Tài liệu tham khảo Bất đẳng thức đại số

<span class='text_page_counter'>(1)</span>tµi liÖu tham kh¶o. bất đẳng thức đại số. I.KiÕn thøc c¬n b¶n: 1.C¸c bÊt d¼ng thøc th«ng dông: a) A : A 2  0 , A 2  0  A  0 . b)Cho a  0 , ta cã: A  a  a  A  a .  A  a . A a A  a c) a, b : a  b  a  b  a  b .. 2.§¼ng thøc liªn quan:. . . 1 (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2 . 2 3 3 3 b) a  b  c  3abc  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca) .. a) a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca . II.C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Chøng minh r»ng a, b  0 , ta cã : a  b  2 ab . Vµ a  b  2 ab  a  b . (Bất đẳng thức Cô-Si). Chøng minh: Ta cã a  b  2 ab  ( a  b ) 2  0 . Suy ra a  b  2 ab  0 . VËy a  b  2 ab . Vµ a  b  2 ab  a  b  2 ab  0  ( a  b ) 2  0  a  b  0  a  b . VÝ dô 2: Chøng minh r»ng a, b, c  0 , ta cã : a  b  c  33 abc . Vµ a  b  c  33 abc  a  b  c . (Bất đẳng thức Cô-Si). Chøng minh: Ta cã a  b  c  33 abc  (3 a  3 b  3 c ) 3 a  3 b   3 b  3 c   3 c  3 a   2 3 Suy ra a  b  c  3 abc  0 . VËy a  b  c  33 abc . Vµ a  b  c  33 abc  a  b  c . VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (ac  bd ) 2 , a, b, c, d . DÊu “=” x¶y ra khi nµo ? (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ). Chøng minh: Ta cã (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (ac  bd ) 2  a 2 d 2  b 2 c 2  2acbd  (ad  bc) 2  0 . Suy ra (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (ac  bd ) 2  0 . VËy (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (ac  bd ) 2 . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi ad  bc . VÝ dô 4: Chøng minh r»ng : ( x12  y12  z12 )( x 22  y 22  z 22 )  ( x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2 ) 2 , x1 , x 2 , y1 , y 2 , z1 , z 2 . DÊu “=” x¶y ra khi nµo ? (Bất đẳng thức Bunhiacôxki ). 1. 2. 2. 2.  0. . 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chøng minh: ( x12  y12  z12 )( x 22  y 22  z 22 )  ( x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2 ) 2  x12 y 22  y12 x 22  x12 z 22  z12 x 22  y12 z 22  z12 y 22  2 x1 x 2 y1 y 2  2 x1 x 2 z1 z 2  2 y1 y 2 z1 z 2 : luôn đúng.. VÝ dô 5: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc. Chøng minh r»ng : 2. a). a2  b2  a  b     ab . 2  2  3. a3  b3  a  b  b)   ,víi a  b  0 . 2  2  2. a2  b2  c2  a  b  c  ab  bc  ca c) .    3 3 3   3. a3  b3  c3  a  b  c  d)    abc . 3 3  . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ? VÝ dô 6: Cho a 2  b 2  1 . Chøng minh r»ng :  2  a  b  2 . Chøng minh: Ta cã (a  b) 2  2(a 2  b 2 )  2 . Suy ra (a  b) 2  2  a  b  2 . VËy  2  a  b  2 . VÝ dô 7:Chøng minh r»ng a, b ta cã : a 2  b 2  ab  0 . DÊu “=” x¶y ra khi nµo ? Chøng minh: 2. 1 3 1 3 Ta cã a  b  ab  a  ab  b 2  b 2   a  b   b 2  0 . 4 4 2  4  1  a  b  0 2 2  a  b  0. Suy ra a  b  ab  0 . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi  2 b  0 2. 2. 2. III.C¸c bµi tËp: Bài 1. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng : 1 1 4   . x y x y 1 1 1 9 b)    . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ? x y z x yz Bµi 2.Cho a  b  2 . Chøng minh r»ng : a 4  b 4  2 .. a). Bµi 3. Cho a, b  0 . Chøng minh r»ng:. a b. . b a.  a b .. Bài 4.Chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì, ta luôn có a3 b3 c3 abc    . 2 2 2 2 2 2 3 a  ab  b b  bc  c c  ca  a a3 2a  b  (Hướng dẫn: Ta có 2 ). 2 3 a  ab  b Bµi 5. Cho x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn x 2  y 2  z 2  1 . Chøng minh r»ng : 1   xy  yz  zx  1 . 2. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi 6. Cho 3 sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng : a) (ab  bc  ca) 2  3acb(a  b  c) . b) a 2  b 2  c 2  d 2  (a  c)2  (b  d )2 . Hướng dẫn: a 2  b 2  c 2  d 2  (a  c)2  (b  d )2  a 2  b 2 . c 2  d 2  ac  bd , DÊu “=” xÈy ra khi ad  bc  0 . c) a 3  b3  c3  6abc  (a  b  c)(ab  bc  ca) ; d) (a  b  c)3  9abc  4(a  b  c)(ab  bc  ca) . Bµi 7.Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng : a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  3 (a  b  c) . 3 (a  b) ). 2 1 1 2   Bµi 8.a)Cho ab  1 . Chøng minh r»ng : . 2 2 1  ab 1 a 1 b 1 1 1 3    b)Cho a, b, c  1 . Chøng minh r»ng : . 