Luyện thi đại học - Phần I: Đại số tổ hợp và xác suất thống kê

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Phần I: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ. XÁC SUẤT THỐNG KÊ I. Đại số tổ hợp. 1. Quy tắc đếm. a) Quy tắc cộng : Giả sử khi thực hiện một công việc V ta phải xét k trường hợp (phương án) riêng biệt, mà: Trường hợp 1: có n1 cách thực hiện việc V Trường hợp 2: có n2 cách thực hiện ………… Trường hợp k: có nk cách thực hiện Khi đó ta có tất cả (n1 + n2 + … + nk) cách thực hiện công việc V. b) Quy tắc nhân : Giả sử khi thực hiện một công việc V ta cần thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp nhau, mà: Giai đoạn 1: có n1 cách thực hiện Giai đoạn 2: có n2 cách thực hiện ………… Giai đoạn k: có nk cách thực hiện Khi đó ta có tất cả (n1.n2. … .nk) cách thực hiện công việc V. b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 người ngồi vào 1 dãy 4 ghế, mỗi ghế một người ? Giải Mỗi cách xếp 4 người ngồi vào 1 dãy 4 ghế, mỗi ghế một người được thực hiện qua 4 giai đoạn: + Giai đoạn 1: Xếp 1 người vào ghế thứ nhất có 4 cách + Giai đoạn 2: Xếp 1 người vào ghế thứ hai có 3 cách + Giai đoạn 3: Xếp 1 người vào ghế thứ ba có 2 cách + Giai đoạn 4: Xếp 1 người vào ghế thứ tư có 1 cách Vậy cĩ tất cả: 4.3.2.1 = 24 cách xếp Ví dụ 2: Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi vào 1 dãy 4 ghế, mỗi ghế một người ? 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Giải Mỗi cách xếp 6 người ngồi vào 1 dãy 4 ghế, mỗi ghế một người được thực hiện qua 4 giai đoạn: + Giai đoạn 1: Xếp 1 người vào ghế thứ nhất có 6 cách + Giai đoạn 2: Xếp 1 người vào ghế thứ hai có 5 cách + Giai đoạn 3: Xếp 1 người vào ghế thứ ba có 4 cách + Giai đoạn 4: Xếp 1 người vào ghế thứ tư có 3 cách Vậy có tất cả: 6.5.4.3 = 360 cách xếp Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 người ngồi vào 1 dãy 6 ghế, mỗi người một ghế ? Giải Mỗi cách xếp 4 người ngồi vào 1 dãy 6 ghế, mỗi người một ghế được thực hiện qua 4 giai đoạn: + Giai đoạn 1: Người thứ nhất chọn ghế có 6 cách + Giai đoạn 2: Người thứ hai chọn ghế có 5 cách + Giai đoạn 3: Người thứ ba chọn ghế có 4 cách + Giai đoạn 4: Người thứ tư chọn ghế có 3 cách Vậy có tất cả: 6.5.4.3 = 360 cách xếp Ví dụ 4: Có 3 con đường đi từ A đến B, 4 con đường đi từ B đến C, 3 con đường đi từ C đến D và con đường đi từ A đến C không qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi: 1/ Từ A đến C ? 2/ Từ A đến D ? 3/ Từ B đến D ? 4/ Từ A đến C ? Chú ý: Mỗi cách chọn đường đi, mỗi địa điểm A, B, C, D chỉ qua không quá một lần.. 2. Hoán vị a) Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử đó Ví dụ: Với 3 phần tử A, B,C có 6 hoán vị: AB, BA, AC, CA, BC, CB b) Công thức tìm số hoán vị Kí hiệu: Pn là số hoán vị của n phần tử Ta có: Pn = n! Chú ý: 0! = 1 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1. 3. Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Mỗi cách chọn và sắp xếp k phần tử từ n phần tử cho trước theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử . Ví dụ: Với 3 phần tử A, B, C các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử trên là: AB, BA, AC, CA, BC, CB b) Công thức tìm số chỉnh hợp Kí hiệu: Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử n!  (n  k  1)(n  k  2).....n Ta có: Ank  (n  k )! 4. Tổ hợp a) Định nghĩa: Mỗi cách chọn k phần tử từ n phần tử cho trước được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử . Ví dụ: Với 3 phần tử A, B, C các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử trên là: {A;B}, {A;C}, {B;C} b) Công thức tìm số tổ hợp Kí hiệu: Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử n! Ta có: Cnk  k !.