  x ; x 1. c) y . d) y .  x2  x  m . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua xm. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. x 2  mx 1 . Tìm m để tiệm cận xiên của  Cm  tạo với hai x 1 trục tạo độ một tam giác có diện tích bằng 8. 7) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số: mx 2  3m 2  2 x  2 y bằng 450 . (A-2008). x  3m mx 2  m 2  m 1 x  m 2  m  2 8) Cho họ đồ thị  C m  : y   m  0 . xm Chứng minh rằng khoảng cách từ gốc toạ độ O đến hai tiệm cận xiên không lớn hơn 2 . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------6) Cho họ đồ thị  C m  : y . . . . . VI. BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Dạng 1: Các bài toán về hàm số dạng đa thức Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y  x 3  2 x 2  3x 3 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y  x 4  8x 2  10 Loại 2: Các bài toán thường gắn liền với bài toán khảo sát hàm số 1) Tìm m để  Cm  y  x 3  3  m  1 x 2  2 m 2  4m  1  4m  m  1 cắt trục hoành. . tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. 2) Biện luận theo m số giao điểm  Cm  : y  x3  3x 2  3 1  m  x  1  3m .. . của. Ox. với. đường. cong. 3) Tìm m để  C  : y  x 3  3mx 2  2m  m  4  x  9m 2  m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt sao cho ba điểm này lập thành cấp số cộng. 4) Tìm m để  Cm  : y  2 x 3  2mx 2  7  m 1 x  54 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân. 5) Cho  Cm  : y  x 4  2  m  1 x 2  2m  1 . Tìm m để  C m  cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. 6) Tìm m để đồ thị hàm số: y  x 3  2x 2  1  m  x  m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện: x12  x22  x32  4 (A-2010). 7) Tìm m để đường thẳng y  m cắt đồ thị (C): y  x 4  2 x 2  3 tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ. 8) Cho  Cm  : y   m  3 x 3  3  m  3 x 2   6m  1 x  m  1 có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó. 9) Tìm điểm cố định của  C m  : y  x 3   m  m  x 2  4 x  4  m  m  .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. 10) Tìm m để.  Cm  : y  x3  3  m 1 x 2   2m 2  3m  2  x  m  m 1. tiếp xúc với. Ox. 11) Tìm m để hai đồ thị sau đây tiếp xúc với nhau:  C1  : y  mx3  1  2m  x 2  2mx ;  C 2  : y  3mx3  3 1  2m  x  4m  2 12) Cho hàm số: y  với  C  a) b) c) d) e) f). 1 3 x  2 x 2  x 1 , có đồ thị  C  . Viết phương trình tiếp tuyến 3. Tạo với chiều dương Ox góc 600 . Tạo với chiều dương Ox góc 150 . Tạo với trục hoành Ox góc 750 . Có hệ số góc k  2 . Song song với đường thẳng y   x  2 . Vuông góc với đường thẳng y  2 x  3 .. g) Tạo với đường thẳng y  3x  7 góc 450 . 1 h) Tạo với đường thẳng y   x  3 góc 300 . 2 3 13) Cho hàm số: y   x  3x  2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  C  . 14) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  C  : y  x3  3x 2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. 15)Tìm trên đường thẳng y  2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị.  C  : y  x3  3x . 16) Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  C  : y  x 4  x 2  1. 17). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  : y  4 x 3  3x . 3. b)Tìm m để 4 x  3 x  m  0 có 4 nghiệm phân biệt. 18). c) Chứng minh rằng phương trình: 4x 3  3x  1  x 2 có ba nghiệm. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y  2 x 3  9 x 2  12x  4 3. b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x  9 x 2  12 x  m . (A-2006) 4 2 19) Cho hàm số: y  2 x  4 x (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Với giá trị nào của m, phương trình x 2 x 2  2  m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. (B-2009). 20) Cho hàm số: y  2 x3  3  m  3 x 2  18mx  8 a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. b) Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ x0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó song song nhau với mọi m.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. c) Chứng minh rằng trên Parabol  P  : y  x 2 có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số với mọi m. Dạng 2: Các bài toán về hàm số dạng phân thức hữu tỉ Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 2x  1 1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y  x 1 b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau: 2 x 1 2x 1 . y ; y x 1 x 1 x2  2 x  2 x 1 x2  2 x  2 b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị: y  x 1. 2) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y .  x2  x 1 x 1  x2  x  1 . b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị: y  x 1 Loại 2: Một số bài toán hay gặp đối với hàm phân thức 2 x 1 1) Cho hàm số: y  (C) và điểm M bất kỳ thuộc  C  . Gọi I là giao điểm hai x 1 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. a) Chứng minh: M là trung điểm AB. b) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 2) Tìm trên đường thẳng y  2 x  1 các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến x3 . C  : y  x 1 x 2  3x  4 (C) và điểm M bất kỳ thuộc  C  . Gọi I là giao 3) Cho hàm số: y  2  x 1 điểm hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. a) Chứng minh: M là trung điểm AB. b) Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là không đổi. c) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. d) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 10x  4 có toạ độ là số nguyên. 4) Tìm các điểm trên đồ thị  C  : y  3x  2 x 2  5x  15 5) Tìm các điểm trên đồ thị  C  : y  có toạ độ là số nguyên. x3 3) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. 3x  5 . Tìm M thuộc  C  để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm x2 cận là nhỏ nhất. x 1 7) Cho  C  : y  . Tìm M thuộc  C  để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ x 1 độ là nhỏ nhất. x2 8) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y  , biết tiếp tuyến đó cắt 2x  3 trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O. ( A-2009). 2x 9) Tìm toạ độ điểm M thuộc  C  : y  , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai x 1 1 trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng . 4 (D-2007) 4x  9 10) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị  C  : y  các điểm A, B để độ dài AB nhỏ x 3 nhất.  x2  2 x  5 11) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị  C  : y  các điểm A, B để độ dài AB x 1 nhỏ nhất. 2x  3 11) Cho hàm số: y  (C). x2 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có diện tích nhỏ nhất. 2x  1 12) Cho hàm số: y  và điểm A  2; 5  . Xác định đường thẳng d cắt  C  tại x 1 hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. 2x2  4x  3 . 13) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y  2  x 1 6) Cho  C  : y . b) Tìm m để phương trình: 2 x 2  4 x  3  2m x 1  0 có hai nghiệm phân biệt.  x 2  3x  3 tại hai điểm A, 14) Tìm m để đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số: y  2  x  1 B sao cho AB  1. (A-2004). x2  2x  5 15) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y  x 1 b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: x 2  2 x  5  m 2  2m  5  x  1 .. . . 16) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y . Lop12.net. x 2  3x  3 (C) x2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d : y  mx  m cắt (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của nó. c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.  m  1 x  m luôn tiếp 17) Chứng minh rằng với mọi m  0 , đồ thị của hàm số y  xm xúc với một đường thẳng cố định. VII. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ 2x 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần x2 lượt tại M, N sao cho MN  OM 2 với O là gốc toạ độ. 1 1 2) Tìm m để hàm số y  x 3  mx 2  m 2  3 x  m 2012 . 2011  Cm  đạt cực trị tại x1, x2 3 2 10 . đồng thời x1 , x2 là độ dài của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 1 3) Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị  Cm  : y  mx 3   m 1 x 2   4  3m  x tồn 3 tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 1 3 d : y  x . 2 2 4) Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị  C  : y  x3  3x  2 tại 3 điểm phân. . . biệt M, N, P sao cho xM  2 và NP  2 2 . 5) Tìm m để đường thẳng d : y   x  1 cắt.  Cm  : y  4 x3  6mx 2  1. tại ba điểm. A  0;1 , B, C biết B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. 