3 3 3 1  abc 1 a 1 b 1 c. (Hướng dẫn: Ta có a 2  ab  b 2 . Hướng dẫn:. 1 1 2 (b  a ) 2 (ab  1) a)     0. 1  a 2 1  b 2 1  ab (1  a 2 )(1  b 2 )(1  ab) 1 1 1 1    . b)¸p dông c©u a) cho biÓu thøc 3 3 3 1  abc 1 a 1 b 1 c. áp dụng bất đẳng thức Cô si :. Bài 9.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab cb   4 . DÊu “=” xÈy ra khi nµo? 2a  b 2c  b. 1 1 2   . Chøng minh r»ng a c b. Hướng dẫn:. 1 1 2 2ac   . Suy ra b  . a c b ac ab c  b a  3c 3a  c 3 c a     1  (  )  4 . DÊu “=” xÈy ra khi a=b=c. Vµ 2a  b 2c  b 2a 2c 2 a c. Ta cã. Bài 10.Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 2. 2. 2. 3. 3. 3. 1 x  1 y  1 z  1 x  1 y  1 z         3 vµ        3.  2   2   2   2   2   2 . DÊu “=” xÈy ra khi nµo? Bµi 11.Cho x, y, z thuéc ®o¹n [0; 1] . Chøng minh r»ng : x y z 3 1 1 1       . 2 2 2 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z. Hướng dẫn: x 1  . 2 2 1 x 1 1 1 9 3     . vµ 1 x 1 y 1 z 3  x  y  z 2 Bài 12.Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rằng :. Ta cã. 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 1 abc  2  2  . 2abc a  bc b  ca c  ab 2. Hướng dẫn:. 1 bc b  c   . a  bc 2abc 4abc bc 1 1 1 1    2 . Chøng minh r»ng : abc  . Bµi 13. Cho a, b, c  0 vµ 1 a 1 b 1 c 8. Ta cã a 2  bc  2a bc . 2abc. . Suy ra. 2. Hướng dẫn: 1 1 1 1 b c bc   2   2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c (1  b)(1  c) 1 8abc  Suy ra . (1  a )(1  b)(1  c) (1  a )(1  b)(1  c) Bµi 14. Cho a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a  b  c  1 . Chøng minh r»ng :  1  1  1  1  1  1    64 .  a  b  c . Hướng dẫn: 1 a  1 a  b  a  c 2 ab  2 ac 44 a 2 bc     . a a a a a Bµi 15.Cho a, b  1 . Chøng minh r»ng : a b  1  b a  1  ab . 1. Hướng dẫn: a b  1  b a  1  ab . a 1 b 1  1 a b. a 1 a 11 1   . a 2a 2 Bµi 16. Cho a, b, c  0 . Chøng minh r»ng : 1 1 1 11 1 1       . 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4  a b c  1 1 4 Hướng dẫn: áp dụng   (x, y >0 ). x y x y Bµi 17. Cho a, b, c  0 . Chøng minh r»ng : 1 1 1 11 1 1       . ab bc ca 2a b c 1 1 4 Hướng dẫn: áp dụng   (x, y >0 ). x y x y. mµ. Bµi 18. Cho a, b, c  0 . Chøng minh r»ng : a b c 3    ; bc ca ab 2 a2 b2 c2 abc    b) . bc ca ab 2 a b c d     2. c) bc cd d a ab. a). 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> d). a b c b  c c  a a  b 15       . bc ca ab a b c 2. Hướng dẫn:. a b c 3 1 1 1 9     (a  b  c)(   ) . bc ca ab 2 bc ca ab 2 1 1 1  (2a  2b  2c)(   )  9 : luôn đúng. bc ca ab a2 b2 c2 abc a b c 3     (a  b  c)(   )  (a  b  c) . b) bc ca ab 2 bc ca ab 2 a a 2a   c) . bc a (b  c) a  b  c. a). Bµi 19. Cho a, b  0 vµ a  b  1 . Chøng minh r»ng : a). 1 1  2 6 ; ab a  b 2. b). Hướng dẫn:. 2 3  2  14 . ab a  b 2. 1 1  2  6  a 2  b 2  ab  6ab(a 2  b 2 )  12a 2 b 2  7 ab  1  0 . 2 ab a  b 1 Đặt t  ab , với t  . Suy ra f (t )  12t 2  7t  1  0 : luôn đúng. 4 Bµi 20.(§H2011A)Cho x, y, z lµ ba sè thùc thuéc ®o¹n [1; 4] vµ x  y, x  z . x y z   T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P  . 2x  3y y  z z  x. a). Hướng dẫn: P. 1 y 23 x. . 1 z 1 y. . 1 x 1 z. . (áp dụng bất đẳng thức :. 1 y 23 x. 2.  1. x y. .. 1 1 2   ( ab  1 ). DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 1  a 1  b 1  ab. a  b hoÆc ab  1 ). DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x  y hoÆc x  z (1).. §Æt. t2 2 x  .  t , víi t  1;2 . Ta cã P  2 y 2t  3 1  t. t2 2  , víi t  1;2 . Ta cã f ' (t )  0 . 2 2t  3 1  t x 34 Suy ra f (t )  f (2)  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t  2   4  x  4, y  1 (2). y 33 34 Suy ra P  . Tõ (1) vµ (2) suy ra dÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi : x  4, y  1, z  4 . 33 34 VËy min P  , khi : x  4, y  1, z  4 . 33. XÐt hµm sè f (t ) . Bài 21.(ĐH2011B)Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a 2  b 2 )  ab  (a  b)(ab  2) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  a3 b3   a 2 b2  P  4 3  3   9 2  2  . a  b a  b. 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Hướng dẫn:. §Æt t   , ta cã P  4t 3  3t   9t 2  2  4t 3  9t 2  12t  18 . a b. b a. Víi 2(a 2  b 2 )  ab  (a  b)(ab  2)  2    1    (ab  2) a b. b a. 1 b. 1 a. 2 2 a b a b 1 1 a b  2    1    (ab  2)  2    1  a  b    2 2 (  ) a b b a b a b a b a a b 5 a b  2    1  2 2 (  )  2t  1  2 2 t  2  4t 2  4t  15  0  t  . b a 2 b a Bµi 22.