(n  k )! c) Tính chất + Cnk  Cnn  k (0  k  n) (1) + Cnk  Cnk1  Cnk11 (0  k  n) (2) Chú ý: Cần phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, chỉnh hợp chọn và sắp xếp còn tổ hợp chỉ chọn mà không sắp xếp. 5.Công thức nhị thức Newton, Tam giác Pascal a) Nhị thức Newton Nhà toán học Newton đã đưa ra công thức khai triển các hằng đẳng thức dạng (a + b)n một cách tổng quát với mọi n nguyên dương như sau: (a + b)n = C0n an + C1n an – 1.b + C2n an – 2.b2 + . . . + Cnn bn Chú ý: + Trong khai triển nhị thức Newton có ( n + 1) số hạng + Trong toán học người ta kí hiệu. n. a i 1. n. đến n. a : i 1. i. đọc. i.  a1  a2  ...  an ;. xích_ma (tổng) ai với i chạy từ 1. là 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. + Sử dụng kí hiệu xích_ma thì khai triển nhị thức Newton được viết như sau: (a + b)n =. n. C k 0. k n. .a n  k .b k ; số hạng Tk + 1 = Ckn an – k.bk gọi là. số hạng tổng quát của khai triển và là số hạng thứ (k + 1) của khai triển. Tính chất: + 2n = (1 + 1)n = C0n + C1n + C2n + . . . + Cnn + 0 = (1 - 1)n = C0n - C1n + C2n + . . . + (-1)n Cnn + C0n + C2n + C4n + … = C1n + C3n + C5n + … = 2n – 1 b) Tam giác Pascal Nhà toán học Pascal đã dựa vào tính chất k k k 1 k Cn  Cn 1  Cn 1 (1  k  n) để xác định các hệ số Cn trong khai triển nhị thức Niutơn dưới dạng một tam giác, gọi là tam giác Pascal như sau: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 … … … … … … … … … … Chú ý: Trong tam giác Pascal ở trên ta có: 10 = C52  C41  C42  = 4 + 6. 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Vấn đề 1: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Bài 1: Giải các phương trình sau: m ! (m  1)! 1  1/ 2/ 3 An2  42  A22n (m  1)! 6 1 2 3 3/ Cn  Cn  Cn  5n 4/ 2 An2  50  A22n 5/ C14k  C14k  2  2C14k 1. 6/ Px . Ax2  72  6( A·2x  2 Px ). 7/ Ax3  5 Ax2  21x. 9 8 8/ A10 x  Ax  9 Ax. 9/ C 1x  6C x2  6C x2  9 x1  14 x Bài 2: Giải các bất phương trình sau: C x 3 1 1/ x41  Ax 1 14 P3 3/ Ax3 5 Ax2. 10/ Ax3  C x2  14C xx 1 2/ 2Cx21 3 Ax2 4/. 21x. 1 2 A2 x  Ax2 2. 30 6 3 Cx 10 x. Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: 2 Axy  5C xy  90 1/  y 2/ Cxy1 : Cxy 1 : Cxy 1  6 : 5 : 2 5 Ax  2C xy  80 Vấn đề 2: CÁC BÀI TOÁN ĐỐ Bài 1: Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó 1 và 6 có mặt hai lần, các số còn lại 1 lần. Bài 2: Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ. Bài 3: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ. Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt số 0 nhưng không có mặt số 1? Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng số 2 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại không quá một lần? Bài 6: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n>1). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. Bài 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lâp bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau? 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Bài 8: Từ các số 0,1, 2, 3, 4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng tất cả các số tự nhiên đó. Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho: Chữ số 0 có mặt hai lần, số 1 có mặt 1 lần, 2 số còn lại phân biệt Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại 3 lần. Bài 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho: Số 2 có mặt 2lần, số 3 có mặt 3 lần, các số còn lại không quá một lần. Bài 12: Cho đa giác đều A1, A2, ......A2n nội tiếp đường tròn tâm O, biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, ......A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm.Tìm n. Bài 13: Từ các số 1, 2, ....., 6. Lập bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bằng 123. Bài 15: Một chi đoàn có 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ. Muốn chọn một tổ công tác 5 người. Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ tổ cần ít nhất một người nữ ? Bài 16: Có hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau, trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành với 3 đỉnh là các điểm đã lấy ở trên ? Bài 17: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp thành một dãy ? Mỗi người một ghế. Bài 18: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và thỏa: 1/ Là số chẵn 2/ Là số chẵn và phải có mặt chữ số 3 3/ Là số lẻ 4/ Là số lẻ và phải có mặt chữ số 7 5/ Phải có mặt chữ số 2 nhưng không có mặt chữ số 6. Bài 20: Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số? Chú ý: “số tự nhiên nếu có từ hai chữ số trở lên, thì quy ước chữ số đầu tiên phải khác chữ số 0. Khi làm bài về số tự nhiên cần chú ý các chữ số có khác nhau hay không?”. Bài 21: Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn : 1/ có ba chữ số ? 2/ có ba chữ số khác nhau? Bài 22: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn ? 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Bài 23: Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau ? Bài 24: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và chia hết cho 5 ? Bài 25: Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được phép trình diễn 1 vở kịch, 1 bài hát và 1 điệu múa. Hỏi đội văn nghệ nói trên 1/ có bao nhiêu cách chọn các tiết mục biểu diễn ? 2/ có bao nhiêu cách trình diễn chương trình văn nghệ ? Bài 26: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối B với C. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D? ( Mỗi cách chọn đường đi chỉ qua mỗi thành phố nhiều nhất một lần) Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác không, biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8? Bài 28: Có bao nhiêu đường chéo trong một thập giác lồi? Bài 29: Có bao nhiêu cách phân phối hết 5 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho: 1/ Một người nhận được một đồ vật, còn hai người kia mỗi người nhận được hai đồ vật? 2/ Mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật? Bài 30: 1/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và giảm dần từ trái sang phải? 2/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và tăng dần từ trái sang phải? 3/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau? Bài 31: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: 1/ Bắt đầu bởi chữ số 4? 2/ Không bắt đầu bởi chữ số 1? 3/ Bắt đầu bởi 23? 4/ Không bắt đầu bởi 453? Bài 32: Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và không vượt quá 45000 ? Bài 33: Cho tap X ={ a, b, c, d,e}. Hãy lập tất cả các tập con của X thỏa: a/ Không chứa phần tử a. b/ Phải có chứa phần tử e nhưng không chứa phần tử d. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Bài 34: Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo? a/ Ngũ giác lồi. b/ Đa giác lồi có 12 cạnh. c/ Đa giác lồi có n cạnh ( n > 3) Bài 35: 1/ Trong một mặt phẳng có n điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong n điểm đã cho? Lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy từ trong n điểm đã cho? 2/ Trong một mặt phẳng có n điểm, trong đó có m điểm thẳng hàng (m< n) các điểm còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm trong n điểm đã cho? Lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy từ trong n điểm đã cho? Bài 36: Cho đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi: a/ Có thể lập được bao nhiêu  mà 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác? b/ Trong các tam giác lập được từ câu a/ có bao nhiêu tam giác có chung một cạnh với đa giác? Có chung 2 cạnh với đa giác? Không có chung cạnh nào với đa giác? Bài 37: Có 6 con tem khác nhau và 7 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 con tem và 3 bì thư rồi dán tem vào bì thư sao cho mỗi bì thư dán đúng một tem? Bài 38: Một lớp học đề cử 8 học sinh, trong đó có 3 nữ để bầu cử chọn ban cán sự lớp gồm: LT, LP, thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn BCS lớp nếu: a/ không phân biệt nam nữ ? b/ thư ký phải là nữ ? Bài 39: Một cuốn sách bài tập Toán có 30 bài tập giải tích và 20 bài tập hình học (trong sách không có bài tập trùng nhau). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 bài tập để lập thành một đề thi sao cho: a/ Trong đề thi tỉ lệ giữa số bài giải tích và hình học là tùy ý? b/ Trong đề thi có 3 bài giải tích và 2 bài hình học? c/ Trong đề thi có 2 bài giải tích và 3 bài hình học? d/ Trong đề thi có ít nhất 1 bài giải tích và 1 bài hình học? e/ Trong đề thi có ít nhất 1 bài giải tích? Bài 40: Một lớp học có 45 học sinh gồm 25 nam và 20 nữ. GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a/ số nam hoặc nữ trong ban là tùy ý? b/ phải có 1 nam và 3 nữ? c/ phải có 2 nam và 2 nữ? d/ ít nhất phải có 1 nam? Bài 41: Trong mặt phẳng xét một họ gồm 20 đường thẳng song song cắt một họ gồm 15 đường thẳng song song khác. Hỏi có nhiêu hình bình hành được tạo thành? 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Bài 42: Ông A muốn mời đúng 6 người trong số 10 người bạn của mình đến dự một buổi liên hoan. Trong 10 người bạn có 2 người không chịu dự chung buổi liên hoan. Hỏi có bao nhiêu cách mời? Vấn đề 3: NHỊ THỨC NEWTON I. Áp dụng công thức khai triển. 10. 1  Bài 1: Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển  x   x . 1   Bài 2: Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển  x  2  x  . 40. . . 7. Bài 3: Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển: 3 x  2  x Bài 4: Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau:.  x 3 1/    3 x. 12.  1  2/  3 x  4  x . 7.  1  Bài 5: Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển  5  3 x   x . 10. 21.  a b  Bài 6: Trong khai triển  3  3  tìm hệ số của số hạng chứa a b a  và b có số mũ bằng nhau ? Bài 7: Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển của (2x – 3y)25; 30 9 ĐS: B1/ C103 ; B2/ C40 ; B3/ C74 x 2 ; B4/ C126 , C74 ; B5/ C106 3 x 2 ; B6/ C21 ; 13 12 B7/ C25 .2 .(3)13. II. Khai triển với giả thiết có điều kiện. n. 1  Bài 1: Biết khai triển  x 2   . Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, x  hai, ba là 46. Tìm số hạng không chứa x? ĐS: n = 9  C96. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. 2  Bài 2: Biết tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển  x 2   x  4 4 4 = 97. Tìm hạng tử của khai triển chứa x4; ĐS: n = 8  C8 (2) x. n. n. 1 1 1  Bài 3: Cho khai triển  x    C n0 x n  C n1 x n 1  .......(1) n n C nn . Biết 3 3 3  hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển là 5. Tìm số hạng chính giữa ? 5.  1 ĐS: n = 10  C105    x5  3 2 2 Bài 4: Cho khai triển ( x 3  2 ) n  C n0 ( x 3 ) n  ........  C nn ( 2 ) n . Biết x x 2 tổng ba hệ số đầu là 33. Tìm hệ số của x . ĐS: n = 4  C42 .22 n.  1  Bài 5: Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển  3  x 5  . Biết rằng x  n 1 n ĐS: n = 12  C128 .x8 C n  4  C n 3  7(n  3) . III. Chứng minh hoặc tính tổng biểu thức tổ hợp Bài 1: Khai triển (3x –1)16. Từ đó chứng minh: 316 C160  315 C161  ..........  C1616  216 Bài 2: Chứng minh: 1/ C n0  C n1  C n2  .......  C nn  2 n 2/ 1 3 2 n 1 C 2 n  C 2 n  ......  C 2 n  C 20n  C 22n  .........  C 22nn 1 1 1   Bài 3: Chứng minh rằng: 3 n C n0  C n1  3 C n2  ..........  n C nn   4 n 3 3 3   0 2 2n Bài 4: Tính tổng: 1/ S= C 2 n  C 2 n  ......  C 2 n. 2/ S = C 21n  C 23n  .........  C 22nn 1 0 2 2004 Bài 5: Cmr: 1/ C 2004  C 2004  ........  C 2004  21002 0 2 4 2004  2 2 C 2004  2 4 C 2004  .......2 2004 C 2004  2/ C 2004. 