Các bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>các bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng I. Đường thẳng :( Phân dạng cố tính tương đối) Câu 2.Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC, biết trung điểm của c¸c c¹nh lµ : M(-1;-1), N(1;9), P(9;1). Câu 3.Cho tam giác ABC, biết các cạnh AB, AC, BC lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình 4 x  3 y  1  0 , 3x  4 y  6  0 và y  0 . a)Viết phương trình đường phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC. b)Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. C©u 4.Cho ®iÓm A(1;1). H·y t×m ®iÓm B trªn ®­êng th¼ng y=3, vµ ®iÓm C trªn trôc hoành , sao cho ABC là tam giác đều. C©u 5.Cho tam gi¸c víi mét c¹nh cã trung ®iÓm lµ M(-1;1), cßn hai c¹nh kia cã phương trình là x  y  2  0 và 2 x  6 y  3  0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. Câu 7. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B(2;-1), đường cao và phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là 3x  4 y  27  0 ; x  2 y  5  0 . Câu 8. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là x  2 y  1  0 và y  1  0 . 3 2 tâm của tam giác thuộc đường thẳng 3x  y  8  0 . Tìm tọa độ đỉnh C. C©u 11. Cho hai ®iÓm A(-1;3), B(1;1) vµ ®­êng th¼ng d : y  2 x .. Câu 10. Cho diện tích tam giác ABC là S  ; hai đỉnh là A(2;-3), B(3;-2) và trọng. Xác định điểm C trên d sao cho ABC là tam giác đều. Câu 12. Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2;-1) sao cho đường thẳng đó cïng víi hai ®­êng th¼ng d1 : 2 x  y  5  0 vµ d 2 : 3x  6 y  1  0 t¹o ra mét tam gi¸c cân có đỉnh là giao điểm của d1 , d 2 . C©u 13. Cho ®iÓm P(3;0) vµ hai ®­êng th¼ng d1 : 2 x  y  2  0 vµ d 2 : x  y  3  0 . Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1 , d 2 lần lượt ở A và B. Viết phương trình của d biết PA=PB. Câu 14.Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(2;1) và tạo với đường thẳng 2 x  3 y  4  0 mét gãc b»ng 45 0 . Câu 15. Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó bằng 3. Câu 16. Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-4;5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng 7 x  y  8  0 . Lập phương trình các cạnh và đường chéo còn lại của nó. Câu 18.Lập phương trình các cạnh của hình vuông , biết hình vuông đó có một đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có phương trình 7 x  y  8  0 . C©u 19.(NguyÔn Thµnh Giang-Chuyªn H­ng Yªn-THTT419)   1350 và khoảng cách từ M đến đường thẳng Cho A(1;2), B(4;3). T×m M sao cho MAB AB b»ng. 10 . 2. Hướng dẫn :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 4. B 10. M A. 2. H. 5. Câu 20.(Nguyễn Lái-Chuyên Lương Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418) Cho ( d1 ): 3 x  y  3  2  0 , ( d 2 ): 3 x  y  3  2  0 , vµ A lµ giao ®iÓm cña ( d1 ) vµ ( d 2 ). Xách định đường thẳng (  ) cắt ( d1 ), ( d 2 ) lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC đều và có diện tích bằng 3 3 . Hướng dẫn: 4. 2. A 600. 5. H. B. C. -2. Câu 21. (Dương Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417) Cho ta gi¸c ABC, biÕt A(1;2); ®­êng ph©n gi¸c trong vµ ®­êng trung tuyÕn kÎ tõ B lần lượt là: 2 x  y  5  0 và 7 x  y  15  0 . Tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 8. C. 6. M A'. 