(§H2009D)Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x  y  1 . T×m gi¸ trÞ. nhá nhÊt cña biÓu thøc S  (4 x 2  3 y )(4 y 2  3x)  25 xy . Bài 23.(ĐH2009B)Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn ( x  y ) 3  4 xy  2 .Tìm giá trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 . Hướng dẫn: 9 2 ( x  y 2 ) 2  2( x 2  y 2 )  1 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x 2  y 2 . 4 §Æt t  x 2  y 2 , víi ( x  y ) 3  4 xy  2  ( x  y ) 3  ( x  y ) 2  2  0  x  y  1 A. ( x  y) 2 1 1  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x  y  . 2 2 2 1 1 Suy ra t  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x  y  . 2 2 9 9 9 Vµ A  t 2  2t  1 . XÐt hµm sè f (t )  t 2  2t  1 , ta cã f ' (t )  t  2  0 . 4 4 2 1 9 1 1 Suy ra f (t )  f ( )  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t   x  y  . 2 16 2 2 9 1 Suy ra A  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x  y  . 16 2 9 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng ; khi x  y  . 16 2. Suy ra x 2  y 2 . Bài 24.(ĐH2009A)Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x( x  y  z )  3 yz , ta cã ( x  y ) 3  ( x  z ) 3  3( x  y )( x  z )( y  z )  5( y  z ) 3 . Hướng dẫn: Ta cã x( x  y  z )  3 yz  ( x  y )( x  z )  4 yz  ( x  y ) 2  ( x  z ) 2  ( x  y )( x  z )  ( y  z ) 2 . Suy ra 3( x  y )( x  z )( y  z )  3.4 yz.( y  z )  3( y  z ) 2 .( y  z )  3( y  z ) 3 . vµ ( x  y ) 3  ( x  z ) 3  (2 x  y  z )( y  z ) 2  2( y  z ) 3 (v× 2 x  y  z  2( y  z ) ). Bài 25.(ĐH2005D)Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 1  x3  y3 1 y3  z3 1  z 3  x3   3 3 . xy yz zx. Bài 26.(ĐH2005A)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn r»ng. 1 1 1    4 . Chøng minh x y z. 1 1 1   1 . 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z. Hướng dẫn: 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ta cã. 1 1 1 1  1 2 1 1       . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi    2 x  y  z 4  x  y x  z  16  x y z . x=y=z . Tương tự ta có :. 1 1 1 2 1      , x  2 y  z 16  x y z  1 1 1 1 2      . x  y  2 z 16  x y z . 1 1 1 11 1 1         1 . 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 4  x y z  Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực x  0, y  0 thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 1 ( x  y ) xy  x 2  y 2  xy . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A  3  3 . x y. Suy ra. Hướng dẫn: 2. 1 1 1 1 3 Ta cã ( x  y ) xy  x  y  xy        x y x y xy 2. 2. 2. 2. 1 1 1 1 3 31 1              .  x y   x y  xy 4  x y . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y . 2. 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra     4    0    4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x  y  . 2 x y x y x y 2 3  1 1   1 1  3  1 1 Vµ A               64 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi xy   x y   x y   x y   1 x y . 2 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A b»ng 64; khi x  y  . 2. Bài 28.Cho a là số cố định, còn x, y là các số thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc A  ( x  2 y  1) 2  (2 x  ay  5) 2 . Hướng dẫn: x  2 y  1  0 cã nghiÖm  a  4 . 2 x  ay  5  0. a) min A  0  . b)Với a  4 . Khi đó A  ( x  2 y  1) 2  (2 x  4 y  5) 2 . 2. 6 9 9 §Æt t  x  2 y  1 . Ta cã A  t  (2t  3)  5t  12t  9  5 t     . 5 5  5 9 6 Suy ra A  .DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t   . 5 5 9 6 Suy ra min A  khi t   . 5 5 VËy nÕu a  4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0, 9 vµ nÕu a  4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng . 5 2. 2. 2. 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài tương tự: Cho các số thực x, y thỏa mãn x  2  2 y . Tìm giá trị lớn nhất của biÓu thøc H  5 x 2  20 y 2  20 xy  22 x  44 y  26 . Bµi 29. Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x 2  y 2  1  xy . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc T  x 4  y 4  x 2 y 2 . Hướng dẫn: 1 3. Ta cã x 2  y 2  1  xy  2 xy vµ x 2  y 2  1  xy  2 xy . Suy ra   xy  1 . vµ T  ( x 2  y 2 ) 2  3x 2 y 2  (1  xy) 2  3x 2 y 2  2 x 2 y 2  2 xy  1 . 