6) Tìm m để đồ thị  Cm  : y  x 4  2mx 2  2m 2  4 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. x2 biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần x 1 lượt tại A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất. 2mx  3 8) Cho hàm số: y   Cm  . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến xm bất kì với  Cm  cắt hai tiệm cận lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64. 7) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y . 9) Tìm m để đồ thị  Cm  y  x 4  4 x 2  m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi  Cm  và trục hoành có phần trên bằng phần dưới.. . . 10) Tìm m để đồ thị  Cm  : y  x 4  2 1  m 2 x 2  m  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất. 11) Tìm m để đường thẳng d : y   x  m  1 cắt  C  : y  B sao cho AOB nhọn.. Lop12.net. x3 tại hai điểm phân biệt A, x2.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. 12) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y . x biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm x 1. cận một tam giác có chu vi bằng 4  2 2 . 2x  m 13) Cho hàm số y   Cm  . Chứng minh rằng với mọi m  0 ,  Cm  cắt mx  1 d : y  2  x  m  tại hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường  H  cố định. Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N . Tìm m để S OAB  3.SOMN . x 1 14) Tìm trên  C  : y  các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 4 và đường x2 thẳng AB vuông góc với đường thẳng y  x . 15) Tìm m để đồ thị  Cm  : y  x 4  mx 2  m 1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 2 . x3 tại hai điểm phân biệt A, B 16) Tìm m để đường thẳng d : y  2 x  3m cắt  C  : y  x2 sao cho OA.OB  4 với O là gốc toạ độ. 3x  1 sao 17) Tìm toạ độ hai điểm B, C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị  C  : y  x 1 cho tam giác ABC vuông cân tại A  2;1 . 18) Tìm m để đồ thị  C  : y  x 3  3x 2  m có hai điểm cực trị A, B sao cho A OB  1200 . 2x 1 tại hai điểm phân biệt A, B 19) Tìm m để đường thẳng d : y  x  m cắt  C  : y  x 1 sao cho AB  2 2 . 3x  2 20) Cho hàm số: y   C  . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. Viết x 1 phương trình tiếp tuyến của d với  C  biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt 26 . 26 21) Tìm m để  C m  : y  x 4  2mx 2  2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tại A và B sao cho cos B AI . 5. 3 9 tròn ngoại tiếp đi qua điểm D  ;  .  5 5 1 5 22) Cho hàm số: y  x 4  3x 2   C  và điểm A   C  với xA  a . Tìm các giá trị thực 2 2 của a biết tiếp tuyến của  C  tại A cắt đồ thị  C  tại hai điểm B, C phân biệt khác A sao cho AC  3AB ( B nằm giữa A và C). 1 23) Tìm m để đồ thị  Cm  : y  x 4   3m  1 x 2  2  m  1 có ba điểm cực trị tạo thành 4 một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. 1 24) Tìm m để  C m  : y  mx 3   m 1 x 2   3m  4  x  1 có điểm chung mà tiếp tuyến tại 3 đó vuông góc với đường thẳng d : y  x  2011 .. .  . . 25) Tìm m để  C m  : y  x 3  3mx 2  3 m 2  1 x  m 2 1 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. 26) Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C m  : y  x 3  3x 2  3mx  3m  4 và trục hoành có phần nằm phía trên trục hoành bằng phần nằm dưới trục hoành. x 1 27) Tìm trên  C  : y  các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A x2 song song với tiếp tuyến tại B và AB  2 2 . 28) Gọi d là đường thẳng đi qua A 1; 0  và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị x2 tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và x 1 AM  2AN . 29) Tìm m để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu của  Cm  : y  x3  3mx  2 cắt. C  : y . đường tròn  C  :  x 1   y 1  1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. x3 biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox, 30) Viết phương trình tiếp tuyến với  C  : y  2x  2 Oy tại hai điểm A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O. 1 1 31) Tìm m để  Cm  : y  x3   m  1 x 2  mx có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau 3 2 qua đường thẳng d : 72 x 12 y  35  0 . 2. 2. 32) Cho hàm số y  x3  3x 2  4  C  . Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng d : y  m  x  1 luôn cắt đồ thị  C  tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt.  C  tại ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C cùng với gốc toạ độ O lập thành một tam giác có diện tích bằng 1. 33) Tìm tất cả các giá trị m để  C m  : y . 1 3 1 x   m  1 x 2  2  m  1 x  1 có hai điểm cực 3 2. trị có hoành độ lớn hơn 1. 34) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị  C  : y  x3  3x  2 sao cho tiếp tuyến tại A và B có cùng hệ số góc và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng x  y  2011  0 . 35) Giả sử  Cm  y  x3  6 x 2  9x  m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt x1  x2  x3 . Chứng minh rằng: 0  x1  1  x2  3  x3  4 .. . . 36) Chứng minh rằng với mọi m ,  Cm  : y  x 3  3  m  1 x 2  3 m 2  1 x  m3  1 cắt trục hoành tại duy nhất một điểm. 37) Gọi d là đường thẳng đi qua M  2; 0  và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt. C  : y . 3. x  3 x  2 tại bốn điểm phân biệt.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. 38) Tìm m để điểm A  3; 5  nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của.  Cm  : y  x3  3mx 2  3  m  6  x  1 .. . . 39) Viết phương trình tiếp tuyến của  C  : y   x  1 x 3  x 2  1 biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt. 40) Tìm m để  Cm  : y  x 3  2  m  2  x 2  7  m  1 x  3  m  4  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 sao cho x12  x22  x32  3x1 x2 x3  53 . 41) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng  m : y  mx  m 2 luôn cắt.  Cm  : y  x3   3m 1 x 2  2m  m  1 x  m2 tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm m để  m còn cắt  Cm  tại một điểm nữa khác A mà tiếp tuyến của  Cm  tại hai điểm đó song song với nhau. 42) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  Cm  : y  x 3  2 x 2   m  2  x  3m đi 55   qua điểm A 1;   . 27   43) Tìm m để đường thẳng d : 2mx  2 y  m  1  0 cắt  C  : y . x 1 tại hai điểm phân 2x 1. biệt A, B sao cho biểu thức P  OA 2  OB2 đạt giá trị nhỏ nhất. mx  4m  3 , hãy viết các đường thẳng đi qua 44) Từ các điểm cố định của  Cm  : y  xm 3 chúng và có hệ số góc k  . Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2 vừa lập và trục Ox. 45) Tìm m để  Cm  : y  x 3  3 2m 2 1 x 2  3 m 2 1 x  1  m3 có hai điểm phân biệt đối. . . . . xứng nhau qua gốc toạ độ O. 46) Tìm m để hàm số: y  trên. .. 47) Cho hàm số: y  biệt.. m 2 1 3 x   m  1 x 2  3x  2011m 2  2012m  2013 đồng biến 3. x 2  x 1 (C). Giả sử d : y   x  m cắt  C  tại hai điểm A, B phân x 1. a) Tìm m để trung điểm M của đoạn AB cách điểm I 1; 3 một đoạn là 10 .. b) Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi m thay đổi. 48) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định của  C m  : y   x 4  2mx 2  2m  1 vuông góc nhau. 49) Tìm m để  C  : y  x 3  3x 2  2 có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn  C m  : x 2  y 2  2mx  4my  5m 2 1  0 . 50) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị 1 8  C  : y  x3  x 2  3x  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc 3 3 toạ độ O.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học” năm 2013. 51) Cho hàm số: y  x3  2mx 2   m  3 x  4 có đồ thị là  Cm  , đường thẳng. d : y  x  4 và điểm E 1; 3 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho d cắt  Cm  tại. ba điểm phân biệt A  0; 4  , B, C sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4 . x 1 có đồ thị  C  . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng 2 x 1 y  x  m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1 , k 2 lần lượt là tiếp tuyến với (C). 52) Cho hàm số y . tại A, B. Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn nhất.. ( A -2011). 53) Tìm m để  Cm  : y  x 4  2  m  1 x 2  m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA  BC với O là gốc toạ độ, A là điểm thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. (B-2011) 2x 1 54) Tìm k để d : y  kx  2k  1 cắt  C  : y  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x 1 khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. (D-2011).. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>