4. H A 2. B. -5. 5. C©u 22.(THTT415) Cho tam gi¸c ABC, cã AB  2 AC ;®­êng ph©n gi¸c trong gãc A lµ (AD): x  y  0 ; vµ ®­êng cao (BH): 3x  y  16  0 . BiÕt ®iÓm M(4;10) thuéc ®­êng th¼ng (AB). T×m täa độ các đỉnh A, B và C. Hướng dẫn: M. 10. 8. I. B 6. M'. 4. C. 2. A O. 5. 10. C©u 23.(THTT413) Cho tam gi¸c ABC, cã A(-1;1), trùc t©m H(1;3), trung ®iÓm cña BC lµ M(5;5). X¸c định tọa các đỉnh B và C. Hướng dẫn: x  5  t . Suy ra B(5  t;5  t ), C (5  t;5  t ) vµ y  5t     AC  (6  t ; 4  t ), HB  (4  t ; 2  t ) . Khi đó : AC.HB  0  t 2  16. Ta cã ( BC ) : . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 10. B. 8. 6. M. 4. H 2. A. C. 5. 10. C©u 24.(THTT359) Cho h×nh thoi ABCD cã A(0;2), B(4;5) vµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo n»m trªn đường thẳng (d): x  y  1  0 . Tìm tọa độ của C và D. Hướng dẫn: B. 4. A 2. I C 5. -2. D. C©u 25.(NguyÔn Thµnh Giang-Chuyªn H­ng Yªn-THTT358) Cho A(1;1), B(2;3). Lập phương trình đường thẳng (d) cách A một khoảng bằng 2, c¸ch B mét kho¶ng b»ng 4. Hướng dẫn: 4. B. 2. A. M. H. K. -2. C©u 26.(NguyÔn V¨n Th«ng-Chuyªn Lª Quý §«n-§µ N½ng-THTT356). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Cho (d1 ) : 3x  y  4  0, (d 2 ) : x  y  6  0, (d3 ) : x  3  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vu«ng ABCD biÕt: A, C thuéc (d3 ) , B thuéc (d1 ) , C thuéc (d 2 ) . Hướng dẫn: 4. A 2. D. B. C. 5. Câu 27.(Phan Tuấn Cộng-Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương-THTT343) Cho tam gi¸c ABC, cã A(1;0), c¸c ®­êng cao (BH): x  2 y  1  0 , (CH): 3x  y  1  0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hướng dẫn: C. 4. 2. H A -5. B. -2. Bài tập tương tự: 27.1.Cho tam giác ABC đỉnh A(2;2). Lập phương trình các cạnh của tam giác , biết : 9 x  3 y  4  0 , x  y  2  0 lần lượt là các đường cao kẻ từ B và C. 27.2. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4;5) và hai đường cao có phương trình 5 x  3 y  4  0 và 3x  8 y  13  0 . 27.3. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5 x  3 y  2  0 , các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4 x  3 y  1  0 ; 7 x  2 y  22  0 . Lập phương trình hai cạnh AC, BC vµ ®­êng cao thø ba. C©u 28.(HSG12A-NA: 2007-2008) Cho tam gi¸c ABC cã A(2;-3), B(3;-2), träng t©m G thuéc ®­êng th¼ng (d): 3 x  y  8  0 , vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c b»ng. tam gi¸c ABC. Hướng dẫn:. Lop12.net. 3 . TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 5. C. G. -2. B. A -4. f x =. C©u 29.(HSG12B-NA:2011-2012)(§Ò nµy cã sai) Cho tam giác ABC có A(2;-1). Đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt là x  2 y  1  0, x  y  3  0 .Viết phương trình đường thẳng BC. 1 x+ Hướng dẫn: 2.  1 2. 4. A'. 2. x-2 y+1=0. x+y+3=0. O. -5. A. 5. -2. -4. A''. C©u 30.Cho A(4;1), B(0;4). T×m ®iÓm M thuéc (d): 3x  y  1  0 sao cho MA  MB lín nhÊt. Hướng dẫn:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 6. M0. 4. B M. A'. 