3 1 ; min T  . 2 9 Bµi 30.Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0  x  3 , 0  y  4 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A  (3  x)(4  y )(2 x  3 y ) .. §Æt t  xy . Suy ra max T . Hướng dẫn: 3. 1 1 6  2 x  12  3 y  2 x  3 y  Ta cã A  (6  2 x)(12  3 y )(2 x  3 y )     36 . 6 6 3 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2. VËy maxA=36; khi x=0, y=2. Bµi 31.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n x  3 , y  4 , z  2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc F . x3  x. y4  y. z2 . z. Hướng dẫn: Ta cã: x  3 . ( x  3).3 x  3  3 x    3 2 3 2 3. x3 1 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ  x 2 3. khi x-3=3 hay x=6. Tương tự. y4 1  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi y=8. y 4. z2 1 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi z=4.  z 2 2 Bµi 32.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy  yz  zx  4 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F  x 4  y 4  z 4 .. Hướng dẫn: Ta cã x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  4 . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=  2 . F  x4  y4  z4 . ( x 2  y 2  z 2 ) 2 16  . 3 3. Bµi 33.Cho x, y, z > 0 vµ x+y+z=1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P . x y z   . x 1 y 1 z 1. Hướng dẫn: 1 1 1   ). x 1 y 1 z 1 1 1 1 1 1 1 9   )9(   ) . Mµ ( x  y  z  3)( x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 4 1 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= . 3. Ta cã P  3  (. 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3 4. 1 3. Suy ra P  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= . Bài 34.Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu bc ac ab .  2  2 2 2 a b  a c b a  b c c a  c 2b 1 1 1 Hướng dẫn: Đặt x  , y  , z  . Ta có xyz=1 và a b c 2 2 2 x y z x yz 3 P     . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1. yz zx x y 2 2. thøc P . 2. Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007) 3. sin x    a)Chøng minh r»ng :    cos x, x   0;  .  x   2 b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x  0, y  1, x  y  3 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ lín. nhÊt cña biÓu thøc P  x 3  2 y 2  3x 2  4 xy  5 x . Bµi 36.(HSG TØnh NA 2006)Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0  x  y   . Chøng minh r»ng ( x 3  6 x) sin y  ( y 3  6 y ) sin x . Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x  0, y  0, x  y  1 vµ m là số dương cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của tổng S . 1 m  . 2 xy x y 2. Bài 38.(HSG Tỉnh NA 2008)Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biÓu thøc P . bc a  3 bc. . ca b  3 ca. . ab c  3 ab. .. Hướng dẫn: a. Ta cã 3P  3  (. b. c. ). a  3 bc b  3 ca c  3 ab a b c   §Æt Q  . Ta cã a  3 bc b  3 ca c  3 ab a b c (   )(a  3 bc  b  3 ca  c  3 ab )  ( a  b  c ) 2 a  3 bc b  3 ca c  3 ab ( a  b  c )2 3 Q  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi a  b  c . 2 ( a  b  c )  ab  bc  ca 4 . . 3 4. Suy ra P  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi a  b  c . VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng. 3 ; khi a  b  c . 4. Bài 39.(HSG Tỉnh NA 2009)Cho các số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng 1 1 1 36    . 2 2 x y z 9  x y  y2 z2  x2 z2. Hướng dẫn: Ta cã 1 1 1 36     ( xy  yz  zx)(9  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  36 xyz  0 2 2 2 2 2 2 x y z 9 x y  y z  x z. . . . . 2 4  3 3 xyz 9  3 3 xyz   36 xyz  0   . . 3. xyz. . 4.  43 xyz  3  0 .. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x  y  z . Đặt t  3 xyz , với t>0. Ta có t 4  4t  3  0  (t  1) 2 (t 2  2t  3)  0 : luôn đúng. Bµi 40.(HSG TØnh NA 2010B) a)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n log 4 ( x  2 y )  log 4 ( x  2 y )  1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P  2 x  y . b)Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng ab bc ca 3    . ab  c bc  a ca  b 2. Hướng dẫn: ab bc ca  ab bc ca     . Ta cã A 2  3  . DÊu “=” ab  c bc  a ca  a  ab  c bc  a ca  b  1 9 xÈy ra khi a  b  c  . Suy ra A 2  . 