10 Lop12.net. 3 2004  1 2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Bài 6: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2 –3x)2n trong đó n thoả mãn hệ thức sau: C 21n 1  C 23n 1  .......  C 22nn11  1024 ĐS: n = 5  C107 .23.(3)7 , 2007 Bài 7: Giải phương trình: C22n  C42n  ...  C2n 1 ; 2n  2. ĐS: n = 1004 n.  1  Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển  4  x 7  biết n x  1 2 3 2n+1 21 thoả mãn hệ thức: C2n+1  C2n+1  C2n+1  ...  C2n+1  2  1 . ĐS: n = 10  x26. C106 Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 khi khai triển (2 + x)n biết: 3 n C n0  3 n 1 C n1  3 n  2 C n2  ....  (1) n C nn  2048 ; ĐS:n =11 2.C1110 IV. Khai triển nhiều hạng tử Bài 1: Tìm hệ số của x6 trong khai triển (1+x2(1+x))7 thành đa thức. Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1+2x+3x2)10. ĐS Bài 1: C73 .C30  C72 .C22 ; ĐS Bài 2: C103 .C40 .24  C103 .C31.23.3  C102 .C22 .32 Bài 3: Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển: P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+......+15(1+x)15. ĐS: 10.C1010  11.C1110  12.C1210  13C1310  14.C1410  15C1510 Bài 4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5 + x2(1+3x)10 1   Bài 5: Tìm số hạng không chứa x khi khai triển P(x) = 1  2 x  2  x   ĐS B4: C54 .(2) 4  C103 .33 ; ĐS B5: C99 .C93 .26  C96 .C92 .24  C93 .C31.22 1 Bài 6: Tìm hệ số của số hạng chứa 3 khi khai triển: x   P(x) = 1  2 x  1    3 x2  . 7. ĐS: C74 .C42 .(2) 2. V. Sử dụng đạo hàm hoặc tích phân Bài 1: Chứng minh: 1/ C n1  2C n2  3C n3  ......  nC nn  n 2 n 1. 11 Lop12.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. n 1 2/ C n0  1 C n1  1 C n2  ...........  1 C nn  2  1. 2. n 1. 3. n 1. 1/ S = C  2C  3C  .......  14C 1 14 0 2008. Bài 2: Tính tổng:. 2 14. 3 14. 14 14. 1 2 2008 2/ S = C  2C 2008  3C 2008  ........  2009C 2008 Bài 3: Chứng minh rằng: 1 1 1 3 1 5 1 2 n 1 2 2 n  1 C 2 n  C 2 n  C 2 n  ......  C2n  2 4 6 2n 2n  1 Bài 4: Tìm n nguyên dương sao cho: C 21n 1  2.2C 22n 1  3.2 2 C 23n 1  4.2 3 C 24n 1  .....  (2n  1).2 2 n.C 22nn11  2007. Bài 5: Tính tổng: S = C n0  Bài 6: CMR: a/ Cn0  Cn1 Cn2 ... Cnn. 2 2  1 1 23  1 2 2 n 1  1 n Cn  C n  .....  Cn 2 3 n 1. b/ Cn1  2Cn2 3Cn3 ... nCnn. 2n. c/ Cn1  2Cn2 3Cn3 ... ( 1) n nCnn. 12.Cn1  22.Cn2 ... n 2 .Cnn. d/. 0. n.(n 1)2n  2 (n 2)2n 1. e/ Cn0  2.Cn1 3.Cn2 ... (n 1)Cnn 1. Bài 7: Tính tích phân I =  (1 x) n dx ; n. N.. 0. 2n 1  1 n 1. 1 1 1 2 1 Cn Cn ... Cnn Từ đó CMR: 1  2 3 n 1 1. Bài 8: Tính tích phân I =  (1 x 2 ) n dx ; n. N.. 0. 1 1 1 2 1 Cn Cn ... ( 1) n Cnn Từ đó CMR: 1  3 5 2n 1 x  1 x  Bài 9: Dùng hệ thức: 1  m. a/ Cm0 .Cnk  Cm1 Cnk 1 ... Cmk Cn0 b/  C.   C . 0 2 n. 1 2 n. .... C . n 2 n. n. 1. x. Cmk  n ; (k. mn. 2.4....(2n) 1.3....(2n 1). . CMR:. m, k. n). C2nn. Bài 10: CMR: k k 1 a/ C2003  C2003. 1001 1002 C2003 C2003. b/ C2nn k .C2nn 12 Lop12.net.   C2nn  . 2. k. n 2n 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. II. Xác suất 1. Phép thử và biến cố Tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu là . Ta chỉ xét các phép thử với không gian mẫu  là tập hữu hạn Mỗi tập con A của  được gọi là biến cố. Tập  được gọi là biến cố không thể, tập  được gọi là biến cố chắc chắn + Nếu khi phép thử được tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra, hay phép thử là thuận lợi cho A + Biến cố A =  \ A được gọi là biến cố đối của A A và B đối nhau  A = B. A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra + Biến cố A  B xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra + Biến cố A  B xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra + Nếu A  B =  thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc. 2. Xác suất của biến cố a) Định nghĩa:. Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một n( A) số hữu hạn các kết quả đồng khả năng xuất hiện thì tỉ số P( A)  n () được gọi là xác suất của biến cố A. b) Tính chất: + P(A)  0; A + P() = 1 + Nếu A và B là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì: P(A  B) = P(A) + P(B) ( Công thức cộng xác suất) Mở rộng: Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) c) Hai biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Người ta chứng minh được rằng, A và B độc lập khi và chỉ khi P(A  B) = P(A).P(B) Ngoài ra, A và B độc lập  A và B độc lập  Avà B độc lập  A và B độc lập. 3. Xác suất có điều kiện 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. a) Khái niệu xác suất có điều kiện + Nếu hai biến cố A và B không độc lập với nhau thì xác suất xảy ra của biến cố A đã xảy ra hay chưa xảy ra. + Xác suất của biến cố B được tính trong điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí hiệu là P(B\A), được gọi là xác suất của B với điều kiện A. Lúc đó tập hợp  A gồm tất cả các trường hợp thuận lợi của A gọi là không gian mẫu thu gọn. b) Ứng dụng: Một ứng dụng của xác suất có điều kiện là công thức sau đây: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: P(AB) = P(A).P(B\A). BÀI TẬP Bài 1: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài .Tính xác suất để trong sấp bài có 5 quân lập thành bộ liên tiếp tức là bộ (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) …(10 –J-QK-A). Quân A (át) vừa là quân bé nhất vừa là quân lớn nhất HD: n() = C525 Có 10 bộ thỏa mãn bài toán Mỗi bộ có 4.4.4.4.4=1024 vậy P( A)  10240 Bài 2: Một bình đựng 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ 1/ lấy ngẫu nhiên ba viên bi. Tính xác suất để : a) Lấy được 3 viên đỏ b) lấy cả ba viên bi không đỏ c) Lấy được 1 bi trắng,1 bi đen,1 bi đỏ 2/ Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tình xác suất để : a) Lấy đứng 1 viên bi trắng b) Lấy đúng 2 viên bi trắng 3/ Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tính xác suất lấy được 5 viên bi trắng, 3 bi đen, 2 bi đỏ C 3 143 1 1 7.6.3 9  HD: 1/ a ) 3  b) 133  c) C16 560 C163 40 C16 280. C71 .C93 21 C72 .C92 27 C75 .C63 .C32 45 b) 3/ a)    4 4 10 C16 65 C16 65 C16 286 Bài 3: Một hộp đựng thẻ đánh số thứ tự từ 1, 2, …, 9 rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số trên thẻ vói nhau. Tính xác suất để ? 1/ Tích nhận được là số lẻ 2/ Tích nhận được là số chẵn 2/ a). 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. HD:. GV: Lưu Xuân Hiển. 1/ Tích là số lẻ nếu 2 thẻ là số lẻ vậy có P( A) . C52 C92. 2/ P(B) =1 – P(A) Bài 4: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh từ 1, 2, 3, …, 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tính xác suất để 1/ Các thẻ ghi số 1, 2, 3 2/ Có đúng 1 trong ba thẻ ghi 1, 2, 3 được rút 3/ Không có thẻ nào trong ba thẻ được rút C2 C1.C 4 C5 HD: 1/ P( A)  65 2/ P( B)  3 5 6 3/ P(C )  65 C9 C9 C9 Bài 5: Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập 1, 2,....,10,11. 1/ Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12 2/ Tính xác suất để tổng ba số đực chọn là số lẻ HD: 1/ 12=1+2+9 =1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5; 7  p  A  3 C11. C61C52  C63C50 C113 Bài 6: Chọn ngẫu nhiên một vé số số có 5 chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất trên vé không có chữ số 1 hoặc chữ số 5. HD: A là biến cố không có chữ số 1, B là biến cố không có chữ số 5 95 P(A) = P(B) = 5  (0.9)5 10 5 5 P  A  B   P  A   P  B   P  A  B   2.  0,9    0,8  2/ P  B  . Bài 7: Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt, 2 hộp quả, 3 hộp sữa. Do trười mưa các hộp bị mất nhãn. Người đó chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất để trong đó có 1 hộp thịt, một hộp sữa, một hộp quả? C1C1C1 HD: P  A   3 23 3 C8 Bài 8: Có hai xạ thủ I và tám xạ thủ II. Xác suất bắn trúng của I là 0.9, xác suất của II là 0.8. Lấy ngẫu nhiên một trong 10 xạ thủ, bắn một viên đạn. Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích HD: Gọi Bi là biến cố “Xạ thủ được chọn lọai i; i= 1,2” 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. A là biến cố viên đạn trúng đích, ta có : 2 8 P( B1 )  , P( B2 )  ; P(A/B1) = 0.9, P(A/B2) = 0.8 10 10 2 9 8 8 .  .  0.82 Nên P(A) = P(B1). P(A/B1) + P(B2). P(A/B2) = 10 10 10 10 Bài 9: Bốn khẩu pháo cao xạ A, B, C, D cùng bắn độc lập vào một mục 1 tiêu. Biết xác xuất bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là P(A) = , 2 2 4 5 P(B) = , P(C) = , P(D) = . Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng 3 5 7 HD: Tính xác suất biến cố H : “mục tiêu không bị bắn trúng” 1 1 1 2 1 P( H ) = . . .  2 3 5 7 105 1 104  Vậy xác suất trúng đích: P(H) = 1 – P( H ) = 1  105 105 Bài 10: Gieo một con súc xắc. Hãy tính xác suất các biến cố 1/ Mặt 6 chấm xuất hiện 2/ Mặt chẵn xuất hiện 3/ Mặt I xuất hiện Bài 11: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng, 1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố 1/ 2 viên lấy ra màu đỏ 2/ 2 viên bi một đỏ, 1 vàng 3/ 2 viên bi cùng màu HD: n     C102 A là biến cố lấy 2 viên bi đỏ B là biến cố lấy 2 viên bi trong đó có 1 đỏ, 1 vàng C là biến cố lấy 2 viên bi cùng màu C2 C1 .C1 1/ n  A   C42  P  A   42 2/ n  B   C41 .C21  P  B   4 2 4 C10 C10 3/ Đ là biến cố 2 viên đỏ, X là biến cố 2 viên xanh, V là biến cố 2 viên vàng Đ, X, V là các biến cố đôi một xung khắc 2 C 2 1 10 2 P  C   P  D   P  X   P V    3    5 45 15 45 9 Bài 12: Geo 3 con súc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên 3 mặt là 9 HD: 9 =1 +2+ 6 = 2+3+4 = 2+2+5 = 1+3+5 = 1+4+4 = 3+3+3 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. (1,2,6) có 3! ; (1,3,5) có 3!; (2,3,4) có 3!; (1,4,4) có 3; (2,2,5) có 3; (3,3,3) có 1 n( A)  6  6  6  3  3  1 = 25; n     6.6.6  216 n( A) 25   0.1157 n    216 Bài 13: Gieo 3 lần liên tiếp một con xúc xắc 1/ Tính xác suất biến cố “ Tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 16” 2/ Tính xác xuất để tổng số chấm nhỏ hơn 16 HD: 1/ A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 16” Tổng số chấm nhỏ hơn 16 có nghĩa tổng số chấm bằng 16,17,18 16 = 6+5+5 = 6+6+4 có 6 17 = 6+6+5 có 3 18 = 6+6+6 có 1 10 5  Vậy n     6.6.6  216 ; n  A   10  P  A   216 108 2/ Biến cố E “Tổng số chấm nhỏ hơn 16” A và E là hai biến cố 5 103  đối nhau P  E   1  108 108 Bài 14 Hai người bắn vào mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng đích của người thứ nhất là 0,6 của người thứ 2 là 0,7 .Tính xác suất để 1/ Cả 2 người cùng bắn trúng 2/ Mục tiêu bị bắn bởi ít nhất 1 người HD: 1/ Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng đích B là iến cố người thứ hai bắn trúng đích H là biến cố cả hai người bắn trúng đích H = AB P  H   P  A  P  B   0,6.0,7 = 0,42. Vậy P(A) =. 2/ G là biến cố ít nhất 1 người bắn trúng mục tiêu: G  ( A  B)  ( A  B)  ( A  B) P(G) = P( A  B )  P( A  B)  P( A  B) = 0,6.0,3 + 0,4.0,7 + 0,6.0,7 = 0,88 Bài 15: Gieo ngẫu nhiên 4 đồng xu. Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa 1/ SNNN, SNSN, SNNS, SNSS 2/ SSNN, SSSN, SSNS, SSSS 3/ NNNN, NNSN, NNNS, NNSS 4/ NSNN, NSSN, NSNS, NSSS n     16 ; n  A   11 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. Bài 16: Một người bắn liên tiếp vào một mục tiêu khi viên đạn trúng mục tiêu thì thôi (các phát súng độc lập nhau ). Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,6. Tính xác suất để bắn đến viên thứ 4 thì ngừng bắn HD: Gọi Ai là biến cố trúng đích lần thứ 4 H là biến cố bắn lần thứ 4 thì ngừng H  A1  A2  A3  A4 .. Vậy P  H   0, 4.0, 4.0, 4.0, 6  0, 0384. Bài 17: Từ một hộp đựng 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi đỏ . Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu HD: n     C102 A là biến cố lấy 2 viên bi trắng n  A   C32 B là biến cố lấy 2 viên bi đỏ n  B   C72 H là biến cố lấy hai viên bi cùng màu H  A  B . C2  C2 Vậy P  H   P  A   P  B   3 2 7 C10 Bài 18: Hai cầu thủ sút phạt đền. Mỗi nười đá 1 lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn HD: A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn B là cầu thủ thứ hai lam bàn H là biến cố ít nhất 1 trong ai cầu thủ làm bàn H  ( A  B)  A  B   A  B . . . P  H   0,8.0,3  0, 2.0, 7  0,8.0, 7  0, 24  0,14  0,56  0,94 Bài 19: Gieo 3 đồng xu đối xứng và đồng chất. Tính xác suất để có ít nhất có một mặt sấp xuất hiện HD: n     2.2.2  8 B là biến cố “ Có ít nhất một mặt sấp xuất hiện ” 1 1 7 n( B ) = 1  P( B ) =  P(B) = 1   8 8 8 Bài 20: Từ một hộp chứa 3 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tìm xác suất để lấy được 2 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu đen ? 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. C32 .C51 15  C83 56 Bài 21: Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi. Mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh học thuộc 80 câu. Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi có 4 câu học thuộc 5 1 HD: Chọn 5 câu làm một đề n     C100 ; n  A   C804 .C20 HD:. n     C83 ; n  A   C32 .C51  P  A  . 1 C804 .C20  P  A  5 C100 Bài 22: Một phòng có 40 thí sinh được xếp vào 20 bàn, mỗi bàn có đủ 2 học sinh. Tính xác suất để hai học sinh A và B cùng ngồi một bàn ? HD: Chọn hai học sinh để xếp vào 20 bàn có n     C402. có 1 cách chọn A và B và có 20 cách 20 Xếp học sinh vào bàn vậy có: P(A) = 2 C40 Bài 23: Gieo hai con xúc xắc vô tư . Tính xác suất của biến cố “Tổng số chấm trên hai mặt ít nhất bằng 6” Giải n     6.6  36 A là biến cố tổng số chấm trên hai mặt ít nhất bằng 6  n( A ) = 1,1 , 1, 2  , 1,3 , 1, 4  ,  2, 2  ,  2,3 =10 26 13  36 18 Bài 24: Cho ba hộp giống nhau, mỗi hộp 7 bút chỉ khác nhau về màu sắc Hộp thứ nhất: Có 3 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh, 2 bút màu đen Hộp thứ hai: Có 2 bút màu đỏ, 2 màu xanh, 3 màu đen Hộp thứ ba: Có 5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen Lấy ngẫu nhiên một hộp, rút từ hộp đó ra 2 bút 1/ Tính xác suất để hai bút màu xanh 2/ Tính xác suất hai bút không có màu đen HD: 1/ Ai là biến cố rút được hộp thứ i; i =1,2,3 P(Ai) = 1/3.  n( A) = 26  P(A) =. A là biến cố rút được hộp thư i A  A1  A2  A3 ;. 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tại liệu LTĐH 2009 -2010. GV: Lưu Xuân Hiển. n     C72 ; P  A1  . 1  P  A2  , P  A3   0 . C72.  2 1 1 B là biến cố 2 bi mầu xanh ; P  B    2. 2  0   . 3  C7  63 1 2/ C là biến cố “Hai bút được chọn không có mầu đen” có cách 3 chọn hộp C2 C2 C2 Chọn hôp A1 .Có P  A1   52 , P  A2   42 , P  A3   62 C7 C7 C7 1  C52  C42  C62  31 Vậy có P  C     3 C72  63 Bài 25: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51. Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai ? HD: A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai A là biến cố ba lần sinh toàn con gái Bi là biến cố lần thứ i sinh con gái (i=1,2,3), A  B1  B2  B3.  . P  A   1  P A  1  P  B1  P  B2  P  B3   1   0, 49   0,88 3. Bài 26: Có 9 tấm thẻ ghi các số từ 1 đến 9. Trên mỗi thẻ, ghi 1 số khác nhau. Chon ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ. Tính xác suất tích hai thẻ đã chọn là số chẵn ? HD: n     C92 Để tích 2 thẻ là số chẵn thì có 1 thẻ chẵn 1 thẻ lẻ hoặc 2 thẻ chẵn A là biến cố chọn thẻ số chẵn B là biến cố chon được thẻ số lẻ C là biến cố tích là số chẵn C   A  B    A  A . C41 .C51  C42 =26/36 P  C   P  A  B   P  A  A  C92. 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>