2. A. O. 5. Ta cã MA  MB  MA ' MB  A ' B . Bài tập tương tự: 30.1)Cho A(-7;1), B(-5;5) vµ (d): 2 x  y  5  0 . T×m ®iÓm M thuéc (d) sao cho MA  MB nhá nhÊt. 30.2)Cho A(-3;2), B(2;5). T×m ®iÓm M thuéc trôc Oy sao cho MA  MB lín nhÊt. 30.3)(HSG12A-NA:2011-2012) Cho (C): ( x  1)2  ( y  1)2  25 vµ A(7;9), B(0;8). T×m ®iÓm M thuéc (C) sao cho biÓu thức P  MA  2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn: 10. A 8. 6. B. M M0. 4. J 2. I. -5. O. 5. 10. -2. -4. 5 2 VËy min P  5 5 khi MB  MJ  BJ hay M  M 0 (1;6) .. LÊy J ( ;3) . Ta cã: MA  2MJ . Suy ra P  MA  2MB  2( MJ  MB)  2 BJ  5 5 . ( Bài toán gốc: Cho hai điểm cố định A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) .Tìm quỹ tích của điểm M sao cho MA  k .MB ( víi k  0, k  1 )). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 30.4)Cho đường thẳng d có phương trình 2 x  y  1  0 , và hai điểm A(1;6), B(-3;-4). Tìm điểm M trên  sao cho vec tơ AM  BM có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn: 6. A. 4. A'. M 2. C -5. 5 -2. B. -4. -6.      8 5 Ta cã MA  MB  CM  MB  CB  d ( B,  ')  d ( A, )  d ( B, )  . 5. II.Đường tròn: (Phân dạng có tính tương đối) Câu 1. Cho tam giác ABC, biết : A(-1;3), B(1;1), C(2;4). Viết phương trình đường trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. C©u 2.Cho hai ®­êng trßn ( C1 ) x 2  y 2  6 x  5  0 vµ ( C 2 ) x 2  y 2  12 x  6 y  44  0 Xác định các đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn trên. C©u 3.Cho c¸c ®­êng trßn ( C ) x 2  y 2  1  0 vµ ( C m ) x 2  y 2  2(m  1) x  4my  5  0 a)Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ( C m ) khi m thay đổi. b)Chøng minh r»ng cã hai ®­êng trßn ( C m ) tiÕp xóc víi ®­êng trßn (C), øng víi hai giá trị của m. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C m ) đó. Câu 4.Cho họ đường tròn ( C m ) có phương trình : x 2  y 2  (m  2) x  2my  1  0 . a)T×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn ( C m ). b)Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các đường tròn ( C m ) đều đi qua một điểm cố định. c)Cho m=-2 và điểm A(0;-1). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn ( C 2 ) kÎ tõ ®iÓm A. Câu 5.Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;-2) và các giao điểm của đường th¼ng x  7 y  10  0 víi ®­êng trßn x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 . C©u 6. (NguyÔn Thµnh Giang-Chuyªn H­ng Yªn-THTT419) Cho A(2;3) lµ mét trong hai giao ®iÓm cña ( C1 ) : x 2  y 2  13 vµ ( C 2 ): x 2  y 2  12 x  11  0 . Viêt phương trình đường thẳng đi qua A và cắt ( C1 ),( C 2 ) theo hai dây cung khác nhau có độ dài bằng nhau. Hướng dẫn:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 6. K. 4. H. A. 2. I O. 5. 10. -2. -4. -6. Câu 7.(Nguyễn Lái-Chuyên Lương Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418) Lập phương trình đường tròn bán kính R  2 , có tâm I nằm trên đường thẳng ( d1 ): AIB  1200 . x  y  3  0 , vµ c¾t ( d 2 ): 3 x  4 y  6  0 t¹i hai ®iÓm A, B sao cho . Hướng dẫn : 4. A. I. 2. H. B 5. Câu 8.(THTT413)(Tài liệu chuẩn không nhắc đến phương tích) Cho M(2 ;1) và (C) : ( x  1)2  ( y  2)2  5 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất. Hướng dẫn : Ta chøng minh AB ng¾n nhÊt khi MA=MB. 4. 