3 4. b)§Æt A . Bµi 41.(HSG TØnh NA2010A) a)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n log 4 ( x  2 y )  log 4 ( x  2 y )  1 . Chøng minh r»ng 2 x  y  15 . b)Cho các số thực a, b, c không đồng thời bẳng 0, thỏa mãn (a  b  c) 2  2(a 2  b 2  c 2 ) . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P. a3  b3  c3 . (a  b  c)(ab  bc  ca). Hướng dẫn: 1 4. b)Ta cã (a  b  c) 2  2(a 2  b 2  c 2 )  ab  bc  ca  (a  b  c) 2 . Suy ra 3 3 3  4(a 3  b 3  c 3 ) a b c       P  4       . (a  b  c) 3  a  b  c   a  b  c   a  b  c   a b c §Æt x  , y , z . Ta cã abc abc abc x  y  z  1 y  z  1 x    1 1. 2  xy  yz  zx  4  yz  x  x  4 2 Vµ ( y  z ) 2  4 yz  3x 2  2 x  0  0  x  . 3  1  Suy ra P  4( x 3  y 3  z 3 )  4 x 3  (1  x) 3  (1  x) x 2  x    4 x 3  4 x 2  7 x  3 . 4   . XÐt hµm sè f ( x)  4 x 3  4 x 2  7 x  3 , víi x  0;  . Ta cã  3 2. f ' ( x)  12 x 2  8 x  7  0  x . 1 . 4 3 2. Bài 42.Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 x. 1 y. 1 z. biÓu thøc P  x  y  z    . Hướng dẫn: 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 3 1 1 1 1 1 1 9 §Æt t  x  y  z . Ta cã ( x  y  z )(   )  9     .Víi t   0;  .. x. y. z. x. y. z. t. . 2. 9 t. Suy ra P  t  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1. Bài 43.Cho các số thực dương x, y thỏa mãn. 2 3   6 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x y. thøc S  x  y . Bµi 44.Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x  y  1 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P . x y  . y 1 x 1. Bài 45.Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2  1 . Chứng minh rằng x y z 3 3 .  2  2  2 2 2 2 y z z x x y 2. Hướng dẫn: x2 y2 z2 3 3 x y z 3 3 .        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z z x x y x(1  x ) y (1  y ) z (1  z ) 2 XÐt hµm sè f (t )  t (1  t 2 ) , víi t  (0;1) . Ta cã f (t )  . 3 3. Ta cã. n. an  bn  a  b  Bµi 46.Cho n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1. Chøng minh r»ng   . 2  2 . Hướng dẫn: c 2. XÐt hµm sè f ( x)  x n  (c  x) n , víi c>0. Ta cã f ( x)  f ( ) . §Æt a  x , b  c  x . Suy ra a  b  0 . n. an  bn  a  b  VËy   . 2  2 . Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012) Cho ba sè thùc x , y , z tháa m·n x  y  z  xyz và x  1, y  1, z  1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P . x 1 y 1 z 1  2  2 . y2 z x. Hướng dẫn: x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1  1 1 1   1 1 1 P          2  2  2  (1). 2 2 2 y z x y z  x y z x x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 Mà   y2 z2 x2  1  1 1  1 1  1   x  1  2  2    y  1  2  2    z  1  2  2  y  z  z  x x y 2 2 2 (2).   x  1   y  1   z  1 xy yz xz Tõ (1) và (2) suy ra. 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>  1 1 1 1 1 1 1 1 1     2  2  2  2    x y z x y z  xy yz zx  1 1 1 Tõu gi¶ thiÕt ta cã   1 xy yz zx 1 1 1 1 1 1 Mà (5).      1 x 2 y 2 z 2 xy yz zx P. (3). (4).. 2.  1 1 1  1 1 1  1 1 1  x  y  z   3  xy  yz  zx   x  y  z  3     Tõ (3), (4), (5) và (6) suy ra P  3  1 . DÊu b»ng xÈy ra khi x  y  z  3 .. (6).. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P là 3  1 . Bµi 48.(HSG12B-NA:2011-2012) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P. 1 1  x2. 1. . 1 y2. . 1 1 z2. .. ___________________________________________________________________ khai thác một số bất đẳng thức quen thuộc i.Phương pháp biến đổi tương đương: a. Bài toán 1: Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1.1)Cho a, b là các số thực dương . Chứng minh rằng. a b. . b a. b . b. . a.  a b .. 1 a b.  2.. Hướng dẫn: Ta cã. a b. . b a.  a  b . Suy ra. a b. . b a. . 1 a b.  a b. 1 a b.  2.. 1.2)Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 2     2. bc ca ab abc. Hướng dẫn:. a2 b2 c2 abc    . ThËt vËy: bc ca ab 2  a2 b2 c2 abc a2   b2   c2  3    b     c    (a  b  c)      a  bc ca ab 2 bc  ca  a  b  2 . Ta chøng minh. abc abc abc 3  a   b   c   (a  b  c)  bc   ca   ab  2 a b c 3 a b c 9      1 1 1  . bc ca ab 2 bc ca ab 2. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Mµ 1 . a b c 1 1  9  1 1 1  (a  b  c)     : luôn đúng. bc ca ab ab bc ca 2. 1.3)Cho x, y, z là những số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. x. y. . y z. z x. z. . x y. . 3 x y z. . 3 2. 1.4)Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 x. 1 y. 1 z. biÓu thøc P  x  y  z    . Hướng dẫn: 3 1 1 1 1 1 1 9 §Æt t  x  y  z . Ta cã ( x  y  z )(   )  9     .Víi t   0;  .. x. y. z. x. y. z. t. . 2. 9 t. Suy ra P  t  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1. Bµi to¸n 1.5: a)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc tháa m·n a  b  c  0 . Chøng minh r»ng a3  b3  c3 . (a  b  c) 3 . 9. b)Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc. Chøng minh r»ng a2  b2  c2 . (a  b  c) 2 . 3. 1.6)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  xz  xyz . Chứng minh rằng x 3  y 3  z 3  81 . Hướng dẫn: ( x  y  z)3 1 1 1 . Mµ xy  yz  xz  xyz     1 . 9 x y z 1 1 1 Suy ra ( x  y  z )(   )  9  x  y  z  9 . x y z 3 3 3 VËy x  y  z  81 . 1.7)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của. Ta cã x 3  y 3  z 3 . biÓu thøc P  . 3. 3. 3. 1   1   1       . 1 a  1 b  1 c . Hướng dẫn: 1 1 1 1 1 1 9 , y , z . Ta cã    4 . Suy ra x  y  z  . x y z 1 a 1 b 1 c 4 3 1 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x  y  z  hay a  b  c  . 4 3 81 3 Suy ra P  x 3  y 3  z 3  . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x  y  z  hay 64 4 1 abc . 3 81 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng , khi a  b  c  . 64 3. §Æt x . 1.8)Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 3. 3. 3.  a   b   c  P      . bc ca a b. Hướng dẫn: §Æt x . 1 1 1 a b c 3 , y , z . Ta cã    6 . Suy ra x  y  z  . x y z bc ca ab 2. Bài toán 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng a2 b2 c2 abc    . bc ca ab 2. Hướng dẫn:. a2 b2 c2 abc a b c 3     (a  b  c)(   )  (a  b  c) . bc ca ab 2 bc ca ab 2 a b c 3 1 1 1 9      (a  b  c)(   ) . bc ca ab 2 bc ca ab 2 1 1 1  (2a  2b  2c)(   )  9 : luôn đúng. bc ca ab 1.10)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  1 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 3    . bc ca ab 2. Hướng dẫn:. (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca)  a  b  c  3 .. 1.11)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc P . ( x  y ) 2 ( y  z ) 2 ( z  x) 2   . 1 z 1 x 1 y. Hướng dẫn: §Æt a  x  y, b  y  z, c  z  x . Ta cã a  b  c  2 vµ P. a2 b2 c2 abc    1. bc ca ab 2. Bài toán 1.12:Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 2. 2. 2. 3. 3. 3. 1 x  1 y  1 z  1 x  1 y  1 z         3 vµ        3.  2   2   2   2   2   2 . DÊu “=” xÈy ra khi nµo? 1.13)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz  1 . Chứng minh rằng a)  x  y 2   y  z 2   z  x 2  12 . b)  x  y 3   y  z 3   z  x 3  24 . 1.14)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  1 . Chứng minh rằng x2  y2  z2 . 1 1 vµ x 3  y 3  z 3  . 3 9. 1.15)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2  y 2  z 2  1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P  x 3  y 3  z 3 . 1.16)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2  y 2  1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P  x3  y3 . Bµi to¸n 1.17: Cho a, b, c  0 . Chøng minh r»ng :. 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1 1 1 11 1 1       . ab bc ca 2a b c 1 1 4 Hướng dẫn: áp dụng   (x, y >0 ). x y x y. 1.18)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn. 1 1 1    1 . Chøng minh r»ng a b c. 1 1 1 1    . ab bc ca 2. 1.19)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng ab bc ca 1    . ab bc ca 2. 1.20)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biÓu thøc A . ab bc ca .   ab bc ca. Hướng dẫn: ab bc ca ab bc ca 1       ( a  b  b  c  c  a) ab bc ca 2 ab 2 bc 2 ca 2 ( a  b  b  c  c  a ) 2  6(a  b  c)  6  a  b  b  c  c  a  6 A. Suy ra A . 6 1 . DÊu “=” xÈy ra khi a  b  c  . 2 3. Bài toán 1.21.Chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì, ta luôn có a3 b3 c3 abc    . 2 2 2 2 2 2 3 a  ab  b b  bc  c c  ca  a a3 2a  b  (Hướng dẫn: Ta có 2 ). 2 3 a  ab  b 1.22)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 .Chứng minh rằng a3 b3 c3 1  2  2  . 