2. A. I M. B. 5. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  . P. ThËt vËy. M/(C)= MA.MB  d  R 2. 2. . Suy ra MA.MB  5 .. Mµ AB  MA  MB  2 MA.MB  2 5 . Suy ra min AB  2 5 khi MA  MB . Câu 9.(Huỳnh Tấn Châu-Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên-THTT) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ;5), B(4 ;1) và tiếp xúc với đường th¼ng (d) : 3x  y  9  0 . Hướng dẫn : 6 A. 4. M. H 2. I. B. 5. -2. C©u 10.(HSG12A-NA :2006-2007) Cho tam gi¸c ABC v«ng t¹i B, néi tiÕp ®­êng trßn (T) : ( x  1)2  ( y  2)2  5 , cã A(2 ;0) và diện tích tam giác bằng 4. Tìm tọa độ của B và C. Hướng dẫn : A 5. -2. T K. C. -4. B. C©u 11.(HSG12B-NA :2007-2008) Cho (C) : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 vµ (d) : x  y  1  0 . Tõ ®iÓm M thuéc (d), kÎ hai tiÕp tuyến MA, MB đến (C)(A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên (d). Hướng dẫn :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 4. A I. A. 2. H. I. H. M. H0 B. d. B. O. 5. M. Ta cã I(1 ;2), R=1 vµ M  (d )  M (m; m  1) (víi m lµ tham sè). . Khi đó MH . d 2  R 2  2m 2  7 m  9 4m 2  15m  17 . MI  H ( ; ) d2 2m 2  8m  10 2m 2  8m  10. 3  x  2m  7 m  9 4m  15m  17  2 )  (m  3)( y  )  0, m   Suy ra (AB) : (m  1)( x  2 . 2 3 2m  8m  10 2m  8m  10 y   2 3 3 VËy (AB) lu«n ®i qua ®iÓm H 0 ( ; ) . 2 2 2. 2. C©u 12.(HSG12B-NA:2010-2011) Cho tam gi¸c ABC, cã trong t©m G(1;2). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. BiÕt đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hướng dẫn: A I L. M. H. F. E K. J. B. G N. C D. Ta cã D, K, E, M, I, L, F, J, N cïng thuéc mét ®­êng trßn (T) : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 Mµ V(G ;2) (DEF )  ABC . Suy ra V(G ;2) ((T ))  (T ') : ( x  1)2  ( y  10)2  4 . C©u 13.(§H2011A-ChuÈn) Cho (  ): x  y  2  0 vµ (C): x 2  y 2  4 x  2 y  0 . Gäi I lµ t©m cña (C) vµ M lµ ®iÓm thuộc (  ). Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là hai tiếp điểm). Tìm M, biết diÖn tÝch tø gi¸c MAIB b»ng 10. Hướng dẫn:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 4. A. 2. M. d. I. 5. B -2. Ta cã M  ()  M (t; 2  t ) . III.Elip: Câu 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho elip (E) 4 x 2  y 2  4 và hai điểm M(-2; m), N(2; n) . Gọi A1 , A2 là các đỉnh trên trục lớn của (E). Hãy viết phương trình các đường thẳng A1 N và A2 M , và xác định giao điểm I của chúng. Câu 2.Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) tiếp xúc với các đường thẳng 3 x  2 y  20  0 vµ x  6 y  20  0 . x2 y2   1 và điểm M(1;1). Lập phương trình đường thẳng qua M và C©u 3. Cho elip 25 16. c¾t elip t¹i hai ®iÓm A, B sao cho MA=MB. x2 y2 x2 y2   1 vµ   1. C©u 4. Cho hai elip 16 1 9 4. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai elip. C©u 5. Cho elip (E). x2 y2   1 vµ hai ®­êng th¼ng d1 : ax  by  0 , d 2 : bx  ay  0 9 4. víi a 2  b 2  0 . a)Xác định các giao điểm M, N của d1 với (E), và các giao điểm P, Q của d 2 với (E) b)TÝnh theo a, b diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ. c)Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy lớn nhất . Câu 6.