2 2 2 2 3 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 1.23)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1 .Chứng minh rằng a3 b3 c3    1. a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2. Bµi to¸n 1.24:Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng :. a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  3 (a  b  c) . 3 (Hướng dẫn: Ta có a 2  ab  b 2  (a  b) ). 2 1.25)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 .Chứng minh rằng : a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  3 . 1.26)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1 .Chứng minh rằng : a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  3 3 . Bµi to¸n 1.27:Cho a, b, c  0 . Chøng minh r»ng : a2 b2 c2 abc    . bc ca ab 2. Hướng dẫn:. 15 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> a b c 3 1 1 1 9     (a  b  c)(   ) . bc ca ab 2 bc ca ab 2 1 1 1  (2a  2b  2c)(   )  9 : luôn đúng. bc ca ab a2 b2 c2 abc a b c 3     (a  b  c)(   )  (a  b  c) . vµ bc ca ab 2 bc ca ab 2 1.28)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 .Chứng minh rằng : a2 b2 c2 1    . bc ca ab 2 1.29)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1 .Chứng minh rằng : a2 b2 c2 3    . bc ca ab 2. Ta cã. II.Phương pháp đưa về hàm số một biến: 2.1)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn thøc H  x  y . 4 9   5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x y. 4 . x y. Hướng dẫn: §Æt t  x  y , víi. 4 9 4 9   5 .Ta cã : ( x  y )(  )  25  x  y  5  t  5 . x y x y. 4 t. Vµ H  t  . 2.2)Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy  yz  zx  1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P  x 4  y 4  z 4 . 4 . x  y4  z4 4. Hướng dẫn: §Æt t  x 4  y 4  z 4 , víi x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  1 . Suy ra x4  y4  z4 . (x2  y 2  z 2 )2 1  . 3 3. 2.3)Cho c¸c sè thùc a, b tháa m·n a 2  b 2  1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P  (a  b)(2ab  a  b) . Hướng dẫn: Ta cã P  (a  b)(a  b) 2  (a  b)  1  (a  b) 3  (a  b) 2  (a  b) . §Æt t  a  b , víi a 2  b 2  1 . Suy ra (a  b) 2  2(a 2  b 2 )  2   2  a  b  2 hay t  [ 2 ; 2 ] . Vµ P  t 3  t 2  t , víi t  [ 2 ; 2 ] . 2.4)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc P  x 3  y 3  9 xy . Hướng dẫn: Ta cã P  ( x  y )( x  y ) 2  3xy   9 xy  ( x  y ) 3  3( x  y ) 2  9( x  y ) . 1 4. §Æt t  x  y , víi x  y  xy  ( x  y ) 2  x  y  4  t  4 . Vµ P  t 3  3t 2  9t , víi t  4 . 16 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2.5)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn thøc P  x 2  y 2 . 1 1   1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu x y. 4 . x y. Hướng dẫn: 4 1 1 . §Æt t  x  y . Víi ( x  y )(  )  4  x  y  4 . x y x y 1 1 1 2.6)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn   . Chứng minh rằng x y z P  ( x  y ) 2  2( x  y ) . x2  y2 z 33   . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ? 2 x y 4 z. Hướng dẫn: x2  y2 z ( x  y) 2 z    . DÊu “=” xÈy ra khi x  y 2 2 x y x y z 2z 1 1 1 x y x y  4 hay t  4 .DÊu “=” xÈy ra khi x  y  2 z . §Æt t  . Víi    x y z z z. XÐt hµm sè f (t ) . t2 1  , víi t  4 . 2 t. 2.7)Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x2  y2  z2 . 2 . x yz. Hướng dẫn: P. ( x  y  z) 2 2  . DÊu “=” xÈy ra khi x  y  z . 3 x yz. t2 2 §Æt t  x  y  z . Ta cã P  f (t )   víi t  0 . 3 t 2.8)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 thøc P  x 2  y 2  z 2  . x yz. Hướng dẫn: P. ( x  y  z) 2 2  . DÊu “=” xÈy ra khi x  y  z . 3 x yz. §Æt t  x  y  z . Ta cã x  y  z  33 xyz  3  t  3 vµ P  f (t ) . t2 2  víi t  3 . 3 t. 2.9)Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 xy ( x 2  y 2 )  x  y  6 xy . Hướng dẫn: 4 xy ( x 2  y 2 )  x  y  6 xy  4( x 2  y 2 )  4( x 2  y 2 ) . 1 1   6. x y. 1 1 4   2( x  y ) 2  . x y x y. 4 t. §Æt t  x  y . XÐt hµm sè f (t )  2t 2  , víi t  0 . 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 2.10)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  xy( x  y ) . Tìm giá trị nhỏ nhất cña biÓu thøc P  x 3  y 3  6 xy . Hướng dẫn: P  ( x  y ) 3  3( x  y ) 2 . §Æt t  x  y . Víi x 2  y 2  xy( x  y ) . Ta cã xy( x  y ) . ( x  y) 3 ( x  y) 2  x2  y2 vµ 4 2. ( x  y) 2 ( x  y) 3  Suy ra hay x  y  2 . Vµ P  t 3  3t 2 , víi t  2 . 2 4 2.11)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  xy( x  y ) . Tìm giá trị nhỏ nhất. cña biÓu thøc P  x 3  y 3  9( x  y )  6 xy . 2.12)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  (b  c) 2  a(b  c)(a  b  c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P  a 3  b 3  c 3  3(bc  2a)(b  c)  9(a  b  c) . Hướng dẫn: §Æt x  a, y  b  c . 2.13)Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 2  y 2  z 2  1 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P  xy  yz  zx . 4 . xy  yz  zx  2. Hướng dẫn: §Æt t  xy  yz  zx , víi x 2  y 2  z 2  1    xy  yz  zx  1 hay t   ;1 . 2  2  1. Ta cã P  f (t )  t . 1. 1 4 , víi t   ;1 . t2  2 . 4 t 2  4t f ' (t )  1    0  t  0. (t  2) 2 (t  2) 2 1 13 7 f (0)  2, f ( )  , f (1)  . 2 6 3 1 7 Suy ra Pmax  f (1)  khi t  1 hay x  y  z   . 3 3 vµ Pmin  f (0)  2 khi t  0 hay xy  yz  zx  0 vµ x 2  y 2  z 2  1 . 1 1 1 2.14)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn   .Chứng minh rằng x y z x y z 17   . DÊu “=” xÈy ra khi nµo ? z x y 4 1 1 1 2.15)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn   . Tìm giá trị nhỏ nhất của x y z 2. x y  z biÓu thøc P       z  x. 2.   . y . 2.16)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 3. x y  z biÓu thøc P       z  x. 1 1 1   . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z. 3.   . y . 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 2.17)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 4. x y  z biÓu thøc P       z  x. 4.   . y . 2.18)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn biÓu thøc P . x y  z. 1 1 1   . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z. 1 1 1   . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z. z . x y. 2.19)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  2  2( x  y )  xy . Tìm giá trị lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A  2 xy  xy . 4 . x y. Hướng dẫn: Ta cã ( x  y ) 2  4  2( x 2  y 2 )  4  4( x  y )  2 xy  5( x  y )  ( x  y ) 2  5( x  y )  4  0  1  x  y  4 . vµ 2 xy  xy  ( x  y ) 2  2( x  y )  2 . Suy ra 4 . §Æt t  x  y , víi t  1;4 . x y 4 Khi đó A  f (t )  t 2  2t  2  ,với t  1;4 . t 3 2 4 2t  2t  4 2(t  1)(t 2  2t  2) f ' (t )  2t  2  2    0. t t2 t2 A  ( x  y ) 2  2( x  y )  2 . 1 2. Suy ra max A  f (4)  8 khi x=y=2; vµ min A  f (1)  5 khi x  y  . 2.20)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n x 4  y 4  2 xy . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A  xy  3x 2 y 2  2 xy( x 2  y 2 )  ( x  y ) 2 . Hướng dẫn: ( x  y) 2 ( x 2  y 2 ) 2 ( x  y) 4  2 xy  x 4  y 4   2 2 8 2 4 2  4( x  y )  ( x  y )  0  0  ( x  y )  4  2  x  y  2 . Vµ 2 A  ( x  y ) 4  2( x  y ) 2 . §Æt t  x  y , víi t   2;2 .. Ta cã. Khi đó 2 A  f (t )  t 4  2t 2 ,với t   2;2 f ' (t )  4t 3  4t  0  t  0, t  1 . f (0)  0, f (1)  1, f (2)  8 . Suy ra max A  4 khi x  y  1 . min A  . 1 1 2 7  5 1 2 7  5 khi x  hoÆc ,y  2 2 2. x. 1 2 7  5 1 2 7  5 1 2 7 1 1 2 7 1 hoÆc x  hoÆc ,y  ,y  2 2 2 2. x. 1 2 7 1 1 2 7 1 . ,y  2 2. 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 2.21)Cho c¸c sè thùc x  0, y  0 tháa m·n x 4  y 4  2  2( x 2  y 2 )  xy . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A  2 x 2 y 2  xy . 4 . x  y2 2. Hướng dẫn: 1 2 5 ( x  y 2 ) 2  2  x 4  y 4  2  2( x 2  y 2 )  xy  ( x 2  y 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2  ( x  y )  5( x  y )  4  0  1  x  y  4 . 4 vµ A  ( x 2  y 2 ) 2  2( x 2  y 2 )  2  2 2 . §Æt t  x 2  y 2 , víi t  1;4 . x y. Ta cã. 2.22)Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2( x 3  y 3 )  x 3 y 3  6 x 2 y 2 . Tìm giá trị lớn 1. 1. 3. nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A  4    .  x y  xy Hướng dẫn:  1. 1 . 12. Ta cã 2( x 3  y 3 )  x 3 y 3  6 x 2 y 2  4 3  3   2  vµ xy y  x 3. 2.  1 1 1 1 1 1  12     2  4 3  3   2   3   . xy y  x y x y x 3. 2. 1 1 1 1 1 1 Suy ra     2  3    1    1  3 . x y x y x y 1 1 1 1 §Æt t   , víi t  1;1  3 .Ta cã A  4t  t 2  t  1  = t 2  3t  1  . x y 2t  2 2t  2 1 XÐt hµm sè f (t ) = t 2  3t  1  ,víi t  1;1  3 . 2t  2 2 f ' (t )  2t  3  0. (2t  2) 2 19 Suy ra min A  f (1)  khi x  y  2 ; max A  f (1  3 ) khi x  y  3  1 . 4. . . . . 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>