(Dương Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417) Cho A(3;0) vµ (E):. x2 y 2   1 .T×m B, C  (E) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A. 9 1. Hướng dẫn:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 2. B A 5. C. -2. C©u 7.(NguyÔn V¨n Th«ng-Chuyªn Lª Quý §«n-§µ N½ng-THTT369) x2 y 2 Cho (d): x  2 y  2  0 vµ (E):   1 ; (d) c¾t (E) t¹i B, C. 8 4. a)T×m A thuéc (E) sao cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. b)Tìm A thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn: 2. C. M. B. -2. A. x0  2 y0  2 1 BC. AH , AH  , A( x 0 ; y0 )  ( E ) . 2 3 Vµ ( x0  2 y0 )2  ( x02  2 y02 ).2  16  4  x0  2 y0  4  AH  2 3 .. b)Ta cã S. ABC . Bài tập tương tự: (Sáng tạo) 7.1)Cho elip (E) ®i qua ®iÓm B(0;2) vµ cã mét tiªu ®iÓm lµ F(  5 ;0). T×m ®iÓm A thuéc (E) sao cho tam gi¸c ABF cã diÖn tÝch lín nhÊt. 3 2. 7.2)Cho elip (E) ®i qua ®iÓm A(-3;0) vµ ®iÓm B( ; 3 ) .T×m ®iÓm M thuéc (E) sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. C©u 8.(HSG12A-NA:2006-2007) Cho tam gi¸c ABC cã B(-3;0), C(3;0) vµ AH=3r( víi AH lµ ®­êng cao, r lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC , t©m lµ I). Chøng minh I thuéc mét ®­êng cong cè định khi A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện trên). Hướng dẫn:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> A 4. 2. I. C. B K. H. -2. 1 2. 1 2. Gäi I(x;y). Ta cã : S ABC  BC. AH  ( AB  BC  CA).IK vµ AH  3IK . Suy ra AB  AC  2 BC  sin C  sin B  2sin A  cot. B C BK CK .cot  3  . 3 2 2 IK IK. x2 y 2  1. 9 3 x2 y 2 C©u 9.(S¸ng t¹o) Cho (E) :   1 .T×m c¸c ®iÓm A, B thuéc (E) sao cho OAB lµ 4 1  BK .CK  3IK 2 . tam giác vuông tại O, và có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Hướng dẫn: A. O B. TH1)Nếu A, B là hai đỉnh của (E) thì SOAB  1 . 1 k 2k. TH2)Ta cã (OA): y  kx , (OB): y   x ( k  0 ). Suy ra A( hoÆc A(. 2 1  4k 2. 2. ;. 2k 1  4k 2k. 2. ) vµ B(. 4k 2k. 2. ;. 2 4  k2 2. ),. ; ) vµ B( ; ), 1  4k 2 1  4k 2 4  k2 4  k2 2 2k 2k 2 ; ) vµ B( ; ), hoÆc A( 1  4k 2 1  4k 2 4  k2 4  k2 2 2k 2k 2 ; ) vµ B( ; ). hoÆc A( 1  4k 2 1  4k 2 4  k2 4  k2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Khi đó: S. 2 OAB. 4(1  k 2 ) 2  . (1  4k 2 )(4  k 2 ). XÐt hµm sè f (t ) . 4(1  t ) 2 36t 2  36 , (t  k 2  0) . Ta cã f '(t )  , (1  4t )(4  t ) (4t 2  17t  4) 2. f '(t )  0  t  1 .. B¶ng biÕn thiªn: t. +. 1. 0. f'(t). 0. f(t) 16 25. 2 2 2 2 4 khi A( ; ) vµ B( ; ) , 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 hoÆc A( ;  ) vµ B( ; ) , hoÆc A( ; ) vµ B( ;  ) , 5 5 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 hoÆc A( ;  ) vµ B( ;  ) . 5 5 5 5. Suy ra min SOAB . Bài tập tương tự: 9.1)Cho (E) :. x2 y 2   1 .T×m c¸c ®iÓm A, B thuéc (E) sao cho OA vu«ng gãc víi OB, 4 1. và độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Hướng dẫn: 1 1 1 1 5     . 2 2 OA OB 4 1 4 2 2 x y 9.2)Cho (E):   1 vµ (C) : 25 x 2  25 y 2  144 . §­êng th¼ng  tiÕp xóc víi (C) vµ 16 9. Ta cã:. c¾t (E) t¹i hai ®iÓm A, B. a)Chøng minh tam gi¸c OAB vu«ng t¹i O. b)Lập phương trình đường thẳng  khi tam giác OAB có diện tích lớn nhất. . .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>